DE THI HSG HHT,YT.BG

Nguyen ha tuyen Đề khảo sát lần 5 Môn toán 8 Câu1: a) Có tồn tại số tự nhiên n để n 2 +n+2 chia hết cho 49 hay không? b) Tìm các cặp số nguyên dơng (x;y) thoả mãn 6x 2 +5y 2 =74 c) Tìm các giá trị nguyên x, y thoả mãn (y+2)x 2 +1=y 2 Câu 2: a) Tìm các số nguyên dơng x,y,z thoả mãn: =+ =+ z yx yx 3 153 b) Giả sử a,b là các số tự nhiên sao cho số a b b a n 11 + + + = là một số tự nhiên. Gọi d là một ớc số chung của a và b. Chứng minh ràng: bad + c) Tìm tất cả các số tự nhiên n khác 0 sao cho n 4 +n 3 +1 là một số chính phơng Câu 3: a) Cho một số tự nhiên n sao cho 2n=a 2 +b 2 . Chứng tỏ rằng a và b cùng tính chất và n cũng là tổng của 2 bình phơng. b) Cho T= 2 2 3 2 2 ( 1) 4 ( 4) 5 1 : 2 ( 1) ( 2) x x x x x x x x x x x + + + . + Rút gọn T. +Tìm x để T đạt giá trị lớn nhất. Câu 5: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn, cỏc ng cao AD, BE, CF ct nhau ti H. ng thng vuụng gúc vi AB ti B v ng thng vuụng gúc vi AC ti C ct nhau ti G. a) Chng minh rng GH i qua trung im ca BC. b) ABC ~ AEF c) BDF = CDE d) H cỏch u cỏc cnh ca tam giỏc DEF Nguyen ha tuyen Giải a)BG ⊥ AB, CH ⊥ AB, nên BG // CH Tương tự BH ⊥ AC, CG ⊥ AC nên BH//CG Tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối song song nên nó là hình bình hành. Do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.Vậy GH đi qua trung điểm M của BC. b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác ABE và ACF vuông. Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng Suy ra AF AE AC AB = ⇒ AF AC AE AB = (1) Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2) Từ (1) và (2) suy ra ∆ ABC ~ ∆ AEF. c) Chứng minh tương tự ta được: ∆ BDF ~ ∆ BAC, ∆ EDC ~ ∆ BAC, suy ra ∆ BDF ~ ∆ EDC ⇒ ∠ BDF = ∠ CDE d) Ta có ∠ BDF = ∠ CDE ⇒ 90 0 - ∠ BDF = 90 0 - ∠ CDE ⇒ 90 0 - ∠ BDF = 90 0 - ∠ CDE ⇒ ∠ ADB - ∠ BDF = ∠ ADC - ∠ CDE ⇒ ∠ ADF = ∠ ADE Suy ra: DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD. Suy ra H là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. Vậy H cách đều ba cạnh của tam giác DEF. H A B C G D E F . ~ ∆ EDC ⇒ ∠ BDF = ∠ CDE d) Ta có ∠ BDF = ∠ CDE ⇒ 90 0 - ∠ BDF = 90 0 - ∠ CDE ⇒ 90 0 - ∠ BDF = 90 0 - ∠ CDE ⇒ ∠ ADB - ∠ BDF = ∠ ADC - ∠ CDE ⇒ ∠ ADF = ∠ ADE Suy ra: DH là tia. ABC ~ AEF c) BDF = CDE d) H cỏch u cỏc cnh ca tam giỏc DEF Nguyen ha tuyen Giải a )BG ⊥ AB, CH ⊥ AB, nên BG // CH Tương tự BH ⊥ AC, CG ⊥ AC nên BH//CG Tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối. phân giác góc EFD. Suy ra H là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. Vậy H cách đều ba cạnh của tam giác DEF. H A B C G D E F