TÍCH PHÂN BỘI docx

Chơng Tích phân bội 2.1 tích phân hai lớp Bài toán dẫn đến tích phân hai lớp HÃy tính thể tích vật thể, giới hạn mặt phẳng Oxy, mặt trụ có đờng sinh song song trục Oz tựa đờng cong L thuộc mặt phẳng Oxy mặt S có phơng trình: z=f(x,y) z=f(x,y) hàm số xác định, liên tục, không âm miền D đóng, bị chặn, có biên L Hình Chia tuỳ ý miền D thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau, gọi tên diện tích mảnh nhỏ là: S1, S2, , Sn Lấy mảnh nhỏ làm đáy, dựng hình trụ mà mặt xung quanh song song trục Oz Nh vật thể đà cho đợc chia thành n vật thể nhỏ có mặt giới hạn mặt S Trên Si lấy tuỳ ý điểm Mi(xi,yi) (i= 1, n ), đờng kính di Si nhỏ vËt thÓ nhá thø i cã thÓ tÝch thÓ xÊp xØ: ∆Vi ≈ f ( xi , y i ).∆S i ®ã cã thĨ xem thĨ tÝch V cđa vËt thÓ xÊp xØ: 44 n V ≈ ∑ f ( xi , y i ) ∆S i (1) i =1 Phép xấp xỉ xác nếu n lớn Si có đờng kính nhỏ Khi cho n → ∞ cho maxdi→0 th× tỉng n ∑ f ( x , y ) ∆S i =1 i i i sÏ dÇn tíi thĨ tÝch V cđa vật thể đà cho Định nghĩa tích phân hai lớp Cho hàm số z=f(x,y) xác định miền đóng bị chặn D Chia tuỳ ý miền D thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau, gọi tên diện tích mảnh nhỏ là: S1, S2, , Sn Trên mảnh Si lấy tuỳ ý ®iĨm Mi(xi,yi) (i= 1, n ) Tỉng n I n = ∑ f ( xi , y i ) ∆S i (2) i =1 đợc gọi tổng tích phân hàm z=f(x,y) miền D Gọi d i ®êng kÝnh cđa m¶nh ∆Si, nÕu cho n → cho maxdi0 mà In dần đến giới hạn xác định I không phụ thuộc cách chia miền D cách chọn điểm Mi(xi,yi) I đợc gọi tích phân hai lớp hay tích phân kép f(x,y) D ký hiệu: I = f ( x, y )dS (3) D D đợc gọi miền lấy tích phân, f(x,y) gọi hàm dới dấu tích phân, tích phân (3) tồn ta nói hàm f(x.y) khả tích miền D Vì tích phân kép tồn không phụ thuộc cách chia miỊn D nªn ta cã thĨ chia miỊn D lới hình chữ nhật, yếu tố diƯn tÝch dS=dxdy ®ã ta cã: I = ∫∫ f ( x, y )dxdy (4) D Chó ý: (i) Ngời ta chứng minh đợc hàm số f(x,y) liên tục miền đóng bị chặn D khả tích D 45 (ii) Thể tích vật thể toán tính thể tích đợc tính b»ng c«ng thøc: V= ∫∫ f ( x, y )dxdy D (iii) Diện tích miền D đợc tính theo c«ng thøc: S= ∫∫ dxdy D TÝnh chÊt cđa tích phân hai lớp Tích phân kép có tính chất giống tích phân xác định Với giả thiết tích phân kép đợc nhắc đến tồn tại, sau ta phát biểu mà không chứng minh tính chất tích phân kép (i) [ f ( x, y ) ± g ( x, y ] dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy ± ∫∫ g ( x, y )dxdy D (ii) D D ∫∫ k f ( x, y)dxdy = k ∫∫ f ( x, y)dxdy D D ( k lµ h»ng sè) (iii) NÕu miỊn D cã thĨ chia thµnh hai miền D 1, D2 không dẫm lên thì: f ( x, y)dxdy =∫∫ f ( x, y)dxdy + ∫∫ f ( x, y)dxdy D D1 D2 (vi) NÕu f(x,y)≤g(x,y), ∀(x,y)∈D th×: ∫∫ f ( x, y)dxdy ≤ ∫∫ g ( x, y )dxdy D D (v) NÕu m, M tơng ứng trị nhỏ trị lớn f(x.y) miền D S diện tích cđa miỊn D th×: mS ≤ ∫∫ f ( x, y )dxdy MS D (vi) Định lý giá trị trung bình: Nếu f(x,y) hàm số liên tục miền đóng bị chặn D D tồn điểm M(,) cho: f ( x, y)dxdy = f (ξ ,η ).S D Tính tích phân hai lớp toạ độ Đề Các 46 a Miền D miền chữ nhật Giả sử f(x,y) hàm liên tục, không âm miền ch÷ nhËt: D= {( x, y ) a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } Khi ®ã: ∫∫ f ( x, y)dxdy D lµ thĨ tÝch cđa vËt thĨ V Gäi S(x) lµ diƯn tÝch cđa thiÕt diện mặt phẳng vuông góc với trục Ox với vật thể x[a,b], theo công thức tính thể tích vật thể tích phân xác định ta cã: V= ∫∫ D b f ( x, y )dxdy = S ( x )dx ∫ (5) a Do S(x) yếu tố diện tích nên ta có: d S ( x) = ∫ f ( x, y )dy (6) c Theo giả thiết f(x,y) hàm liên tục miền D nên S(x) hàm liên tục [a,b] nên S(x) khả tích [a,b] Thay (6) vào (5) ta cã: b d f ( x, y )dxdy =  f ( x, y )dx  dy ∫∫  ∫ ∫ D a c  Ta cã thÓ viÕt: ∫∫ D b d a c f ( x, y )dxdy = dx f ( x, y )dy ∫ ∫ (7) NÕu gäi S(y) lµ diƯn tÝch cđa thiÕt diện mặt phẳng vuông góc với trục Oy với vật thể y[c,d], ta có: d b c a ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx D (8) Ngêi ta chứng minh đợc công thức (7) (8) f(x,y) liên tục có dấu tuỳ ý D 47 H×nh Chó ý: NÕu f(x,y)=f1(x).f2(y) th× ta cã: D d a ∫∫ b c f ( x, y )dxdy = f ( x )dx f ( y )dy ∫ ∫ dxdy VÝ dô 2.1: TÝnh I= ∫∫ D ( x + y) D lµ miỊn ch÷ nhËt: {1≤x≤3, 1≤y≤2} 3  dy 2 = ∫ − dx Ta cã: I= ∫ dx ∫ x + y 1  1 ( x + y)   x +1  − dx = ln = ln =∫ x +1 x + 2 x+2 b Miền lấy tích phân hình thang cong NÕu D={a≤x≤b, y1(x)≤y≤y2(x)} ta cã: b y2 ( x ) a y1 ( x ) ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy D (9) Thật vậy, f(x,y)0 với x[a,b], gọi S(x) diện tích hình thang cong có cạnh [y1(x),y2(x)], ®ã: 48 ∫∫ D b f ( x, y )dxdy = ∫ S ( x) dx a y2 ( x ) Do S(x)= ∫ f ( x, y)dy , thay vµo ta cã: y1 ( x ) ∫∫ D b y2 ( x ) a y1 ( x ) f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy Công thức f(x,y) có dấu thay đổi Tơng tự, D={cyd, x1(y)xx2(y)} ta có: ∫∫ D VÝ dô 2.2: d x2 ( y ) c x1 ( y ) f ( x, y )dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx (10) H×nh TÝnh I= ∫∫ ( x − y ) dxdy , với D miền giới hạn D đờng: y=x y=2-x (Hình 4) 49 Hình Để tìm giao điểm hai đờng ta có phơng trình: -x2-x+2=0 điểm giao hai đờng là: (x=-2, y=-2); (x=1, y=1) Trên hình vẽ ta chọn công thức (9) ®ỵc: 1 2− x  2− x 2 2− x  − y I= ∫ dx ∫ ( x − y )dy = ∫  xy  dx x x  −2  −2 x  x4  81 − x + x + x − 2dx = − = ∫ − 2 20  −2  VÝ dô 2.3: TÝnh I= ∫∫ ( x + y )dxdy , với D miền xác định D đờng y=0, y=(x+1) , x=siny (Hình 5) Hình Đờng y=(x+1) hay x= y x=siny cắt x=0,y=1; đờng y=0 x=siny cắt x=y=0 Ta chọn công thức (10) đợc: sin y 1 sin π y  1 dy ∫ ( x + y )dx = ∫  ( x + y ) I= ∫  dy y −1  0  y −1 50 [ = ] [ 2 ∫ (sin πy + y) − ( y − + y) dy 20 ] 2 = ∫ sin πy + y sin πy + y + y − y y − dy = + 20 15 c Miền lấy tích phân giới hạn đờng cong kín Giả sử miền lấy tích phân D giới hạn đờng cong kín L mà đờng thẳng song song với trục Ox cắt L không hai điểm Dựng hình chữ nhật {axb, cyd} mà cạnh tiếp xúc với L điểm M,N,P,Q(Hình 6) Hình ^ ^ ^ ^ Các điểm M,P chia biên L D thành hai cung MNP MQP có phơng trình theo thứ tự: y=y1(x), y=y2(x) ta tính tích phân theo c«ng thøc: b y2 ( x ) a y1 ( x ) ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx f ( x, y)dy D Các điểm N, Q chia biên L D thành hai cung NMQ NPQ có phơng trình theo thứ tự là: x=x1(y), x=x2(y) 51 ta tính tích phân theo c«ng thøc: d x2 ( y ) c x1 ( y ) ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx D VÝ dơ 2.4: §ỉi thø tù lÊy tÝch ph©n: x 1 x I= ∫ dx ∫ f ( x, y )dy BiÓu diễn hình học miền lấy tích phân: D= 1 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ x x Vẽ đờng x=1, x=2, y= , y=x ta đợc (Hình 7): x Hình Vì đờng cong bên dới không trơn nên ta chia miỊn D thµnh hai miỊn D1 vµ D2, y=x y= cắt y=1 nên ta có: x 1  D1=  ≤ y ≤ 1, ≤ x ≤ 2 y 2  D2= {1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2} VËy ta cã: 52 2 2 y y I= ∫ dy ∫ f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx Qua ví dụ ta thấy, tính tích phân ta nên chọn thứ tự tích phân cho cách tính đơn giản Chú ý: Xét miền lấy tích phân D đối xứng qua trục Oy (đối xứng với biến x), đó: (i) Nếu hàm lấy tích phân lẻ x, tức f(-x,y)=-f(x,y) thì: f ( x, y)dxdy = D (ii) NÕu hµm lÊy tích phân chẵn x, tức f(-x,y)=f(x,y), gọi D1 nửa bên phải trục Oy D thì: ∫∫ f ( x, y)dxdy = 2∫∫ f ( x, y )dxdy D D1 Tơng tự ta có kết ®èi víi miỊn ®èi xøng qua Ox ( ®èi xøng víi biÕn y)   x − y  x dxdy , D miền Ví dụ 2.5: TÝnh I= ∫∫   cos y + D giới hạn đờng y=0, y=-x +4 (Hình 8) Hình Giao điểm hai đờng nghiệm phơng trình: -x2+4=0, x1=-2, x2=2 53 Hình 20 Khi ta có: (i) Khối lợng cđa b¶n: 2x 0 m= ∫ dx ∫ (6 x + y + 6)dy = 14 (ii) Mômen tĩnh theo Ox Oy là: 2x Mx= ∫ dx ∫ y (6 x + y + 6) dy = 11 0 2x 0 My= ∫ dx ∫ x(6 x + y + 6)dy = 10 (iii) Toạ độ trọng tâm M M 11 xc= y = , yc= x = m 14 m (vi) Mômen quán tính với trục Ox vµ Oy lµ: 2x Ix= ∫ dx ∫ y (6 x + y + 6)dxdy = 12 0 2x 0 Iy= ∫ dx ∫ x (6 x + y + 6) dxdy = 39 2.3 TÝch ph©n béi ba Định nghĩa tích phân bội ba Cho hàm f(x,y,z) xác định miền đóng giới nội V không gian Oxyz Chia t ý miỊn V thµnh n miỊn nhỏ không dẫm lên nhau, gọi tên thể tích miền nhỏ là: V1, V2,, Vn Trong miỊn ∆Vi lÊy t ý mét ®iĨm Mi(xi,yi,zi) (i= 1, n ) Tæng: n In= ∑ f ( xi , y i , z i )∆Vi i =1 70 gäi tổng tích phân f(x,y,z) V Gọi di đờng kính miền nhỏ Vi, cho n cho maxdi0 tổng In dần đến giới hạn xác định I không phụ thuộc cách chia miền V cách chọn điểm Mi I đợc gọi tích phân ba lớp hàm f(x,y,z) miền V đợc ký hiệu: I= f ( x, y, z )dV V NÕu tÝch ph©n tån ta nói hàm f(x,y,z) khả tích miền V Vì tích phân bội ba không phụ thuộc cách chia miền V, nên ta chia V mặt phẳng song song với mặt phẳng toạ độ, ®ã ta cã: dV=dxdydz ®ã ta cã: ∫∫∫ f ( x, y, z )dV = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz V V Chó ý: (i) Ngêi ta chứng minh đợc, f(x,y,z) liên tục V khả tích miền (ii) Nếu f(x,y,z) khối lợng riêng V điểm M(x,y,z) tích phân f ( x, y, z )dV khối lợng V V (iii) Nếu f(x,y,z)1 dxdydz b»ng thĨ tÝch cđa V V (vi) TÝch ph©n béi ba có tính chất giống tích phân bội hai Tính tích phân bội ba toạ độ Đề 71 Giả sử hình chiếu mặt Oxy V D V đợc giới hạn mặt: z1(x,y) z2(x,y), z1(x,y) z2(x,y) hàm liên tục D., ta có: I= ∫∫∫ f(x, y, z)dx dy dz = ∫∫ dxdy V D z2 ( x , y ) ∫ f ( x, y, z )dz z1 ( x , y ) Nếu miền D đợc giới hạn đờng y1(x), y2(x) y1(x) y2(x) liên tục [a,b] th× ta cã: b y2 ( x ) a y1 ( x ) I= ∫ dx ∫ z2 ( x , y ) dy ∫ f ( x, y, z )dz (16) z1( x , y ) H×nh 21 VÝ dơ 2.17: TÝnh I= ∫∫∫ zdxdydz , ®ã V miền giới hạn V mặt phẳng toạ độ mặt x+y=1, x 2+y2+z2=1, z0 (Hình 22) 72 Hình 22 Trên hình vẽ ta có: 1− x 1− x − y 0 I= ∫ dx ∫ dy ∫ 1− x 1 zdz = ∫ dx ∫ z 20 1− x − y dy 1− x 1  y  1− x 2 = ∫ dx ∫ (1 − x − y ) dy = ∫  y − x y −  dx 20 0    1 1 3 = ∫ (1 − x − x + x )dx + ∫ (1 − x) d (1 − x) 20 60 1 x2 x3 x4  1 − +  + (1 − x) = = x−   24 2  Đổi biến tích phân bội ba XÐt tÝch ph©n I= ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz V Trong f(x,y,z) liên tục V Khi dïng phÐp ®ỉi biÕn:  x = x(u , v, w)  (17)  y = y (u , v, w)  z = z (u , v, w)  Tơng tự nh tích phân bội hai ta có kết sau: Giả sử: (i) u(x,y,w), v(x,y,w) z=z(u,v,w) hàm số liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng miền đóng V không gian Ouvw (ii) Các công thức (9) xác định song ánh từ V lên V (iii) Định thức Jacôbi 73 x'u x' v x' w D ( x, y , z ) J= = y 'u y ' v y ' w ≠0 D(u , v, w) z 'u z 'v z ' w miÒn V trừ số hữu hạn điểm Khi ta cã c«ng thøc: I= ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz V = ∫∫∫ f ( x (u , v, w), y (u , v, w), z (u , v, w)) J dudvdw V' a TÝch ph©n béi ba toạ độ trụ Giả sử điểm M(x,y,z) không gian có hình chiếu Oxy M(x,y) ta chuyển M(x,y) sang toạ độ cực: x = r cos ϕ   y = r sin ϕ Dïng phÐp ®æi biÕn:  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ z = z  cho M(x,y,z) Khi M(x,y,z) chuyển thành M(r,,z) gọi toạ độ trụ M (Hình 23) 74 Hình 23 NÕu { r ≥ 0, ≤ ϕ ≤ 2π , < z < +} phép đổi biến xác định song ánh toạ độ trụ toạ độ Đề Các Định thức Jacôbi phép ®ỉi biÕn lµ: cos ϕ − r sin ϕ r cos ϕ = r J= sin ϕ 0 Do ta có công thức đổi biến tích phân bội ba chuyển từ toạ độ Đề toạ độ trụ: I= f ( x, y, z )dxdydz V = ∫∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ , z )rdrdϕdz V' (18) x2 + y2 + z )dxdydz , V miền V giới hạn mặt: x2+y2=2-z, x2+y2=z2, z>0 (H×nh 24) VÝ dơ 2.18: TÝnh I= ∫∫∫ ( Hình 24 Từ phơng trình hai mặt ta có: z2+z-2=0 75 Phơng trình cho nghiệm z1=1, z2=-2 (loại) Với z=1 ta có: x2+y2=1 hình chiếu V Oxy Chuyển sang toạ độ trụ ta có: 2 2π 2− r r2  r2  z  2− r dϕ ∫ rdr ∫  + z dz = ∫ dϕ ∫ r  z +  dr I= ∫   2 r  0  0 r  2π  r 3r  21 dr = π − = ∫ dϕ ∫  2r −   2  20 0 VÝ dô 2.19: Tính I= xydxdydz , V nửa hình V cầu x2+y2+z2=1 nằm hình trụ x2+y2=x (Hình 25) Hình 25 Do tính đối xứng ta có: π cos ϕ 1− r 0 V=2 dϕ ∫ ∫ rdr ∫ r cos ϕ.r sin ϕdz π cos ϕ 0 =2 cos ϕ sin ϕdϕ ∫ ∫ r − r dr 76 π cos ϕ 0 = cos ϕ sin ϕdϕ ∫ ∫ (1 − r − 1) − r d (1 − r ) π cos ϕ   = cos ϕ sin ϕdϕ  (1 − r ) − (1 − r )  ∫ 5  π = cos ϕ sin ϕ  sin ϕ − sin ϕ +  dϕ ∫ 5 15    π π π = sin ϕd sin ϕ − sin ϕd sin ϕ + sin ϕd sin ϕ 5∫ 3∫ 15 ∫ 0 2 4 = − + = 15 35 b Tích phân bội ba toạ độ cầu Giả sử M(x,y,z) có hình chiếu Oxy M(x,y) Xét véc tơ OM véc tơ OM ' , gọi góc OM trục Oz , góc OM ' vµ Ox lµ ϕ, gäi r= OM Trên hình vẽ, OM=rsin, nên ta có: x = r sin θ cos ϕ   y = r sin θ sin ϕ  z = r cosθ Nh điểm M không gian đợc biểu diễn qua cặp ba số (r,,) gọi toạ độ M hệ toạ độ cầu, công thức công thức chuyển toạ độ từ toạ độ Đề Các sang toạ độ cầu (Hình 26) 77 Hình 26 Nếu {r0, 0, 2} công thức xác định tơng ứng một_một toạ độ Đề Các toạ độ cầu Ta có định thức Jacôbi: sin cos r cos cos ϕ − r sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ = − r sin θ J= sin θ sin ϕ r cosθ sin ϕ cosθ − r sin Từ ta có công thức đổi biÕn: I= ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz (19) V = ∫∫∫ f (r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cosθ )r sin θdrdθdϕ V' 2 VÝ dô 2.20: TÝnh I= ∫∫∫ x + y + z dxdydz , V miền V giới hạn mặt: x +y +z2x (Hình 27) Phơng trình mặt đà cho cã thÓ viÕt: 1  x −  + y2 + z2 ≤  2 phơng trình mặt cầu tâm ,0,0 có hình chiếu Oxy 1 hình tròn: x −  + y ≤ tiÕp xóc Oy nªn − ≤ ϕ ≤ 2 2 78 Hình 27 Chuyển sang toạ độ cÇu ta cã: x2+y2+z2= r sin θ cos ϕ + r sin θ sin ϕ + r cos θ = r Phơng trình x2+y2+z2x thành 0r sincos, nên ta có: π I= ∫ dϕ ∫ sin θ dθ π − π π = ∫ dϕ ∫ sin θ − π sin θ cos ϕ ∫r dr sin θ cos ϕ r dθ = π π ∫π cos ϕdϕ ∫ sin θdθ − π 2 π = −  + cos 2ϕ + cos 4ϕ dϕ (1 − cos θ ) d cosθ = 3π   ∫ 2  ∫ 10 0 VÝ dô 2.21: TÝnh I= ∫∫∫ z dxdydz , ®ã V miền giới hạn V z = x − y vµ z = x + y (H×nh 28) 79 H×nh 28 ChuyÕn sang toạ độ cầu ta có: 0 2π π I= dϕ dθ r cos θ r sin θdr ∫ ∫ ∫ = dϕ cos θ sin θ r ∫ ∫ 0 cos θ 2π =− π = dθ 4π (2 − 1) 15 Chó ý: Ta cịng dùng toạ độ cầu suy rộng phép ®æi biÕn:  x = ar sin θ cos ϕ  (20)  y = br sin θ sin ϕ  z = r cos θ  Khi ®ã J = abcr sin θ VÝ dô 2.22: TÝnh I= zdxdydz , V nửa V elipxoit (Hình 29): 80 Dùng phép đổi biến x2 y2 z + + =1 a2 b2 c2  x = ar sin θ cos ϕ   y = br sin θ sin ϕ  z = r cos ta đợc: 0 I= dϕ dθ abc r cos θ sin θdr ∫ ∫ ∫ 2π π 0 = abc dϕ sin θd sin θ r dr ∫ ∫ ∫ π r4 abc 2π sin = = πabc 4 øng dơng cđa tÝch ph©n béi ba a TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ ThĨ tÝch cđa vËt thĨ V đợc tính theo công thức: V= dxdydz V Ví dụ 2.23: Tính thể tích phần mặt cầu x2+y2+z2=1 nằm phần mặt trụ x2+y2=y (Hình 30) 81 Hình 30 1 Vì đờng x2+y2=y đờng trßn: x +  y −  = tiếp xúc 2 trục Ox có phơng trình toạ độ cực r=sin chuyển sang toạ ®é trô ta cã: π V=4 dϕ ∫ π ∫ = −2 ∫ dϕ 1− r π sin ϕ sin ϕ 0 rdr ∫ dz = ∫ dϕ sin ϕ ∫ π ∫ − r rdr π sin ϕ 42 − r d (1 − r ) = − ∫ (1 − r ) 30 dϕ π = − [(1 − sin ϕ ) − 1]dϕ = − (cos ϕ − 1)dϕ 3∫ 3∫ 0 π π 2π − = − (1 − sin ϕ )d sin ϕ + dϕ = 3∫ 3∫ 0 b Träng t©m cđa vËt thĨ Cho mét vật thể đồng chất V, có khối lợng riêng M(x,y,z) lµ ρ ( x, y, z ) , ta có khối lợng vủa vật thể là: m= ∫∫∫ ρ ( x, y , z )dxdydz V C¸c toạ độ trọng tâm vật thể là: xc= ∫∫∫ xρ ( x, y, z )dxdydz m V 82 ∫∫∫ yρ ( x, y, z )dxdydz m V zc= ∫∫∫ zρ ( x, y, z )dxdydz m V Nếu vật thể đồng chất không đổi nªn: xc= ∫∫∫ xdxdydz V V yc= ∫∫∫ ydxdydz V V zc= ∫∫∫ zdxdydz V V yc= Các mômen quán tính vật thể mặt Oxy, Oyz, Ozx là: Ixy= z ( x, y, z )dxdydz V Iyz= ∫∫∫ x ρ ( x, y, z )dxdydz V Izx= ∫∫∫ x ( x, y, z )dxdydz V Các mômen quán tính vật thể trục toạ ®é Ox, Oy, Oz lµ: 2 I = ∫∫∫ ( y + z ) ρ ( x, y, z )dxdydz x V 2 Iy= ∫∫∫ ( x + z ) ρ ( x, y , z )dxdydz V 2 Iz= ∫∫∫ ( x + y ) ρ ( x, y, z )dxdydz V Các mômen tĩnh vật thể mặt Oxy, Oyz, Ozx là: 83 Mxy= ∫∫∫ zρ ( x, y, z )dxdydz V Myz= ∫∫∫ xρ ( x, y, z )dxdydz V Mzx= ∫∫∫ yρ ( x, y , z )dxdydz V VÝ dụ 2.24: Xác định trọng tâm vật thể đồng chất giới hạn bởi: x2+y2=z2 (z>0) mặt cầu x2+y2+z2=1 (Hình 31) Giao tuyến mặt nón mặt cầu đợc xác định từ: z2=1-z2 z = Hình 31 Vì miền đối xứng nên xG= xdxdydz = ydxdydz =yG=0 V V Chuyển sang toạ độ cầu ta đợc: V= dxdydz = 0 V ∫ sin θ dθ ∫ dϕ ∫ r dr = 84 2− π ... hay tích phân kép f(x,y) D ký hiÖu: I = ∫∫ f ( x, y )dS (3) D D đợc gọi miền lấy tích phân, f(x,y) gọi hàm dới dấu tích phân, tích phân (3) tồn ta nói hàm f(x.y) khả tích miền D Vì tích phân. .. ta thấy, tính tích phân ta nên chọn thứ tự tích phân cho cách tính đơn giản Chú ý: Xét miền lấy tích phân D đối xứng qua trơc Oy (®èi xøng víi biÕn x), ®ã: (i) Nếu hàm lấy tích phân lẻ x, tức... tÝch ph©n hai líp TÝch phân kép có tính chất giống tích phân xác định Với giả thiết tích phân kép đợc nhắc đến tồn tại, sau ta phát biểu mà không chứng minh tính chất tích ph©n kÐp (i) ∫∫ [ f