Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ

Trang 1

§6 Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ — T rần Phương §6 TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ Ị CÁC ĐỊNH NGHĨA P(x) O(x)

1 Phân thức hữu tỉ: với P{x),O(z) là các đa thức với các hệ số thực SỐ vGi degP(x) < degQ(x) x 2 Phần thức thực sự: là phân thức hữu tỉ Pa 3 Phân thức đơn giản: Là các phân thức có Ï trong 4 dạng sau: A A Bx+C — BC xa (x-a)° xÌ+px+g (x? + px+q) (A= p’ -4q<0;kEN)

4 Định lý tổng quát về phân tích đa thức:

Mọi đa thức Q(x)#0 với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích

thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị

thức bậc nhất hoặc các tam thức bậc hai với biệt thức A<0, tức là ta có:

#

O(x) = Ăx-a,)’ ¬ yi (x? +px+4/) ¡ ăx? + PyX +p "

trong đó: A #0; a), ., a, la cac nghiệm thực phân biệt của Q(x); va pi, gq; la

các số thực thoả mãn Ạ= pˆ =4q,<0; deg Q=n,+ +y + 2, + đượn

Trang 2

Chương l; Các kĩ thuật títh tích phân — Ti rần Phương 2 Phương pháp chung tính 7= lo dx v6i degP(x) < degQ(x): x

Dinh Ip: Néu Q(x) = Ăx-a,)" (x-a Y* (x? +px+4,)" (x? + PyX+ Om)” thì mọi phân thức hữu tỉ thực sự a đều biểu diễn được dưới dạng: Xx , P(x) _ Aỵ peg At + ,+ Aa "- Ak 0G) [era (wma) a ea (ea) Đ,¡x + Cụ, B,,x+ C,„ B,„x+ Coy +15 +— pbb et xi†PrY túi (x? + px+q,) (x? + p,x+q,) + By, X + Chm By X+Czm B, „X + C, Mm : * + ¬ - + + — = c3 3 2 Say : x + Py Xt dy, (x? + PX +p ) (x? + „x+đ„}

Đề bạn đọc dé hiểu, ta xét 4 trường hợp đặc biệt với các biểu diễn tương ứng: 2.1 Nếu Q(x)=(x~ á,) (x— &_,)(x— 4 )(x~4„„) (x— a„) thì giả sử

P(x) - = 4, + + Ạ) + A, + Ay) +-:-+————,VXx A,

Q(x) x-a, X-đ_, N-a X-đại x¬dq,

2.2 Nếu @Œ)=(x—ø,) (x—a,)(x—aÝ (x-a,,,) (x-a,) thi gia str P(x) = A, feet A, + B, + B, ste t+ B, | + Ox) x-a, x-úứ_, | X— 4; (x-4,) (x—4,) A, A + /+ỉ eee n ,Wx X~Q | x =8, 2.3 O(x) =(x-a,) (x-4,_,)(° + px+q)(x-a,,,) (x-4, );(p? —4q <0) P(x) = =A, tenet A, + Bx+C + A, ` 4, Q(x) x-a, XQ) Xx + pxtq X~ Ay, x—ữ, 2.4 Q(x) =(x—a,) (x-4_,)(° + px+q) (x-a„,) (x—a,);(p? -4q<0) Pi) A, 4,1 + Bịx + C¡ "— + Q(x) x-a, x-a,, |JA + pryt+g (x? + px+ q) i+] 4, +——+ -+ , WX X~ Gy X~d,

Sử dụng phương pháp hệ số bất định, hoặc phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta sẽ xác định được các gid tri Aj, Bi, on

74

Trang 3

$6 Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ - Trần Phương IỊ CÁC DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP 1 Dang 1: Q(x) =(x-a,) (x—a;_,)(x-a;)(x~4;,,) (x-a,) 1.1 Cac bai tap mau minh haga: +1, = [725 -5x -3 he x? +x? - 2x Cách 1: Phương pháp hệ số bất định: Q(x) =x° +x? —2x =x(x — 1)(x +2) „ ?6) _ 2x -5x-3 A oS ot B + C Gia s ~ = Ox) xox? -2x x x-Ì x+2 ,VX © 2x” —5x—3=Ăx—l)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x—I),Vx @®) & 2x? -5x-3=(A+B+C)x? +(A+2B—-C)x—-2A, Vx 2A =3 A =3/2 A =3/2 © 4A+2B-C=-5 ©42B-C=-13/2©4B=-2 A+B+C=2 B+C=1/2 C=5/2

Cách 2: Phương pháp gán các giá trị đặc biệt

Thay x= 0 vào (*) suy ra: 2A =3 > A = 3/2 Thay x = | vao (*) suy ra: 3B = -6 > B= —2 Thay x = —2 vao (*) suy ra: 6C = 15 > C=5/2 l= (2s ~3x- 34 = 5 [%-2f45 3 +x? 5 " nan 2 2 3 +1, = [aA x’ -5x? +4 ae 5 Ox) 2x4 5x? 4 =(e- D(x + DOe-2) (x42) Giả _P(x) x +2 1a su ye —A =— + B — + C + Dy ,VX <S® O(x) xí-šx +4 x-1 x-2 x+l x+2

xÌ +2=Ẳ ~4)(x+I)+B(x? ~I)(x+2)+C? -4)(x—D+DÍx? —1)(x—2), Vx @®)

Thay x = 1 vao (*) thi -6A =3 a A=-1/2

Thay x = 2 vao (*) thi 12B = 10 @ B = 5/6

Thay x = —-I vao (*) thi 6C=1@C= 1/6 Thay x = —2 vao (*) thi -12D=-6 @ D= 1/2

Trang 4

STROM E Arty org eS go PỆASGYHI ABORM enn ner ES SOROS IN Chwong I: Cac ki thudt tinh tích phân — Trần Phương x? +2 eho ea +2 [Se 2 64x41 xt poe ] 5 ] ] =—=ln|x~l|+ =In|x=2|+ —In|x + 1|+ —In|x + 2|+c 2 6 6 2 2x” -8x+ 10 I= fa 5 - dx; O(x)=x' +x? -4x-4=(x44+ 1) (x-2)(x + 2) x +x -4x-4 , , P(x) 2xÌ-8x+10 A B lơi Giả sử =————- = + + , Vx O(x) x +x —-4x-4 x+i x-2 x+2 o> 2x? ~8x +10 =A (x? —4) + B(x 4 D(x 42) 4+ C(x 4+ D(x -2), Vx (*) Thay x =—-1 vao (*) thi 20 =-3A => A = -20/3 Thay x = 2 vao (*) thh 2=12B>B= 1/6 Thay x = —2 vao (*) thi 34 =4C > C=17/2 =Í 2x —ẩx 10 " a dx x +x° -4x-4 x1 x+2 Wyciutnie-ae2apeaee 3 6 2 + ° 2 cũ, =l¬ xitl yn, PO), 2X c6 + yy P(x) IN + 6x Q(x) x” —5x* + 6x Q(x) O(x) =x? —5x° + 6x=x(x-2)(x-3) , Px) 5x -6øx+! A4 8B C Giả sử =—- ay + Olx) x -5x +ốy x x-2 x-3 Vx <> 5x? — 6x +1= Ăx —2)(x —3)+ Bx (x -3)+ Cx (x -2), Vx (*)

Thay x = 0 vao (*) thi] =6A @ A= 1/6

Trang 5

§6 Tich phan các hàm phân thức hữu tỉ - Trần Phương 2 Dang 2: Q(x) =(x—a, ) (x—a,,)(x—a,) (x —a,,,) (x—a, )

Trang 7

§6 Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ - Trần Phương

Trang 8

Chương I: Các kĩ thuật tính tích phân — Trần Phương o> x? ~1=(Ax+B)Íx? -xV/2+1)+(Cx+D)(x? +xV2 +1), Vx x? -1=(A+C)x3 +(-AV2 4+ B+Cv2 +D)x? + +(A-BV2 +C+DV2)x +(B+D), vx A+C=0 A=-⁄2/2 ~AJ2+B+CV2+D=1 |B=-1/2 > A -~BV2+C+Dvy2 =0 C= 2/2 B+D=-l D=-1/2 = L;= | dx= I x2 =] 2 v2{ ~f 1 == 2x-J2 ay [Ae a 1 2x + 2 ax’ +l 4 | gx?-xV2+1 9 px? +xv241 _ v2 ' 2 x 2 _ x3 +1] _ V2 *={nlx —X 2+l|—nlx” +av/2 + ¬—m.h.h.n +2 1| =k n(3~ 2/2) + dx eJ[,= , lop Ta có: O(x)=axle + D=x(x4 D(x? -~x+1) Gia su P(x) 1 A B Cx+D ve Q(x) “yO 4) +1) —Y X+I x x4) © 1=Ăx)+1)+Bx(x?—=x+1)+(Cx+D)x(x+1),Vx @) Thay x = 0 vao (*) thi A = 1

Trang 9

Ñ6 7ích phân các hàm phan thite hitu tr — Trần Phương dx ° L, 3 =| 3vf+xv +x+2 5 wt ex? t+x-/] Olxndex ox tx ex +x=1I=y- 07 +x +7) ¬ 1) ~ P(x) _ Byi +e 4x42 Ạ Bx+C Dx Gia su Soo r ; 5 ——+— + O(x\) x°—-x“+xÌ—x +x-Í A-Ìl X-AY+7 v+x+j ©3x'+x)+x+2=Ăx†+x +1Ì+(Bx+C)(x=ID(x?+x+1)+ +(Dx + EMx-DỎ =x 4D vx (4) Thay x = 1 vao (*) thi6=3A >A=2 Đồng nhất các hệ số 2 về của (*) ta có: A+B+D= B+D=l A=2 P C+E-2DÐ=0 len ae B=l (A-C-2E+2D=1€ C+2Ẽ2D=14C=-I -B-D+2E=! |D=0 lẠ-=C-E= I C+E=0 |E=l 3 3 3+ ` f 3x! bX7 +x4+2 ca xe] | \

L, : | sử iw = Í————-+ rể TT TT 7 Try tm arenes idx

Trang 10

Chương I: Các kĩ thuật tính tích phân -— Trần Phương 4 Dạng 4: Q(x) =(x —d;) (x —a,_)@2 +pX +q)“ (x — đ„j); (p? — 4q < 0) 4.1 Phương pháp: 2<meN Xét đại diện nguyên hàm bộ phận: 7„ = _x+ C)dx với (x?+ px+a}” p -4q<0 2 “` 08) pa (x? +px+q)_ x’ +px+q x? +px+q) - B l -B) ok 20 -m)(x? + px+q}” 2 ? (x +px+q)- p a{x+2) Dat J = dx — =Í 2 - = f dt - x + px +q) ( P) Hộp (t? +ả) X+=] + 2 4 ; 4q-p dt với tẽx+tf;a= 4E, Ta sẽ tính J„ = |—————— theo 2 cách 2 2 Pag) Cách I: Phương pháp lượng giác: fe dat/ cos’ m-

Dat t=atga>adt= aden =>J,= adG//cos >= = [(co a)? da

COSA lả (1 + tg?a) |

Trang 12

Chương I: Các kĩ thuật tính tích phân ~ Trần Phương , sIŠ 4 $ 2 ~6 MÔ, d(x —3) x-3F 7 dt = ST | +28 = + arctg —¬— =—+ 28 | ——— Vx ~6Ox +13 4, (x= 3) +4] a 1 2 ` [Ú +4] dt | 2da Xét A/= [——“—-~ Đặt ,=2tgư =dr= 2 st? +4=4(tg”œ+l) = 3 mm 4 COS’ a COS” œ TL t= -)=>@Œ= se te Loa : ‡ ? no 2d n/4 dt “Pdẹ => M= |= = [ — 1G =~ Ỉ (1+ cos 2œ) dœ 2 T * 7 } ~2 (t + 4) EE COST Olt re 16 - m4 cos’ a z z4 z Lƒ -lœ 3 1 2¢ | Lí pm ba pm pH | EH ấn lì nw Í Lak 2 | 16,4 2 4 2 32 16 1 Tt fn 1À iin 7 é abe € i = L, 2 + OSM = 4+ 38 chown | —— + —— 2 3 \32 16) 8 4 4 3 2x7 +2n +13 ° L, = [== _ dx ¡{x-2)(v +7) Cy, 2v) +2 + /3 / VEC wt E G ta sử PO) a = AL “E _Bx+CS + Dx + Vx OW) (pore atl X2 (4D WEL M

<> 2X +2x+Iä= ĂX? +IƑ +(Bx+€)(x~2)+(Dx+E)(x—2)(x?+l).Vx

Trang 13

§6 Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ - Trần Phương L,= [2 t2X+H, 2x?+2x+13 ax = | _ [ast 3x+4 ox ft 3(x- 2)(x? +1) 3 2 tuy x? +1 4 4 4 4 =f dx -5f 2xdx -4f-S 1 Pa 2xdx 2 ox yx-2 (x2 41) 3 (x? ty 3X yx +] 4 4 3 “dx (: =| In|x —2} -————~ ] - 4 | - Hin (x? +1) +2aretex) | Kỏ Kea), Ị ? A2 š(x? +1) 3 = —In 49 + 21 — 2arctg4 + 2arctg3 — 4 is 2 17 340 (x? + 1) dx da Xét M = [—“—— Đặt x=tga > dk =d(tga)= - 724) cosa 4 arctg 4 2 arctg 4 2 — M= | a -= do/cos ° _ { dơ/cos s 3 (x? + 1) arctg3 (tg a + 1) arctg3 l ) cos’ a

arctg+4 1 arctg4 1 1 arctg 4

= | cos’ ada =— | (1 + cos 2a) do AG +—sin 2a

arctg3 2 arctg 3 2 2 arctg3