Đề thi HSG tỉnh HD 2008

§Ò thi tuyÓn sinh THPT m«n : To¸n Hä, tªn ngêi so¹n : NguyÔn Xu©n Phan §¬n vÞ c«ng t¸c : Trêng T.H.C.S NguyÔn HuÖ CÈm Giµng Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên năm học 2008 - 2009 Câu 1: (2,5 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: 3 3 125 125 3 9 3 9 27 27 A = + + + + 2) Tìm a biết: 3 3 1 8 1 2008 1 8.2008 1 2008 1 3 3 3 3 a a a + + + + = , với a > 1. Câu 2: (2 điểm) 1) Tìm nghiệm dơng của hệ phơng trình: 2 2 2 2 2 1 1 4 1 1 12 x y x y x y z z x y + + + = + + + = + 2) Cho phơng trình 2 2008 1 0x ax b+ + + = trong đó ,a b  . Chứng tỏ rằng nếu ph- ơng trình có hai nghiệm đều là số nguyên thì 2 2 4a b+ là hợp số. Câu 3: (1,5 điểm) Cho P(x) là đa thức bậc 3 với hệ số của 3 x là số nguyên khác 0 và khác - 1. Biết (2007) 2008P = và (2008) 2009P = . Chứng minh rằng: (2009) (2006)P P là hợp số. Câu 4: (3 điểm) Cho (O) đờng kính AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C tuỳ ý. Qua C kẻ tiếp tuyến CD với (O). Qua D kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại E (khác D) và cắt AB tại M. Đờng tròn đờng kính EC cắt (O) tại K ( khác E). Hạ DH AE (H AE). AK cắt DH tại I. 1) Chứng minh tứ giác IDKM nội tiếp. 2) Chứng minh I là trung điểm của HD. 3) Xác định vị trí của C trên tia đối của tia BA sao cho tam giác EKC cân. Câu 5: (1 điểm) Cho 3; 4; 5a b c và 2 2 2 61a b c + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của A a b c = + + hớng dẫn chấm Câu ý Nội dung Điểm 1 1 3 3 3 3 3 125 125 6 3 (3 9 )(3 9 ) 27 27 125 6 3 . 6 5 5 6 0 27 A A A A A A A = + + + + = + = + = 2 2 1 ( 1)( 6) 0 6 0(*) A A A A A A = + + = + + = Phơng trình (*) vô nghiệm. Vậy A = 1 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Đặt 3 3 1 8 1 1 8 1 3 3 3 3 a a a a B a a + + = + + (1) , với a > 1 2 3 2 3 3 3 2 2 ( 1) 8 1 2 3 . 9 3 2 (1 2 ) (1 2 ) 2 0 1 ( 1)( 2 ) 0 2 0(*) a a B a B a B a a B B a B a B B B B a B B a + = + = + = = + + = + + = Phơng trình (*) vô nghiệm (vì a > 1). Do đó B = 1 thay a = 2008 ta có: 3 3 2008 1 8.2008 1 2008 1 8.2008 1 2008 2008 1 3 3 3 3 + + + + = (2) Mặt khác theo đề bài ta có: 3 3 1 8 1 2008 1 8.2008 1 2008 1 3 3 3 3 a a a + + + + = (3) Trừ từng vế của (1) cho (3), của (2) cho (3) ta đợc: 3 3 3 3 1 8 1 2008 1 8.2008 1 2008 3 3 3 3 1 8 1 2008 1 8.2008 1 2008 3 3 3 3 a a a a a a + + = + + + = + 0,25 0,25 0,25 0,25 1 8 1 2008 1 8.2008 1 2008 3 3 3 3 1 8 1 2008 1 8.2008 1 2008 3 3 3 3 2 2.2008 2008 a a a a a a a a + + = + + + = + = = 0,25 0,25 2 1 2 2 2 2 2 1 1 4(1) 1 1 12 (2) x y x y x y z z x y + + + = + + + = + Do x; y > 0 nên 1 1 2; 2x y x y + + suy ra 1 1 4x y x y + + + . Dấu = xảy ra khi x = y = 1 Từ (1) suy ra x = y = 1. Thay vào phơng trình (2) đợc: 2 2 2 2 2 12 4 12 4 4 0 4 12 16 8 4 2 0 4 2 2 2 2 z z z z z z z z z z z z z z + = = = + + = = = Nghiệm dơng của hệ là: 1 2 2 x y z = = = 0,25 0,25 0,25 0,25 2 2 2008 1 0(*)x ax b+ + + = có nghiệm nguyên là 1 2 ;x x + Nếu b = 0 phơng trình (*) trở thành: 2 1 2 1 0 1x ax x x+ + = = Do 1 2 ;x x nguyên 1 2 1x x = = 2 2 2 4 4a a b = + = là hợp số. + Nếu b 0, theo Viét có 1 2 2008 1x x b= + là số lẻ suy ra 1 2 ;x x là số lẻ 1 2 a x x = là số chẵn 2 2 4 4a b + M nên là hợp số. 0,25 0,25 0,25 0,25 3 1 Gọi hệ số của 3 x trong P(x) là a, , 0, 1a a a  Đặt ( ) ( 2006)( 2007)( 2008) ( 2007)( 2008) ( 2008)P x a x x x b x x c x d = + + + Có (2007) 2008 2008P d c= = (2008) 2009 2009P d= = . Do đó c = 1 (2009) 6 2 ; (2006) 2 2 (2009) (2006) 6 3 3(2 1) P a b c d P b c d P P a c a = + + + = + = + = + Do 0; 1 2 1 1 3(2 1)a a a a + + là hợp số. 0,25 0,25 0,25 Suy ra (2009) (2006)P P là hợp số. 0,25 0,5 4 1 e a c b d k o I m r h Có E đối xứng với D qua đờng kính AB nên CE là tiếp tuyến của (O) ã ã KEC KAE = có ã ã KEC KMC= ã ã KMC KAE = ã ã ã ã ã ã ã KMC KAM KAE KAM AKM EAM HDE = = = ã ã ã ã AKM HDE IKM IDM = = tứ giác IDKM nội tiếp. 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Xét (O) có ã ã ã KDE KEC KMC= = ã ã ã ã ã 0 0 90 90KDE DMK KMC DMK DKM + = + = = (1) Có tứ giác IDKM nội tiếp ã ã 0 180DIM DKM + = (2) Từ (1) và (2) suy ra ã 0 90 / /DIM IM DH IM HE= Có MD = ME suy ra I là trung điểm của DH. 0,5 0,25 0,25 3 Gọi r là bán kính của (O). Có tam giác EKC vuông tại K nên EKC cân ã ã 0 0 45 45KEC KAE = = 2.HI HA HD HA = = (3). Có ã ã ã 1 ( ) ~ ( . ) 2 DAH COE DOE AHI OEC g g= = 2 2. 2 5 EC HD EC EO r OC r EO HA = = = = = Cách xác định điểm C: Dựng một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là r và 2r, khi đó cạnh huyền của tam giác vuông là 5r . Dựng (O; 5r ) cắt tia OB tại C. Khi đó C là điểm cần tìm. 0,25 0,25 0,25 0,25 5 1 Đặt 3 ; 4 ; 5 ; ; 0a x b y c z x y z= + = + = + Có 2 2 2 2 2 2 61 (3 ) (4 ) (5 ) 61a b c x y z+ + = + + + + + = 2 2 2 11 6 8 10x y z x y z⇔ = + + + + + Gi¶ sö 1 0 , , 1 11 7 9 11x y z x y z x y z+ + < ⇒ ≤ < ⇒ ≤ + + 11 11( ) 11x y z⇒ ≤ + + < v« lÝ, vËy suy ra 1x y z+ + ≥ 12 13 13A a b c x y z A⇒ = + + = + + + ≥ ⇒ ≥ . DÊu “=” x¶y ra 2 2 2 ; ; 0 1 11 6 8 10 x y z x y z x y z x y z  ≥  ⇔ + + =   = + + + + +  3 0 4 1 6 a x y b z c =  = =   ⇔ ⇔ =   =   =  VËy GTNN cña A lµ 13 ®¹t ®îc khi a = 3; b = 4; c = 6 0,25 0,25 0,25 0,25 . thay a = 2008 ta có: 3 3 2008 1 8 .2008 1 2008 1 8 .2008 1 2008 2008 1 3 3 3 3 + + + + = (2) Mặt khác theo đề bài ta có: 3 3 1 8 1 2008 1 8 .2008 1 2008 1. 1 2008 1 8 .2008 1 2008 3 3 3 3 1 8 1 2008 1 8 .2008 1 2008 3 3 3 3 a a a a a a + + = + + + = + 0,25 0,25 0,25 0,25 1 8 1 2008 1 8 .2008 1 2008