Chuong5

fbgfb

Chương 5 TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC

§1.KHÁI NIỆM

I.ĐỊNH NGHĨA HỆ SIÊU TĨNH

1 Định nghĩa:Hệ siêu tĩnh là những hệ mà chỉ với các phương trình cân bằng tĩnh học không thôi thì chưa đủ để xác định toàn bộ các phản lực và nội lực trong hệ Nói cách khác, đó là hệ bất biến hình và có liên kết thừa

Vậy theo định nghĩa, hệ đã cho là hệ siêu tĩnh

- Trong hệ siêu tĩnh phát sinh các nội lực do sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị của các gối tựa, sự chế tạo và lắp ráp không chính xác.

a Nguyên nhân biến thiên nhiệt độ:

+ Hệ tĩnh định :Các liên kết không ngăn cản biến dạng của dầm nên không làm xuất hiện phản lực và nội lực

+ Hệ siêu tĩnh: Các liên kết tại A, B ngăn cản biến dạng của dầm nên làm xuất hiện phản lực và nội lực

b Nguyên nhân chuyển vị cưỡng bức của các gối tựa:

+ Hệ tĩnh định: Các liên kết khộng ngăn cản chuyển vị tại gối B nên dầm chỉ bịnghiên đi mà không biến dạng nên không làm xuất hiện phản lực và nội lực

+ Hệ siêu tĩnh : Các liên kết tại A, B có xu hướng ngăn cản chuyển vị tại gối C làm cho dầm bị uốn cong do đó làm xuất hiện phản lực và nội lực

c Nguyên nhân chế tạo, lắp ráp không chính xác:(H.5.1h)

Dầm tĩnh định AB nếu được ráp thêm thanh CD vào sẽ trở thành hệ siêu tĩnh Nếu thanh CD do chế tạo hụt 1 đoạn ∆ thì khi ráp vào, nó sẽ bị kéo dãn ra đồng thời dầm AB

sẽ bị uốn cong nên sẽ làm phát sinh phản lực và nội lực trong hệ

→ Có thể chế tạo sẵn trong hệ những nội lực và biến dạng ban đầu ngược chiều với nội lực và biến dạng do tải trọng gây ra Biện pháp này làm cho sự phân phối nội lực trong cấu kiện của công trình được hợp lý hơn và do đó tiết kiệm được vật liệu.

- Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào vật liệu và kích thước của tiết diện trong các thanh

Công thức này được thiết lập dựa trên số chu vi kín để tính bậc siêu tĩnh cho hệ khung

Số chu vi kín trong hệ đầu bằng không, trong các hệ sau bằng 1

Số liên kết khớp trong: hệ 1: 0 hệ 2: 2 hệ 3: 1 hệ 4: 0

V: số chu vi kín ; K : số khớp đơn giản

Nhận xét : Một chu vi kín có bậc siêu tĩnh bằng 3, nếu thêm vào chu vi kín đó 1 kkớp đơn giản thì bậc siêu tĩnh giảm xuống một đơn vị Giả sử hệ siêu tĩnh có V chu vi kín và K khớp đơn giản thì:

n = 3V- K (5.1)Chú ý:

- Khi gặp khớp phức tạp thì ta phải đổi về khớp đơn giản

- Xem trái đất là một miếng cứng hở

Tóm lại : Hệ cơ bản của phương pháp lực là một hệ bất biến hình được suy ra từ

hệ siêu tĩnh đã cho bằng cách loại bỏ tất cả hay một số liên kết thừa

Chú ý:

+ Nếu loại bỏ hoàn toàn liên kết thừa → hệ cơ bản là hệ tĩnh định

+ Nếu loại bỏ một phần số liên kết thừa → HCB thu được là hệ siêu tĩnh có bậc siêu tĩnh thấp hơn hệ ban đầu

• Yêu cầu của HCB:

- Bắt buộc phải bất biến hình

Liên kết ngang → (Liên kết momen)

Liên kết xoay →

Liên kết ngang →

Liên kết đứng →

+ Loại bỏ thêm 1 liên kết nữa: (tự do)

- Loại bỏ các liên kết nối giữa các miếng cứng với nhau (liên kết nội): thuộc nhóm

Ví dụ 6:

Giải:

a) Loại bỏ ba liên kết tại B:

b) Tại A: Loại bỏ một liên kết ngăn cản chuyển vị xoay

Tại B: Loại bỏ 1 liên kết ngăn cản chuyển vị xoay và 1 liên kết ngăn cản chuyển vị ngang

c) Tại A: Loại bỏ một liên kết ngăn cản chuyển vị xoay

Tại B: Loại bỏ 1 liên kết ngăn cản chuyển vị xoay và 1 liên kết ngăn cản chuyển vị thẳng đứng

Chú ý : Hệ trên không chọn làm hệ cơ bản vì nó là hệ biến hình tức thời

d) Loại bỏ 1 liên kết hàn tại C

e) Tại A,B,C ta đều bỏ 1 liên kết ngăn cản chuyển vị xoay

C

n = 3

B A

C

B A

C

Chú ý : Có rất nhiều HCB, nên chọn HCB nào dễ dàng xác định nội lực.

LKT

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP LỰC:

• Đặt vấn đề: HCB là cho phép tính toán được nhưng giữa HCB và hệ siêu tĩnh ban đầu là có sự khác nhau

→ Cần so sánh sự khác nhau giữa HCB và hệ siêu tĩnh ban đầu

→ Áp đặt các điều kiện để cho HCB làm việc giống hệ siêu tĩnh ban đầu

So sánh sự khác nhau giữa hệ siêu tĩnh đã cho và HCB của nó

Hệ siêu tĩnh ban đầu

- Lực :Tại B nói chung tồn

x ∆ ∆ϕ

Để cho hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh đã cho thì trên hệ cơ bản thì:

+ Cần đặt vào B các lực X1,X2,X3 tương đưong VB , HB ;,MB

+ Thiết lập chuyển vị tại B do các nguyên nhân là các lực mới đặt thêm vào

(X1,X2,X3) và tải trọng ban đầu P phải bằng không

0),,,

0),,,

0),,,

• Tổng quát:

Xét một hệ siêu tĩnh bậc n, chịu các nguyên nhân bất kỳ như tải trọng, sự

thay đổi nhiệt độ to và sư chuyển vị cưỡng bức của các gối tựa Z Chọn HCB là hệ

tĩnh định Để HCB làm việc giống hệ siêu tĩnh ban đầu, thì trên HCB cần:

Tại các vị trí loại bỏ liên kết :

+ Trong hệ siêu tĩnh nói chung có các phản lực, còn trong hệ cơ bản không

có;

t Z

Z t P

P

+ Trong hệ siêu tĩnh, chuyển vị theo các liên kết bị loại bỏ đều bằng không;

trong hệ cơ bản, các chuyển vị này có thể tồn tại

Vậy muốn HCB làm việc giống hệ siêu tĩnh đã cho, ta cần:

+ Trong hệ cơ bản, đặt các lực X1,X2,X3, ,Xn tương ứng với phương và

vị trí của các liên kết bị loại bỏ (chiều tùy chọn)

+ Thiết lập điều kiện: chuyển vị trong HCB tưong ứng với vị trí và phương

của các liên kết bị loại bỏ bằng không















=

∆

=

∆

=

∆

0 ) , , ,

, ,

, (

0 ) , , , , ,

, ( 0 ) , , , , , , (

2 1

2 1 2

2 1 1

Z t P X X X x

Z t P X X X x

Z t P X X X x

n n

n n

• Chú ý:

+ Khi loại bỏ các liên kết nối miếng cứng - miếng cứng (liên kết nội): thay

bằng một cặp lực ngược chiều nhau

+ Khi loại bỏ các liên kết có chuyển vị cưỡng bức→ VP≠ 0(bằng chuyển vị cưỡng bức, có xét dấu)

Để VP = 0 thì:

- Tránh loại bỏ các liên kết có chuyển vị cưỡng bức

- Cắt liên kết và thay bằng các cặp lực

Ví dụ:

B

A

A

B

A

B

X1

1

X

X1

HCB

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC:

Xét phương trình thứ k trong hệ phương trình cơ bản:

0),,,, ,,

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng:

0)()

()

()

(

)()

)(

)(

Z X

t X

P X

k kZ

k kt

k kP

3 3 2 2 1

∆+

∆++

++

+

=

∆+

∆+

∆++

++

+

=

∆+

∆+

∆++

++

+

0

0

0

3 3 2 2 1 1

2 2 2 2

3 23 2 22 1 21

1 1 1 1

3 13 2 12 1 11

nkZ nt nP n nn n

n n

Z t P n n

Z t P n n

X X

X X

X X

X X

X X

X X

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

IV XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC:

Các hệ số là những chuyển vị → dùng công thức Morh để xác định

Công thức Morh:

++

EF

N N ds

k m

EF

N N ds

())(

())(

EF

N N ds

EJ

M

P k

o P k

o P k

viết dưới dạng nhân biểu đồ:

))(

())(

())(

P k

o P k

o P k

∆ : chuyển vị tại vị trí và theo phương Xk do nhiệt độ gây ra trên HCB

viết dưới dạng nhân biểu đồ:

))

Trong đó: (M ),(N )k k : các biểu đồ nội lực do lực Xk = 1 gây ra trên HCB

Nếu α ,t c,t1,t2,h là những hằng số trên mỗi đoạn thanh:

)()

()()

h ds

N t ds

M t t

),

(M k Ω N k

Ω : diện tích biểu đồ (M k),(N k)(có dấu)

j k

(5.6)Trong đó: j

Sau khi giải hệ phương trình chính tắc xác định các ẩn số Xk (k = 1, n ), ta

xem chúng như các ngoại lực tác dụng lên hệ cơ bản cùng với các nguyên nhân tác

dụng lên hệ siêu tĩnh ban đầu Giải hệ cơ bản chịu các nguyên nhân này sẽ tìm

được các nội lực của hệ Vì hệ cơ bản thường là hệ tĩnh định nên có thể sử dụng

các phương pháp đã quen biết để tìm nội lực

Ví dụ 7: Vẽ biểu đồ nội lực cho hệ khung sau (Hình 5.2 a).

EJ M

M

3

1604643

143

2442

11))(

3EJ q=5 KN/m

4m

EJ EJ

M

P

2404

6903

11))(

1 1

160

1− =

EJ

X EJ

- Giải phương trình, ta có : X1 = 4,5 KN

Hình 5.2 b

+ Vẽ MP cho khung siêu tĩnh:

Ta cần tính tung độ biểu đồ MP tại vài điểm

656

)72(18

ph AC ph

AC

ql l

M M

Q

kN

ql l

M M

AC

tr AC

ph AC tr

2

656

)72(18

-4,5

+

kN l

M M Q

Q Q

BC

tr BC

ph BC BC

ph BC

=

∑ X N CB Q CA N CB Q CA

kN Q

N Q

()

()

(

)()

(

),,,, ,,(

2 1

2 1

Z S t S P S X S X

S X S

Z t P X X X S S

HCB HCB

HCB n

HCB HCB

HCB

n HCB

HST

++

++

++

o t HCB

o P

S ( )= ; ( )= ; ( )= : lần lượt là giá trị của đại lượng

S do tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức gây ra trong HCB

Viết lại công thức xác định đại lượng S:

o Z

o t

o P n n

S = 1 1+ 2 2 + + + + +

Áp dụng: Vẽ biểu đồ momen trong hệ siêu tĩnh

)()()()

(

)

()

()

Nhận xét: Vẽ biểu đồ (M ) HST theo cách này không cần tính HCB khi nó

chịu X1,X2,X3, Xn ,P,t,Z Nhưng biểu đồ lực cắt và lực dọc trong HST chưa xác

định được

• Suy từ (M ) HST → (Q) HST

Tải trọng tác dụng được mô tả trên (H.5.3) Trong đó q, Mtr, Mph đã biết,

Qtr, Ntr, Qph, Nph chưa biết, giả thiết có chiều dương theo vị trí người quan sát nhìn

sao cho tải trọng phân bố q hướng xuống

Từ các điều kiện cân bằng mômen với điểm b và a, ta suy ra:

ph tr ph

q

ph tr tr

Trong đó:

ωq: là hợp lực của tải phân bố q trên đoạn thanh ab

λl, µl: lần lượt là khoảng cách từ hợp lực ωq đến đầu trái và phải của thanh

ab theo phương nằm ngang

n

ph tr tr

Trong đó qn là tải trọng phân bố vuông góc với trục thanh

+ Đoạn thanh không có tải trọng thì q = 0 thì ωq= 0

Sau khi xác định được lực cắt từ hai đầu mỗi đoạn thanh cũng chính là tại

các tiết diện đặc trưng, tiến hành vẽ biểu đồ lực cắt dựa vào dạng đường của nó

như trong phần vẽ biểu đồ nội lực của hệ tĩnh định

• Suy từ (Q) HST → (N ) HST

Cũng tương tự cho biểu đồ (Q), biểu đồ lực dọc (N) được vẽ bằng cách suy

ra từ biểu đồ lực cắt Cách thực hiện như sau:

Tách và xét cân bằng hình chiếu cho mỗi nút của hệ sao cho tại mỗi nút có

không quá 2 lực dọc chưa biết Khi khảo sát cân bằng, ngoài tải trọng tác dụng lên

nút còn có nội lực tại các đầu thanh quy tụ vào nút bao gồm: mômen uốn (đã biết

nhưng không cần quan tâm), lực cắt (đã biết, lấy trên biểu đồ lực cắt), lực dọc

(chưa biết, giả thiết có chiều dương)

Ngoài ra, khi xác định lực dọc cũng có thể vận dụng mối quan hệ giữa lực

dọc tại hai đầu thanh từ điều kiện của thanh được vẽ trên hình (Hình 5.3)

ph tr

q

Từ phương trình (5.8) cho thấy nếu trên đoạn thanh không chịu tải trọng

hoặc tải trọng tác dụng vuông góc với trục thanh thì lực dọc tại 2 đầu sẽ bằng nhau

và cùng gây kéo hoặc gây nén

Sau khi xác định được lực dọc tại 2 đầu mỗi đoạn thanh, tiến hành vẽ biểu

đồ lực dọc như trong phần vẽ biểu đồ nội lực của hệ tĩnh định

- Tính theo số liên kết thừa ta cũng có n = 2 (đúng bằng số liên kết thừa)

+ Chọn hệ cơ bản cho hệ như hình 5.1 b

Hệ phương trình chính tắc của hệ được viết

=

∆++

0

02 2 22 1

21

1 2 12 1

11

P

P

X X

X X

δδ

δδ

EJ M

2

12

1))(

δ

EJ EJ

EJ M

2

12

1))(

δ

EJ EJ

M

P

8646436

1))(

EJ M

P

1026)

6436

15,46363

12

1())(

=+

−

01026180

144

0864144

180

2 1

2 1

EJ

X EJ

X

EJ

EJ

X EJ

()

2()6

2()6

M M

DB

tr DB

626

)5(0

M M

DB

tr DB

626

)5(0

2 = − − + × =+

−

=

• Đoạn thanh AD:

kN l

M M

ph AD AD

kN l

M M

ph DC DC

=

∑ X N DB Q DC N N DB N Q DC

kN Q

Q N Q

Q N

6

41(6

40

Hình 5.4

Ví dụ 9: Vẽ các biểu đồ nội lực trên hình (H.5.5 a) Cho biết độ cứng trong thanh

đứng là EJ, trong thanh ngang là 2EJ Chỉ xét ảnh hưởng của biến dạng uốn

f) e)

h) g)

q = 2 kN/m

C

B A

EJ D

Hình 5.5 e, f,g

Ví dụ 10: Vẽ các biểu đồ nội lực của hệ trên hình vẽ (H.5.6 a) Cho biết độ cứng

trong thanh đứng là 2EJ, trong các thanh ngang là EJ Chỉ xét đến ảnh hưởng của

biến dạng uốn

∆++

0

02 2 22

1

21

1 2 12

4 Vẽ các biểu đồ nội lực:

Hình 5.6 f, g, h

Ví dụ 11:Vẽ các biểu đồ nội lực trên hình vẽ (H 5.7 a).

Số liệu: α = 1,2.10-5.C-1; thanh ngang có độ cứng 2EJ, h = 0,4m; thanh đứng

Ở đây (M ),(M ),(M )0P 0t 0Z không tồn tại

Kết quả thể hiện trên hình vẽ

b Biểu đồ lực cắt và lực dọc: tương tự ví dụ trước Kết quả trên hình vẽ

* Chú ý: Ở đây có thể vẽ ngay biểu đồ (N) bằng cách:

1 1 2 2(N) (N ).X = + (N ).X

Hình 5.7 m,n,k

Ví dụ 12:Vẽ các biểu đồ nội lực của hệ cho trên hình vẽ (H.5.8 a).

Cho biết độ cứng trong các thanh ngang là EJ, thanh đứng là 2EJ và EJ =

VI XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH:

Tạo trạng thái “k” : đặt lực Pk = 1 (Mk = 1) tại vị trí và theo phương cần xác

EF

N N ds

k m

Trong đó: M k,Q k,N k: nội lực ở trạng thái “k”, muốn xác định cần tính hệ

siêu tĩnh trong trạng thái “k” (Hình 5.9 b) (giải hệ siêu tĩnh một lần nữa) →

phức tạp

B K

HST Z t P

A

P = 1kK

B

Mặt khác : HCB (giải phóng liên kết, đặt thêm vào các lực X1,X2, ,Xn ) ≈

HST → chuyển vị trong HST giống chuyển vị trong HCB → thay vì xác

định chuyển vị trong HST ta xác định chuyển vị trong HCB

Ví dụ: Xét HCB (Hình 5.9 c) của hệ đã cho trên hình 5.9 a:

Hình 5.9 c, d

Xác định chuyển vị tại K trong HCB này:

+ Tạo trạng thái “k” (Trên HCB) (Hình 5.9 d):

Áp dụng công thức Morh:

++

EF

N N ds

o k

Tóm lại: Xác định trong HST → có thể tạo ra trạng thái “k” trên HCB bất

kỳ của hệ đã cho (HCB này có thể khác với HCB khi xác định (Mcc))

o k

o k c

cc

o k cc

o k cc

o k km

Z R N

t t h M

t

Q Q N

N M

M

)()()

(

))(

())(

())(

(

1 2

αα

Ví dụ 13: Vẽ biểu đồ nội lực và tính chuyển vị xoay tại C trong khung cho

A

P

t Z

Hình 5.10 a, b

Ta có V = 1, K = 1 → n = 3V- K = 3.1 – 1 = 2

+ Chọn hệ cơ bản cho hệ như hình 5.10 b)

Hệ phương trình chính tắc của hệ được viết

=

∆++

0

02 2 22

1

21

1 2 12

M

3

41

3

22

1))(

(

3 1

M

33

22

11))(

(

3 2

M M

22

11))(

(

3 2

1 21

12= δ = = − × × × × = −

δ

EJ

ql l

l ql l l

ql l

l

ql EJ

M

P

82

28

3

23

22

2

11))(

(

4 2

2 2

0 1

2 ql

2

2 ql

ql l l

ql EJ M

1))(

Thay các giá trị δ km,δkk,∆kP tìm được vào hệ phương trình chính tắc, sau khi

chia cả hai vế của hệ phương trình cho

−

=+

−

04

13

12

1

08

52

13

4

2 1

2 1

ql X

X

ql X

()

()(M P HST = M1 X1+ M2 X2 + M P o

Biểu đồ (M )P HST được thể hiện như trên hình 5.11 c

Ví dụ 14: -Vẽ các biểu đồ nội lực và xác định chuyển vị đứng tại k (Hình 5.12 a).

Cho α = 1,2.10-5(oC-1), độ cứng chống uốn trong thanh ngang là 2EJ, trong

thanh đứng là EJ; chiều cao thanh ngang là h = 0,4m; thanh đứng là h = 0,3m; EJ

= 1080T.m2; ∆1 = 0,02m; ∆2 = 0,03m Chỉ xét ảnh hưởng của biến dạng uốn

Hình 5.12 c, d, e

5.12 f, g, h

Hình 5.12 f, g, h

5 Xác định chuyển vị đứng tại k:

- Trạng thái "m": Biểu đồ mômen (Mm) đã vẽ ở trên

- Trạng thái "k": vẽ (M ),(N )0k 0k trên 1 hệ cơ bản chọn như hình 5.12 i, k

2 Kiểm tra các hệ số của phương trình chính tắc:

Kiểm tra xem:

- (M k)(M S)= δ k1 + δ k2 + + δ kn

- (M P o)(M S)= ∆1P + ∆ 2P + + ∆ nP

h N

3 Kiểm tra kết quả của việc giải hệ phương trình chính tắc:

Thay giá trị của X1,X2, ,Xn (nghiệm của hệ phương trình chính tắc) vào

từng phương trình

Ví dụ: phương trình thứ k

0

3 3 2 2 1

))(

(M k M cc = − ∆ kt + ∆kZ

Thường VT ≠ VP

Chuyển vế → (M k)(M cc)+ (∆kt + ∆ kZ)= 0

Nhưng thường khác không → Kiểm tra giá trị đó có bằng sai số của việc

giải hệ phương trình chính tắc hay không

Ví dụ 15: Vẽ biểu đồ mômen và kiểm tra lại kết quả tính của hệ như hình vẽ (H.

5.13 a) Cho độ cứng trong tất cả các thanh là EJ = const

1 Vẽ biểu đồ mômen (M):

Bậc siêu tĩnh n = 2

Hệ cơ bản được tạo trên hình (H.5.13 b)

Hình 5.13 a, b

Các hệ số được xác định

Hệ phương trình chính tắc sau khi đã quy đồng và bỏ 3EJ dưới mẫu số:

- Kiểm tra kết quả cuối cùng:

- Khối lượng tính toán kiểm tra còn nhiều

- Khi điều kiện kiểm tra thỏa mãn thì cũng chưa thể loại trừ được khả năng

xảy ra sai lầm