PHÂN LOẠI BÀI TẬP CHƯƠNG III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN. Tên bài Bài tập dành cho HS TB – Yếu Bài tập dành cho HS Khá – Giỏi PP quy nạp Bài 1 (SGK_82). CMR với n N*, ta có đẳng thức: (3 1) )2 5 8 3 1 2 n n a n + + + + + − = 1 1 1 1 2 1 ) 2 4 8 2 2 n n n b − + + + + = 2 2 2 2 ( 1)(2 1) ) 1 2 3 6 n n n c n + + + + + + = Bài 2 (SGK_82). CMR với n N*, ta có: a) n 3 + 3n 2 + 5n chia hết cho 3. b) 4 n + 15n – 1 chia hết cho 9. c) n 3 + 11n chia hết cho 6. Bài 3 (SGK_82). CMR với mọi số tự nhiên n 2, ta có đẳng thức: a) 3 n > 3n +1. b) 2 n + 1 > 2n + 3. Bài 4 (SGK_83). Cho 1 1 1 1.2 2.3 ( 1) n S n n = + + + + với n N*. a) Tính S 1 , S 2 , S 3 . b) Dự đoán công thức tính tổng S n và chứng minh bằng quy nạp. Bài 1.1 (BT_94). Chứng minh các đẳng thức sau (với n N*). a) ( ) (3 1) 2 5 8 3n – 1 2 n n + + + + + = . b) 1 1 3 9 27 3 (3 3) 2 n n+ + + + + = − . Bài 1.5 (BT_95). Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có: Bài 5 (SGK_83). CMR số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là ( 3) 2 n n − . Bài 1.2 (BT_94). Chứng minh các đẳng thức sau (với n N*) 2 2 2 2 2 (4 1) )1 3 5 (2 1) 3 n n a n − + + + + − = 2 2 3 3 3 3 ( 1) ) 1 2 3 4 n n b n + + + + + = Bài 1.3 (BT_95). Chứng minh với mọi n N*, ta có a) 11 n +1 + 12 2n – 1 chia hết cho 133. b) 2n 3 – 3n 2 + n chia hết cho 6. Bài 1.4 (BT_95). Chứng ming các bất đẳng thức sau (với n N*). a) 2 n + 2 > 2n + 5. b) sin 2n α + cos 2n α 1. Bài 1.7 (BT_95). Cho n số thực a 1 , a 2 , a 3 , …, a n thỏa mãn điều kiện – 1< a i 0 với 1,i n = . CMR với với n N*, ta có (1 + a 1 )(1 + a 2 )…(1 + a n ) 1 + a 1 + a 2 + … + a n Bài 1.8 (BT_95). CMR với số thực thực a 1 , a 2 , a 3 , …, a n (với n N*), ta có |a 1 + a 2 + + a n | |a 1 | +|a 2 | + … +|a n |. Bài 2(BT_122). Chứng minh các đẳng thức Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 1 a) 2 n > 2n + 1. b) 2 n > n 2 + 4n + 5. c) 3 n > 2 n + 7n ? Bài 5 (SGK_107). Chứng minh rằng với mọi n * N ∈ , ta có: a) 13 n – 1 chia hết cho 6. b) 3n 3 + 15 chia hết cho 9. Bài 1(BT_121). CMR: a) n 5 – n chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n. b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9. Bài 3 (BT_122). Chứng minh các bất đẳng thức a) 3 n – 1 > n(n + 2) với n 4. b) 2 n – 3 > 3n – 1 với n 8. sau với n N*. a) 1 1 1 A 1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2) n n n n = + + + + + ( 3) 4( 1)( 2) n n n n + = + + b) ( 1) B 1 3 6 10 2 n n n + = + + + + + ( 1)( 2) 6 n n n + + = Dãy số Bài 1(SGK_92). Viết năm số hạng tổng quát u n cho bởi công thức. a) 2 1 n n n u = − b) 2 1 2 1 n n n u − = + c) 1 1 n n u n = + ÷ d) 2 1 n n u n = + Bài 2(SGK_92). Cho dãy số (u n ), biết: u n = –1, u n+1 = u n + 3 với 3n ≥ . a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u n = 3n – 4. Bài 4(SGK_92). Xét tính tăng, giảm của dãy số (u n ) biết: a) 1 2 n u n = − b) 1 1 n n u n − = + Bài 3(SGK_92). Dãy số (u n ) cho bởi: u 1 = 3; u n + 1 = 2 1 , 1n n+ ≥ . a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u n và chứng minh công thức bằng quy nạp. Bài 5(SGK_92). Trong các dãy số (u n ) sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên. a) u n = 2n 2 – 1.b) 1 ( 2) n u n n = + c) 2 1 2 1 n u n = − d) sin cos n u n n = + . Bài 2.2(BT_106). Cho dãy số (u n ) với u n = n 2 – 4n + 3. a) Viết công thức truy hồi của dãy số. Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 2 c) ( 1) (2 1) n n n u = − + d) 2 1 5 2 n n u n + = + Bài 2.1(BT_106). Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của dãy số (u n ), biết a) u n = 10 1 – 2n . b) u n = 3 n – 7 . c) 2 2 1 n n u n + = 3 d) 2 n n n n u = Bài 2.5 (SGK 106) . Cho dãy số (u n ) được xác định bằng công thức 1 1 5 3 2 n n u u u n + = = + − a) Tìm công thức của số hạng tổng quát. b) Chứng minh dãy số tăng. Bài 6(SGK_107). Cho dãy số u n , biết rằng u 1 = 2, u n+1 = 2u n – 1 với 1n ≥ . a) Viết năm số hạng đầu của dãy. b) Chứng minh rằng u n = 2 n – 1 + 1 bằng phương pháp quy nạp. b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới. c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy số đã cho. Bài 2.3(BT_106). Cho dãy số (u n ) với u n = 1 + (n – 1)2 n . a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Tìm công thức truy hồi. c) Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới. Bài 2.4(BT_106). Dãy số (u n ) được xác định bằng công thức 1 3 1 1 ( 1) n n u u u n n + = = + ≥ a) Tìm công thức của số hạng tổng quát. b) Tính số hạng thứ 100 của dãy số. Bài 2.6(BT_107). Tìm công thức số hạng tổng quát của các dãy số sau: a) 1 1 2 1 2 ( 1) n n u u n u + = = − ≥ b) 1 1 2 1 n n u u u + = = − c) 1 1 1 2 3 n n u u u + = = Bài 2.7(BT_107). Dãy số (x n ) được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A: A = {A 0 , A 1 , A 2 , …, A n , …} Gọi B là một điểm nằm ngoài trục số. Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh còn lại thuộc tập hợp A. Đặt u n là số các tam giác được tạo thành từ B và n + 1 điểm A 0 , A 1 , A 2 , …A n rồi lập dãy số (u n ). a) Tính u 1 , u 2 , u 3 , u 4 . Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 3 b) CMR 2 n 1 u n C + = và u n+1 = u n + n + 1. Bài 2.8(BT_107). Cho dãy số (u n ) thỏa mãn điều kiện *n N ∀ ∈ thì 0 < u n < 1 và 1 1 1 4 n n u u + < − . Chứng minh dãy số đã cho là dãy số giảm. Bài 7(SGK_107). Xét tính tăng, giảm, bị chặn của các dã số (u n ), biết: a) 1 u n n = + b) 1 1 ( 1) sin n u n − = − c) 1u n n = + − Cấp số cộng Bài 1(SGK_97). Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của nó. a) u n = 5 – 2n. b) 1 2 n n u = − c) u n = 3 n d) 7 3 2 n n u − = Bài 2(SGK_97). Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau, biết: a) 1 3 5 1 6 0 17 u u u u u − + = + = b) 7 3 2 7 8 75 u u u u − = = Bài 3(SGK_97). Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u 1 , d, n, u n , S n . a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại. b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống. u n d u n n S n Bài 4(SGK_98). Trên mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm. a) Viết công thức tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân. b) Tính độ cao của mặt sàn tầng hai so với mặt đất. Bài 5(SGK_98). Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đanh chuông báo giờ và số tiếng rung bằng số giờ. Bài 3(SGK_107). Cho hai cấp số cộng có cùng số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số hạng không. Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa. Bài 8(SGK_107). Tìm số hạng đầu u 1 và công sai d của các cấp số cộng (u n ) biết: Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 4 -2 55 20 530 -4 15 120 3 4 27 7 12 72 2 -5 -5 -205 Bài 1(SGK_107). Khi nào thì cấp số cộng là một dãy số tăng, giảm, không tăng không giảm. a) 1 5 4 5 10 0 14 u u S + = = b) 4 2 7 15 2 2 60 1170 u u u u + = + = Bài 10(SGK_108). Cho tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết răng góc C gấp năm lần góc A. Tính các góc của tứ giác. Bài 13(SGK_108).CMR nếu các số a 2 , b 2 , c 2 lập thành một cấp số cộng (abc 0) thì các số 1 1 1 , , b c c a a b + + + cũng lập thành một cấp số cộng. Bài 4(BT_122). Cho dãy số (u n ) 1 2 1 1 1, 2 2 1 ( 2) n n n u u u u u n + − = = = − + ≥ a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Lập dãy số (v n ) với v n = u n+1 – u n , chứng minh dãy số v n là cấp số cộng. c) Tìm công thức tính u n theo n. Bài 10(BT_123). Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng hay không ? Bài 11(BT_123). Tính tổng a) 2 3 1 3 5 2 1 2 2 2 2 n n − + + + + . b) 1 2 – 2 2 + 3 2 – 4 2 + … + (-1) n – 1 n 2 . Bài 12(BT_123). Tìm m để phương trình x 4 – (3m + 5)x 2 + (m + 1) 2 = 0 có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng. Cấp số nhân Bài 1(SGK_103). Chứng minh các dãy số Bài 5(SGK_104). Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rắng số dân của tỉnh hiện Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 5 3 .2 5 n ÷ ; 5 2n ÷ ; 1 2 n − ÷ ÷ ÷ là các cấp số nhân. Bài 2(SGK_103). Cho cấp số nhân (u n ), với công bội q. a) Biết u 1 = 2, u 6 = 486. Tìm q. b) Biết 2 3 q = , 4 8 21 u = . Tìm u 1 . c) Biết u 1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy. Bài 3(SGK_103). Tìm các số hạng của cấp số nhân (u n ) có năm số hạng, biết: a) u 1 = 3, u 5 = 7. b) u 4 – u 2 = 25 và u 3 – u 1 = 50. Bài 4(SGK_104).Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của năm số hạngđầu là 31 và tổng năm số hạng sau là 62. Bài 2(SGK_107) Cho cấp số nhân có u 1 < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác nhau sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau: a) q > 0. b) q< 0. Bài 4(SGK_107). Cho hai cấp số nhân có cùng số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số hạng không. Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa. Bài 9(SGK_107). Tìm số hạng đầu u 1 và công bội q của các cấp số nhân (u n ) biết: a) 6 7 5 192 384 u u = = b) 4 2 5 3 72 144 u u u u − = + = c) 2 5 4 6 3 5 10 20 u u u u u u + − = + − = Bài 4.1(BT_120).Các dãy số (u n ) sau đây, dãy nay là 1,8 triều người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm thì số dân của tỉnh X là bao nhiêu. Bài 6(SGK_104). Cho hình vuông C 1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành 4 phần băng nhau và nối liền các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuong C 2 . Từ hình vuông C 2 lại làm tiếp để được C 3 ,… Tiếp tục lặp lại quá trình trên, ta nhận được dãy hình vuông C 1 , C 2 ,… C n . Gọi a n là số cạnh của hình vuông C n . Chứng minh rằng dãy số (a n ) là một cấp số nhân. Bài 11(SGK_108). Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân. Bài 4.7(BT_121). Cho dãy số (u n ) 1 1 0 2 3 ( 1) 4 n n n u u u n u + = + = ≥ + a) Lập dãy số (x n ) với 1 3 n n n u x u − = + . b) Tìn công thức tính x n và u n theo n. Bài 4.8(BT_121). Ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc coi là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ 25 của một cấp Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 6 số nào là cấp số nhân a) u n = (- 5) 2n + 1 . b) u n = (-1) n 3 3n + 1 . c) 1 2 1 2 n n u u u + = = . d) 1 1 1 2 5 n n n u u u u + = = + Bài 4.2(BT_120). Cấp số nhân (u n ) có 1 5 2 6 51 102 u u u u + = + = a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân. b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069 ? c) Số 12288 là số hạng thứ mấy ? Bài 4.3(BT_120). Tìm số các số hạng của cấp số nhân (u n ), biết a) q = 2, u n = 96, S n = 189. b) u 1 = 1, u n = 1/8, S n = 31/8. Bài 4.4(BT_120). Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u n ), biết 5 1 4 2 15 ) 6 u u a u u − = − = 2 4 5 3 5 6 10 ) 20 u u u b u u u − + = − + = Bài 4.5(BT_121). Bốn số hạng lập thành một cấp số cộng lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta nhận được một cấp số nhân. Tìm các số đó. Bài 4.6(BT_121). Viết bốn số xen giữa các số số cộng. Tìm các số đó. Bài 4.9(BT_121). Cho cấp số nhân a, b, c, d. CMR a) 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 ( )a b c a b c a b c + + = + + . b) (ab + bc + cd) 2 = (a 2 + b 2 + c 2 )(b 2 + c 2 + d 2 ). Bài 4.10(BT_121). Một cấp số cộng và một cấp số nhân có các số hạng đều dương. Biết rằng các số hạng thứ nhất và thứ hai của chúng trùng nhau. Chứng minh mọi số hạng của cấp số cộng không lớn hơn số hạng tương ứng của cấp số nhân. Bài 5(BT_122). Cho dãy số (u n ) 1 1 1 3 ( 1) ( 1) 3 n n u n u u n n + = + = ≥ a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Lập dãy số (v n ) với v n n u n = . Chứng minh dãy số (v n ) là cấp số nhân. c) Tìm công thức tính u n theo n. Bài 6(BT_122). Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc các số hạng thứ hai, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 7 5 và 160 để được một cấp số nhân. nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820. Bài 7(BT_123). Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10 còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các số ấy. Bài 8(BT_123). CMR nếu ba số lập thành một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng thì ba số ấy bằng nhau. Bài 9(BT_123). Cho cấp số nhân (u n ) có công bội là q và số các số hạng là chẵn. Gọi S c là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và S l là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. CMR C l S q S = . Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 8 . Thế - Bắc Giang 7 5 và 160 để được một cấp số nhân. nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820. Bài 7(BT_123). Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số. cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10 còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các số ấy. Bài 8(BT_123). CMR nếu ba số lập thành một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số. cấp số cộng lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta nhận được một cấp số nhân. Tìm các số đó. Bài 4.6(BT_121). Viết bốn số xen giữa các số số cộng. Tìm các số đó. Bài 4.9(BT_121). Cho cấp