Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút.. Cho ủửụứng troứn O,R vaứ moọt ủieồm A ụỷ ngoaứi ủửụứng troứn sao cho OA = 3R, tửứ ủieồm A veừ hai tieỏp tuyeỏn AB, AC ủeỏn ủửụứng
Trang 1Kiểm tra kỳ II - Môn Toán 9
Năm học 2009 - 2010
B i 1 à ( 2 điểm)
a Giải phơng trình: 22 2 1 1
x
b Chửựng minh ủaỳng thửực :
(x x x y) ( x y y y)
+
2 y
x + y - 1
xy
x y
x y
>
≠
B i 2 à ( 1,5 điểm) Cho phơng trình : x2 – ( 2 m - 1 )x – m = 0
a, Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b, Tìm giá trị của m để A = x12 + x2 – 6 x1.x2 đạt giá trị nhỏ nhất
B i 3 à ( 2 điểm) Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở về A Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h
B i 4à ( 3,5 điểm) Cho ủửụứng troứn ( O,R) vaứ moọt ủieồm A ụỷ ngoaứi ủửụứng troứn sao cho OA = 3R, tửứ ủieồm A veừ hai tieỏp tuyeỏn AB, AC ủeỏn ủửụứng troứn (O) taùi ủieồm B, C laứ hai tieỏp ủieồm
a) Chứng minh tửự giaực OBAC laứ tửự giaực noọi tieỏp
b ) Tửứ B veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi AC, caột ủửụứng troứn (O) taùi ủieồm D (khaực ủieồm B) ẹửụứng thaỳng AD caột ủửụứng troứn (O) taùi E (khaực ủieồm D ) Chứng minh AB2 = AE AD
c) Chứng minh BC.EC = AC.AD
d ) Tớnh khoaỷng caựch giửừa hai ủửụứng thaỳng BD vaỉ AC theo R
B i 5à ( 1 điểm) Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện :
x− 1 + x 2 = y − 1 + y2 Chứng minh rằng x = y
HệễÙNG DAÃN
Baứi 4:
Trang 2E D
O
C
B
A
·
·
· ·
0 0
OBA 90 (OB AB) ( 2 ttuyến cắt nhau)
a)
OCA = 90 (OC AC) ( 2 ttuyến cắt nhau)
OBA OCA 90 90 180
⊥
⇒ OBAC là tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 180 0 )
b) Xét ∆AEB và ∆ABD, ta có:
· µ ABE ADB ( góc tạo bởi t/tuyến va ødây va øgóc n/tiếp cùng chắn BE) · »
A la øgóc chung
Vậy: ∆AEB ~ ∆ABD(g-g)
2
AB AD
=
c) Gọi Ex la øtia đối của tia EC
Co ùAC // BD(gt)
EAC EDB (slt)
Ma ø: ECB EDB (cùng chắn BE)
=
=
EAC ECB ( cùng EDB )
Xét AEC va ø CEB ; ta có :
EBC ECA (cùng chắn CE)
EAC ECB (cmt)
·
Vậy : AEC CEB (g - g)
BEC AEC
BEx AEx (kề bu øvới hai góc bằng nhau)
Vậy : tia đối của tia EC la øtia phân giác của BEA.
:
d) ∆ ABC vuông tại B cho OA 2 = OB 2 + AB 2 ( Pitago) và chứng minh được OA
⊥BC tại H
⇒AB 2 =(3R) 2 - (R) 2⇒ AB = R 8
∆ ABO vuông có ba cạnh là R, R 8 ,3R
Các tam giác vuông OHC và ICB cùng đồng dạng với tam giác vuông ABO cho
Bµi 5:
Gi¶ sư cã x, y tho¶ m·n x − 1 + x 2 = y− 1 +y2 => x ≥ 1; y ≥ 1
Trang 3- Nếu x = 1 = y thì có ngay x = y (đpcm!)- Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, đợc:
1
−
x + x 2 = y − 1 + y2 <=> ( x− 1 - y − 1 ) + (x2 - y2) = 0
<=> (x - y)/( x− 1 + y − 1 ) + (x2-y2) = 0
<=> (x - y).(1/( x− 1 + y− 1 ) + x + y) = 0
<=> x - y = 0 (vì 1/( x− 1 + y− 1 ) + x + y > 0) <=> x = y
Vậy nếu có x, y thoả mãn x − 1 + x 2 = y − 1 + y2 thì x = y (đpcm!)Chú ý:
Có thể giải bằng cách xét các trờng hợp:
- Nếu x > y, CM đợc x − 1 + x 2 > y − 1 + y2
- Nếu x < y, CM đợc x − 1 + x 2 < y − 1 + y2
- Vậy nếu x− 1 + x 2 = y− 1 + y2 thì x = y