Đề thi HSG tỉnh Đồng Tháp năm 2007

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2007-2008. Môn thi : Toán. Ngày thi : 14/10/2007. Thời gian làm bài : 180 phút (không kể phát đề). (Đề thi gồm có 01 trang). Bài 1: (5 điểm). a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình x 2 +(m 2 -m)x - m 3 +1= 0 có một nghiệm nguyên . b) Giải bất phương trình Bài 2: (5 điểm). a) Giải phương trình 4sin 2 5x-4sin 2 x+2(sin6x+sin4x)+1=0 b) Cho các số thực x 1 ,x 2, … ,x n thỏa mãn sin 2 x 1 +2sin 2 x 2 +…+nsin 2 x n = a ,với n là số nguyên dương , a là số thực cho trước , .Xác đònh các giá trò của x 1 ,x 2, … ,x n sao cho tổng S= sin2x 1 +2sin2x 2 +…+nsin2x n đạt giá trò lớn nhất và tìm giá trò lớn nhất này theo a và n. Bài 3: (4 điểm). a) Cho ba số thực a,b,c thỏa abc=1 .Chứng minh : b) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện Chứng minh rằng ABC là tam giác cân. Bài 4: (2 điểm). Cho tam giác ABC ,trên các cạnh BC,CA,AB lần lượt lấy các điểm A’,B’,C’ sao cho AA’,BB’ và CC’ đồng qui tại điểm M.Gọi S 1 ,S 2 và S 3 lần lượt là diện tích của các tam giác MBC,MCA ,MAB và đặt . Chứng minh rằng: (y+z-1) S 1 +(x+z-1)S 2 +(x+y-1)S 3 =0 Bài 5: (2 điểm). Cho dãy {u n } , n là số nguyên dương , xác đònh như sau : . Tính u n và chứng minh rằng u 1 +u 2 +…+ u n . Bài 6: (2 điểm). Cho đa thức f(x)=x 3 +ax 2 +bx+b có ba nghiệm x 1 ,x 2 ,x 3 và đa thức g(x)=x 3 +bx 2 +bx+a .Tính tổng S=g(x 1 )+g(x 2 )+g(x 3 ) theo a,b. Hết. 1 Đề chính thức 2)12(log13)12(log 22 ≤+−++− xx 2 )1( 0 + ≤≤ nn a .cot) 2 (cot2 cot) 2 (cot2 )cot2(cotcot gB BA g gB BA g gBgAgA − + = + + + z MC MC y MB MB x MA MA === ' , ' , '        > −+ = = + 0 11 1 2 1 1 n n n n u u u u u ]) 2 1 (1[ 4 1 1 − −+≥ n π 2 3 )( 1 )( 1 )( 1 226226226 ≥ + + + + + bacacbcba SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2007-2008. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀBIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Bài 1: (5 điểm). Câu Đáp án Điểm a)(3 điểm) + Biến đổi: x(x+m 2 )-m(x+m 2 )=-1. + (x+m 2 )(x-m)=-1. + (a) hoặc (b) +Giải (a) m=1 hoặc m=-2. +Giải (b) vô nghiệm. +Vậy m=1 hoặc m=-2. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu Đáp án Điểm b)(2 điểm) + Biến đổi: (1) +Vì nên + +Vậy 0.5 0.5 0.5 0.5 2    −=− =+ 1 1 2 mx mx    =− −=+ 1 1 2 mx mx 21)12(log3)12(log 22 ≤−+++− xx BABA xx +≥+=−+++− ,21)12(log3)12(log 22 ⇔≥−++− 0)1)12()(log3)12((log 22 xx ⇔≥−+++− 0)1)12()(log3)12(log( 22 xx 3)12((log1 2 ≤+≤ x 2log32log 1212 ++ ≤≤ x Bài 2: (5 điểm). Câu Đáp án Điểm a)(2 điểm) + Biến đổi 4sin 2 5x+1-sin 2 x+4sin5xcosx=3sin 2 x 4sin 2 5x+4sin5xcosx+cos 2 x=3sin 2 x (2sin5x+cosx) 2 =3sin 2 x + + +Vậy nghiệm hoặc hoặc Hoặc 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu Đáp án Điểm b)(3 điểm) + Biến đổi +Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có: + + +Dấu = xãy ra khi hay hay 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 3      > +++ === 02sin sin .sin2sin . 2 2 2 1 2 21 i n n x xnxx tgxtgxtgx . 3 4 = x )cos.sin .cos2.sin2cos(sin2 2211 nn xnxnxxxxS +++= )cos .cos2)(cossin .sin2(sin2 2 2 2 1 22 2 2 1 2 nn xnxxxnxxS ++++++≤ )sin .sin22sin1(2 2 2 2 1 2 n xnnxxaS −++−+−≤ )]sin .sin2(sin) .21[(2 2 2 2 1 2 n xnxxnaS +++−+++≤ ] 2 )1( [2 a nn aS − + ≤ n n xn xn x x x x cos sin . cos2 sin2 cos sin 2 2 1 1 ===        ≤≤ = + ==== π α α i n x a nn xxx 20 sin 2 )1( . 2 21 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔±=+ xxx sin3cos5sin2 ⇔−±= xxx cos 2 1 sin 2 3 5sin ) 6 5 sin(5sin ) 6 sin(5sin π π −= −= xx xx 224 ππ kx +−= 336 7 ππ kx += 224 5 ππ kx +−= 336 11 ππ kx += + Vậy Max S= khi 0.5 Bài 3: (4 điểm). Câu Đáp án Điểm a)(2 điểm) + + + + p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có Suy ra đpcm 0.5 0.5 0.5 0.5 4          ≤≤ + = ==== 2 0 )1( 2 sin . 21 π α α α nn a xxx n ] 2 )1( [2 a nn a − +          ≤≤ + = ==== 2 0 )1( 2 sin . 21 π α α α nn a xxx n 2 3 2 3 2 )()()( )( ) )( 1 )( 1 )( 1 ( )( )( ) 111 ( ). 1 . 1 . 1 ( ))()()()( )( 1 )( 1 )( 1 ( 3 444222222 222222222 2222222 226226226 2222222 2 222 222222 2 222 222 223 22 223 22 223 222222222 226226226 =≥ ++ = = +++++ ++ ≥ + + + + + ⇒++= ++ = ++= =+ + ++ + ++ + ≥ ≥+++++ + + + + + cbabaaccb bacacbcba baaccb bacacbcba baaccb cba baaccb cba bac bac acb acb cba cba bacacbcba bacacbcba Câu Đáp án Điểm b)(2 điểm) +Biến đổi ,ta có +Biến đổi vế trái + + Dấu = xãy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B vậy tam giác ABC cân tại C. 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 4: (2 điểm). Câu Đáp án Điểm 2 điểm + Gọi S là diện tích tam giác ABC,ta có Ta có +Suy ra +Suy ra +Tương tự vậy (y+z-1) s 1 +(x+z-1)s 2 +(x+y-1)s 3 =0 0.5 0.5 0.5 0.5 5 ) 2 (cot2cotcot) 2 (cot4)cot(cot 22 BA ggBgA BA ggBgA + =+⇔ + =+ )cos(1 )sin(2 )cos()cos( )sin(2 sinsin )sin( cotcot BA BA BABA BA BA BA gBgA +− + ≥ +−− + = + =+ 2 )( cot2 2 )( sin2 2 )( cos 2 )( sin4 cotcot 2 BA g BA BABA gBgA + = + ++ ≥+ 321 SSSS ++= ' ' ' ' 1 1 MA AA s s AA MA s s =⇒= xMA MA MA MAAA s ss 1 '' '' 1 1 == − = − )( 321 32 1 1 1 ssxsx ss s x ss s +=⇒= + ⇒= − )(),( 213132 sszsssys +=+= )()()( 211332321 sszssyssxsssS +++++=++= Bài 5: (2 điểm). Câu Đáp án Điểm 2 điểm +Đặt ta có +Vì mà + + Suy ra đpcm 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 6: (2 điểm). Câu Đáp án Điểm 2 điểm +Theo đònh lý Vi ét,ta có p 1 =x 1 +x 2 +x 3 =-a ; p 2 =x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 =b, p 3 =x 1 x 2 x 3 =-b. +Ta có + + 0.5 0.5 0.5 0.5 Chú ý : học sinh có thể đưa ra phương án giải quyết vấn đề khác nếu kết quả đúng ,hợp lô gíc khoa học vẫn cho điểm tối đa của phần đó. Hết 6 2 0,0 π αα <<>= tgu n 2 cos sin 1 cos 1 11 2 1 α α α α α α tg tg tg u n = − = −+ = + αα π α tg <⇒<< 2 0 nn uuus +++= . 21 n n tgutgutgtgu 2.2 , ., 2.22.24 1 2 21 ππππ ==⇒=== )) 2 1 (1( 4 1) 2 1 . 2 1 ( 2 1 2.2 . 2.2 1 2.2 . 2.22.2 1 22 2 − −+=+++=+++≥ ≥+++= n nn n n tgtgtgs ππππ πππ babappppxxx bappxxx 3333 22 3 321 3 1 3 3 3 2 3 1 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 −+−=+−=++ −=−=++ axxxbxxxbxxxS 3)()()( 321 2 3 2 2 2 1 3 3 3 2 3 1 +++++++++= )32)(( 3)()2()33( 2 23 ++−−= +−+−+−+−= babaS aabbabbabaS . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2007- 2008. Môn thi : Toán. Ngày thi : 14/10 /2007. Thời gian làm bài. + + + + + bacacbcba SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2007- 2008. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀBIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN