Bài tập đồng điều 2

f TÍNH KHỚP PHẢI CỦA TÍCH TENXƠ Bài 2: Nếu J là một iđêan hai phía của R, hãy chứng minh rằng ánh xạ ( ) ⊗ a R a r + J ar với ∈a J là một toàn cấu ( ) ⊗ → 2 R J R J J J các R – môđun. Nếu J 2 ≠ J, hãy chứng minh rằng nhúng →J R cảm sinh ánh xạ ( ) ( ) ⊗ → ⊗ R R R R J R J J , không là đơn cấu. Giải: Ta có thể chứng minh tồn tại đẳng cấu ( ) ⊗ → 2 R J R J J J Xét ánh xạ ϕ × → 2 J R : J J J ( ) a 2 j, r + J jr + J Chứng minh tính hợp lý của f : Nếu r + J = s + J ⇔ r – s ∈ J ⇒ ∀j∈J : j(r – s)∈ J 2 ⇒ jr – js∈ J 2 ⇒ jr + J 2 = jr ∈ J 2 ⇒ ϕ (j, r + J) = ϕ (j, s + J) Dễ dàng kiểm tra được ϕ là song tuyến tính theo j và r + J, do đó theo tính chất của tích tenxơ thì có đồng cấu f ⊗ → 2 R J R : J J J để tam giác sau giao hoán, nghóa là ϕ = f τ τ × → ⊗ R R R J J J J ↓ 2 J J Xét ánh xạ g : → ⊗ 2 R J R J J J j + J 2 ( ) ⊗a j 1+J Chứng minh tính hợp lý của g : Nếu j + J 2 = j’+ J 2 ⇒ j – j’∈ J 2 ⇒ j – j’ = ∑ n i i 1 u v với u i , v i ∈ J⊂ R ⇒ (j – j’) ⊗ (1 + J) = ( )   ⊗ +  ÷   ∑ n i i 1 u v 1 J ( ) ( ) ( ) = ⊗ + = ⊗ + = ⊗ + = ∑ ∑ ∑ n n n i i i i i 1 1 1 u v 1 J v u J v 0 J 0 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 j 1 + J j' 1 + J g j + J g j' + J⊗ = ⊗ ⇒ = Hiển nhiên g là đồng cấu. ϕ Ta có : gf ( ) ( ) j r + J⊗ ( ) gf j, r + J τ = = gϕ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 j, r + J g jr + J jr 1 + J j r + J= = ⊗ = ⊗ ⇒ R R J J gf 1 ⊗ = fg ( ) ( ) ( ) ( ) 2 j + J f j 1 + J f j, 1 + J τ = ⊗ = = ϕ ( ) 2 2 j, 1 + J j.1 + J j + J= = ⇒ fg 2 J J 1= Vậy f là đẳng cấu hay ( ) f 2 R J R J J J ⊗ ≅ Nhận xét: Bằng cách làm tương tự như trên, ta có thể chứng minh kết quả mạnh hơn R M M I IM ⊗ ; với M là R – môđun. Nếu J 2 ≠ J thì J 2 là con thật sự của J ( vì J 2 ⊂ J ) suy ra ( ) 2 J 0 J ≠ , do f đẳng cấu nên ( ) R R J J ⊗ ( ) 0≠ hay có j (r+J) 0⊗ ≠ trong ( ) ⊗ R R J J nhưng trong ( ) R R R J ⊗ thì ( ) ( ) ( ) j r + J j.1 r + J 1 jr + J 1 0 0⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗ = Vậy ánh xạ cảm sinh không là đơn cấu. . ) ⊗ → 2 R J R J J J Xét ánh xạ ϕ × → 2 J R : J J J ( ) a 2 j, r + J jr + J Chứng minh tính hợp lý của f : Nếu r + J = s + J ⇔ r – s ∈ J ⇒ ∀j∈J : j(r – s)∈ J 2 ⇒ jr – js∈ J 2 ⇒ jr + J 2 =. → ⊗ R R R J J J J ↓ 2 J J Xét ánh xạ g : → ⊗ 2 R J R J J J j + J 2 ( ) ⊗a j 1+J Chứng minh tính hợp lý của g : Nếu j + J 2 = j’+ J 2 ⇒ j – j’∈ J 2 ⇒ j – j’ = ∑ n i i 1 u. R R J J gf 1 ⊗ = fg ( ) ( ) ( ) ( ) 2 j + J f j 1 + J f j, 1 + J τ = ⊗ = = ϕ ( ) 2 2 j, 1 + J j.1 + J j + J= = ⇒ fg 2 J J 1= Vậy f là đẳng cấu hay ( ) f 2 R J R J J J ⊗ ≅ Nhận xét: Bằng cách