Các phương pháp đặc biệt giải toán tích phân theo từng dạng

Các dạng tích phân và cách tính

www.MATHVN.com Tích phân ơn thi đại học Võ Hữu Quốc CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁCH TÍNH A - TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC: Dạng P ( x) Q( x) Dạng 1: Bậc tử lớn (hay bằng) bậc mẫu: Cách giải: Ta thực phép chia đa thức cho đa thức Ví dụ 1: I = ∫ b Chú ý: I = ∫ a x + 3x + 19   dx = ∫  x + + dx = x−2 x−2 0 (x + x + 19 ln | x − |) |1 dx (Rất quan trọng tích phân hữu tỉ) ax + bx + c A B = + giải tìm A, B ax + bx + c x − x1 x − x2 TH1: Mẫu có nghiệm Đặt Ví dụ 2: I = ∫ 1 dx = ∫ dx x + 3x + ( x + 1)( x + 2) Làm ngài nháp:  A+ B =  A =1 A B A( x + 2) + B ( x + 1) ( A + B ) x + A + B = + = = ⇒ ⇔ ( x + 1)( x + 2) x + x + ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)( x + 2)  A + B =  B = −1 1 1 1   1 Khi I = ∫ dx = ∫ dx = ∫  − dx = ( ln | x + 1| − ln | x + |) |0 x + 3x + ( x + 1)( x + 2) x +1 x +  0 0 TH2: Mẫu có nghiệm Phân tích ax + bx + c = a ( x − x0 ) Tính trực tiếp Ví dụ 3: I = ∫ −1 1 dx = ∫ dx = |0 2 x + 4x + x+2 ( x + 2)  b ∆ b  ∆  TH3: Mẫu vơ nghiệm Phân tích ax + bx + c = a  x +  −  Đặt x + = − tan t 2a 4a 2a  4a     Ví dụ 4: I = ∫ 1 dx = ∫ dx x + 4x + ( x + 2)2 + Đặt x + = tan t ⇒ dx = 3(1 + tan t )dt đổi cận x = ⇒ t = Arc tan arctan 3/ I = , x = ⇒ t = Arc tan 3 arctan 3/ arctan 3/ 1 1 (1 + tan t )dt = ∫ (1 + tan t )dt = ∫ dt = t |arctan 3/ 2 3(tan t + 1) 3 arctan 2/ ( tan t ) + arctan 2/ arctan 2/ ∫ arctan 2/ Đặc biệt: + I = ∫ 1 dx Đặt x +a a tan t = x + I =∫ 3 dx dạng TH1 (a > 0) x −a dx Đặt x = tan t Giải hoàn toàn tương tự Ví dụ x +5 Ví dụ 5: a) I = ∫ b) I = ∫ 1 dx = ∫ dx Giải tương tự Ví dụ 2 x −5 ( x − 5)( x + 5) Dạng 2: Một số phép biến đổi thường dùng (phải nhớ dạng cách biến đổi) (ax + b) n ax + b  ax + b  dx = ∫  dx Từ đặt t =  n+2 (cx + d ) cx + d  cx + d  (cx + d ) n + I =∫ (2 x + 3)3 2x + −10  2x +  dx = ∫  dx Đặt t = ⇒ dt = dx Ví dụ 6: a) I = ∫  (4 x + 1) 4x +1 (4 x + 1)  x +  (4 x + 1) 0 1 www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com www.MATHVN.com Tích phân ôn thi đại học ( x + 2)5 (3 x − 5)7 Võ Hữu Quốc (5 x − 2) (3 x + 1) 1 * Tương tự: 1/ I = ∫ 2/ I = ∫ b) Áp dụng phương pháp trên: 1 1 1 1 dx = ∫ dx = ∫ dx 3 (2 x + 3) (4 x + 1) (4 x + 1) (4 x + 1)2 0  2x +   2x +    (4 x + 1)    4x +1   4x +1  I =∫ 1  2x +   2.(2 x + 3) − (4 x + 1)  dx =∫ dx = ∫ − 1    4x +  x +  (4 x + 1)  (4 x + 1)  2x +    2x +       4x +   4x +1  2x + 4x +1 1 1 * Tương tự: 1/ I = ∫ dx 2/ I = ∫ dx (3 x + 4) (3 x − 2) (2 x − 1) (3 x − 1) 0 6 Đặt t = Ví dụ 7: Các phép biến đổi hay 3 3 dx dx x − ( x − 3)dx  x2 x2 −  1 x  a) I = ∫ dx − ∫ dx  =∫ = ∫ = ∫ − dx =  ∫ x − 3x x( x − 3) x( x − 3)  x( x − 3) x( x − 3)  1 x −3 x  1 + I1: Đặt t = x2 - + I2: ln|x| 3 dx * Tương tự: 1/ I = ∫ x + 3x5 2/ I = ∫ dx x + 3x dx x − (x + k) xm xm + k = Tổng quát: I = ∫ n m dx = ∫ n m dx − ∫ n m dx x ( x + k ) k ∫ xn ( xm + k ) x (x + k) x (x + k) a a a a b b m b m b 1 1+ 1+ x2 + 1 x dx = b) I = ∫ dx = ∫ ∫ x2 dx Từ đặt t = x − x (ở bước đầu chia cho x ) x +1 1 x2 + (x − ) + x2 x 3 x −1 x2 −1 * Tương tự: 1/ I = ∫ dx 2/ I = ∫ dx x +1 x − x3 − x − x + 1 BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ x3 + dx 1/ I = ∫ x − 5x + x 3x + 3x + 2/ I = ∫ dx ( x + 2)( x − 1) 2 3x + 4/ I = ∫ dx ( x + 2)( x + 1) 3x + 5/ I = ∫ dx ( x + 1)3 1 7/ I = ∫ 3 3x dx x − 3x + 3/ I = ∫ 3 x dx ( x + 1) 8/ I = ∫ www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com 6/ I = ∫ 9/ I = dx dx x( x + 1) x3 dx x2 + dx ∫ x+x dx www.MATHVN.com Tích phân ơn thi đại học 10/ I = ∫ 1 dx dx x + x3 x dx (1 + x)3 13/ I = ∫ 11/ I = ∫ dx dx x +1 (3 x − 5) dx (1 + x)9 14/ I = ∫ www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com Võ Hữu Quốc 12/ I = ∫ x5 dx x2 + 1 dx ( x − 1)( x + 1)( x + 3) 15/ I = ∫ www.MATHVN.com Tích phân ôn thi đại học Võ Hữu Quốc B – TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC www.DeThiThuDaiHoc.com b Dạng 1: I = ∫ sin n x.cos m xdx a + Nếu n m lẻ: Đặt hàm số mũ chẵn t (Tức sinx = t cosx = t) + Nếu n, m lẻ: Đặt t = sinx t = cosx + Nếu n, m chẵn dùng cơng thức hạ bậc: sin x = − cos x + cos x , cos x = 2 Dạng 2: I = ∫ f [cos x].sin xdx - Hàm số ta đưa hết cosx lại sinx phần dư sau (cách nhận dạng số mũ sinx lẻ) Đặt t = cosx Các phép biến đổi: A1 = sin x = sin x.sin x = (1 − cos x) sin x ⇒ Tổng quát lên sin k +1 x.cos batki x = sin k x.cosbatki x.sin x = (1 − cos x) k cosbatki x.sin x (nhận dạng: sinx mũ lẻ) s inx s inx s inx = = 2k +2 k +1 sin x sin x (sin x) (1 − cos x) k +1 A3: Hàm số có chứa sin x = 2sin x cos x A2 = k +1 = π π 4 sin x dx 3sin x − sin x + 1 dx sin x áp dụng: 1/ I = ∫ 2/ I = ∫ π sin x + sin x dx cos x + 3/ I = ∫ Dạng số 3: I = ∫ f [sin x].cos xdx - Hàm số ta đưa hết sinx cịn lại cosx phần dư sau (cách nhận dạng số mũ cosx lẻ) Đặt t = sinx Các phép biến đổi: A1 = cos3 x = cos x.cosx = (1 − sin x)cosx ⇒ Tổng quát lên cos k +1 x.sin x batki x = cos k x.sin xbatki x.cos x = (1 − cos x) k sin x batki x.cos x (nhận dạng: cosx mũ lẻ) cos x cos x cos x = = 2k +2 k +1 cos x cos x (cos x) (1 − sin x)k +1 A3: Hàm số có chứa sin x = 2sin x cos x A2 = k +1 = π π 4 2/ I = ∫ dx cos x áp dụng: 1/ I = ∫ sin x.cos5 xdx π sin x + cos x dx sin x + 3/ I = ∫ Dạng số 4: I = ∫ f [sin x, cos x].sin xdx - Hàm số chứa sin x, cos x sin2x tách rời Cách biến đổi: Đặt t = f [sin x, cos x] - Chú ý: + (sin x) ' = sin x, (cos x) ' = − sin x + Đôi người ta không cho sin2x mà cho sinx.cosx ta biến đổi sinx.cosx = Ví dụ 8: a) I = π /2 sin x ∫ + cos x dx sin x Ta nhận thấy hàm số có chứa cos2x sin2x Đặt t = + cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ dx = dt đổi cận: x = pi/2 t = 1, x = t = − sin x sin x dt = − ln | t ||1 = ln 2 t − sin x Khi đó: I = ∫ www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com www.MATHVN.com Tích phân ôn thi đại học b) I = π /2 ∫ sin x cos x + 4sin x Võ Hữu Quốc 2 dx Ta nhận thấy hàm số có chứa đồng thời sin x, cos x sin2x Đặt t = cos x + sin x ⇒ t = cos x + 4sin x ⇒ 2tdt = (− sin x + sin x)dx ⇒ dx = 2tdt 3sin x Đổi cận: x = pi/2 t = 2, x = t = 1 sin x 2tdt 2 = t |1 = t 3sin x 3 1 Dạng 5: I = ∫ f (tan x) dx - Hàm số chứa tanx tách rời cos x cos x Khi đó: I = ∫ Cách biến đổi: Đặt t = tanx Ví dụ 9: a) I = π /4 ∫ (tan x + 1) dx cos x dx ⇒ dx = cos x.dt Đổi cận x = ⇒ t = 0, x = π / ⇒ t = cos x 1 (t + 1) Khi đó: I = ∫ cos xdt = ∫ (t + 1)2 dt = cos x 0 Đặt t = tan x ⇒ dt = Nhưng đề thi không cho cách đơn giản vậy, có nghĩa phải qua phép biến đổi nhận dạng lúc đầu chưa thấy có tanx π /4 (yêu cầu kỹ làm nhiều) cos x sin x b) I = ∫ dx Mới nhìn vào ta thấy có tanx có thêm sin x, cos x Ta cos x(tan x - tan x + 5) −π / cố gắng tìm cách đưa dạng, Ở ví dụ sau ta thấy điều đó: I= π /4 π /4  sin x  sin x dx = ∫   ∫/ cos4 x(tan x - tan x + 5) −π /  cos4 x tan x - tan x +  dx −π π /4 π /4  sin x  1   = ∫   dx = ∫  tan x  dx 2 cos x cos x tan x - tan x +  cos x tan x - tan x +  −π /  −π /  = π /4  tan x   ∫/  tan x - tan x + cos2 x  dx −π  Từ ta tổng quát số mũ sin tử nhỏ số mũ cos mẫu ta tách Chú ý: Các phép biến đổi thường dùng để đưa dạng A1 = 1 1 = = (1 + tan x) Từ làm cho thầy ??? 2 cos x cos x cos x cos x cos x Tổng quát lên cosx mũ chẵn ta giải hết cách (Nếu cosx mũ lẻ ta giải A2 dạng 3) ta chia tử mẫu cho cos2x a sin x + b sin x.cos x + c cos x + d 1/ cos x / cos x = = sin x sin x.cos x cos x d a tan x + b tan x + c + d (1 + tan x) a +b +c + cos x cos x cos x cos x A2 = www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com www.MATHVN.com Tích phân ơn thi đại học Võ Hữu Quốc 1 = (Chia tử mẫu cho asinx + b cos x + c asin x cos x + b(cos x − sin x ) + c(cos x + sin x ) 2 2 2 x co s ) 1 A4 = = 2 (phải dạng A2 chưa?) (a s inx + bcosx) a sin x + 2ab sin x cos x + b cos x 1 A5 = = = (Chia tử mẫu a + cosx a (sin x + cos x ) + (cos x − sin x ) (a − 1)sin x + (a + 1) cos x 2 2 2 A3 = cho?) A6 = 1 = = (Chia tử mẫu a + sinx a (sin x + cos x ) + 2sin x cos x asin x + 2sin x cos x + a cos x 2 2 2 2 cho?) Dạng 6: I = ∫ f (cot x) 1 dx - Hàm số chứa cotx tách rời sin x sin x Cách biến đổi: Đặt t = cotx Ví dụ 10: a) I = π /4 ∫ π /6 3cot x + 1 dx theo cách máy móc thấy hàm số chứa cotx ta sin x sin x đặt t = cotx Nhưng tinh ý ta đặt nguyên t toán đơn giản nhiều Không tin thử? Cũng giống dạng đề cho sẵn dạng, mà phải qua phép biến đổi A1 = 1 1 = = (1 + co t x) Từ làm cho thầy ??? sin x sin x sin x sin x sin x A2, A3, A4, A5, A6 Ở dạng ta giải cách cách không chia cho cos mà ta chia tử mẫu cho sin Thử coi? Từ ta có nhận xét: hầu hết tích phân hàm lượng giác mà tử số số giải cách dạng dạng asinx + b cos x + c dx - Hàm bậc sinx, cosx chia hàm bậc sinx,cosx a 'sin x + b 'cos x + c ' Hướng giải quyết: Tử = asinx + b cos x + c = A(a 'sin x + b 'cos x + c ') + B(a 'cos x − b 'sin x) + C Dạng 7: I = ∫ Ví dụ 11: I = π /2 ∫ sin x + cos x + dx sin x + 3cos x + Ta phân tích tử số: sin x + cos x + = A(4sin x + 3cos x + 5) + B (4 cos x − 3sin x) + C = (4 A − 3B )sin x + (3 A + B ) cos x + A + C  A − 3B =  Khi ta có hệ phương trình: 3 A + B = (tức ta cho hệ số sinx, cosx đầu cuối)  5A + C =  giải hệ phương trình ta được: A = 1, B = 1, C = Khi đó: I = π /2 ∫ = π /2 ∫ sin x + cos x + dx = sin x + 3cos x + π /2 4sin x + 3cos x + dx + 4sin x + 3cos x + π /2 ∫ ∫ (4 sin x + 3cos x + 5) + (4 cos x − 3sin x) + sin x + 3cos x + cos x − 3sin x dx + sin x + 3cos x + π /2 ∫ dx 4sin x + 3cos x + www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com www.MATHVN.com Tích phân ơn thi đại học I1 = π /2 ∫ I3 = π /2 ∫ sin x + 3cos x + dx = sin x + 3cos x + π /2 ∫ dx = π I2 = π /2 ∫ Võ Hữu Quốc cos x − 3sin x dx đặt t = mẫu sin x + 3cos x + dx quay lại A3 dạng 4sin x + 3cos x + MỘT SỐ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG TRONG TÍNH TÍCH PHÂN / sin x = sin x.cos x 2/ cos x = cos x − sin x = cos x − = − 2sin x − cos x + cos x − cos x / sin x = / cos x = ⇒ tan x = 2 + cos x 3sin x − sin x 3cos x + cos x / sin x = / cos3 x = 1 7/ = + tan x 8/ = + co t x cos x sin x 1 / sin x + cos x = − sin x = + cos 2 x = + cos x 2 4 10 / sin x + cos x = − sin x = + cos x 11 /1 + sin x = (sin x + cos x) 8 CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM QUAN TRỌNG / (sin x) ' = sin x / (cos x) ' = − sin x / (tan x) ' = = + tan x cos x / (co t x) ' = = + co t x sin x BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1/ I = π /2 ∫ sin x.cos x(1 + cos x)2 dx 2/ I = π /2 ∫ 4/ I = π /2 ∫ π /2 ∫ 10/ I = 13/ I = sin x.cos x dx + cos x cos3 x dx + sin x π /2 ∫ π /4 ∫ 5/ I = ∫ 16/ I = 8/ I = π /2 ∫ 11/ I = (tan x + esin x cos x)dx 14/ I = 19/ I = ∫e 6/ I = ∫ 3sin x + cos x dx 9/ I = 3sin x + cos x π /2 ∫ π /2 ∫ cos x dx + cos x sin x dx x sin x sin xdx 17/ I = π /4 ∫ 20/ I = π /2 ∫ tan xdx π /3 ∫ sin x tan xdx 12/ I = (esin x + cos x) cos xdx π /2 ∫e cos x sin xdx 15/ I = ∫ + cos π /2 4sin x sin x + sin x dx + 3cos x π /12 sin x dx + cos x π /4 ∫ + cos x dx I= π /2 π /2 7/ I = 3/ I = tan xdx π /2 ∫ − sin x dx + sin x cos x dx + cos x 18/ I = π /3 ∫ sin x dx − cos x cos x dx + cos x 21/ π /2 ∫ sin x(1 + sin x)3 dx 22/ I = π /2 ∫ cos x + cos x dx 23/ I = π /2 ∫ cos x(sin x + cos x)dx 24/ I = www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com π /2 ∫ sin x.cos3 x dx + cos x www.MATHVN.com Tích phân ơn thi đại học 25/ I = π /2 ∫ I= sin x dx + cos x 26/ I = π /2 sin x ∫ + cos x Võ Hữu Quốc 27/ dx π /2 ∫ sin x(1 + sin x)3 dx 28/ I = π /2 ∫ 34/ I = π /4 ∫ π /4 ∫ 37/ I = 40/ I = 43/ I = 46/ I = π /6 ∫ ∫ π I= ∫ dx dx dx sin x + 2sin x cos x − cos x tan x dx cos x 4π /3 sin x dx π /2 ∫/4 sin xdx π π /3 − π /4 cos x + sin x dx cos x 31/ I = sin x dx sin x + cos x /3 ∫ π 29/ I = π /2 ∫ 32/ I = 35/ I = cos x + s in x 2 dx π /4 ∫ tan π /4 ∫ 38/ I = sin x cos x xdx sin x dx (tan x + 1) c os5 x π /2 ∫ + sin x dx 30/ I = π /2 33/ I = 36/ I = π /4 ∫ tan π /6 ∫ 39/ I = π /4 ∫ 41/ I = π /2 π /2 dx ∫ + cos x 42/ I = 44/ I = π /2 ∫ π 3cot x + dx sin x π /2 ∫ xdx tan x dx cos x dx (sin x + cos x) dx − cos x π /4 cot x /4 47/ I = ∫ + tan x dx e ∫ π sin /4 x dx 45/ I = ∫ π sin /6 dx x cot x 48/ cos x dx (sin x + cos x + 2)3 49/ I = π /4 ∫ 52/ I = π /2 ∫ π /4 55/ I = π /2 ∫ π /2 cos x dx sin x + cos x + sin x + cos x dx sin x − cos x cos x dx (sin x − cos x + 3)3 sin x 57/ I = ∫ dx π /4 sin x + cos x π /2 sin x − cos x 50/ I = ∫ dx π /4 sin x + cos x 53/ I = 56/ I = π /3 sin x + cos x dx + sin x /4 ∫ π 51/ I = π /2 dx ∫ π + sin x /4 54/ I = π /2 sin x − cos x dx + sin x /4 ∫ π π /2 sin x − cos x dx + sin x /4 ∫ π π /2 sin x 58/ I = ∫ dx π /4 sin x + cos x www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com 59/ I = π /2 ∫ π /4 sin x dx sin x + cos x www.MATHVN.com Tích phân ơn thi đại học Võ Hữu Quốc C - TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ (CHỨA CĂN) www.DeThiThuDaiHoc.com b Dạng 1: I = ∫ f ( x; x − k )dx - Hàm số có chứa x2 − k a x − k = t − x ⇒ x − k = (t − x)2 ⇒ x − k = t − xt + x ⇒ x = Hướng giải quyết: đặt x2 Ví dụ 1: I = ∫ dx Nếu đặt t = việc giải khó khăn x2 − t2 + k 2t Khi ta định hướng đặt x2 − = t − x x − = t − x ⇒ x − = (t − x) ⇒ x − = t − xt + x ⇒ x = t2 + t2 − ⇒ dx = ( )dt 2t 2t  t2 +   3+  3+ 3+ (t + 3)2 2t (t − 3) (t + 3)(t − 3)  2t  t − dt = I= ∫ ∫ −(2t )2 (t + 3) 2t dt = ∫ −(2t )2 t dt t + 2t 3 t− 2t Đến việc giải tiếp dành cho em!!! Dạng 2: I = ∫ ( x + a)( x + b)dx - Hàm số có chứa ( x + a)( x + b) Hướng giải quyết: t = x + a+b Ví dụ 2: I = ∫ ( x + 1)( x + 3)dx Đặt t = x + 1+ = x + ⇒ dt = dx , x + = t − 1, x + = t + 3 2 I = ∫ (t − 1)(t + 1)dx = ∫ t − 1dx Hình quay dạng hehe!!! Dạng 3: I = ∫ dx, a < b ( x − a )(− x + b) π Hướng giải quyết: x = a + (b − a) sin t , (0 < t < ) dx = 2(b − a ) sin t cos tdt x − a = (b − a ) sin t , − x + b = (b − a )(1 − sin t ) = (b − a )cos t I= ∫ 2(b − a ) sin t cos t (b − a ) sin t cos t Ví dụ 3: I = ∫ dt = ∫ 2dt = 2t − x + 3x + Ta phân tích: I = ∫ dx − x + 3x + dx = ∫ dx Trình bày lời giải cho thầy ( x + 1)(− x + 4) Nhưng phương trình vơ nghiệm chắn cách khơng giải được!!!! www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com www.MATHVN.com Tích phân ơn thi đại học Võ Hữu Quốc Dạng I = ∫ f ( x; a − x )dx - Hàm số có chứa a − x Hướng giải quyết: Đặt x = a sin t 1 Ví dụ 4: I = ∫ dx đặt x = sin t , trình bày lời giải tiếp − x2 Ta quay lại với trường hợp phương trình vơ nghiệm, coi cách có giải khơng? 1 Ví dụ 5: I = ∫ dx phương trình vơ nghiệm có hệ số a < − x2 + x + Thử biến đổi: − x + x + = −( x − x + 1) + = − ( x + 1) I =∫ 1 dx = I = ∫ x2 + x + − ( x + 1)2 dx đặt x + = sin t thử coi khơng? Từ đặt câu hỏi: vơ nghiệm hệ số a dương tốn giải nào? Dạng 5: I = ∫ f ( x; x + a )dx Hướng giải quyết: có cách Cách 1: đặt x = a tan t Cách 2: đặt x + a + x = t 1 Ví dụ 6: I = ∫ x +3 dx cách 1: đặt x = tan t ⇒ dx = 3(1 + tan t )dt đổi cận x = 0, t = 0: x = 1, t = π / 1 đó: I = ∫ x +3 dx = π /6 ∫ 3(1 + tan t )dt ( tan t ) + = π /6 ∫ 3(1 + tan t )dt 3(tan t + 1) = π /6 ∫ x + + x = t ⇒ x + = t − x ⇒ x + = (t − x)2 ⇒ x = cách 2: đặt + tan tdt = π /6 ∫ cosx dx = ??? t2 − t2 + ⇒ dx = dt 2t 2t đổi cận: x = 0, t = : x = 1, t = t2 + dx = ∫ dt = t − 2t x2 + 3t− 2t đó: I = ∫ 2t t + ∫ t + 2t dt = 3 ∫ t dt = ln t | 3 = ln 3 Ví dụ 7: Đề khơng cho sẵn trên, bước tính cuối tích phân I =∫ x + 2x + dx - vô nghiệm hệ số a dương Ta biến đổi: x + x + = ( x + 1)2 + I = ∫ x + 2x + dx = ∫ ( x + 1) + cách 1: x + = tan t Giải tiếp cách 2: ( x + 1) + + ( x + 1) = t Giải tiếp (ta xem x + x ví dụ 6) Dạng 6: I = ∫ (a ' x + b ') ax + bx + c dx www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com 10 www.MATHVN.com Tích phân ôn thi đại học Hướng giải quyết: đặt t = a'x + b' dx or ax + b + ax + c Dạng 7: I = ∫ Võ Hữu Quốc ∫ dx ax + b − ax + c Hướng giải quyết: nhân cho lượng liên hợp (nếu cộng nhân tử mẫu cho dấu trừ ngược lại) Dạng 8: I = ∫ xn xm + k dx xm + k (cách sử dụng hiệu đặt t = không được) x hướng giải quyết: đặt t = Tổng kết lại - Hướng thứ nhất: đặt t = - Hướng thứ hai: đặt t = x - Hướng thứ ba: dựa vào bảng sau Dấu hiệu Cách chọn  π π Đặt x = |a| sint; với t ∈  − ;   2 x = |a| cost; với t ∈ [0; π ] a2 − x2  π π ; với t ∈  − ;  \ {0} sint  2 a π  x = ; với t ∈ [0; π ] \   Đặt x = x2 − a2 a 2  π π Đặt x = |a|tant; với t ∈  − ;   2 x = |a|cost; với t ∈ ( 0; π ) cost a2 + x2 a+x a−x a−x a+x Đặt x = acos2t ( x − a )( b − x ) Đặt x = a + (b – a)sin2t  π π Đặt x = atant; với t ∈  − ;   2 a + x2 BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ 1/ I = ∫x ∫ 4/ I = 3/ 7/ I = ∫ dx x2 + dx (1 + x )3 dx x4 + x2 2/ I = ∫ x3 3 5/ I = x2 + ∫x −1 8/ I = ∫ −3 dx dx 33 3/ I = ∫ x3 − x dx − x3 dx x + + ( x + 4)3 www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com 6/ I = ∫ 9/ I = ∫ dx x(1 + x ) x − dx x+2 x+2 11 www.MATHVN.com Tích phân ơn thi đại học 10/ I = ∫ x−4 dx x + (2 − x)2 14/ I = x +1 dx 19/ I = ∫ x − xdx 17/ I = x +1 ∫ x 1− x dx 25/ I= ∫ 28/ I = ∫ 31/ I = ∫ x -3x+2 dx -x - 2x + dx 3x + + 3x + dx x4 + x2 23/ I = ∫ x + x +1 29/ I = ∫ x + x + 1.dx 32/ I = ∫ x x2 + dx 18/ I = ∫ x5 − x dx x +2x+1 ∫ 21/ I = ∫ dx 26/ I= ∫ 15/ I = dx ( x + 1) −1 dx dx x +1 dx 20/ I = ∫ dx x(1 + x ) x3 16 12/ I = ∫ 3 3/ ∫ x + 2x x4 16/ I = ∫ 22/ I = ∫ 2 11/ I = ∫   13/ I = ∫ x (1 + x )5 dx x −1  dx   x +  ( x − 1) Võ Hữu Quốc 24/ dx x + x3 dx ∫ ( 2x + 4) 27/ I = ∫ x2 + x dx x2 + x + 1 30/ I = ∫ − x − x + 3.dx dx 2x + − 2x + www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com 12 ... vô nghiệm hệ số a dương toán giải nào? Dạng 5: I = ∫ f ( x; x + a )dx Hướng giải quyết: có cách Cách 1: đặt x = a tan t Cách 2: đặt x + a + x = t 1 Ví dụ 6: I = ∫ x +3 dx cách 1: đặt x = tan t... nhận xét: hầu hết tích phân hàm lượng giác mà tử số số giải cách dạng dạng asinx + b cos x + c dx - Hàm bậc sinx, cosx chia hàm bậc sinx,cosx a ''sin x + b ''cos x + c '' Hướng giải quyết: Tử = asinx... dt = ∫ 2dt = 2t − x + 3x + Ta phân tích: I = ∫ dx − x + 3x + dx = ∫ dx Trình bày lời giải cho thầy ( x + 1)(− x + 4) Nhưng phương trình vơ nghiệm chắn cách khơng giải được!!!! www.MATHVN.com