CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN docx

Trn S Tựng www.MATHVN.com www.MATHVN.com Trang 1 I. Phng phỏp qui np toỏn hc chng minh mnh cha bin A(n) l mt mnh ỳng vi mi giỏ tr nguyờn dng n, ta thc hin nh sau: ã Bc 1: Kim tra mnh ỳng vi n = 1. ã Bc 2: Gi thit mnh ỳng vi s nguyờn dng n = k tu ý (k 1), chng minh rng mnh ỳng vi n = k + 1. Chỳ ý: Nu phi chng minh mnh A(n) l ỳng vi vi mi s nguyờn dng n p thỡ: + bc 1, ta phi kim tra mnh ỳng vi n = p; + bc 2, ta gi thit mnh ỳng vi s nguyờn dng bt kỡ n = k p v phi chng minh mnh ỳng vi n = k + 1. Baứi 1: Chng minh rng vi mi n ẻ N*, ta cú: a) 1 + 2 + + n = ( 1) 2 n n + b) 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 6 n n n n + + + + + = c) 2 3 3 3 ( 1) 1 2 2 n n n ộ ự + + + + = ờ ỳ ở ỷ d) 2 1.4 2.7 (3 1) ( 1) n n n n + + + + = + e) ( 1)( 2) 1.2 2.3 ( 1) 3 n n n n n + + + + + + = f) 1 1 1 1.2 2.3 ( 1) 1 n n n n + + + = + + Baứi 2: Chng minh rng vi mi n ẻ N*, ta cú: a) 2 2 1 n n > + (n 3) b) 2 2 2 5 n n + > + c) 2 2 1 1 1 1 2 2 n n + + + < - (n 2) d) 1 3 2 1 1 . 2 4 2 2 1 n n n - < + e) 1 1 1 2 2 n n + + + < f) 1 1 1 13 1 2 2 24 n n n + + + > + + (n > 1) Baứi 3: Chng minh rng vi mi n ẻ N*, ta cú: a) 3 11 n n + chia ht cho 6. b) 3 2 3 5 n n n + + chia ht cho 3. c) 2 2 2 1 7.2 3 n n - - + chia ht cho 5. d) 3 2 n n + chia ht cho 3. e) 2 1 2 3 2 n n + + + chia ht cho 7. f) 13 1 n - chia ht cho 6. Baứi 4: Chng minh rng s ng chộo ca mt a giỏc li n cnh l ( 3) 2 n n - . Baứi 5: Dóy s (a n ) c cho nh sau: 1 1 2, 2 n n a a a + = = + vi n = 1, 2, Chng minh rng vi mi n ẻ N* ta cú: 1 2cos 2 n n a + = p . CHNG III D Y S C P S www.MATHVN.com Trn S Tựng Trang 2 www.MATHVN.com II. Dóy s 1. Dóy s : * ( ) u n u n đ Ơ Ă a Dng khai trin: (u n ) = u 1 , u 2 , , u n , 2. Dóy s tng, dóy s gim ã (u n ) l dóy s tng u n+1 > u n vi " n ẻ N*. u n+1 u n > 0 vi " n ẻ N* 1 1 n n u u + > vi " n ẻ N* ( u n > 0). ã (u n ) l dóy s gim u n+1 < u n vi " n ẻ N*. u n+1 u n < 0 vi " n ẻ N* 1 1 n n u u + < vi " n ẻ N* (u n > 0). 3. Dóy s b chn ã (u n ) l dóy s b chn trờn $ M ẻ R: u n Ê M, " n ẻ N*. ã (u n ) l dóy s b chn di $ m ẻ R: u n m, " n ẻ N*. ã (u n ) l dóy s b chn $ m, M ẻ R: m Ê u n Ê M, " n ẻ N*. Baứi 1: Hóy vit 5 s hng u ca dóy s (u n ) cho bi: a) 2 2 2 1 1 n n u n - = + b) ( 1) 2 1 n n n u n + - = + c) 2 1 1 n n u n - = + d) 1 3 n n u ổ ử = - ỗ ữ ố ứ e) 2 cos n u n n = + f) ( 1)! 2 n n n u + = Baứi 2: Hóy vit 5 s hng u ca dóy s (u n ) cho bi: a) ( ) 1 1 1 2, 1 3 n n u u u + = = + b) 1 2 2 1 15, 9, n n n u u u u u + + = = = - c) 1 1 2 2 0, 1 n n u u u + = = + d) 1 2 2 1 1, 2, 2 n n n u u u u u + + = = - = - Baứi 3: Hóy vit 5 s hng u ca dóy s (u n ), d oỏn cụng thc s hng tng quỏt u n v chng minh cụng thc ú bng qui np: a) 1 1 1, 2 3 n n u u u + = = + b) 2 1 1 3, 1 n n u u u + = = + c) 1 1 3, 2 n n u u u + = = d) 1 1 1, 2 1 n n u u u + = - = + e) 1 1 1, 7 n n u u u + = = + e) 1 5 4 u = , 2 1 1 + = + n n u u S: a) n n u 1 2 3 + = - b) n u n 8 = + c) n n u 1 3.2 - = d) n u 1 = - e) n u n 7 6 = - f) n n n u 1 1 2 1 2 + + + = Baứi 4: Xột tớnh tng, gim ca cỏc dóy s (u n ) cho bi: a) 2 1 3 2 n n u n + = - b) 4 1 4 5 n n n u - = + c) ( 1) 2 n n u n - = + d) 2 2 1 1 n n n u n + + = + e) 2 cos n u n n = + f) 2 n n u n - = Baứi 5: Xột tớnh b chn trờn, b chn di, b chn ca cỏc dóy s (u n ) cho bi: a) 2 3 2 n n u n + = + b) 1 ( 1) n u n n = + c) 2 4 n u n = + Trn S Tùng www.MATHVN.com www.MATHVN.com Trang 3 d) 2 2 2 1 n n n u n n + = + + e) 2 2 n n u n n n = + + f) ( 1) cos 2 n n u n = - p III. Cp s cng 1. nh ngha: (u n ) là cp s cng Û u n+1 = u n + d, " n Î N* (d: công sai) 2. S hng tng quát: 1 ( 1) n u u n d = + - vi n ³ 2 3. Tính cht các s hng: 1 1 2 k k k u u u - + + = vi k ³ 2 4. Tng n s hng đu tiên: 1 1 2 ( ) 2 n n n n u u S u u u + = + + + = = 1 2 ( 1) 2 n u n d é ù + - ë û Baøi 1: Trong các dãy s (u n ) di đây, dãy s nào là cp s cng, khi đó cho bit s hng đu và công sai ca nó: a) u n = 3n – 7 b) 3 2 5 n n u + = c) 2 n u n = d) 3 n n u = e) 7 3 2 n n u - = f) 1 2 n n u = - Baøi 2: Tìm s hng đu và công sai ca cp s cng, bit: a) 1 5 3 1 6 10 17 u u u u u ì + - = í + = î b) 2 5 3 4 6 10 26 u u u u u ì + - = í + = î c) 3 14 15 18 u u ì = - í = î d) 7 3 2 7 8 . 75 u u u u ì - = í = î e) 7 15 2 2 4 12 60 1170 u u u u ì + = ï í + = ï î f) 1 3 5 1 2 3 12 8 u u u u u u ì + + = - í = î Baøi 3: a) Gia các s 7 và 35 hãy đt thêm 6 s na đ đc mt cp s cng. b) Gia các s 4 và 67 hãy đt thêm 20 s na đ đc mt cp s cng. Baøi 4: a) Tìm 3 s hng liên tip ca mt cp s cng, bit tng ca chúng là 27 và tng các bình phng ca chúng là 293. b) Tìm 4 s hng liên tip ca mt cp s cng, bit tng ca chúng bng 22 và tng các bình phng ca chúng bng 66. Baøi 5: a) Ba góc ca mt tam giác vuông lp thành mt cp s cng. Tìm s đo các góc đó. b) S đo các góc ca mt đa giác li có 9 cnh lp thành mt cp s cng có công sai d = 3 0 . Tìm s đo ca các góc đó. c) S đo các góc ca mt t giác li lp thành mt cp s cng và góc ln nht gp 5 ln góc nh nht. Tìm s đo các góc đó. Baøi 6: Chng minh rng nu 3 s a, b, c lp thành mt cp s cng thì các s x, y, z cng lp thành mt cp s cng, vi: a) 2 2 2 2 2 2 ; ; x b bc c y c ca a z a ab b = + + = + + = + + b) 2 2 2 ; ; x a bc y b ca z c ab = - = - = - Baøi 7: Tìm x đ 3 s a, b, c lp thành mt cp s cng, vi: a) 2 10 3 ; 2 3; 7 4 a x b x c x = - = + = - b) 2 1; 3 2; 1 a x b x c x = + = - = - Baøi 8: Tìm các nghim s ca phng trình: 3 2 15 71 105 0 x x x - + - = , bit rng các nghim s phân bit và to thành mt cp s cng. Baøi 9: Ngi ta trng 3003 cây theo mt hình tam giác nh sau: hàng th nht có 1 cây, hàng th hai có 2 cây, hàng th ba có 3 cây, …. Hi có bao nhiêu hàng? www.MATHVN.com Trn S Tùng Trang 4 www.MATHVN.com IV. Cp s nhân 1. nh ngha: (u n ) là cp s nhân Û u n+1 = u n .q vi n Î N* (q: công bi) 2. S hng tng quát: 1 1 . n n u u q - = vi n ³ 2 3. Tính cht các s hng: 2 1 1 . k k k u u u - + = vi k ³ 2 4. Tng n s hng đu tiên: 1 1 1 (1 ) 1 1 n n n S nu vôùi q u q S vôùi q q é = = ê - ê = ¹ ê - ë Baøi 1: Tìm s hng đu và công bi ca cp s nhân, bit: a) 4 2 5 3 72 144 u u u u ì - = í - = î b) 1 3 5 1 7 65 325 u u u u u ì - + = í + = î c) 3 5 2 6 90 240 u u u u ì + = í - = î d) 1 2 3 1 2 3 14 . . 64 u u u u u u ì + + = í = î e) 1 2 3 1 2 3 21 1 1 1 7 12 u u u u u u ì + + = ï í + + = ï î f) 1 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 4 30 340 u u u u u u u u ì + + + = ï í + + + = ï î Baøi 2: a) Gia các s 160 và 5 hãy chèn vào 4 s na đ to thành mt cp s nhân. b) Gia các s 243 và 1 hãy đt thêm 4 s na đ to thành mt cp s nhân. Baøi 3: Tìm 3 s hng liên tip ca mt cp s nhân bit tng ca chúng là 19 và tích là 216. Baøi 4: a) Tìm s hng đu ca mt cp s nhân, bit rng công bi là 3, tng s các s hng là 728 và s hng cui là 486. b) Tìm công bi ca mt cp s nhân có s hng đu là 7, s hng cui là 448 và tng s các s hng là 889. Baøi 5: a) Tìm 4 góc ca mt t giác, bit rng các góc đó lp thành mt cp s nhân và góc cui gp 9 ln góc th hai. b)  dài các cnh ca DABC lp thành mt cp s nhân. Chng minh rng DABC có hai góc không quá 60 0 . Baøi 6: Tìm bn s hng liên tip ca mt cp s nhân, trong đó s hng th hai nh hn s hng th nht 35, còn s hng th ba ln hn s hng th t 560. Baøi 7: S s hng ca mt cp s nhân là mt s chn. Tng tt c các s hng ca nó ln gp 3 ln tng các s hng có ch s l. Xác đnh công bi ca cp s đó. Baøi 8: Tìm 4 s hng đu ca mt cp s nhân, bit rng tng 3 s hng đu là 148 9 , đng thi, theo th t, chúng là s hng th nht, th t và th tám ca mt cp s cng. Baøi 9: Tìm 3 s hng đu ca mt cp s nhân, bit rng khi tng s th hai thêm 2 thì các s đó to thành mt cp s cng, còn nu sau đó tng s cui thêm 9 thì chúng li lp thành mt cp s nhân. Baøi 10: Tìm 4 s trong đó ba s đu là ba s hng k tip ca mt cp s nhân, còn ba s sau là ba s hng k tip ca mt cp s cng; tng hai s đu và cui bng 32, tng hai s gia bng 24. Baøi 11: Tìm các s dng a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lp thành mt cp s cng và (b + 1) 2 , ab + 5, (a + 1) 2 lp thành mt cp s nhân. Baøi 12: Chng minh rng nu 3 s 2 1 2 , , y x y y z - - lp thành mt cp s cng thì 3 s x, y, z lp thành mt cp s nhân. Trn S Tùng www.MATHVN.com www.MATHVN.com Trang 5 BÀI TP ÔN CHNG III Bài 1: Tính tng : S n n 1.2 2.3 ( 1) = + + + + Bài 2: Dãy s ( ) n u xác đnh bi công thc: 1 1 1 3 1 n n u u u + = ì ï í = - ï î vi 1 n ³ . Chng minh dãy s tng bng phng pháp quy np Bài 3: Cho dãy s )( n u xác đnh bi: 4 5 1 =u và 2 1 1 + = + n n u u vi mi 1 ³ n . a) Bng phng pháp quy np, chng minh vi mi 1 ³ n ta có 1 2 1 1 += +n n u . b) Chng minh rng dãy s )( n u là dãy gim và b chn. Bài 4: Xét tính tng, gim ca dãy s ( ) n u vi: a) n n u 2 - = b) 3 1 4 n n n n u + = Bài 5: Cho dãy s (u n ) xác đnh bi u 1 =2 và 1 2 n n u u + = + vi mi 1 n ³ . Chng minh u n = 2 vi mi 1 n ³ . Có nhn xét gì v dãy s này ? Bài 6: Cp s cng: a) Tìm các nghim ca phng trình: x x x 3 2 –15 71 –105 0 + = . Bit rng các nghim này to thành mt cp s cng. b) Cho mt cp s cng bit tng ba s hng đu tiên bng –6 và tng các bình phng ca chúng bng 30. Hãy tìm cp s cng đó. c) Cho phng trình x m x m 4 2 2 –(3 4) ( 1) 0 + + + = . nh m d phng trình có bn nghim phân bit lp thành mt cp s cng. d) Cho các s a, b, c tho mãn 1 1 1 , , a b a c b c + + + to thành mt cp s cng. Chng minh rng a b c 2 2 2 , , cng to thành mt cp s cng e) Nu s th p, th q và th r ca mt cp s cng ln lt là a, b, c. Chng minh rng: q r a r p b p q c ( – ) ( – ) ( – ) 0 + + = f) Cho bit tng n s hng ca mt cp s cng là n S n n (5 –3) = . Tìm s hng th p ca cp s cng đó. g) Cho hai cp s cng ln lt có tng n s hng là n S n 7 1 = + và n T n 4 7 = + . Tìm t s 11 11 u v ca 2 s hng th 11 ca hai cp s đó. Bài 7: Cp s nhân: a) Tìm s hng đu và công sai ca cp s nhân, bit s hng th hai là 16 và tng ba s hng đu bng 56. b) Mt cp s nhân ( ) n u có 5 s hng, bit công bi 1 4 q = và 1 4 24 u u + = . Tìm các s hng ca cp s nhân này. Bài 8: Cp s cng – Cp s nhân: a) Các s x y x y x y 6 , 5 2 , 8 + + + , theo th t đó lp thành cp s cng. ng thi 1, 2, 3 - + - x y x y theo th t đó lp thành cp s nhân. Hãy tìm x và y. b) Cho 3 s có tng bng 28 lp thành cp s nhân. Tìm cp s nhân đó bit nu s th nht gim 4 thì ta đc 3 s lp thành cp s cng. c) Tìm hai s a và b bit ba s: 1 , 8 a + , b theo th t lp thành mt cp s cng và ba s 1, , a b theo th t lp thành mt cp s nhân. www.MATHVN.com Trn S Tùng Trang 6 www.MATHVN.com d) Ba s có tng là 217 có th coi là ba s hng liên tip ca mt CSN, hoc là các s hng th 2, th 9 và th 44 ca mt CSC. Hi phi ly bao nhiêu s hng đu ca CSC đ tng ca chúng là 280? e) Mt CSC và mt CSN có s hng th nht bng 5, s hng th hai ca CSC ln hn s hng th 2 ca CSN là 10, còn các s hng th 3 bng nhau. Tìm các cp s y? Bài 9: Cho dãy s (u n ) vi 2 5 2 5 n n n n n u - = + . Tính 10 1 2 10 1 1 1 1 1 1 S u u u = + + + - - - . Bài 10: Cho dãy s (u n ), kí hiu tng n s hng đu tiên ca nó là S n , đc xác đnh 2 37 2 nn S n - = . a) Tính u 1 , u 2 , u 3 . b) Chng minh dãy s trên là mt cp s cng và xác đnh s hng tng quát ca nó. . y b ca z c ab = - = - = - Baøi 7: Tìm x đ 3 s a, b, c lp thành mt cp s cng, vi: a) 2 10 3 ; 2 3; 7 4 a x b x c x = - = + = - b) 2 1; 3 2; 1 a x b x c x = + = - = - Baøi 8: Tìm. n u u u + = - = + e) 1 1 1, 7 n n u u u + = = + e) 1 5 4 u = , 2 1 1 + = + n n u u S: a) n n u 1 2 3 + = - b) n u n 8 = + c) n n u 1 3.2 - = d) n u 1 = - e) n u n 7 6 = - f) n n n u 1 1 2. 5 n n n n n u - = + . Tính 10 1 2 10 1 1 1 1 1 1 S u u u = + + + - - - . Bài 10: Cho dãy s (u n ), kí hiu tng n s hng đu tiên ca nó là S n , đc xác đnh 2 37 2 nn S n - = . a) Tính