đề thi học sinh giỏi Trờng THCS Bạch Liêu năm học 2009-2010 Môn: Toán 7 (vòng 2) - Thời gian 120 phút Câu 1: Cho hai đa thức: A= x 3 -2x 2 -xy 2 +2xy+2y+2x-2 B= 2x 2 -2y 2 +3xy-2x-2y a) Tính A+B b) Tính A-B c) Tính giá trị của đa thức B biết x=1; y=-2 d) Tính giá trị của đa thức A biết x+y-2=0. Câu 2: Cho hàm số y=f(x)= 3 1 3 7x x + a) Tính: f(2); f(-2); f( 1 3 ); f( 1 3 ) b) Tìm x biết f(x)=10 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x). Câu 3: Cho bốn số tự nhiên a, b, c, d khác 0 thoả mãn: a 2 +b 2 = c 2 +d 2 . Chứng minh: a+b+c+d là một hợp số. Câu 4:Cho tam giác ABC, AB < AC. Trên cạnh AB và AC lấy tơng ứng hai điểm D, E sao cho BD=CE. Gọi M, N, I lần lợt là trung điểm của BC, DE, CD. Đờng thẳng MN cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự ở P và Q. a) Chứng minh tam giác MIN cân. b) Chứng minh AP=AQ. c) Qua A kẻ đờng thẳng song song với MN cắt BC tại D. Chứng minh AD là phân giác của góc BAC. d) Chứng minh: 2 2 AB AC BC AB AC AM + + < < . Biểu điểm và đáp án Câu 1: 2 điểm trong đó: a) 0.5đ: A+B= x 3 -xy 2 -2y 2 +5xy-2 b) 0.5đ: A-B=x 3 -4x 2 -xy 2 +2y 2 -xy+4y+4x-2 c) 0.5đ:B=-10 d) 0.5đ: A=2 Câu 2: 3.5 điểm: a) 1đ: f(2)=6; f(-2)=18; f(1/3)=6; f(-1/3)=10 b) 1.5đ: x=-1/3; x=3. c) 1đ: Min f(x)= 6 khi 1/3 7 3 x . Câu 3: 1 điểm: Ta có a 2 +b 2 =c 2 +d 2 suy ra a 2 +b 2 +c 2 +d 2 chia hết cho 2(1) Mặt khác a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +a+b+c+d =a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)+d(d+1) chia hết cho 2 (2); Từ (1) và (2) suy ra a+b+c+d chia hết cho 2 (3). a, b,c, d, thuộc N và khác 0 nên suy ra: a+b+c+d 4(4) Từ (3),(4) suy ra điều phải chứng minh. Câu 4: 3,5 điểm: a) 1đ:NI // = 1/2 CE. MI//= 1/2 BD mà CE=BD suy ra MI=NI. b) 0,5đ:Tam giác MIN cân tại I (CMT) suy ra góc MNI= góc NMI. NI//AC nên góc MNI= góc NQE=góc Q .MI//AB nên góc NMI= góc P. Do đó góc P= góc Q 1 suy ra tam gica APQ cân tại A, do đó AP=AQ. c) 0,5đ:Do AD//MN nên góc A 1 = góc P; góc BAC= góc P + góc Q 1 = 2 lần góc P. Do đó góc A 2 = góc P. Suy ra A 1 =A 2 do đó AD là phân giác góc BAC. d)1đ: Từ các bất đẳng thức AM>AB-BM;AM>AC-MC nên AM> 2 AB AC BC+ (1) Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA=MD ta có tam giác AMB= tam giác DMC, suy ra CD=AB. Trong tam giác ACB ta có AD<AC+CD nên 2AM<AC+AB suy ra AM< 2 AB AC+ (2) Từ (1) và (2) ta có ĐPCM. Vẽ hình đúng: 0,5 đ. . đề thi học sinh giỏi Trờng THCS Bạch Liêu năm học 2009-2010 Môn: Toán 7 (vòng 2) - Thời gian 120 phút Câu 1: Cho hai đa thức: A= x 3 -2x 2 -xy 2 +2xy+2y+2x-2 . thức B biết x=1; y=-2 d) Tính giá trị của đa thức A biết x+y-2=0. Câu 2: Cho hàm số y=f(x)= 3 1 3 7x x + a) Tính: f(2); f(-2); f( 1 3 ); f( 1 3 ) b) Tìm x biết f(x)=10 c) Tìm giá trị nhỏ nhất. cạnh AB và AC lấy tơng ứng hai điểm D, E sao cho BD=CE. Gọi M, N, I lần lợt là trung điểm của BC, DE, CD. Đờng thẳng MN cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự ở P và Q. a) Chứng minh tam giác MIN cân. b)