Vũ Ngọc Thành Trường THPT mường so Kỉ niệm những tháng ngày vật vã trên đất Lai Châu . Viết tài liệu cho đỡ buồn. MỘT TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA TÍCH PHÂN NHỊ THỨC ( (( ( ) )) ) { {{ { } }} } { {{ { } }} } { {{ { } }} } ( (( ( ) )) ) p n m q m q Cách Chuyển tích phân vô tỉ dạng : sang tích phân hữu tỉ q Z p Z n Nếu thấy m Z | 0 a R | 0 b R | 0 x 0 Các hướng chuyển đổi sang tích phân của hà x ax b Hướng 1 : Đặt trực tiếp Bước 1 : đặt m hữu a tỉ x b t + ++ + ∈ ∈∈ ∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ ∈∈ ∈ > >> > + ++ + + ++ + = == = ∫ ∫∫ ∫ » »» » ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) p n m q n q m q m 1 q 1 m q 1 q 1 1 q q q m m n 1 1 q q 1 m p n 1 m p q q Bước 2 : Lắp văn ráp : x ax b dx ax b t max dx qt dt max qt dt x dx qt dt Khi đó x m t b t b t b x x a a dx t b qt dx t b a dt x ax b t x a m t b − − − − − −− − − − − − − −− − + ++ + − −− − + ++ + + ++ + + = + =+ = + = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = − −− − − − − −− − − − = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = + ++ + − −− − = + = = = + = == + = = = + = = − −− − − −− − = == = ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ( (( ( ) )) ) 1 q 1 m p q Muốn hướng 1 thu được tích phân của hàm hữu tỉ ta chỉ cần bổ sun qt dt t m t b n 1 là số nguyên m Sau đây là một số ví d g thêm đi ụ đi đượ ề c theo hướng 1 u kiện : − −− − − −− − + ++ + ∫ ∫∫ ∫ Vũ Ngọc Thành Trường THPT mường so Kỉ niệm những tháng ngày vật vã trên đất Lai Châu . Viết tài liệu cho đỡ buồn. 2 2 2 3 5 2 2 dx Ví dụ 1 : Tính I x x 4 Bài làm n 1 Ta thấy đây là dạng toán của ta vì nó thỏa mãn cái điều mà lúc nãy ta gia 2tdt 2xdx x û sử 0 là số nguyên m Bước1 : Bước2 Lắp ra t 4 đặt t x 4 x 5 t 3 x 2 3 t 4 dx I x x ùp = == = = − = −= − = − = + = += + = + ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = = == = + ++ + + ++ + = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = = == = ∫ ∫∫ ∫ ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) 2 3 2 3 4 2 5 5 3 2 2 2 4 4 4 3 3 3 3 3 3 xdx tdt t 4 t 4 x x 4 dt 1 1 1 1 t 2 1 5 dt ln ln 4 t 2 t 2 4 t 2 4 3t 2 t 2 1 : Tích phân I 1 dx x 1 n 1 I x 1dx ta đi được theo hướng Ví dụ 2 Bài làm Bư 1 vì ớc 1 nhìn thấy 0 là số nguyên x m Khi đó : Đa = = = = = == = = = = = − −− − + + + ++ + + + − −− − = = − = = = = − = == = − = = = = − = = − + + − + +− + + − + +− + − +− + − + = + = += + = + + ++ + = + = = + == + = = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ 3 3 ët x 1 t 1 t : Lắp văn ráp : IB dt 3 t 1 ước 2 + = + =+ = + = = == = − −− − ∫ ∫∫ ∫ Vũ Ngọc Thành Trường THPT mường so Kỉ niệm những tháng ngày vật vã trên đất Lai Châu . Viết tài liệu cho đỡ buồn. ( (( ( ) )) ) mp p p n p n m mp n q q q m m mp p n q q m q mp n q Ta có thể chuyển đổi n Hướng 2 : Biến đổi lại tích phân ban đầu sang dạng khác nhưng vẫn là tích pha hư sau : b b x x a dx x x a dx x x b x a d ân nhò thức x ax b dx x a bx x x + ++ + + ++ + − −− − = + = + = = + = + == + = + = = + = + = + ++ + = + = = + == + = = + = + ++ + ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) p m q q m q q q 1 m m m 1 q 1 q 1 q 1 1 q q m 1 q m q Bây giờ Ta thử : b b mb a t dx t a dx qt dt x x x dx q t q t 1 qt dt dt x dx dt dx dx đây vẫ x m m t a t a mb x 1 t a b x b n là tích phân nhò thức b Bước1 : đặt a t x Khi đó : x t a − −− − + ++ + − − − −− − − − − −− − − −− − + ++ + − −− − ⇒ ⇒⇒ ⇒ + = + =+ = + = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = − = −= − = − ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = = == = − − − −− − − − − − − −− − − − − −− − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − −− − = == = = == = + = + =+ = + = − −− − ∫ ∫∫ ∫ ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) 1 m mpp p n mp n q q q m m mp p n 1 1 p n m q n 1 p q 1 m q p q q q q m b b Khi đó x x a dx x x a dx x x b x x a Bước2 : Lắp văn ráp : x ax b dx b q t t dt m t a dx t a Muốn tích phân này trở thành tích phâ x n cu + ++ + + ++ + + ++ + − −− − − −− − + ++ + + ++ + − −− − = + = + = = + = + == + = + = = + = + = − −− − = + = += + = + = == = − −− − ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ûa hàm hữu tỉ n 1 p Khi đó ta sẽ bổ sung thêm giả thiết là là số nguyên m q Sau đây là một số ví dụ mà ta đi được theo hướng 2 + ++ + + ++ + Vũ Ngọc Thành Trường THPT mường so Kỉ niệm những tháng ngày vật vã trên đất Lai Châu . Viết tài liệu cho đỡ buồn. 3 3 m 3 3 3 2 3 3 4 2 2 2 4 3 3 2 3 3 3 1 2 3 1 Bài làm Phương pháp đổi biến để chuyển sang tích phân hữu tỉ b 1 Bằng cách đặt t a 1 x x khi đó : 1 1 3 1 t t 1 dx 3t dt x x x dx 1 dx dx t t dt t dt dt x x x Ví dụ 1 : Tính I x x 1dx x t 1 và x x 1dx = + = + = + = += + = + = + = + − −− − + = + =+ = + = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = − = −= − = − ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = − = −= − = − ⇒ ⇒⇒ ⇒ = − = −= − = − ⇒ ⇒⇒ ⇒ = − = −= − = − − −− − + ++ + = + = += + = + = == = ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ( (( ( ) )) ) 3 3 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 9 2 2 3 2 3 3 2 3 1 2 1 1 1 dx x x 1 dx x 1 dx x 1 x x x x 1 t t t dt dt ? Đây là tích phân của hàm hữu tỉ t 1 t 1 t 1 + = + = + + = + = ++ = + = + + = + = + = − = − = = − = − == − = − = = − = − = − − − −− − − − − −− − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ( (( ( ) )) ) 2 2 2 2 3 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 dx Tìm I x x 1 1 1 t x 1 2 dx t 1 dx 2tdt tdt x x x 3 x 2 2 t 2 Ví dụ 2 : Bài làm Bước1 : Đặt Bước 2 Lắ 2 2 x 3 t 3 dx dx tdt 2 3 I dt t 1 3 2 2 x x 1 x 1 p rá x p = == = + ++ + + = + =+ = + = − −− − = − = −= − = − ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = − = −= − = − ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = − −− − = = = = − = − = = = = − = −= = = = − = − = = = = − = − + ++ + + ++ + ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Vũ Ngọc Thành Trường THPT mường so Kỉ niệm những tháng ngày vật vã trên đất Lai Châu . Viết tài liệu cho đỡ buồn. Ví dụ 3: 33 3 6 3 2 2 3 2 2 2 3 2 3 33 3 2 sin x sinx Tính I .cot x.dx sinx 1 1 t sin x 1 cot x t 2cot x dx 3t dt sin x 1 3 t 1 t cot xdx dt sin x 2 1 t sin x sinx 1 1 t sinx si Trả lời bài : Bài làm Bước 1 : Đặt Bước 2 : Đ n x Với xổi t 6 cận : π ππ π π ππ π π ππ π − −− − = == = − = − =− = − = − = − =− = − = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = − = −= − = − ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = − −− − − −− − = − = = − == − = = − = = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = − = −= − = − ∫ ∫∫ ∫ 3 3 1 3 3 3 3 1 3Với x t 3 3 3 t Vậy I dt ? 2 1 t Đến đây bạ Bước 3 n tự la : Lắp văn r øm lấy nhé . Mình ngại l é á am p : π ππ π − −− − − −− − = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = − = −= − = − = = = == = = = − −− − ∫ ∫∫ ∫ . t + ++ + ∈ ∈∈ ∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ ∈∈ ∈ > >> > + ++ + + ++ + = == = ∫ ∫∫ ∫ » »» » ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) p n m q n q m q m 1 q 1 m q 1 q 1 1 q q q m m n 1 1 q q 1 m p n 1 m. TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA TÍCH PHÂN NHỊ THỨC ( (( ( ) )) ) { {{ { } }} } { {{ { } }} } { {{ { } }} } ( (( ( ) )) ) p n m q m q Cách Chuyển tích phân vô tỉ dạng : sang tích phân hữu tỉ q Z p Z n Nếu thấy. = == = = == = ∫ ∫∫ ∫ ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) 2 3 2 3 4 2 5 5 3 2 2 2 4 4 4 3 3 3 3 3 3 xdx tdt t 4 t 4 x x 4 dt 1 1 1 1 t 2 1 5 dt ln ln 4 t 2 t 2 4 t 2 4 3t 2 t 2 1 : Tích phân I 1 dx x 1