Đề thi HSG tỉnh HD 2007

Họ và tên : Nguyễn Xuân Phan Đơn vị công tác : T.H.C.S Nguyễn Huệ Cẩm Giàng Đề thi môn : Toán Nơi nhận : Phòng khảo thí và kiểm định CLGD Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dơng Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2007 - 2008 Câu 1: (2điểm) Rút gọn biểu thức : ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 2 8 16 9 5 48 8 16 9 5 48 a a a a a M a a a a a + + = + + Câu 2: (2điểm) a/ Giải phơng trình: 2 2 3 2 6 3 3 2 2 2 3x x x x x x + + = + + + b/ Cho phơng trình 2 29 3 0x x + = . Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x 1 , x 2 Tính giá trị của biểu thức A = 1 2 15 222x x Câu 3: (2điểm) Cho các đờng thẳng 2x 3y = 4 (d) ; 3x + 4y = 5 (d ) Tìm trên trục Oy điểm có tung độ là số nguyên dơng nhỏ nhất, sao cho nếu qua điểm đó ta dựng đờng vuông góc với Oy thì đờng vuông góc ấy cắt các đ- ờng thẳng d và d tại các điểm có toạ độ là các số nguyên. Câu 4: (2điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh BC, lấy N đối xứng với M qua AB. Gọi E là giao điểm của AB và MN. AB cắt CN tại I. Hạ IH BC. Các tia CI, HE cắt nhau tại K. Chứng minh : I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác AHK. Câu 5: (2điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) đờng kính AD. Trên cung AD của đ- ờng tròn (O) không chứa C lấy điểm E . BE cắt AC tại M, MO cắt DE tại N. Kẻ CH vuông góc với MN ( H thuộc đờng tròn (O)). Chứng minh : a/ Tứ giác HENM nội tiếp. b/ Tam giác BCN vuông. 1 2 1 2 h k i m b c a n 1 e 2 1 2 1 hớng dẫn chấm Câu 1: (2điểm) 2 2 ( 4) ( 3) ( 4)( 4) ( 3)( 3) ( 4) ( 3) ( 4)( 4) ( 3)( 3) a a a a a a M a a a a a a + + + + = + + + + :0,5đ *a > 3 ( 4) 3[( 4) 3 ( 4) 3] ( 4) 3 ( 4) 3[( 4) 3 ( 4) 3] ( 4) 3 a a a a a a a a M a a a a a a a a + + + + + = = + + + + + :0,5đ *a = 3 , M không xác định. :0,25đ *a = - 4, M không xác định :0,25đ *a -3, a - 4 ( 4) 3[ ( 4) 3 ( 4) 3 ] (4 ) 3 ( 4) 3 [ ( 4) 3 ( 4) 3] ( 4) 3 a a a a a a a a M a a a a a a a a + + = = + + + + :0,5đ Câu 2: (2điểm) a/ ĐKXĐ: 3x . Đa phơng trình về dạng: 2 2 3 2 6 3 3 2 2 2 3 1 . 2 6. 3 3. 2 2 1 . 3 x x x x x x x x x x x x + + = + + + + = + ( 1 3)( 2 2 3 ) 0x x x = :0,5đ Giải phơng trình tiếp đợc 14 8; 3 x x= = , :0,25đ cả hai nghiệm đều thoả mãn ĐKXĐ. Vậy phơng trình có hai nghiệm là: 14 8; 3 x x= = :0,25đ b/ Theo Viét ta có 1 2 1 2 29; . 3x x x x+ = = :0,25đ C/m đợc 1 1 15 222x x = suy ra A = 1 2 222 222x x :0,25đ 2 1 2 1 2 222 222 2 (222 )(222 )A x x x x= + 1 2 1 2 1 2 444 ( ) 2 49284 222( ) .x x x x x x= + + + :0,25đ = 444 29 2 49284 222.29 3 1 + = . Vì 0A 1A = :0,25đ Câu 3: (2điểm) Gọi toạ độ của điểm phải tìm là: (0; a) với a là số nguyên dơng nhỏ nhất sao cho đ- ờng thẳng y = a cắt các đờng thẳng d và d thứ tự tại B(b; a) và C(c; a) trong đó b; c là các số nguyên. Nh vậy phải tìm số nguyên dơng a nhỏ nhất sao cho các số nguyên b, c thoả mãn: 2 3 4 3 4 5 b a c a = + = :0,5đ Khử a tìm đợc 31 9 1 8 9 31 4 8 8 c c b c b c + + = = = Do b; c là số nguyên nên 1 8 c k + = , k là số nguyên :0,5đ Tính đợc 8 1; 9 5; 6 2c k b k a k= = + = + :0,5đ Do a là số nguyên dơng nhỏ nhất nên 0 2; 5; 1k a b c= = = = Vậy điểm cần tìm là (0; 2) :0,5đ Câu 4: (2điểm) h m n o d b c a e Tứ giác AIHC nội tiếp , có: H1 = C2 (1) : 0,25đ MN // AC C2 = N = M1 (đối xứng)(2) : 0,25đ Tứ giác HEIM nội tiếp M1 = H2 (3) Từ (1); (2); (3) H1 = H2 HI là phân giác AHK (*) :0,25đ BHK = AHC ; tứ giác AIHC nội tiếp AHC = AIC; AIC = KIB(đối đỉnh) BHK = BIK tứ giác BHIK nội tiếp :0,5đ có BHI = 1v suy ra BKI = 1v. Do đó BKC = BAC = 1v tứ giác BCAK nội tiếp A1 = C1 Tứ giác AIHC nội tiếp C1 = A2. :0,25đ Do đó A1 = A2 AI là phân giác HAK (**) :0,25đ Từ (*) và (**) I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác AHK. :0,25đ Câu 5: (2điểm) a/ Xét (O) có OM CH OM đi qua trung điểm của CH H đối xứng với C qua MN. HMN = CMN = 90 0 - MCH = HCD. :0,5đ Lại có tứ giác HEDC nội tiếp (O) HCD + HED = 180 0 Do đó HMN + HED = 180 0 Tứ giác HENM nội tiếp. :0,5đ b/ Xét (O) có BCH = BEH. (1) Tứ giác HENM nội tiếp BEH = MNH.(2) Mặt khác có MNH = MNC ( đối xứng). (3) Từ (1); (2); (3) BCH = MNC. :0,5đ Lại có OM CH MNC = 90 0 - HCN BCH = 90 0 - HCN BCN = 90 0 tam giác BCN vuông tai C. :0,5đ . Cẩm Giàng Đề thi môn : Toán Nơi nhận : Phòng khảo thí và kiểm định CLGD Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dơng Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2007 - 2008. = :0,5đ Giải phơng trình tiếp đợc 14 8; 3 x x= = , :0,25đ cả hai nghiệm đều thoả mãn ĐKXĐ. Vậy phơng trình có hai nghiệm là: 14 8; 3 x x= = :0,25đ