Tài liệu TIỂU LUẬN: PHÂN LOẠI CÁC MỤC TIÊU GIÁO DỤC TOÁN THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC CỦA BLOOM PHẦN DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN ppt

Ví dụ: Trong bài cấp số nhân, để dẫn dắt học sinh vào định nghĩa cấp số nhân, người ta đã đưa ra một bài toán thực tế về việc gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng.. - Phạm trù này sử dụng ki

ĐẠI HỌC HUẾ ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN

&۞&

ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TOÁN

Đề tài :

PHÂN LOẠI CÁC MỤC TIÊU GIÁO DỤC TOÁN THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC CỦA BLOOM PHẦN

DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Giảng viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:

Thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc Nhóm 6(Toán 4B)

Huế,11/2010

Phân tích các mục tiêu giáo dục Toán theo các mức độ nhận thức Bloom trong chương “ Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân”

Sự phân loại các mục tiêu giáo dục toán theo các mức độ nhận thức của

Bloom bao gồm:

I Nhận biết: Kiến thức và thông tin

Kỹ thuật và kỹ năng

II Thông hiểu : chuyển đổi và giải thích

III Vận dụng: áp dụng giải quyết tình huống mới

IV Những khả năng bậc cao: bao gồm phân tích, tổng hợp và đánh giá

  

1 Kiến thức và thông tin:

Trong phạm trù này học sinh được đòi hỏi chỉ gọi ra được định nghĩa của một sự kiện

và chưa cần phải thông hiểu Một chú ý quan trọng là kiến thức chỉ khả năng lặp lại chứ không phải để sử dụng Những câu hỏi kiểm tra các mục tiêu ở phần này sẽ được đặt ra một cách chính xác với cách mà kiến thức được học

Những phạm trù con chính của kiến thức bao gồm:

a) Kiến thức về thuật ngữ:

Học sinh được yêu cầu phải nhận diện và làm quen với ngôn ngữ toán học, tức là phần lớn các thuật ngữ và ký hiệu tắt được sử dụng bởi các nhà toán học có mục đích giao tiếp

Ví dụ : Trong chương dãy số, cấp số này học sinh sẽ làm quen với các định nghĩa và các

ký hiệu của:

Dãy số: là một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương *

Ký hiệu: u (u n)bởi (un ) và gọi un là số hạng tổng quát của dãy số đó

Ta cũng có thể viết dãy số dưới dạng khai triển: u1, u 2 ,….,u n …

Dãy số tăng: (u n ) là dãy số tăng nếu với mọi n ta có u n1 u n

Và một số định nghĩa, ký hiệu khác về dãy số giảm, dãy số bị chặn trên, dãy số bị chặn dưới, cấp số cộng, cấp số nhân

b) Kiến thức về những sự kiện cụ thể:

Mục tiêu này đòi hỏi học sinh gọi ra được công thức và những mối quan hệ

Ví dụ: Trong bài cấp số nhân, để dẫn dắt học sinh vào định nghĩa cấp số nhân, người ta đã đưa ra một bài toán thực tế về việc gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng Từ đó đưa ra định nghĩa cấp số nhân

c) Kiến thức về cách thức và phương tiện sử dụng trong những trường hợp cụ thể:

Phạm trù này bao gồm kiến thức về những qui ước

Ví dụ: trong chương này người ta qui ước ký hiệu một dãy số là (un )

Số hạng thứ n là un.

Ký hiệu d là công sai của cấp số cộng, q là công bội của cấp số nhân

Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng hoặc một cấp số nhân là Sn

d) Kiến thức về các quy tắc và các tổng quát hoá:

Phạm trù này bao gồm các kiến thức về các định lý toán học và những quy tắc logic cơ bản

Ví dụ: Trong chương này học sinh được làm quen với các định lý sau:

Định lý 1: (u n ) là cấp số cộng thì 1 1

2

k

Trong đó uk là số hạng thứ k

Định lý 2: (u n ) là cấp số cộng có số hạng đầu là u 1 và công sai d thì số hạng tổng quát u n

là : u n = u 1 + (n-1)d

Định lý 3: (u n ) là cấp số cộng S n là tổng của n số hạng đầu tiên thì:  1 

2

n n

u u n

S 



Tương tự ta cũng có các định lý trong bài cấp số nhân:

Định lý 1: (u n ) là cấp số nhân thì: 2

1

u u u Trong đó : uk là số hạng thứ k

u k-1 là số hạng thứ k-1

Định lý 2: (u n ) là cấp số cộng có số hạng đầu là u 1 và công bội q khác 0 thì số hạng tổng

1

n n

u u q 

Định lý 3: (u n ) là cấp số nhân với công bội q khác 1 thì : 11 

1

n

n

S

q







 Cuối giai đoạn này, học sinh có khả năng để:

- Phát biểu định nghĩa dãy số, cấp số

- Suy luận được thế nào là dãy số vô hạn, dãy số không đổi

- Các tính chất của các cấp số

- Tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng hay cấp số nhân

Sau đây là những câu hỏi kiểm tra kiến thức trong phần nhận biết:

Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A 3, 6, 9, 15,17

B 3, 5, 9, 12,15

C 7, 0, 0, 0,0

D 2, 4, 6, 8, 10

Phân tích: Đây là câu hỏi nhằm kiểm tra khả năng nhận biết của học sinh Với câu hỏi này, học sinh chỉ cần nắm được định nghĩa cấp số cộng là có thể dễ dàng nhận ra đáp án chính xác

(Đáp án: D)

Câu 2: Trong các số hạng sau, số hạng thứ 4 của cấp số cộng (u n ) có số hạng đầu là u 1 và

công bội d là:

A u 1 d 4 C u 1 d 3

B u 1 + 4d D u 1 + 3d

Phân tích: Đối với câu hỏi này học sinh chỉ cần nắm được công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng : u n  u1 n 1d

(Đáp án: D) Câu 3: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A Dãy số (a n ) xác định bởi a1  1 và 1

7

n n

a

a    n 1

B Dãy số (bn ) xác định bởi b1 3và 1 n

n

b b n

   n 1

C Dãy số (c n ) xác định bởi c 1 =2 và n 1 6

n

c c

   n 1

D Dãy số (dn ) mà d n1 3 d n  n 1

Phân tích: Ở ví dụ này học sinh nắm được định nghĩa cấp số nhân thì sẽ dễ dàng nhận ra

7

q )

2 Những kỹ thuật và kỹ năng:

Mục tiêu này bao gồm việc sử dụng các thuật toán như các kỹ năng thao tác và khả năng thực hiện trực tiếp các phép tính, những đơn giản hoá và các lời giải

Tương tự với các ví dụ học sinh đã gặp trong lớp, mặc dù có khác nhau về chi tiết Câu hỏi có thể không đòi hỏi phải đưa ra quyết định là làm thế nào để tiếp cận bài toán, chỉ cần

sử dụng các kỹ thuật đã học, hoặc có thể là một quy tắc phải được nhắc lại và áp dụng kỹ thuật đã được học

Cuối chương này học sinh có khả năng để:

thể,đơn giản

cộng, cấp số nhân khi biết u1 và công sai d hoặc công bội q

Sau đây là một vài ví dụ trong đó mục tiêu là kỹ thuật trong chương này:

Câu1: Cho cấp số cộng (u n)có u1 100,u350.Số hạng thứ hai là:

A 50 B 75 C 65 D 85

Phân tích: Áp dụng tính chất trung bình của cấp số cộng

(Đáp án: B)

Câu 2: Cho cấp số nhân (u n ) có u12 và q2 Số hạng u5là:

A 32 B -32 C 64 D -64

quát cấp số nhân

(Đáp án: C)

- Thông hiểu là khả năng nắm được ý nghĩa của tài liệu như: Chuyển đổi dữ liệu từ dạng này sang dạng khác ,từ mức độ trừu tượng này sang mức độ trừu tượng khác

- Thông hiểu còn là khả năng giải thích hay suy ra ý nghĩa các dữ liệu, theo đuổi và

mở rộng lập luận

- Phạm trù này sử dụng kiến thức đã học để trả lời các câu hỏi nhằm xác định xem học sinh có nắm được ý nghĩa của kiến thức mà chưa cần phải áp dụng hay phân tích

- Hành vi thể hiện việc hiểu được chia làm 3 loại:

• Chuyển đổi: Là sự chuyển đổi ý tưởng thành các dạng song song

• Giải thích: Là việc xác định và hiểu các ý tưởng chính trong một giao tiếp

• Ngoại suy: Là sự mở rộng của việc giải thích, tức là học sinh còn phải chỉ ra những ứng dụng cụ thể, hệ quả hay những tác động của nó

- Các hành vi trên được thể hiện cụ thể trong chương này như việc chuyển đổi ngôn ngữ sang kí hiệu, chuyển đổi các cách cho của cùng một dãy số, việc được các yêu cầu tính toán để tìm một hướng giai phù hợp tránh lập luận dài dòng, và biết vận dụng các công thức, đặc biệt là công thức về giá trị trung bình của cấp số cộng và cấp số nhân vì chúng được áp dụng rất nhiều trong việc giải toán ở chương này

- Thể hiện của mức độ nhận thức thông hiểu qua chương “Dãy số, cấp số cộng và cấp

số nhân” của Đại số và Giải tích – Hình học 11 Nâng cao như sau:

1 Phương pháp quy nạp toán học:

Ở bài này học sinh cần hiểu rõ vì sao sau bước cơ sở kiểm tra n = 1 đúng, giả sử n =

k đúng và chứng minh n = k+1 đúng thì bài toán được giải quyết ?

Giải thích:

Khi n = 1 đúng thì theo chứng minh n = 2 đúng

n = 2 đúng kéo theo n = 3 đúng Tiếp tục như vậy thì rõ ràng ta được điều phải chứng minh

Trong bài này, học sinh cần hiểu các bước chứng minh quy nạp và phải biết lúc nào thì nên dùng phương pháp này Thông thường người ta sử dụng phương pháp này khi bài toán yêu cầu chứng minh một mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên dương của biến n

*Ví dụ:

Chứng minh rằng tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên bằng bình phương n với mọi n nguyên dương

Phân tích: Để chứng minh bài này, học sinh cần chuyển nội dung của phát biểu trên thành công thức

1 3 5 (2     n  1) n  n *

Sau đó sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh bài toán

2 Dãy số:

-Với bài này học sinh cần nắm được các cách cho 1 dãy số

Có nhiều cách để cho dãy số:

• Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát

• Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay cho dãy số bằng quy nạp)

• Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số

- Ở phần này học sinh cần biết cách chuyển đổi qua lại giữa các cách cho của dãy số, đặc biệt là chuyển đổi dãy số về số hạng tổng quát Chẳng hạn để chuyển dãy số cho ở dạng truy hồi về công thức của số hạng tổng quát, học sinh có thể liệt kê ra một số phần tử sau đó suy ra số hạng tổng quát và cần phải chứng minh bằng quy nạp

- Học sinh cần nắm được định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm và cách chứng minh

*Cần chú ý học sinh là: cũng có những dãy số không tăng không giảm

Chẳng hạn (u n) với u n   ( 1)n n

- Học xong bài này, học sinh có thể tìm được số hạng tổng quát của một dãy số và suy

ra được dãy số đó là tăng hay giảm hay không tăng không giảm

*Ví dụ:

Câu 1: Cho dãy số dưới dạng khai triển sau:

1, 10, 25, 46, 73

Số hạng tổng quát của dãy số trên là:

A u n  3n2

3n 1

3n 1

Phân tích : Học sinh cần hiểu số hạng tổng quát là số hạng đại diện cho quy luật của dãy số đó Nếu không dự đoán được quy luật của dãy số thì học sinh có thể thử trực tiếp vào các kết quả trên để chọn ra kết quả chính xác

(Đáp án : C) Câu 2: Cho dãy số:

1

1

n n

u

u u 



Tìm số hạng tổng quát

Phân tích:

-Bằng cách liệt kê các phần tử: 1, 3, 7, 15, 31…

Từ đây có thể dự đoán số hạng tổng quát:

u n  2n 1 n 

chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp

Câu 3: Phát biểu nào sau đây là đúng:

A Dãy số tăng thì bị chặn trên

B Dãy số giảm thì bị chặn dưới

C Dãy số tăng thì bị chặn dưới, dãy số giảm thì bị chặn trên

D Dãy số tăng và dãy số giảm đều bị chặn

Phân tích:

Căn cứ vào định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn trên, dãy số bị chặn dưới, dãy số bị chặn ta có:

(Đáp án: C)

3 Cấp số cộng (CSC):

- Với phương pháp quy nạp đã học ta dễ dàng suy ra số hạng tổng quát:

un = u1 + (n -1)d

-Định lý 3(sgk) cho ta biết:

Sn = u1 + u2 + … +un = ( 1 )

2

n

u u n

(1)

Từ đây có thể dễ dàng suy ra:

Sn = u1 + u2 + … +un = [2 1 ( 1) ]

2

u  n d n

(2) -Học sinh cần nắm rõ hai công thức trên và biết lúc nào thì sử dụng công thức (1) lúc nào thì sử dụng công thức (2) cho phù hợp

*Ví dụ:

Câu 1: Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng: a)Mỗi CSC với công sai d>0 là một dãy số:

 Tăng  Giảm  Không tăng cũng không giảm b)Mỗi CSC với công sai d<0 là một dãy số:

 Tăng  Giảm  Không tăng cũng không giảm -Dễ thấy a) tăng

b) giảm

Câu 2: Cho cấp số cộng (un) biết : u n  3n 2  n 1 Tính S10?

Phân tích:

-Lúc này ta sử dụng công thức (1) để tính là nhanh hơn Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra được u 1 = 1 và u10 = 28

- Áp dụng công thức (1) ta tính được đáp án

(Đáp án: 145)

Câu 3: Cho cấp số cộng với:

Tính S30?

Phân tích:

-Với bài này ta sử dụng công thức (2) để tính là hợp lý

- Để áp dụng công thức (2) ta cần tính u1 từ u2 và d

(Đáp án: 2580)

4 Cấp số nhân (CSN):

Mức độ thông hiểu trong bài này hoàn toàn tương tự trong bài CSC Vì vậy với bài này học sinh cần lưu ý một số điều sau:

-Ở cấp số cộng có công sai d thì ở CSN có công bội q0 và số hạng tổng quát có dạng:

un = un-1 q ; n  2

-Định lý trung bình nhân của CSN là:

uk

2

= uk-1 uk+1

-Tương tự CSC ta cũng tìm được số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu tiên của CSN:

un = u1.qn-1

Sn = 1(1 )

1

n

u q q



 ; (q1)

-Ở cấp số cộng nếu ta biết 2 trong 3 số liên tiếp thì ta có thể xác định được một CSC nhưng ở CSN thì chưa chắc

-Mỗi CSN có số hạng đầu dương và công bội 0<q<1 là một dãy số giảm

-Mỗi CSN có số hạng đầu dương và công bội q>1 là một dãy số tăng

Để kiểm tra mức độ thông hiểu của học sinh trong phần này ta có thể cho các ví dụ sau:

Câu 1: Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

A

100

1









khác 0 thì các số 1 1 1, ,

a b c theo thứ tự đó cũng lập thành một CSC

1 1 1

, ,

a b c theo thứ tự đó cũng lập thành một CSN

Phân tích:

 Tổng ở câu a là tổng của 101 số hạng đầu tiên của cấp số nhân số hạng đầu u1 1 và công bội 

 Để kiểm tra 3 số 1 1 1, ,

a b c có lập thành một cấp số cộng hay không thì cần so sánh

,

ba cb

 Để kiểm tra 3 số 1 1 1, ,

a b c có lập thành một cấp số nhân hay không thì cần so sánh

1 1 1 1

b a c b

(Đáp án: C)

Câu 2: Cho dãy số (un) biết u99 = -99 , u101 = 101, dãy số này có phải là 1 cấp số nhân không?

Phân tích:

_ Để xác định cấp số nhân thì ta cần biết công bội q

_ Nếu dãy số đã cho là cấp số nhân thì sẽ tồn tại 1 số q sao cho:

u101 = u99q2

_ Rõ ràng là không tồn tại số q nào thỏa đẳng thức trên, từ đó học sinh có thể xác định dãy số đã cho không phải là cấp số nhân

Câu 3: Cho cấp số nhân có 9 số hạng, công bội dương u14,u9 1280 Công bội q của cấp số nhân này là:

A 2 B.3 C.4 D.5

Phân tích: Học sinh cần biết công thức thể hiện mối liên hệ giữa các số hạng với công bội q

(Đáp án: A)

Sau khi đã nắm lý thuyết phần dãy số và cấp số, giáo viên cần bổ sung bài tập để học sinh biết cách vận dụng Ở đây, vận dụng không phải là làm theo mẫu, tái tạo lại mà phải

áp dụng kiến thức vừa học đó để giải quyết các tình huống mới Với phạm trù này, giáo

viên cần đảm bảo bài toán không thể giải được nếu chỉ áp dụng các phương pháp thường gặp

Phạm trù này là cần thiết vì việc hiểu một khái niệm trừu tượng thì không đảm bảo rằng học sinh sẽ có khả năng nhận ra sự phù hợp và áp dụng nó một cách đúng đắn vào những tình huống thực tiễn

Vậy thì vấn đề ở đây là học sinh vận dụng những gì vừa được học như thế nào? Có thể quy thành một số nội dung chủ yếu sau:

1 Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để tìm ra công thức tổng quát cho một công thức nào đó

Thông thường sau khi học phương pháp quy nạp toán học, nếu bắt gặp bài toán nào yêu cầu chứng minh đúng với mọi số nguyên dương n, học sinh sẽ áp dụng ngay phương pháp này Nhưng đối với những dạng bài toán có yêu cầu khác thì như thế nào? Liệu có áp dụng được phương pháp này? Để giúp học sinh tránh cách làm máy móc đó, giáo viên cần đưa bài tập để học sinh tiếp cận với nhiều cách áp dụng phương pháp trên mà không nhất thiết

đề bài toán yêu cầu như trên

Câu 1: Tìm tổng: S 1.2 2.5   n n(3 1)

C 2

( 1)

2n n n( 1)

*Phân tích: Học sinh sẽ thế số để xem công thức nào là phù hợp Nhưng muốn tìm đáp

án đúng, HS sẽ phải vận dụng ý nghĩa của phương pháp quy nạp, tức là nếu đúng với

chứng

+ Ở trường hợp (A) và (B), học sinh chỉ thay n là một số cụ thể, như (A): học sinh thay

1

n , (B) học sinh thay n 2 Nếu HS thay n 1 và n 2 thì có thể sẽ chọn đáp án (D)

Vì vậy có thể học sinh dừng lại tại đây

+ Tuy nhiên, nếu HS thay giá trị khác nữa, sẽ nhận ra đáp án đúng, đó là đáp án (C) (Đáp án: C)

*Phát triển bài toán: Bài này cũng có thể đưa ra ở dạng bài tập tự luận để học sinh biết

cách quan sát từ các trường hợp cụ thể, phát biểu thành công thức tổng quát và chứng minh tính đúng đắn của công thức đó

Câu 2: Với n 2, chứng minh bất đẳng thức sau:

*Phân tích:

Thông thường, trước một bài chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường đưa về những bất đẳng thức đã biết Song ở bài tập này, học sinh cần chú ý, (*) đúng với mọi

2

này

2

Ở bước này các em cần nhận ra: 2 1 1 1 2    Cũng có thể dùng máy tính để kiểm tra tính đúng sai này

Ở bước này các em cần nhận ra (*) lúc này tương ứng với bất đẳng thức:

1 1 1

1

k k

 

         

Khi chứng minh vấn đề này, các em cần phải huy động giả thiết quy nạp vừa cho Khi đó

1

k

Điều này đòi hỏi học sinh cần vận dụng kiến thức về căn bậc 2 của một số không âm Tức là:

(hiển nhiên)

chứng minh này ngoài việc giúp học sinh biết cách vận dụng linh hoạt phương pháp quy nạp vào các dạng toán, mà còn giúp học sinh huy động các kiến thức đã có nhằm khẳng định tính đúng đắn của vấn đề cần chứng minh

2 Vận dụng các kiến thức về định nghĩa dãy số bị chặn trên (dưới), bị chặn, dãy số tăng (giảm) để xét tính bị chặn, tính đơn điệu của một dãy số:

Ở đây, giáo viên sẽ đưa ra các bài tập để học sinh tùy vào từng trường hợp có cách xác định phù hợp sau khi đã hiểu các định nghĩa trên

Chẳng hạn: với việc xét tính đơn điệu, nếu áp dụng định nghĩa tức là ta so sánh un và

u n+1, trong một số trường hợp ta phải sử dụng nhiều cách khác nhau, có thể so sánh:

1

u  u với 0 hoặc

1

n n

u

u  với 1 Câu 3: Trong các dãy số cho bởi số hạng tổng quát sau, dãy nào là dãy giảm:

n n

a n

1

n

a  n n 

* Phân tích: Học sinh có thể nhận ra ngay câu (A) là sai, vì (I) xác định dãy tăng Để xét

tính đơn điệu, học sinh sẽ sử dụng công thức

1

n n

a

a  cho (II), còn (III) sử dụng so sánh a n

và a n1 Nhưng điểm quan trọng ở đây, học sinh cần nhận ra (II) xác định dãy không tăng không giảm Cụ thể:

2 2

1

n n

n n

a  n  n

Từ đây sẽ nhận thấy: n 1 thì

1

1

n n

a

a   ; còn với n 2 thì

1

1

n n

a

a   (Đáp án: D)

3 Vận dụng định nghĩa và tính chất cấp số cộng – cấp số nhân để xác định các số hạng của chúng hoặc tính tổng của n số đầu tiên