Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân

Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. CHUYÊN ĐỀ: “ CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT ĐỀ TÍNH MỘT SỐ TÍCH PHÂN” Tác giả: Trần Hùng Quân Chức vụ: Giáo viên Toán Đối tượng: Lớp 12. Dự kiến dạy trong 02 buổi chuyên đề 1 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. A - ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong các đề thi đại học những năm gần đây luôn có một câu về tích phân. Các bài toán trong các đề thi đại học, phần lớn được giải theo phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp tích phân từng phần. Tuy là nói chắc chắn chỉ sử dụng một trong hai phương pháp trên nhưng cách đổi biến trong phương pháp đổi biến số và cách đặt u và v’ trong tích phân từng phần thì ngày càng đa dạng, biến hóa. Để giúp học sinh hiểu rõ và sâu sắc hơn về các cách đặt trên trong quá trình tính tích phân, tôi xin trình bày “ Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân”. Để nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này có tính thực tiễn trong công tác giảng dạy chung của nhà trường, rất mong được sự đóng góp ý kiến xây dựng và bổ sung của các đồng chí trong tổ chuyên môn và các đồng nghiệp khác II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1. Thực trạng : Sau một thời gian dạy học môn toán ở khối 12 phần tích phân ở trường tôi. Tôi nhận thấy một số vấn đề nổi cộm như sau: Vấn đề thứ nhất: Trong sách giáo khoa lớp 12 phần tích phân sách cơ bản trình bày rất sơ lược và tóm tắt, sách giáo khoa 12 nâng cao thì trình bày rõ ràng hơn song chỉ dừng lại ở các bài tập sử dụng phương pháp đổi biến hay tích phân từng phần đơn giản so với các đề thi đại học. Vấn đề thứ hai: Hệ thống bài tập khá cơ bản chưa thực sự nâng cao để gây hứng thú cho các đối tượng học sinh khá giỏi. Vấn đề thứ ba: Trong quá trình giảng dạy tại trường tôi nhận thấy học sinh thực hiện tính toán bài tích phân thường dài, phức tạp và dễ dàng mắc sai lầm trong quá trình biến đổi. Cụ thể qua các bài kiểm tra định kì, kiểm tra thường xuyên ở lớp 12I, 12G tôi thấy học sinh lúng túng trong việc thực hiện tính tích phân, đặc biệt là một số tích phân đòi hỏi sự biến đổi lắt léo. 2.Kết quả của thực trạng: 2 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. Tôi đã cho tiến hành khảo sát ở hai lớp 12 năm học 2012 - 2013 đối với lớp 12I, 12G tại π 2 x sin x dx ”. sin x + x cos x 0 trường THPT Trần Phú về bài tính tích phân:“ I = ∫ Kết quả thu được như sau: Điểm Điểm Điểm Điểm 9-10 7-8,5 5-6,5 3-4,5 Lớp Sĩ số 12I 45 7(16%) 9(20%) 25(56%) 4(8%) 12G 45 5(11%) 8(18%) 25(56%) 7(15%) Từ thực trạng trên, để giúp các em có thể thực hiện nhanh gọn tính một bài tích phân có tính chất đặc biệt, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, sắp xếp, phân loại các dạng toán tính tích phân đặc qua sáng kiến kinh nghiệm : B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I-CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. Vi phân. 1.1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) ⇒ df ( x ) = f '( x)dx 2.2 Tính chất: d ( kf ( x ) f + C ) = kdf ( x ) = kf '( x )dx ⇒ f '( x )dx = df ( x ) = 1 d (kf ( x ) + C ) k 2. Phương pháp đổi biến số: 2.1. Phương pháp đổi biến số thứ nhất. b Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ∫ f ( x)dx ta thực hiện các bước sau: a Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx = u / (t )dt . Bước 2. Đổi cận: x = a ⇒ t = α , x = b ⇒ t = β . β b Bước 3. ∫ a f ( x )dx = ∫ α β f [u (t )]u / (t )dt = ∫ g (t )dt . α 2.2. Phương pháp đổi biến số thứ hai. 3 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. b Để tính tích phân ò f [u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau: / a Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u/ (x)dx . Bước 2. Đổi cận: x = a Þ t = u(a) = a, x = b Þ t = u(b) = b . b Bước 3. b ò f [u(x)]u (x)dx = ò f (t)dt . / a a b b ò f (x)dx = ò f (t)dt 2.3. Tính chất : a a 3. Phương pháp tích phân từng phần: 3.1. Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có ( uv) / = u/ v + uv/ Þ ( uv) / dx = u/ vdx + uv/ dx b Þ d ( uv ) = vdu + udv Þ b òd(uv) = òvdu + òudv a Þ uv b a b Công thức: ò udv = uv b a a b a b òvdu + òudv Þ òudv = uv = a b b a a b a b - òvdu . a b - a ò vdu (1). a Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b ò f (x)g (x)dx = f (x)g(x) / b a a b - òf / (x)g(x)dx (2). a 3.2. Phương pháp giải toán b Giả sử cần tính tích phân ò f (x)g(x)dx ta thực hiện a Cách 1. Bước 1. Đặt u = f (x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân b / du = u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân ò vdu phải tính được. a Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Cách 2. b Viết lại tích phân b ò f (x)g(x)dx = ò f (x)G (x)dx / a và sử dụng trực tiếp công thức (2). a II- GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN: 1. Các giải pháp thực hiện. 4 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. 1.1. Hệ thống những kiến thức cơ bản sách giáo khoa, bổ sung kiến thức học sinh thiếu hụt. 1.2. Đưa ra hệ thống bài tập phù hợp với phương pháp. 1.3. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, lựa chọn phương pháp hợp lí. 1.4. Với từng phương pháp đưa ra ví dụ hướng dẫn giải cụ thể và lưu ý với từng phương pháp. 2. Các biện pháp để tổ chức thực hiện. 2.1. Sử dụng vi phân để tính tích phân. b b a a 2.1.1 Dạng 1: I = ∫ f (u ( x))u '( x)dx = ∫ f (u ( x))du ( x)  Ví dụ: Tính các tích phân sau: 1 1 1 xdx 1 d (4 x 2 + 3) 1 1 A=∫ 2 = ∫ = ln 4 x 2 + 3 = ln 7 2 4x + 3 8 0 4x + 3 8 8 0 0 2 B = ∫ ln x 1 π 4 C=∫ 0 2 2 dx 1 1 = ∫ ln xd (ln x ) = ln 2 x = ln 2 2 1 x 1 2 2 π 4 tan x cos x 1 + cos 2 x dx = ∫ 0 π 1 1 4 d (tan 2 x + 2) 1 2 2 d (tan x) = ∫ = (tan x + 2) 1 2 20 4 tan x + 2 (tan 2 x + 2) 2 tan x π 4 0 1 = ( 3 − 2) 4  Nhận xét: - Qua các ví dụ trên ta thấy việc đưa biểu thức vào vi phân thực hiện tính tích phân đơn giản ngắn gọn. - Tùy thuộc vào bài mà đưa biểu thức vào vi phân nhiều lần.  Bài tập áp dụng: 1 A=∫ 0 2 xdx B=∫ 3x 2 + 1 1 ( ln x + 1) x π 2 2 e x sin x ln x(ln x + 1) dx D = ∫ dx 3 sin x + x cos x ln x + x + 1 ( ) 0 1 dx C = ∫ f ( x ) .g ( x ) + kf ' ( x ) dx f ( x)  Bài toán 1: Tính tích phân sau b 2.1.2 Dạng 2: I = ∫a π 4 A=∫ 0 x sin x + ( x + 1) cos x dx (Đại học khối A 2011) x sin x + cos x Ta có: ( x sin x + cos x ) ' = sin x + x cos x − sin x = x cos x . Khi đó: x sin x + ( x + 1) cos x = ( x sin x + cos x ) + x cos x . Như vậy : π 4 π 4 π 4 π d ( x sin x + cos x ) x cos x   4 + ln x sin x + cos x = x I = ∫ 1 + ÷dx = ∫ dx + ∫ x sin x + cos x 0 x sin x + cos x  0 0 0 5 π 4 0 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. = π 1 π  + ln  + 1÷ 4 24   Nhận xét : Dựa trên ý tưởng của bài toán trên, tôi xin trình bày một lớp các bài toán b thuộc dạng: I = ∫ a f ( x) dx . Ta sẽ biến đổi: f ( x ) = h ( x ) .g ( x ) + a.g ' ( x ) . Tùy từng bài g ( x) toán mà có những cách biến đổi khác nhau. Ta xột cỏc bài toỏn sau đây :  Bài toán 2 : Tính tích phân sau I = ∫ sin 2 x + ln x + x sin 2 x ln x dx 1 + x ln x e 1 Ta có: e e d ( 1 + x ln x ) 1 + ln x  e cos 2 x  I = ∫  sin 2 x + + ln ( 1 + x ln x ) 1 ÷dx = ∫ sin 2 xdx + ∫ 1 + x ln x = − 1 + x ln x  2 1 1 1 1 e e 1 = (cos 2 − cos 2e) + ln(e + 1) 2  Bài toỏn 3 : Tính tích phân sau I = ∫ e (x 2 + 1) + ( x 3 + x ln x + 2 ) ln x 1 + x ln x 1 dx e e e d ( 1 + x ln x ) 1 + ln x   2 2 I = ∫  x + ln x + ÷dx = ∫ x dx + ∫ ln xdx + ∫ 1 + x ln x 1 + x ln x  1 1 1 1 e e e3 − 1 e3 − 1 = + 1 + ( 1 + x ln x ) 1 = +1+ e 3 3  Bài toỏn 4 : Tính tích phân sau  2e x ( x + 1) x x Ta có: I = ∫ 1 + 2e + xe − 1 + xe x 0 1 1 + ( 2 + x ) xe 2 x dx 0 1 + xe x I =∫ 1 1 1 1  d ( 1 + xe x ) x ÷dx = ∫ dx + ∫ e ( x + 2 ) dx − 2 ∫ 1 + xe x  0 0 0 (3.1) 1 Đặt I 3.1 = ∫ e x ( x + 2 ) dx Chọn u = x + 2 ⇒ du = dx ; dv = e x dx ⇒ v = e x 0 1 1 1 0 0 0 I 3.1 = e x ( x + 2 ) − ∫ e x dx = e x ( x + 1) = 2e − 1 . I 3.2 = ∫ 1 0 d ( 1 + x.e x ) 1 + x.e x (3.2) ⇒ I 3.1 = ln ( 1 + x.e x ) = ln ( 1 + e ) 1 (3.3) 0 Từ (3.1), (3.2) và (3.3) ta có: I = 1 + 2e − 1 + ln ( 1 + e ) = 2e + ln ( 1 + e ) 6 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân.  Bài tập áp dụng: A=∫ e 1 C=∫ π 4 π 6 2 ( 1 + ln x ) + x ln x ( 1 + ln x ) dx 1 + x ln x B=∫ ln 2 (x D=∫ + 2 ) e2 x + x 2 ( 1 − e x ) − e x e2 x − e x + 1 0 2 x cos x + ( x − 2 ) sin x dx x cos x − sin x 2 e 1 1 − x ( e x − 1) x ( 1 + xe x ln x ) dx dx 2.2. Sử dụng phương pháp đổi biến số. 2.2.1. Đổi biến để tạo tích phân lặp. 5 ( ) 3 3 2  Bài toán 1: Tính tích phân I= ∫ x − 3x + 2 dx −3  Khi gặp bài toán này, chắc chắn rằng tất cả chúng ta đều nghĩ cách khai triển biểu thức dưới dấu tích phân để đưa về các tích phân cơ bản để tính. Đó là một cách suy nghĩ thường hay gặp phải. Nhưng hãy thử làm xem sao, và hãy thử thay (x 3-3x2+2)3 bằng (x3-3x2+3)7 , (x3-3x2+3)9 .... rồi tính .Sau đó chúng ta nghiên cứu lời giải sau: dx = − dt  Lời giải: Đặt x=2-t ⇒  x = −3 : t = 5  x = 5 : t = −3  −3 ⇒ I = − ∫ ( (2 − t ) − 3(2 − t ) + 2 ) dt = 3 2 3 5 5 5 ∫ ( −t −3 3 5 + 3t − 2 ) dt = − ∫ ( t 3 − 3t 2 + 2 ) dt 2 3 3 −3 = − ∫ ( x 3 − 3 x 2 + 2 ) dx = − I ⇒ 2 I = 0 ⇔ I = 0 3 −3  Khi đọc xong lời giải trên chắc chắn nhiều người sẽ đặt câu hỏi :’’ Tại sao lại đổi biến như vậy?’’. Để tìm câu trả lời chúng ta sẽ nghiên cứu tiếp bài toán sau: a  Bài toán 2: Cho f(x) là hàm lẻ, liên tục trên [-a; a]. Chứng minh rằng ∫ f ( x)dx = 0 −a  Đây là một bài tập khá quen thuộc với học sinh khi học tích phân và nhiều học sinh đã biết cách giải. Xong chúng ta hãy xem kỹ lời giải sau để “ phát hiện” ra vấn đề. dx = − dt  Lời giải: Đặt x =- t ⇒  x = −a : t = a  x = a : t = −a  a ⇒I= ∫ −a a ⇒I= ∫ −a −a f ( x)dx = − ∫ f ( −t ) dt = a a ∫ f (−t )dt . Do f(x) là hàm lẻ nên f(-x)=-f(x) do đó −a a a −a −a f (−t )dt = − ∫ f (t )dt = − ∫ f ( x)dx = − I ⇒ 2 I = 0 ⇒ I = 0  Qua hai bài toán trên, điểm chung của cách đổi biến ở đây là gì? Câu trả lời là: Đổi biến nhưng không làm thay đổi cận của tích phân. Vậy sử dụng suy nghĩ này vào bài toán thực tế như thế nào ?  Bài toán 1, 2 có thể tổng quát thành : 7 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. b Nếu hàm f (x) liên tục và thoả mãn: f(a+b-x) =-f(x) thì ∫ f ( x)dx = 0 . a b ∫ f ( x)dx Từ đó ta có cách đặt tổng quát khi gặp tích phân mà không thay đổi cận là đặt a x=a+b-t.  Bài toán 1 còn có cách giải khác khá hay để dẫn tới một “ suy nghĩ” mới như sau: dx = − dt −4 4 3 3  3 2 3 ⇒ x = − 3 : t = 4 ⇒ I = − (1 − t ) − 3(1 − t ) + 2 dt = − t + 3 t dt = 0 . ( ) ( ) Đặt x=1- t  ∫4 ∫−4  x = 5 : t = −4  (Sử dụng kết quả chứng minh của bài toán 2 do f(t)=-t3+3t là hàm số lẻ).  Vậy “ suy nghĩ” mới ở đây là gì? Việc đổi biến đã dẫn đến tích phân có cận “đối xứng”. Trong trường hợp tổng quát để dẫn đến cận “ đối xứng” khi gặp tích phân b ∫ f ( x)dx chúng ta hãy đặt x = a a+b − t .Bây giờ chúng ta cùng vận dụng suy nghĩ đó để 2 giải một số bài toán sau:  Bài toán 3: Tính tích phân I = π 4 sin 6 x + cos 6 x dx . 6x + 1 ∫ − π 4  dx = − dt  π π  ⇒ Lời giải: Đặt x= -t x = − : t = 4 4  π π   x = 4 : t = − 4 ( cách đặt này đã không làm thay đổi cận của tích phân) . − π 4 Khi đó I = − ∫ π 4 ⇒ 2I = π 4 ∫6. − = x π 4 π 4 sin (−t ) + cos (−t ) dt = 6− t + 1 6 sin x + cos x dx + 6x + 1 6 ∫ ( 1 − 3s in − π 4 6 6 2 x cos 2 x ) dx = π 4 ∫ − π 4 π 4 π 4 ∫ − 6t. π 4 sin x + cos x dx = 6x + 1 6  6 3 ∫ 1 − 4 s in − sin t + cos t dt = 6t + 1 6 π 4 2 6 π 4 ∫ ( sin − π 4 6 π 4 ∫ − π 4 6 x. sin 6 x + cos 6 x dx 6x + 1 x + cos 6 x ) dx π 4 π 4   3  5 3  2 x ÷dx = ∫ 1 − s in 2 2 x ÷dx = ∫  + cos 4 x ÷dx 4 8    π  π 8 − − 4 4 π 5 x 3 5   =  + sin 4 x ÷ 4 = .  8 32  - π 16 4  Bài toán3 có dạng tổng quát sau: b Nếu f(x) là hàm số liên tục, chẵn thì I = 8 b b f ( x) 1 x f ( x) ∫−b a x + 1 dx = −∫b a a x + 1 dx ⇒ I = 2 −∫b f ( x)dx Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. π x sin x  Bài toán 4: Tính tích phân I = ∫ cos 2 x − 4 dx 0  Thông thường khi gặp tích phân trên, hầu hết chúng ta đều nghĩ đến phương pháp tính tích phân từng phần. Xong chúng ta hãy thử làm như thế và so sánh với lời giải sau:  dx = −dt  Lời giải : Đặt x = π − t ⇒  x = 0 : t = π x = π : t = 0  0 Khi đó I = − ∫ π π π π π (π − t )sin(π − t ) (π − t )sin t sin t t sin t dt = ∫ dt = π ∫ dt − ∫ dt 2 2 2 2 cos (π − t ) − 4 cos t − 4 cos t − 4 cos t − 4 0 0 0 π π sin x x sin x sin x =π∫ dx − ∫ dx = π ∫ dx − I 2 2 cos x − 4 cos x − 4 cos 2 x − 4 0 0 0 π π sin x π sin x dx ⇔ I = ∫ dx 2 cos x − 4 2 0 cos 2 x − 4 0 ⇒ 2I = π ∫  sinxdx = −dt π −1 dt π 1 dt π t −2 1 π ln 3  = ∫ = ln =− Đặt cosx = t ⇒  x = 0 : t = 1 ⇒ I = − ∫ 2 2 1 t − 4 2 −1 (t − 2)(t + 2) 8 t + 2 −1 4  x = π : t = −1   Bài toán 4 có thể tổng quát như sau:Cho hàm số f(x) liên tục và thoả mãn: b b a+b xf ( x ) dx = f ( x)dx f(a+b-x) = f(x) . Khi đó ∫ ∫ 2 a a 2  Bài toán 5: Tính tích phân I = ∫ 1+ 1 xdx ( Đề thi khối A năm 2004) x −1  Với bài toán trên, cách đặt như thế nào để không thay đổi cận của tích phân? Lời giải: Đặt t = 1 + x − 1 dx = 2(t − 1) dt  Khi đó x -1 = (t -1) hay x=(t -1) + 1 ⇒  x = 1: t = 1 ( cách đặt này đảm bảo cận không đổi !) x = 2 : t = 2  2 2 ⇒ 2∫ 1 (t − 1) (t − 1) 2 + 1 t 2 2 2 t 3 − 3t 2 + 4t − 1 1  .dt = 2∫  t 2 − 3t + 4 − ÷.dt t t 1 1 .dt = 2 ∫  t3 2 5 t2 = 2  − 3 + 4t − ln | t | ÷ = − 2 ln 2 . 2 3 1 3 b  Bài toán 5 có thể tổng quát dạng ∫ a p( x) dx với p(x) là đa thức chứa biến mx + n + c x; m,n,c là các hằng số . Ta có thể đặt t = mx + n + c hoặc t = mx + n . π 2 sin 3 x dx sin x + cos x 0  Bài toán 6: Tính tích phân I = ∫ 9 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân.  dx = −dt  π π  Lời giải: Đặt x = − t ⇒  x = 0 : t = 2 2  π   x = 2 : t = 0 π π π  sin 3  − t ÷ 0 3 2 2 co s t co s3 x 2  I = −∫ dt = ∫ dt = ∫ dx = J sin t + cos t sin x + cos x π  π  π 0 0 sin  − t ÷+ cos  − t ÷ 2 2  2  π 2 π 2 π 2 π 2 sin x co s x sin x + co s x dx + ∫ dx = ∫ dx = ∫ (1 − sin x.cos x) dx sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x 0 0 0 0 3 ⇒ I+J = ∫ 3 3 3 π 2 π 1 1 π 1   = ∫ (1 − sin 2 x)dx =  x + co s 2 x ÷ 2 = − . 2 4  0 2 2 0 I = J π −1  Vậy  π −1 ⇒ I = 4  I + J = 2  Bài toán 6 có thể tổng quát thành các dạng sau: b sin mx ∫a sin mx + cos mx dx  π 2 k ; ∫ 0 n n sin m ax sin m ax + n cos m ax Bài tập áp dụng: 1 4x − 3 dx 3x + 1 + 2 I1 = ∫ 0 1  I3 = ∫  lg −1  ) ( 3 x 2 + 1000 + x −  dx 2 2004 I5 = ∫ (x −2000 π 4 I7 ∫ − π 4 1 3 I4 = sin x.sin 2 x.cos 3 x dx 2x + 1 π 3 I10 = ∫ x(tgx + cot gx)dx π 6 ) ( x 2 + 1 + x dx ∫ cos x.ln ( x + I6 = ∫ e x 2 −4 x+7 −1 1 dx I8 = ∫ x (e + 1)( x 2 + 1) −1 π x sin x I11 = ∫ dx cos 2 x + 1 0 I9 = (x π 2 ∫ − π 2 π 2 I12 = ∫ 0 3 ) x 2 + 1 dx π 2 5 5 lg 3 −1 π 2 − − 6 x + 16 ) dx 2 ∫ I2 = − 6 x + 16 ) 2 n +1 dx sin x.sin 2 x.cos 5 x dx ex + 1 sin x dx sin x + cos x 2.2.2. Sử dụng tích phân phụ.  π 2 sin xdx Bài toán 1: Tính tích phân I = 6∫ 0 sin x + 3 cos x 10 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. π 2 cos xdx Xét tích phân J = 6∫ ta có : 0 sin x + 3 cos x π π π π π π sin( x + ) dx d cos( x + ) 6 6 dx dx 16 16 1 3 3 I+J = ∫ = ∫ = ∫ = ∫ π π π 2 2 2 2 2 0 sin x + 3 cos x 0 sin( x + ) 0 sin ( x + ) 0 cos ( x + ) − 1 3 3 3 π π cos( x + ) −1 6 1 1 3 = ln = ln 3 4 4 cos( x + π ) +1 3 0 π π 6 I − 3 J = ∫ (sin x − 3 cos x ) dx = − cos x − 3 sin x 6 = 1 − 3 0 0 1 1− 3 I = ln 3 + Suy ra : 16 4 ( )  Bài toán 1 có thể tổng quát hóa thành bài toán sau: β β a cos 2 mx dx b sin mx + c cos mx α a sin 2 mx I =∫ dx b sin mx + c cos mx α  hoặc I = ∫ π 2 sin x dx sin x + 2 cos x 0 Bài toán 2: Tính tích phân I = ∫ π 2 cos x dx sin x + 2 cos x 0 Xét tích phân J = ∫ π 2 π 2 Ta có I + 2 J = ∫ dx = π ; J − 2 I = ∫ cos x − 2sin x dx = ln sin x + 2 cos x 2 = − ln 2 0 0 2 0 π sin x + 2 cos x 1 π 5 2 Suy ra : I = ( + 2 ln 2)  Bài toán 2 có thể tổng quát thành bài toán sau: β β a sin mx I =∫ dx b sin mx + c cos mx α a cos mx dx α b sin mx + c cos mx I =∫ hoặc 1  e x dx e x + e− x 0 Bài toán 3: Tính tích phân M = ∫ e − x dx Ta sử dụng tích phân N = ∫ x − x e +e 0 2 Vậy : M = ln e + 1 + 1 2e 1 2 .Khi đó ta có : M + N = 1 và M − N = ln e + 1 2e 11 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. β ae mx dx be mx + ce − mx α Bài toán 3 có thể tổng quát hóa thành bài toán sau: M = ∫   Nhận xét : Thay cho việc tính trực tiếp tích phân ban đầu phức tạp, ta sử dụng một tích phân phụ để tạo các tích phân mới, dễ dàng trong quá trình tính toán. Tính từng tích phân sau đó quay về tính tích phân ban đầu.  Bài tập áp dụng: Tính các tích phân sau đây: π 4 π 2 2 cos 2 x I1 = ∫ dx 2sin 2 x + 3cos 2 x 0 1 4sin x I2 = ∫ 0 ( sin x + cos x ) 3 e 2 x dx I 3 = ∫ x −2 x 3e + e 0 dx 2.3. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần. 2.3.1 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần lặp lại tích phân ban đầu.  π 0 Bài toán 1: Tính tích phân I = ∫ e3 x sin 5 xdx 0 du = 3e3 x dx u = e3 x  ⇒ Ta đặt  1  dv = sin 5 xdx v = − cos 5 x 5  π 2 π 2 π 2 Ta có: I =  − e cos 5 x ÷ + 3 ∫ e3 x cos 5 xdx = 1 + 3 ∫ e3 x cos 5 xdx (1) 5 50  5 0 5 0 3x  du1 = 3e3 x dx u1 = e3 x  ⇒ Đặt  1  dv1 = cos 5 xdx v1 = sin 5 x 5  Khi đó ta có : π 2 π 2 π 2 e  3 3x 1 32π 3 ∫0 e cos 5 xdx =  5 sin 5 x ÷ − 5 ∫0 e sin 5 xdx = 5 e − 5 I 0 3x 3x ( 2) 3π Thay (2) vào (1) ta có: 1 3 1 3π 3 5 + 3e 2 I = + ( e 3 − I) ⇒ I = 5 5 5 5 34  Nhận xét : Trong ví dụ này ta chọn cách đặt u = e3x . Cần chú ý rằng, nếu đặt u = e3x thì trong lần sử dụng tích phân lần thứ hai cũng phải đặt u = e3x (còn nếu trong lần đầu chọn dv = e3x dx , thì trong lần sử dụng tích phân từng phần lần thứ hai cũng phải chọn 12 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. dv = e3x dx ). Nếu không như vậy, thì điều gì sẽ xảy ra? Giả sử lần thứ nhất đặt u = e3x , ta đi đến (1). Bây giờ đáng lẽ lần thứ hai đặt u = e π 2 π 2 3x du = −5sin 5 xdx u = cos 5 x  ⇒ , ta lại đặt  e3 x 3x dv = e dx v =   3  π 2 e  5 3x 1 5 3x e cos 5 xdx = cos 5 x + e sin 5 xdx = − + I  ÷ ∫0 ∫ 3 3  3 0 3 0 Ta có : 3x ( 3) Thay (3) vào (1) ta được : I = I (4) Như vậy (4) cho thấy sau hai lần biến đổi, ta quay trở lại tích phân ban đầu ( tức là “dậm chân tại chỗ”).Hiện tượng (4) gọi là xoay vòng. Đó là hiện tượng hay gặp phải khi sử dụng phương pháp tích phân. Vậy với tích phân loại như trên, ta có thẻ có hai cách chọn u , nhưng nên nhớ nếu đã chọn u như thế nào thì trong tích phân từng phần lần thứ nhất, thì cũng phải sử dụng cách ấy trong lần sử dụng tích phân từng phần lần thứ hai. β β α α ax ax  Đạng tổng quát của tích phân trên : I = ∫ e sin bxdx ; I = ∫ e cosbxdx 2.3.2 Sử dụng phương pháp tích phân từng để khử tích phân. e2  1 1  I =  Bài toán 1: Tính tích phân sau : ∫e  ln x - ln 2 x ÷ dx = I1 - I 2 . (1) 1 −1   dx du = du = ln x ⇒  x ln 2 x Đặt  v = 1; dv = x e2 e2 e2 x 1 e2 − 2e 1 e 2 − 2e ⇒ I1 = + dx = +∫ dx = + I2 e ln 2 x ln x e ∫e ln 2 x 2 2 (2) e2 − 2e Từ (1) và (2) ta có: I = 2  Nhận xét : Để tính tích phân ban đầu, ta tách nó thành hai tích phân I 1, I2 sau đó sử dụng phương pháp tích phân từng phần với I1 thì sinh ra I2 sẽ bị khử khi thay (2) vào (1). Từ ý tưởng trên ta có thể tính một số tích phân sau đây : x x 2 e ex  2 ( 1 − x ) e dx = ∫  − 2 ÷dx = I1 − I 2  Bài toán 2 : Tính tích phân I = ∫1 (1) 1 x2  x x  13 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. 1 −1  u = ⇒ du = 2 dx x x Đặt  dv = e x ⇒ v = e x  2 x 2e ex e 2 − 2e Ta có : I1 = + dx = x 1 ∫1 x 2 2 (2) e2 − 2e Từ (1) và (2) ta có : I = 2  Nhận xét : Với bài toán trên nếu ta vẫn dùng phương pháp tích phân từng phần nhưng ( 1 − x ) ; dv = e x dx hoặc u = e x ; dv = ( 1 − x ) dx thì tích phân mới tạo thành sẽ đặt u = x2 x2 gặp khó khăn trong bước tính tiếp theo. π 3 1 + cos 2 x ∫ ( 2 + cos x )  Bài toán 3 : Tính tích phân sau : I = 2 dx 0 Ta có : I = π 3 1 + cos 2 x ∫ ( 2 + cos 2 x ) 0 π 3 dx = ∫ 2 0 2 cos x + cos x - sin x 2 2 ( 2 + cos x ) 2 dx = sin x 1   2 u = 2 + cos x  du = ( ) ⇒ ( 2 + cos x ) Đặt  dv = cos xdx v = sin x   Thay (2) vào (1) ta có : I = π 3 cos x ∫0 ( 2 + cos x ) dx - π 3 sin 2 x ∫ ( 2 + cos x ) 2 dx = I1 - I 2 (1) 0 π 3 3 Ta có : I1 = sin x - I2 = - I 2 (2) 2 + cos x 0 5 3 5  Nhận xét : Với bài toán trên nếu ta sử dụng phương pháp đổi biến để đưa về tích phân hữu tỉ thì bậc của biến số sẽ tăng lên và làm cho quá trình tính toán sẽ phức tạp hơn ! π 2  Bài toán 4 : Tính tích phân I = 1 + sin x e x dx ∫ 1 + cos x 0 π 2 π 2 π 2 Ta có : I = 1 + sin x e x dx = ∫ ∫ 0 1 + cos x 1 sin x x e x dx + ∫ e dx = I1 + I 2 (1) 1 + cos x 1 + cos x 0 0 sin x 1   dx u =  du = 1 + cos x Đặt  1 + cos x ⇒  dv = e x dx v = e x   π 2 π e sin x Khi đó : I 2 = − I1 = e 2 − I1 (2) 1 + cos x 0 x π Thay (2) vào (1) ta được : I = e 2 14 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân.  Bài tập áp dụng : I1=∫ 1 (x + 2x + 2) ex x + 4x + 4 2 0 I4 = ∫ 2 8 3 x 3 ln x x2 + 1 Tính các tích phân sau đây. 2  x ln x  I2 = ∫  ÷ dx 1 1 + ln x   e dx I5 = ∫ dx e 1 x + ( 1 − ln x ) + 1 I3 = ∫ 1 2 ( x + ln x ) 2 2 ( x+ dx I6 = ∫ e 1 )  1  x2 + 1  − 1÷ 2  x + 1  dx x e 1 − sin x dx ( 1 + cos x ) e x C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT I. KẾT QUẢ THU ĐƯỢC : Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy ôn thi đại học cho học sinh lớp 12. Trong quá trình học đề tài này bước đầu học sinh thấy khó khăn nhưng qua vài ví dụ học sinh nhận thấy một bài toán có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó việc ứng dụng phương pháp trên, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu. Sau khi dạy xong chuyên đề tích phân, tôi tiến hành khảo sát tại hai lớp 12I, 12G và kết quả thu được : Điểm Điểm Điểm Điểm 9-10 7-8,5 5-6,5 3-4,5 45 17(38%) 19(42%) 9(20%) 0(%) 45 15(33%) 18(40%) 9(20%) 3(7%) Lớp Sĩ số 12I 12G II. KẾT LUẬN : Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về tích phân và các phương pháp tính của nó, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn khi giải toán. Đồng thời, tìm phương pháp giải nhanh hơn với các bài tích phân có tính chất đặc biệt. Đối với học sinh thì những kiến thức về tích phân cũng là tương đối khó, nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống. Các em thường quen với việc vận dụng hơn là hiểu 15 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. rõ bản chất phương pháp vận dụng để thực hiện tính. Đó là chưa kể sách giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và thậm chí mang tính hàn lâm ; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêm khi có cơ hội học sâu hơn (chủ yếu ở bậc Đại học). Ở cấp độ trường trung học phổ thông Trần Phú, đề tài có thể áp dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ; giúp học sinh giải quyết một số bài tích nhanh hơn, góp phần tích cực vào việc ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. III. ĐỀ XUẤT : Đối với giáo viên : Cần quan tâm sát sao hơn nữa đến mức độ tiếp thu bài của học sinh. Cần tìm nhiều phương pháp để giải quyết một bài toán từ đó tìm cách giải đơn giản giúp học sinh tiếp thu bài tốt hơn và gây hứng thú trong quá trình dạy và học. Đối với nhà trườn g: Trong các buổi họp tổ các giáo viên nên trao đổi về cách dạy bài học khó để tìm ra những cách giải hay. Đối với sở giáo dục : Cần công khai các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao trên mạng internet để giáo viên và học sinh tất cả các trường trong tỉnh và ngoài tỉnh áp dụng vào thực tiễn và học hỏi cách viết một đề tài khoa học. Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong quá trình giảng dạy, chắc chắn còn mang tính chủ quan của bản thân, và sẽ không tránh khỏi nhiều sai sót, các vấn đề tôi nêu ra rất mong được sự góp ý của các thầy cô giáo,đặc biệt là các em học sinh để bài viết được hoàn thiện hơn và áp dụng thiết thực vào quá trình giảng dạy. Vĩnh Yên, ngày 8 tháng 03 năm 2014 Người Viết: Trần Hùng Quân 16 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân. MỤC LỤC PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ GIẢI QUYẾT MỤC TRANG 01 I.Lý do chọn để tài II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 01 02 I: Cơ sở lý luận VẤN ĐỀ KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 03 II: Phương pháp và tổ chức thực hiện I: Kết quả thu được 14 II:Kết luận 15 III: Đề xuất 15 Tài liệu tham khảo 1. Sách giáo khoa, sách bài tập giải tích lớp 12 cơ bản và nâng cao. 2. Tuyển tập bộ đề thi đại học 3.Phương pháp giải toán tích phân.( Tác giả Lê Hồng Đức,NXB Hà Nội) 17 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú. [...]... ta sử dụng một tích phân phụ để tạo các tích phân mới, dễ dàng trong quá trình tính toán Tính từng tích phân sau đó quay về tính tích phân ban đầu  Bài tập áp dụng: Tính các tích phân sau đây: π 4 π 2 2 cos 2 x I1 = ∫ dx 2sin 2 x + 3cos 2 x 0 1 4sin x I2 = ∫ 0 ( sin x + cos x ) 3 e 2 x dx I 3 = ∫ x −2 x 3e + e 0 dx 2.3 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần 2.3.1 Sử dụng phương pháp tích phân từng... Để tính tích phân ban đầu, ta tách nó thành hai tích phân I 1, I2 sau đó sử dụng phương pháp tích phân từng phần với I1 thì sinh ra I2 sẽ bị khử khi thay (2) vào (1) Từ ý tưởng trên ta có thể tính một số tích phân sau đây : x x 2 e ex  2 ( 1 − x ) e dx = ∫  − 2 ÷dx = I1 − I 2  Bài toán 2 : Tính tích phân I = ∫1 (1) 1 x2  x x  13 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú Các phương pháp đặc biệt để tính một. .. kiến thức về tích phân cũng là tương đối khó, nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hơn là hiểu 15 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân rõ bản chất phương pháp vận dụng để thực hiện tính Đó là chưa kể sách giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và thậm chí mang tính hàn lâm... x 0 Bài toán 3: Tính tích phân M = ∫ e − x dx Ta sử dụng tích phân N = ∫ x − x e +e 0 2 Vậy : M = ln e + 1 + 1 2e 1 2 Khi đó ta có : M + N = 1 và M − N = ln e + 1 2e 11 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân β ae mx dx be mx + ce − mx α Bài toán 3 có thể tổng quát hóa thành bài toán sau: M = ∫   Nhận xét : Thay cho việc tính trực tiếp tích phân ban đầu phức... 9(20%) 3(7%) Lớp Sĩ số 12I 12G II KẾT LUẬN : Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức nhất định về tích phân và các phương pháp tính của nó, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn khi giải toán Đồng thời, tìm phương pháp giải nhanh hơn với các bài tích phân có tính chất đặc biệt Đối với học sinh... chắn còn mang tính chủ quan của bản thân, và sẽ không tránh khỏi nhiều sai sót, các vấn đề tôi nêu ra rất mong được sự góp ý của các thầy cô giáo ,đặc biệt là các em học sinh để bài viết được hoàn thiện hơn và áp dụng thiết thực vào quá trình giảng dạy Vĩnh Yên, ngày 8 tháng 03 năm 2014 Người Viết: Trần Hùng Quân 16 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân MỤC LỤC... 5 5 5 5 34  Nhận xét : Trong ví dụ này ta chọn cách đặt u = e3x Cần chú ý rằng, nếu đặt u = e3x thì trong lần sử dụng tích phân lần thứ hai cũng phải đặt u = e3x (còn nếu trong lần đầu chọn dv = e3x dx , thì trong lần sử dụng tích phân từng phần lần thứ hai cũng phải chọn 12 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân dv = e3x dx ) Nếu không như vậy, thì điều gì... sin x Khi đó : I 2 = − I1 = e 2 − I1 (2) 1 + cos x 0 x π Thay (2) vào (1) ta được : I = e 2 14 Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân  Bài tập áp dụng : I1=∫ 1 (x + 2x + 2) ex x + 4x + 4 2 0 I4 = ∫ 2 8 3 x 3 ln x x2 + 1 Tính các tích phân sau đây 2  x ln x  I2 = ∫  ÷ dx 1 1 + ln x   e dx I5 = ∫ dx e 1 x + ( 1 − ln x ) + 1 I3 = ∫ 1 2 ( x + ln x ) 2 2 (... lần biến đổi, ta quay trở lại tích phân ban đầu ( tức là “dậm chân tại chỗ”).Hiện tượng (4) gọi là xoay vòng Đó là hiện tượng hay gặp phải khi sử dụng phương pháp tích phân Vậy với tích phân loại như trên, ta có thẻ có hai cách chọn u , nhưng nên nhớ nếu đã chọn u như thế nào thì trong tích phân từng phần lần thứ nhất, thì cũng phải sử dụng cách ấy trong lần sử dụng tích phân từng phần lần thứ hai β.. .Các phương pháp đặc biệt để tính một số tích phân π 2 cos xdx Xét tích phân J = 6∫ ta có : 0 sin x + 3 cos x π π π π π π sin( x + ) dx d cos( x + ) 6 6 dx dx 16 16 1 3 3 I+J = ∫ = ∫ = ∫ = ∫ π π π 2 2 2 2 2 0 sin x + 3 cos x 0 sin( x + ) ... 2.2 Phương pháp đổi biến số thứ hai Trần Hùng Quân_THPT Trần Phú Các phương pháp đặc biệt để tính số tích phân b Để tính tích phân ò f [u(x)]u (x)dx ta thực bước sau: / a Bước Đặt t = u(x) tính. .. số phương pháp tích phân phần Tuy nói chắn sử dụng hai phương pháp cách đổi biến phương pháp đổi biến số cách đặt u v’ tích phân phần ngày đa dạng, biến hóa Để giúp học sinh hiểu rõ sâu sắc cách... học sinh hiểu rõ sâu sắc cách đặt trình tính tích phân, xin trình bày “ Các phương pháp đặc biệt để tính số tích phân” Để nội dung sáng kiến kinh nghiệm có tính thực tiễn công tác giảng dạy chung