Tài liệu Các phương pháp đặc biệt giải phương trình, hệ phương trình doc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HỊA BÌNH NGUYỄN VĂN MẬU (CHỦ BIÊN) ĐẶNG HUY RUẬN, NGUYỄN MINH TUẤN KỶ YẾU TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IV - 2008 HỊA BÌNH 18-21/2008 Mục lục Lời nói đầu Đề thi Olympic Toán học Hùng vương 1.1 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1, năm 2005 1.2 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 2, năm 2006 1.3 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3, năm 2007 1.4 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 4, năm 2008 10 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương 12 2.1 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 12 2.2 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 15 2.3 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 18 2.4 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 22 Một số phương pháp giải toán 3.1 26 27 3.1.1 Nguyên lý quy nạp 27 3.1.2 Phương pháp chứng minh qui nạp 27 3.1.3 Vận dụng phương pháp qui nạp để giải toán đại số số học 28 3.1.4 3.2 Phương pháp quy nạp Vận dụng phương pháp quy nạp để giải tập hình học 37 Phương pháp phản chứng 43 3.2.1 Nguyên lý Dirichlet phát biểu nhiều dạng tương tự khác: 43 3.2.2 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải toán 44 3.2.3 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải tốn khơng mẫu mực 46 3.3 Phương pháp suy luận trực tiếp 47 3.4 Phương pháp mệnh đề 52 MỤC LỤC 3.4.1 Khái niệm logic mệnh đề 52 3.4.2 Các phép toán mệnh đề 52 3.4.3 Công thức logic mệnh đề 53 3.4.4 Các luật logic mệnh đề 54 3.5 Phương pháp bảng 59 3.6 Phương pháp sơ đồ 63 3.7 Phương pháp đồ thị 65 3.7.1 Một số khái niệm kết lý thuyết đồ thị 66 3.7.2 Phương pháp đồ thị 67 Phương pháp giải phương trình hệ phương trình 73 4.1 Phương pháp nghiệm 73 4.2 Phương pháp bất đẳng thức 79 4.3 Phương pháp đưa hệ 84 4.4 Phương pháp đảo ẩn 87 4.5 Phương pháp sử dụng tính chất đặc biệt hệ thức 90 4.6 Phương pháp Lượng giác 96 4.6.1 Cơ sở lý thuyết 96 4.6.2 Trình tự lời giải 98 4.6.3 Ví dụ minh hoạ 99 4.7 Sử dụng định lý Lagrange 110 4.8 Sử dụng định lý Rolle 116 4.9 Hệ phương trình dạng hốn vị vịng quanh 122 4.10 Các phương pháp khác 127 4.10.1 Sử dụng phép biến đổi hệ 127 4.10.2 Sử dụng tính chất hàm số liên tục 128 4.10.3 Đẳng cấp hoá 129 4.10.4 Sử dụng hình học, vectơ, toạ độ 131 4.10.5 Sử dụng hàm số 134 Số đối xứng số quy luật phép nhân 139 5.1 Số đối xứng số tính chất liên quan 139 5.2 Nhận xét số quy luật cửu chương 142 Một số phương pháp giải toán chia hết 146 MỤC LỤC 6.1 Các số nguyên phép tính số nguyên 146 6.2 Các định lý chia hết 147 6.3 Phép chia có dư 149 6.3.1 Định nghĩa 149 6.3.2 Sự tồn phép chia có dư 149 6.4 Phương pháp dùng phép chia có dư 151 6.5 Phương pháp đồng dư 155 6.5.1 6.5.2 6.6 Phép đồng dư 155 Phương pháp đồng dư 158 Phương pháp sử dụng tính tuần hoàn nâng lên lũy thừa 161 6.6.1 6.6.2 6.7 Sự tuần hoàn số dư nâng lên lũy thừa 161 Thuật toán 163 Phương pháp quy nạp 166 6.7.1 6.7.2 Phương pháp chứng minh quy nạp 166 6.7.3 6.8 Nguyên lý quy nạp 166 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải toán chia hết 168 Tiêu chuẩn chia hết 173 6.8.1 Phương pháp đồng dư với 173 6.8.2 Phương pháp dãy số dư 176 6.8.3 Phương pháp nhóm chữ số 179 Biểu diễn toạ độ phép biến hình phẳng 7.1 182 Các khái niệm 182 7.1.1 7.1.2 7.2 Các khái niệm biết 182 Các khái niệm bổ sung 183 Biểu diễn toạ độ phép biến hình 187 7.2.1 7.2.2 7.3 Các định nghĩa 187 Ví dụ 189 Phép biến hình tuyến tính (affin) tính chất 190 7.3.1 7.3.2 7.4 Các định nghĩa 190 Các định lý 190 Phép dời hình 192 Một số phép biến hình phẳng thường gặp 8.1 196 Các phép dời hình 197 MỤC LỤC 8.1.1 8.1.2 Phép quay 198 8.1.3 Phép đối xứng tâm 200 8.1.4 8.2 Phép tịnh tiến song song 197 Phép đối xứng trục 202 Phép vị tự phép đồng dạng 205 8.2.1 8.2.2 8.3 Phép vị tự 205 Phép đồng dạng 207 Một số phép biến hình khác 208 8.3.1 8.3.2 8.4 Phép co trục 208 Phép nghịch đảo 210 Bài tập áp dụng phép biến hình 213 8.4.1 Bài tập lý thuyết 213 8.4.2 Sử dụng phép biến hình giải tập hình học 215 Lời nói đầu Trên bốn mươi năm thực "Chương trình đào tạo bồi học sinh khiếu tốn bậc phổ thơng" chặng đường chu trình đặc biệt gắn với khởi đầu, trưởng thành ngày hoàn thiện xuất phát từ mơ hình đào tạo khiếu Tóan học đặc biệt Đại học Tổng hợp Hà Nội Hướng đào tạo mũi nhọn mang tính đột phá cao, đào tạo hệ học sinh có khiếu lĩnh vực toán học, tin học khoa học tự nhiên: Vật lý, Hoá học, Sinh học khoa học sống Trong điều kiện thiếu thốn vật chất kéo dài qua nhiều thập kỷ trải qua nhiều thách thức, tìm hướng phù hợp, lên vững ổn định, tìm tịi, tích luỹ kinh nghiệm có nhiều sáng tạo đáng ghi nhận Các hệ Thầy Trị định hình tiếp cận với giới văn minh tiên tiến khoa học đại, cập nhật thông tin, sáng tạo phương pháp tập dượt nghiên cứu Gắn với việc tích cực đổi phương pháp dạy học, chương trình đào tạo hệ chuyên hướng tới xây dựng hệ thống chuyên đề, nỗ lực tổ chức thành công Kỳ thi Olympic Toán quốc tế lần thứ 48, năm 2007 Việt Nam thành công tốt đẹp, bạn bè quốc tế ca ngợi Sau gần nửa kỷ hình thành phát triển, nói, giáo dục mũi nhọn phổ thông (giáo dục khiếu) thu thành tựu rực rỡ, Nhà nước đầu tư có hiệu quả, xã hội thừa nhận bạn bè quốc tế khâm phục Các đội tuyển quốc gia tham dự kỳ thi Olympic quốc tế có bề dày thành tích mang tính ổn định có tính kế thừa Đặc biệt, trường THPT Chun tỉnh khu vực miền núi phía bắc tiến bước dài đường nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo học sinh giỏi bậc phổ thông Nhiều học sinh dành giải cao kỳ thi Olympic quốc tế, Olympic khu vực kỳ thi học sinh giỏi quốc gia Từ năm 2005, trường THPT chuyên có sáng kiến tạo trại hè đặc thù, sân chơi văn hóa khoa học cho đội ngũ thầy, cô học sinh khiếu thuộc trường THPT Chuyên tỉnh khu vực miền núi phía bắc, Trại Hè Hùng Vương Trong nội dung sinh hoạt trại hè Hùng Vương mơn Tốn học, Vật lý, Sinh học Văn học có kỳ thi Olympic Hùng Vương Kỳ thi khuôn khổ kiến thức lớp 10 phổ thông tập dượt đội tuyển chuẩn bị hành trang cho kỳ thi Olympic Hà Nội mở rộng, Olympic Singapore mở rộng kỳ thi học sinh giỏi quốc gia Học sinh lớp khiếu tiếp thu tốt kiến thức Hội đồng cố vấn khoa học giáo sư, nhà khoa học từ trường đại học Hội Toán học Hà Nội cung cấp Các kiến thức cân nhắc nằm khuôn khổ kiến thức nâng cao lớp chuyên toán - tin, vật lý, sinh học Với mong muốn tạo điều kiện cho thầy giáo, cô giáo đông đảo em học sinh MỤC LỤC giỏi toán u mơn tốn, chúng tơi viết kỷ yếu nhỏ nhằm cung cấp tư liệu toán học qua bốn kỳ Olympic Hùng Vương hệ thống số kiến thức bổ trợ gắn với nội dung chương trình lớp 10 Hy vọng rằng, thầy, cơ, em học sinh tìm thấy điều bổ ích từ tư liệu Chúng xin chân thành cảm ơn Ban Tổ chức Trại hè Hùng Vương, xin cảm ơn Sở Giáo Dục Đào Tạo Hịa Bình, cảm ơn trường THPT Chuyên từ tỉnh khu vực miền núi phía bắc, đơn vị tài trợ tạo điều kiện để Kỷ yếu kịp mắt kịp thời thời gian tổ chức hội thảo thành phố Hịa Bình Vì thời gian gấp gáp, khơng có điều kiện hiệu đính chi tiết nên chắn kỷ yếu nhiều khiếm khuyết nội dung hình thức Chúng tơi xin chân thành cảm ơn bạn đọc cho ý kiến đóng góp để kỷ yếu hồn chỉnh Các ý kiến đóng góp xin gửi Trường THPT Chun Hồng Văn Thụ, thành phố Hịa Bình Thay mặt Ban Cố vấn chuyên môn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Chương Đề thi Olympic Toán học Hùng vương 1.1 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1, năm 2005 Câu Các số nguyên dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 lập thành cấp số cộng tăng Hỏi lập cấp số cộng thoả mãn điều kiện a1 > 50 a5 < 100? Câu Các số nguyên dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 lập thành cấp số nhân tăng Hỏi lập cấp số nhân thoả mãn điều kiện a5 < 100? Câu Các số dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 thoả mãn điều kiện (i) 2a1 , 2a2 , 2a3 , 2a4 , 2a5 số nguyên dương, (ii) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 99 Tìm giá trị lớn tích P = a1 a2 a3 a4 a5 Câu Giả sử tam thức bậc hai f (x) luôn dương với x Chứng minh f (x) viết dạng tổng bình phương hai nhị thức bậc Câu Giả sử hàm trùng phương g(x) = x4 + bx2 + c luôn dương với x Chứng minh g(x) viết dạng tổng bình phương hai tam thức bậc hai Câu Cho hình vng ABCD Tìm quỹ tích điểm M thuộc hình vng (phần bên biên hình vng) cho diện tích tam giác M AB M AC Câu Cho hình vng ABCD Giả sử E trung điểm cạnh CD F điểm bên hình vng Xác định vị trí điểm Q thuộc cạnh AB cho AQE = BQF 1.2 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 2, năm 2006 1.2 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 2, năm 2006 Câu Số đo góc ngũ giác lồi có tỷ lệ : : : : Số đo góc nhỏ [(A)] 200 , [(B)] 400 , [(C)] 600 , [(D)] 800 [(E)] 900 Câu Cho a = Giải hệ phương trình  x2005 + y 2005 + z 2005 = a2005  x2006 + y 2006 + z 2006 = a2006  2007  x + y 2007 + z 2007 = a2007 Câu Xác định số dương a, b, c cho ax9 y 12 + by z + cz 11 x8 15x4 y z , ∀x > 0, y > 0, z > Câu Cho tam giác ABC điểm M thuộc BC Xét hình bình hành AP M N , P thuộc AB N thuộc AC hình bình hành ABDC với đường chéo AD BC O giao điểm BN CP Chứng minh P M O = N M O BDM = CDM Câu Cho số dương M Xét tam thức bậc hai g(x) = x2 + ax + b có nghiêm thực x1 , x2 hệ số thoả mãn điều kiện max{|a|, |b|, 1} = M Tìm giá trị lớn biểu thức (1 + |x1 |)(1 + |x2 |) 1.3 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3, năm 2007 Câu Một đa giác lồi có nhiều góc nhọn? (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) Câu Một đa giác lồi có nhiều góc khơng tù? (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) Câu Xác định hai chữ số tận số sau M = 23 + 202006 + 2002007 + 20062008 ? 1.4 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 4, năm 2008 10 (A) 04; (B) 34; (C) 24; (D) 14; (E) Khác đáp số nêu Câu Có n viên bi hộp gắn nhãn 1, 2, , n Người ta lấy viên bi tổng nhãn số bi cịn lại 5048 Hỏi viên bi gắn nhãn số nào? (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4; (E) Câu Cho số tự nhiên abc chia hết cho 37 Chứng minh số bca cab chia hết cho 37 Câu Cho < a Giải hệ phương trình sau  x + = ay    x   y + = az  y     z + = ax z Câu Cho hình bình hành ABCD có AB < BC Đường phân giác BP góc ∠ABC cắt AD P Biết ∆P BC tam giác cân, P B = P C = 6cm P D = 5cm Tính độ dài cạnh hình bình hành Câu Chứng minh tam thức bậc hai g(x) = 3x2 − 2ax + b có nghiệm tồn số α, β, γ cho a=α+β+γ b = αβ + βγ + γα Câu Cho ba số dương a1 , a2 , a3 Các số nguyên α1 , α2 , α3 β1 , β2 , β3 cho trước thoả mãn điều kiện a1 α1 + a2 α2 + a3 α3 = a1 β1 + a2 β2 + a3 β3 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = a1 xα1 y β1 + a2 xα2 y β2 + a3 xα3 y β3 , x > 0, y > Câu 10 Tính M= 1.4 1 π + cos cos 3π Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 4, năm 2008 Câu Hai chữ số tận số M = 22008 207 8.2 Phép vị tự phép đồng dạng 8.2.2 Phép đồng dạng Định nghĩa Định nghĩa 20 11 Tích phép vị tự tỷ số = với phép dời hình D cịn gọi phép đồng dạng tỷ số k = | | (> 0) ký hiệu Hk Phép đồng dạng không phụ thuộc vào thứ tự thực phép vị tự phép dời hình nêu Nếu k = phép đồng dạng phép dời hình Định nghĩa 21 12 Hai hình G G gọi đồng dạng với với tỷ số đồng dạng k tồn phép đồng dạng Hk biến hình thành hình Chú ý rằng: +) Phép vị tự tỷ số k = phép đồng dạng tỷ số |k| (chọn D = Id ) +) Phép dời hình phép đồng dạng tỷ số (chọn V [I; k] = V [I; 1] = Id ) +) Tỷ số phép vị tự số thực khác tỷ số phép đồng dạng số thực dương Một số tính chất Cho phép biến hình f : a −→ A ; A −→ B Khi đó: f ≡ Hk ⇔ A B = k.AB Hk biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Hk biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k lần độ dài đoạn thẳng tạo ảnh, biến góc thành góc có số đo hình học nó, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến đường tròn C(E; R) thành đường tròn C(E ; kR) E = Hk (E) Có thể phân tích Hk (k = 1) thành tích VIk với Qα với Dd , d I đường thẳng qua I Hai dạng VIk ◦ Qα ; VIk ◦ Dd (d I) gọi hai I dạng tắc phép đồng dạng Bài tập áp dụng Bài toán 68 Hãy viết biểu diễn tọa độ hai phép đồng dạng tắc biết tọa độ tâm I , góc quay α phương trình đường thẳng d I Bài tốn 69 Hãy tìm tỷ số diện tích, tỷ số diện tích định hướng hai hình đồng dạng với với tỷ số k Bài toán 70 Hãy nêu tất tính chất, điểm bất động, bất biến Hk Bài toán 71 Hãy ảnh nêu cách dựng ảnh số hình hình học quen thuộc 208 8.3 Một số phép biến hình khác −1 Bài tốn 72 Chứng minh Hk = H k Bài toán 73 Tích hai phép đồng dạng phép biến hình có tính chất nào? Bài toán 74 Chứng minh phép đồng dạng phép biến hình affin Bài tốn 75 Cho hai đường tròn (O), (O ) cắt hai điểm A, B Một cát tuyến di động M AN (M ∈ (O), N ∈ (O ) ) Tìm tập hợp trực tâm H tam giác M BN Bài toán 76 Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp (O) Các tiếp điểm M, N tương ứng cạnh AB, BC Gọi P chân đường vng góc hạ từ C xuống (AO) Chứng minh M, N, P Bài toán 77 10 Cho hình bình hành ABCD tâm I có ∠ABC = ∠BID = α Dựng hình bình hành BICE Hãy tìm phép biến hình biến BICE thành ABCD Đáp CD k số: VC ◦ Qβ ◦ D(CE) k = ; β = ∠DCE C CE Bài toán 78 11 Cho hai đường tròn (O), (O ) Lấy A ∈ (O), A ∈ (O ) Hãy dựng đường tròn qua A, A cắt đường tròn (O), (O ) điểm thứ hai M, M tương ứng cho tam giác AOM, A O M đồng dạng hướng Bài tốn 79 12 Cho đường trịn (O), đường thẳng (d) điểm A không thuộc (O), (d) ˆ Dựng tam giác vuông cân ABC (B = 900 ) cho B ∈ (d), C ∈ (O) Chỉ dẫn: Xét √ Q45 ◦ VA A / Bài toán 80 13 Cho phép đối xứng trục Dl phép quay Qα với α = 00 , 1800 , O ∈ l O Dựng đường thẳng d cho song song với ảnh qua phép đồng dạng H = Dl ◦ Qα O 8.3 8.3.1 Một số phép biến hình khác Phép co trục Định nghĩa Định nghĩa 22 Phép biến hình mặt phẳng tọa độ Oxy có biểu diễn tọa độ x y = kx (k ∈ R∗ ) (8) =y gọi phép co trục Ox tỷ số k ký hiệu C[x; k] Tương tự ta có phép co trục Oy tỷ số l, ký hiệu C[y; l], phép biến hình có biểu diễn tọa độ x y =x (l ∈ R∗ ) (8.1) = ly 209 8.3 Một số phép biến hình khác Phép biến hình mặt phẳng tọa độ Oxy có biểu diễn tọa độ x y = kx (k, l ∈ R∗ ) (8.2) = ly gọi phép co mặt phẳng tọa độ Oxy theo tỷ số (k; l) (nhớ thứ tự ) ký hiệu C[k; l] Các tính chất Các phép co định nghĩa phép biến hình affin Trong đó: det(C[x; k]) = k ; det(C[y; l]) = l ; det(C[k; l]) = kl C[x; 1] ≡ C[y; 1] ≡ C[1; 1] ≡ Id ; C[k; k] ≡ V [O; k] +) Mọi điểm thuộc trục tung điểm bất động C[x; k] +) Mọi đường thẳng phương với x Ox hình kép C[x; k] +) Mọi điểm thuộc trục hoành điểm bất động C[y; l] +) Mọi đường thẳng phương với y Oy hình kép C[y; l] +) Gốc tọa độ O(0; 0) điểm bất động C[k; l] 1 C[k; l] = C[x; k] ◦ C[y; l] ; C −1 [x; k] = C[x; ] ; C −1 [y; l] = C[y; ] k l C[x; −k] = Dy Oy ◦ C[x; k] ; C[y; −l] = Dx Ox ◦ C[y; l] Bởi vậy, từ ta xét phép co trục với tỷ số k, l > ; = Nếu < k < C[x; k] cịn gọi phép co trục hồnh, k > C[x; k] cịn gọi phép dãn trục hoành Tương tự C[y; l] Bài tập áp dụng Bài toán 81 Hãy chứng minh tất tính chất Bài toán 82 Chứng minh phép co trục từ đồ thị hàm số y = f (x) (G) ta thu đồ thị hàm số y = f (kx) ; y = lf (x) Bài toán 83 Chứng minh Elip ảnh đường tròn qua phép co trục tương ứng Bài toán 84 Hãy cách dựng đồ thị hàm số y = af (kx + m) + b biết đồ thị hàm số y = f (x) Bài tốn 85 Tìm giá trị lớn tam giác nội tiếp Elip: x2 y + = a2 b Bài toán 86 Hãy cách dựng ảnh hình phẳng quen thuộc: điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, tam giác, đường trịn, miền góc, đa giác, qua phép co trục Bài tốn 87 Hãy tìm số bất biến phép co trục nói 210 8.3 Một số phép biến hình khác 8.3.2 Phép nghịch đảo Các phép biến hình xét phép biến hình tuyến tính Ta xây dựng phép biến hình khác xét tính chất ứng dụng chúng Bây ta xét phép biến hình phi tuyến Một phép biến hình phi tuyến có nhiều ứng dụng hình học phép nghịch đảo Định nghĩa Định nghĩa 23 Ta ký hiệu [¶] mặt phẳng suy rộng mặt phẳng đủ Đó mặt phẳng thơng thường bổ sung thêm điểm mới, đặc biệt, gọi điểm vô cực ký hiệu điểm ∞ mà có tính chất sau: Mọi đường thẳng mặt phẳng [¶] qua điểm ∞ Định nghĩa 24 10 Phép nghịch đảo cực I tỷ số k (k = 0), ký hiệu N[I; k] phép biến hình : [¶] −→ [¶] xác định sau: N[I; k](M ) = M ⇔ I, M, M −→ − − −→IM −→ −→IM = k Biểu diễn tọa độ Định lí 25 Nếu O(0; 0) N[O; k] có biểu diễn tọa độ:  x = kx  x2 + y (9) y = ky  x2 + y Các tính chất Hệ 1N[O; −k] = DO ◦ N[O; k] Bởi vậy, từ ta xét trường hợp k > Hệ 10 N−1 [I; k] = N[I; k] Hay N[I; k] phép biến hình đối hợp Hệ 11 N[I; k] (k > 0) biến: √ Đường trịn C(I; k) thành Đường thẳng qua I thành Đường thẳng khơng qua I thành đường tròn qua I Đường trịn khơng qua I thành đường trịn khơng qua I Đường tròn C(E; R) qua I thành đường thẳng ∆ không qua I ∆⊥(EI) Điểm I thành điểm ∞ điểm ∞ thành điểm I Hệ 12 N[I; k] bảo toàn tiếp xúc hai đường trịn bảo tồn góc hai đường trịn cắt 211 8.3 Một số phép biến hình khác Ví dụ minh hoạ Ví dụ 8.3.1 Cho điểm O cố định nằm đường thẳng ∆ cố định Với điểm m chạy ∆ ta lấy điểm N nửa đường thẳng [OM ) cho OM ON = 1) Tìm quỹ tích G điểm N M chạy đường thẳng ∆ 2) Cho A điểm cố định đường thẳng ∆ Vẽ vòng tròn C qua O A C cắt G điểm thứ hai P = O cắt ∆ điểm thứ hai Q = a Chứng minh đường thẳng (P Q) qua điểm cố định G Lời giải 1) Do OM ON = O, M, N nên N = N[O; 1](M ) Vậy quỹ tích điểm N ảnh đường thẳng ∆ qua N[O; 1] Đó đường tròn qua cực O 2) Gọi B, R giao điểm đường thẳng (OA), (OQ) với đường tròn G, S giao điểm đường thẳng P O với ∆, F giao điểm đường thẳng P Q với đường tròn G Ta có B, R, P ảnh A, Q, S qua N[O; 1] Ngoài ra, N[O; 1] : C −→ đường thẳng BRS Dễ thấy tứ giác RQSP nội tiếp (phương tích) ˆ ˆ ⇒ P = R ⇒ OF = OB Do B điểm cố định nên F điểm cố định Ví dụ 8.3.2 Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng Qua A, B điểm E biến thiên đường trung trực ∆ đoạn AB ta dựng đường tròn Đường thẳng CE cắt đường tròn M Tìm quỹ tích G điểm M E chạy ∆ HDG: Do CM CE = CA.CB ⇒ G = N[C; k](∆), k = CA.CB Ví dụ 8.3.3 Cho ba điểm cố định A, B, C đường thẳng Một đường tròn C biến thiên tiếp xúc với đường thẳng C Tiếp tuyến thứ hai xuất phát từ A tiếp xúc với đường tròn T Đường thẳng BT cắt đường trịn M Tìm quỹ tích G điểm M HDG: Do BM BT = BC , AT = AC ⇒ quỹ tích điểm T đường trịn A tâm A, bán kính AC G = N[B; BC ](A) Đó đường trịn đường kính CD với điểm D xác định từ công thức BD.BC = BC , C = DA (C) Ví dụ 8.3.4 3Cho đường tròn (O) cố định, tâm O đường kính AB biến thiên đường trịn P điểm cố định mặt phẳng Gọi A , B giao điểm đường thẳng P A, P B với đường ròn (O) Chứng minh rằng: 1) Đường thẳng A B qua điểm cố định 2) Đường tròn (P A B ) qua điểm cố định thứ hai HDG: Gọi Q giao điểm P O với đường tròn (P AB), ta có OP OQ = OA.OB = −R2 suy đường tròn (P AB) qua điểm cố định thứ hai Q Xét N[P ; k] với k phương tích điểm P đường trịn (O) Ta có ảnh đường trịn (P AB) đường thẳng A B ảnh đường tròn (P A B ) đường thẳng AB Từ suy 1) A B qua điểm cố định H = N[P ; k](Q) 2) (P A B ) qua điểm cố định J = N[P ; k](O) Bài tập áp dụng Bài toán 88 Hãy chứng minh hệ 8.3 Một số phép biến hình khác 212 Bài tốn 89 Lập biểu diễn tọa độ N[I; k] với I(a; b) Bài toán 90 Trong hệ thay O điểm I khơng? Bài tốn 91 Hãy so sánh N[O; k] ◦ DO với DO ◦ N[O; k] Bài toán 92 Cho N[I; k] biến điểm A, B ∈ {I; ∞} thành điểm / A , B Chứng minh AB A B = |k| IA.IB Bài toán 93 Chứng minh định lý Ptôlêmê: Tứ giác lồi ABCD nội tiếp ⇔ AC.BD = AB.CD + AD.BC Chỉ dẫn: Xét N[A; 1] Bài toán 94 Cho tứ diện ABCD Chứng minh từ đoạn có độ dài AB.CD, BC.AD, CA.DB dựng tam giác Chỉ dẫn: Xét N[D; k] (k > 0) Chứng minh AB.CD = BC.AD = CA.DB chúng Chứng minh góc cặp cạnh đối chúng 90o Trên cạnh DA, DB, DC lấy điểm A1 , B1 , C1 cho tứ giác AA1 B1 B, BB1 C1 C nội tiếp Chứng minh tứ giác AA1 C1 C nội tiếp tồn hình cầu qua điểm A, B, C, A1 , B1 , C1 Bài toán 95 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn C(O) 1) Chứng minh với điểm M thuộc C(O), ba đoạn M A, M B, M C có đoạn có độ dài tổng độ dài hai đoạn 2) Tìm tập hợp điểm M (trên mặt phẳng sau khơng gian) cho từ ba đoạn M A, M B, M C dựng tam giác Bài toán 96 Cho hai đường tròn C(O; R) C (O ; R ) tiếp xúc với Một đường thẳng ∆ tiếp xúc với C, C hai điểm A, B khác Hãy dựng đường tròn tiếp xúc với C, C ∆ Chỉ dẫn: Xét N[A; AB ] Bài tốn 97 10 Cho hai đường trịn C < C cắt hai điểm A, B phân biệt Trên đường thẳng (AB) lấy điểm P = A, B nằm C, C Hãy dựng đường tròn qua P , tiếp xúc với C C Chỉ dẫn: Xét N[P ; P A.P B] Bài toán 98 11 Chứng minh hệ thức Euler tam giác: OI = R2 − 2Rr, O, I tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Chỉ dẫn: Xét N[I; r2 ] Bài tốn 99 12 Cho đường trịn C đường kính N S ∆ tiếp tuyến với C S Điểm O nằm ngồi hình trịn C không nằm tiếp tuyến N C Kẻ hai tiếp tuyến OA, OB tới C Các đường thẳng (N A), (N O), (N B) cắt ∆ A , O , B Chứng minh O trung điểm A B Chỉ dẫn: Xét N[N ; N S ] 213 8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình 8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình Trong phần ta đưa số tập nhằm mở rộng, nghiên cứu sâu lý thuyết phép biến hình phương pháp giải tích dựa vào biểu diễn tọa độ 8.4.1 Bài tập lý thuyết Bài tốn 100 Hãy viết phương trình ( tổng quát, tham số, tắc ) đường thẳng hệ trục tọa độ: affin, cực tỷ cự Bài toán 101 Tùy theo giá trị hệ số, khảo sát hình dạng đường cong G cho phương trình bậc hai tổng quát mặt phẳng tọa độ Oxy: ax2 + by + cxy + dx + ey + f = (với |a| + |b| + |c| = 0) Bài toán 102 Nghiên cứu số phép biến hình mặt phẳng tọa độ có biểu diễn tọa độ khác Bài tốn 103 Xây dựng phép biến hình khơng gian tương tự với phép biến hình phẳng học nghiên cứu phép biến hình khơng gian gồm: +) Định nghĩa (hình học vectơ) +) Biểu diễn tọa độ +) Phương pháp dựng ảnh +) Các tính chất, bất biến, hình kép, +) Sử dụng phép biến hình khơng gian giải tốn hình học khơng gian Bài tốn 104 Nếu quy tắc f áp dụng toàn mặt phẳng ¶ khơng song ánh f khơng phép biến hình ¶ Khi đó, tồn tập D ⊆ ¶ cho quy tắc f : D −→ f (D) song ánh ta gọi quy tắc f : D −→ f (D) phép biến hình miền D Hãy xây dựng số phép biến Bài tốn 105 Hãy nghiên cứu phép biến hình xác định biểu diễn tọa độ:  x =  x y =  y Bài tốn 106 Cho hai phép biến hình f, g có biểu diễn tọa độ: f: x y = f1 (x; y) = f2 (x; y) g : x y = g1 (x; y) = g2 (x; y) Hãy viết biểu diễn tọa độ f ◦ g g ◦ f Bài toán 107 Cho phép biến hình f Cho điểm M biến thiên miền G Điểm M biến thiên thoả mãn M = f (M ) Chứng minh quỹ tích điểm M f (G) Bài tập sở cho phương pháp tìm quỹ tích ( tập hợp điểm ) cách sử dụng phép biến hình 8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình 214 Bài toán 108 Cho a, b, c, d, p, q, r, s số thực cho hệ phương trình:  x = ax + by  px + qy (i) y = cx + dy  rx + sy có nghiệm (x; y) ∈ D với (x ; y ) ∈ D1 1) Hãy xác định tập D, D1 2) Hãy nghiên cứu phép biến hình có biểu diễn tọa độ từ D lên D1 Bài toán 109 10 Cho đường thẳng d vectơ u d Phép biến hình f = Dd ◦Tu gọi phép đối xứng trượt trục d, vectơ trượt u, ký hiệu D[d; u] Hãy chứng minh: Dd ◦ Tu = Tu ◦ Dd Phép đối xứng trượt phép dời hình nghịch D[d; 0] = Dd Cho d : Ax + By + C = (A2 + B = 0) u(a; b) Hãy viết biểu diễn tọa độ D[d; u] Bài toán 110 11 Chứng minh phép dời hình đều: +) Hoặc phép tịnh tiến (kể phép đồng nhất) +) Hoặc phép quay (kể trường hợp đặc biệt phép đối xứng tâm) +) Hoặc phép đối xứng trục +) Hoặc tích hữu hạn phép biến hình nói Bởi vậy, ba phép dời hình: Tu ; Qα ; D∆ gọi ba phép dời hình I Bài tốn 111 12 Chứng minh rằng: Tu = Dd ◦ D∆ với ∆ d Qα = Dd ◦ D∆ với ∆ cắt d I DI = Dd1 ◦ Dd2 với d1 ⊥d2 I D[d; u] = Dd1 ◦ Dd2 ◦ Dd3 Mọi phép dời hình phân tích thành tích k phép đối xứng trục Nếu k chẵn ta có phép dời hình thuận, cịn k lẻ ta phép dời hình nghịch (Bởi vậy, thực chất có phép dời hình phép đối xứng trục.) Bài toán 112 13 Ta biết phép dời hình f biến tam giác ABC thành tam giác A B C ∆ABC = ∆A B C (cùng chiều ngược chiều) Hãy chứng minh ∆ABC = ∆A B C (cùng chiều ngược chiều) tồn phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A B C Bài toán 113 15 1) Hãy chứng minh định lý sau: Định lí 26 Cho phép dời hình f = Id Chứng minh rằng: f phép quay ⇔ f có điểm bất động 8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình 215 Bài tốn 114 16 Trên mặt phẳng ¶ cho hai hệ tọa độ affin: {O; i; j} (∗) {O ; i ; j } (∗ ) Biết tọa độ điểm O vectơ i , j hệ tọa độ (∗) là: i = (a; a ) ; j = (b; b ) ; O (c; c ) Giả sử điểm M mặt phẳng ¶ có tọa độ M (x; y) / (∗) M (x ; y ) / (∗ ) Chứng minh x = ax + by + c (I) y =ax +by +c (I) cịn gọi cơng thức đổi tọa độ affin từ hệ sở (∗ ) sang hệ sở (∗) Biểu thức det = ab − a b (= 0) gọi định thức cơng thức (I) Bài tốn 115 17 Chứng minh rằng: 1) Mọi phép dời hình thuận phép tịnh tiến phép quay (kể hai trường hợp đặc biệt phép quay DI Id ) 2) Mọi phép dời hình thuận phép đối xứng trượt (kể trường hợp đặc biệt D∆ ) Bài tốn 116 18 Cho hai đoạn thẳng AB A B Gọi M, M hai điểm chia AB A B theo tỷ số k (k = 1) Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng M M AB cố định, A B biến thiên thoả mãn A B = AB Bài toán 117 19 Trên mặt phẳng phức C với phép toán số phức, chứng minh phép biến hình sau có biểu diễn tọa độ tương ứng: DO : z = −z O(0) gốc tọa độ Dx Ox : z = z (z số phức liên hợp số phức z) Qα : z = qz (q = cos α + i sin α ) O k VO (k ∈ R ) : z = kz k Qα ◦ VO : z = pz (p = k(cos α + i sin α ) O Cho A(a), DA : z = 2a − z Cho A(a), Qα : z = q(z − a) + a q xác định A k Cho A(a), VA : z = k(z − a) + a k Cho A(a), Qα ◦ VA : z = p(z − a) + a p xác định A 10 N[O; k] : z = 8.4.2 k z Sử dụng phép biến hình giải tập hình học Trong mục ta xét tập hình học tuý giải cách sử dụng phép biến hình Ngồi tập nêu SGK tài liệu tham khảo, ta đưa thêm số tập sau Những tập đưa thường khơng có lời giải có hướng dẫn giải (HDG: ) 8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình 216 Bài tập phép tịnh tiến song song Bài toán 118 Cho hai dây cung không cắt AB, CD đường trịn tâm O Tìm đường trịn điểm X cho dây cung AX, BX định dây cung CD đoạn EF có độ dài a cho trước Bài toán 119 Cho hai đường tròn C1 , C2 cắt hai điểm phân biệt A B Hãy dựng qua A đường thẳng ∆ cho đoạn thẳng đường thẳng nămg hai đường trịn cho có độ dài 2l cho trước Bài toán 120 Cho hai đường thẳng d1 , d2 song song với hai điểm A, B nằm dải mặt phẳng giới hạn hai đường thẳng (A phía d1 , cịn B phía d2 ) Tìm M ∈ d1 , N ∈ d2 cho M N ⊥d1 AM + M N + N B ngắn ˆ ˆ Bài tốn 121 Cho hình thang ABCD có A < D Chứng minh BD < AC Bài tập phép đối xứng Bài toán 122 Cho điểm A nằm miền góc nhọn xOy cho trước Hãy dựng tam giác ABC có chu vi nhỏ cho đỉnh B, C nằm hai cạnh (mỗi đỉnh thuộc cạnh) góc cho Bài toán 123 Cho tam giác thường A1 A2 A3 Gọi A1 C1 , A2 C2 , A3 C3 đường phân giác tam giác Ký hiệu Bij điểm đối xứng với đỉnh Ai qua đường thẳng Aj Cj Chứng minh đường thẳng B12 B21 , B13 B31 , B32 B23 đơi song song Bài tốn 124 Cho tam giác nhọn ABC Hãy nội tiếp tam giác tam giác có chu vi nhỏ Bài tốn 125 Chứng minh hình phẳng có hữu hạn trục đối xứng trục đối xứng cắt điểm cặp trục kề tạo với góc Bài toán 126 Chứng minh đa giác có tâm đối xứng số cạnh đa giác chẵn hai cặp cạnh đối song song Bài tốn 127 Trong đường trịn C cho hai dây cung AB CD Q điểm bất kỳ, cố định dây cung CD Tìm đường trịn điểm M cho đường thẳng AM, BM chắn dây CD đoạn thẳng KL bị chia đôi điểm Q Bài tốn 128 Cho đường trịn C ba đường thẳng a, b, c qua tâm O C Hãy dựng tam giác ABC nhận C làm đường trịn nội tiếp có dỉnh nằm đường thẳng cho (mỗi đỉnh thuộc đường) Bài toán 129 Hãy dựng tứ giác ABCD biết độ dài cạnh tứ giác đường ˆ chéo AC phân giác góc A Bài toán 130 Trên mặt phẳng cho ba đường thẳng d1 , d2 , d3 Biết d1 cắt d2 P Hãy dựng hình vng có đường chéo nằm đường thẳng d3 hai đỉnh khơng thuộc đường chéo nằm đường thẳng d1 d2 8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình 217 Bài tập phép quay Bài toán 131 1) Hãy chứng minh định lý sau: Định lí 27 Cho hai điểm O1 , O2 phân biệt, hai góc α1 , α2 dấu, thoả mãn |α1 + α2 | < 2π Chứng minh rằng: Qα2 ◦ Qα1 = Qα1 +α2 O2 O1 O Trong O giao hai đường thẳng d1 , d2 với d1 tạo ảnh đường thẳng (O1 O2 ) α1 qua phép quay tâm O1 , góc cịn d2 ảnh đường thẳng (O1 O2 ) qua phép quay α2 tâm O2 , góc 2) Với điều kiện định lý trên, xác định Qα1 ◦Qα2 chứng tỏ tích O1 O2 hai phép quay khác tâm khơng có tính giao hốn 3) Hãy xét trường hợp |α1 + α2 | = 2π Sử dụng kết ta giải bốn tập sau Bài toán 132 Trên mặt phẳng cho hai hình vng A1 B1 A2 C1 A2 B2 A3 C2 với đỉnh chung A2 Gọi )1 , O2 tâm hình vng đó, B, C trung điểm cạnh B1 B2 , C1 C2 Chứng minh O1 BO2 C hình vng HDG: Xét 0 f := Q902 ◦ Q901 : B1 −→ B2 O O ⇒ f = DB ⇒ ∆O1 BO2 vuông cân Tương tự, ∆O1 CO2 vng cân Bài tốn 133 Trên cạnh A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 tam giác A1 A2 A3 dựng hình vuông với tâm O1 , O2 , O3 nằm phía ngồi tam giác Chứng minh rằng: 1) Các đoạn O1 O2 O3 A3 vng góc với 2) Các trung điểm cạnh A3 A1 , O1 O2 , A3 A2 , A3 O3 đỉnh hình vng 3) Diện tích hình vng tâm O3 gấp tám lần diện tích hình vng nói phần 2) HDG: 1) Gọi B1 trung điểm A2 A3 , có Q901 : A3 O3 −→ O1 O2 ⇒ 2) Gọi B2 trung B 900 900 điểm A1 A3 Xét QB2 ◦ QB1 làm tương tự tập 3) B2 B1 đường trung bình tam giác A1 A2 A3 Bài toán 134 Trên mặt phẳng cho 12 điểm đỉnh hình vng: A1 B1 A2 C1 , A2 C2 A3 B2 , A3 B3 A4 C3 , A4 C4 A1 B4 ( đỉnh hình vng xếp theo chiều kim đồng hồ ) Chứng minh B1 B2 B3 B4 C1 C2 C3 C4 hình bình hành (có thể suy biến) thu từ qua phép quay góc 900 HDG: Xét tích hai phép quay với góc quay 900 tâm quay đỉnh tương ứng hình vng cho Bài toán 135 Hai điểm A, B chuyển động với vận tốc góc hai đường trịn C(O1 ), C(O2 ) ngược chiều kim đồng hồ Chứng minh đỉnh C tam giác ABC chuyển động đường trịn 8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình 218 Bài toán 136 Trong tam giác ABC cho điểm M cho √ AM = ; BM = ; CM = Hãy tính BC, ∠AM B ; ∠AM C HDG: Xét phép quay tâm (C) góc 600 cho A −→ B √ Đáp số:BC = 7, ∠AM B = 1500 ; ∠AM C = 1200 Bài toán 137 Trong tam giác ABC cho điểm M cho √ AM = ; BM = ; ∠AM B = 1050 Hãy tính CM, ∠BM C Đáp số:CM = 1, ∠BM C = 1050 ˆ Bài tốn 138 Cho hình thoi ABCD có A = 1200 Trong hình thoi lấy điểm M cho AM = 1, CM = 2, BM = Hãy tính DM, AB √ √ HDG: Xét phép quay Q60 cho C −→ B Đáp số:AB = 7, DM = A Bài tốn 139 Cho tam giác ABC Trong góc ∠ACB lấy điểm M cho √ AM = 2, BM = 2, ∠AM C = 150 Hãy tính CM ∠BM C √ HDG: Xét phép quay Q60 cho A −→ B Đáp số:CM = + 3, ∠BM C = 300 C Chú ý Trong tập −→ ta sử dụng kết quan trọng hình học tam giác là: Định lí 28 (Pompei) Trên mặt phẳng chứa tam giác ABC lấy điểm M Khi đó: 1) Từ ba đoạn AM, BM, CM dựng tam giác M khơng thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 2) Trong ba đoạn có đoạn có độ dài tổng độ dài hai đoạn lại M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài tốn 140 10 Hãy tìm tập điểm mà từ ba đoạn thẳng nói ý dựng được: a) Một tam giác vuông b) Một tam giác nhọn c) Một tam giác tù d) Một tam giác cân d ) Một tam giác Bài tốn 141 11 Cho tam √ vng cân ABC, C = 900 Trong tam giác lấy điểm giác M cho AM = 2, BM = 2, CM = Hãy tính AC, ∠BM C, ∠CM A HDG: Xét phép quay Q90 cho A −→ B C √ Đáp số:AC = 5, ∠BM C = 1350 , ∠CM A = 900 Bài toán 142 12 Cho tam giác vuông cân ABC, C = 900 Trong tam giác lấy điểm M cho AM = 2, ∠AM B = 1200 , ∠AM C = 1050 Tính BM, CM √ √ Đáp số:BM = 3, CM = Bài toán 143 13 Cho tam giác vuông cân ABC, C = 900 Trong góc ACB lấy điểm M cho BM = CM, ∠AM C = 750 Chứng minh AC = CM, ∠BM C = 600 Bài toán 144 14 Cho tam √ vuông cân ABC, C = 900 Trong góc ACB lấy điểm giác M cho BM √ 1, CM = 2, ∠BM C = 1050 Hãy tính AM, AB, ∠AM C = √ Đáp số:AM = ; AB = + ; ∠AM C = 750 8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình 219 Các tập phép biến hình nghịch đảo Xem thêm [3] Bài tốn 145 Ta coi đường thẳng [¶] đường trịn qua điểm ∞ Khi đó, chứng minh N[I; k] biến tập đường tròn vào Ngồi đường trịn qua cực I biển thành đường tròn qua điểm ∞ (là ảnh cực I ), đường tròn qua điểm ∞ biến thành đường tròn qua cực I ( ảnh điểm ∞ ), đường tròn qua I ∞ hình kép N[I; k] √ Bài toán 146 Xét phép nghịch đảo N[I; k] (k > 0) Ta biết đường tròn C(I; k) tập điểm bất động N[I; k] Nếu M = N[I; k](M ) hai điểm M, M √ gọi đối xứng với qua đường tròn nghịch đảo C(I; k) Chứng minh rằng: √ 1) Với điểm M ∈ C := C(I; k), ta có N[I; k](m) = M 2) Với điểm M nằm ngồi hình trịn C, kẻ hai tiếp tuyến M A, M B tới C Đường thẳng (IM ) cắt đường thẳng (AB) M (M trung điểm AB ) Khi hai điểm M, M đối xứng với qua đường tròn C 3) Với điểm M nằm hình trịn C, kẻ đường thẳng vng góc với (IM ) M Đường thẳng cắt C hai điểm A, B Dựng tiếp tuyến với C A, B Chúng cắt M Khi hai điểm M, M đối xứng với qua đường trịn C √ Bài tốn 147 Chứng minh ảnh miền hình tròn C := C(I; k) qua N[I; k] miền ngồi hình trịn C ngược lại Bài tốn 148 Chứng minh qua N[I; k] ảnh hai đường trịn tiếp xúc ngồi với hai đường trịn tiếp xúc ngồi với nhau, đường trịn tiếp tuyến nó, hai đường thẳng song song Khi xảy trường hợp cụ thể? Hãy xét trường hợp hai đường trịn tiếp xúc với Bài tốn 149 Trên đường tròn C cho hai điểm A, B xét tất cặp đường tròn T1 , T2 nằm C cho T1 tiếp xúc với C A, T2 tiếp xúc với C B T1 tiếp xúc với T2 D Hãy tìm tập hợp tất điểm D HDG: Xét phép nghịch đảo cực A với đường tròn nghịch đảo T1 Ta ký hiệu X ảnh X qua phép nghịch đảo Khi đó: C T1 hai đường thẳng song song, tiếp xúc với đường tròn T2 B D Gọi tập hợp điểm cần tìm Do C điểm A, B cố định nên C , B cố định Ngoài ra, tia ∆ = [B D )⊥C ⇒ ∆ cố định Vậy D ∈ ∆ cố định Khi T1 , T2 thay đổi T1 , T2 thay đổi đường thẳng ∆ không đổi D ∈ ∆ Mặt khác, điểm D ∈ ∆ điểm tiếp xúc đường thẳng T1 với đường tròn T2 tiếp xúc với C B Vậy tia ∆ ảnh , ảnh tia ∆ qua phép nghịch đảo Đó phần nằm hình trịn C đường trịn Ω vng góc với C A B Bài tốn 150 Bốn đường trịn tiếp xúc với điểm A, B, C, D Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng viên Bài toán 151 Trên đoạn AB lấy điểm M dựng nửa đường trịn C1 , C2 với đường kính AB, AM Đường tròn C3 tiếp xúc với nửa đường tròn tiếp xúc với đường thẳng vng góc với (AB) M Chứng minh tiếp tuyến chung C2 C3 qua B (Hình 2) 8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình 220 Bài toán 152 Trên đoạn AB lấy điểm M dựng nửa đường tròn C1 , C2 , C2 với đường kính AB, AM, BM Đường trịn C(O; r) tiếp xúc với nửa đường trịn Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng (AB) (Hình 3) Bài tốn 153 Hãy dựng đường trịn T qua hai điểm A, B cho trước tiếp xúc với đường thẳng d cho trước Lời giải Phân tích: Giả sử dựng T Xét N[A; 1] : T −→ T ; B −→ B ; d −→ d Trong đó, T đường thẳng chứa B , d đường tròn chứa A Đường thẳng T tiếp xúc với đường tròn d Từ suy cách dựng T: Cách dựng: Dựng B , d ảnh B, d qua N[A; 1] Từ B kẻ tiếp tuyến T tới d Khi đó, T = N[A; 1](T ) Nói chung, tốn có hai nghiệm hình Bài tốn 154 10 Dựng đường tròn qua hai điểm cho trước tiếp xúc với đường trịn cho trước Bài tốn 155 11 Dựng đường tròn tiếp xúc với đường tròn C cho trước điểm A cho trước và: a) với đường thẳng d cho trước b) với đường trịn T cho trước Bài tốn 156 12(Bài tốn Apollonia) Dựng đường trịn tiếp xúc với ba đường trịn cho trước Bài tốn 157 13 Trên mặt phẳng cho ba điểm A, B, D Dựng hai đường tròn C1 A, C2 B cho C1 , C2 tiếp xúc với D 8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình 221 Tài liệu tham khảo Nguyễn Đăng Phất Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải tốn hình học NXB Giáo dục 2005 Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải tác giả khác Tốn bồi dưỡng Hình học 10 NXB Hà Nội 1998 Phụ san tạp chí KBANT 5/97 Lê Hải Châu Các thi chọn học sinh giỏi Tốn PTTH tồn quốc NXB GD 1995 Hội Tốn học Việt Nam Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Tuyển đề đề nghị IMO năm từ 1984 đến 2000 Đề thi vô địch 19 nước NXB Hải Phịng KBAHT Tạp chí (tiếng Nga) năm 1980 - 1985 Toán học nhà trường Tạp chí (tiếng Nga) năm 1980 - 1985 10 Đ O Scliarxki ; N N Trenxop I M Iaglom Tuyển tập tập Định lý Toán sơ cấp NXB Hayka 1976 11 Selected Problems from IMO XXX - XXXVI NXB ĐHQG Hà Nội 1995 12 J Kurshac tác giả khác Tuyển đề thi vô địch Hungary (Bản tiếng Nga) NXB Mir 1976 13 Thực hành giải toán sơ cấp NXB Giáo dục 1987 ... hai phương pháp nhất: - Phương pháp quy nạp, - Phương pháp phản chứng, năm phương pháp đặc thù để giải tốn khơng mẫu mực là: - Phương pháp suy luận trực tiếp - Phương pháp logic mệnh đề - Phương. .. thị 66 3.7.2 Phương pháp đồ thị 67 Phương pháp giải phương trình hệ phương trình 73 4.1 Phương pháp nghiệm 73 4.2 Phương pháp bất đẳng thức... 79 4.3 Phương pháp đưa hệ 84 4.4 Phương pháp đảo ẩn 87 4.5 Phương pháp sử dụng tính chất đặc biệt hệ thức 90 4.6 Phương pháp Lượng