nếu các biểu thức dưới căn là không âm.. Trên đường tròn O1,r1 lấy một điểm M1 và trên đường tròn O2,r2 lấy một điểm M2 sao cho đường thẳng O1M1 cắt đường thẳng O2M2 tại một điểm Q.. Cho
Trang 1ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Cho c là một số thực dương Dãy số {x n}, n = 0,1,2,…., được xây dựng theo cách sau :
x n+1 = c− c+x n
(n=0,1,2,….) nếu các biểu thức dưới căn là không âm
Tìm tất cả các giá trị của c đề với mọi giá trị ban đầu x0 ∈(0,c) dãy {x
n } được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn lim x n khi n
∞
→ .
Bài 2 : Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn (O1,r1) và (O2,r2) Trên đường tròn (O1,r1) lấy một điểm M1 và trên đường tròn (O2,r2) lấy một điểm M2 sao cho đường thẳng O1M1 cắt đường thẳng O2M2 tại một điểm
Q Cho M1 chuyển động trên đường tròn (O1,r1) , M2 chuyển động trên đường tròn (O2,r2) cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như nhau
1/ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng M1M2
2/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M1QM2 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 3 : Cho đa thức :
P(x) = x3 + 153x2 - 111x + 38 1/ Chứng minh rằng trong đoạn [1;32000] tồn tại ít nhất 9 số nguyên dương a sao cho P(a) chia hết cho 32000
2/ Hỏi trong đoạn [1;32000] có tất cả bao nhiêu số nguyên dương a mà P(a) chia hết cho 32000?
Trang 2
-ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Cho trước góc α với 0<α<π
1/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tam thức bậc hai dạng f(x) =
x2 + ax + b (a,b là số thực ) sao cho với mọi n>2 đa thức
Pn(x) = xnsinα – xsin(nα) + sin(n-1)α chia hết cho f(x)
2/ Chứng minh rằng không tồn tại nhị thức bậc nhất dạng g(x) = x + c (c là số thực) sao cho với mọi n>2 đa thức Pn(x) chia hết cho g(x)
Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên n>3 sao cho tồn tại n điểm trong không
gian thoả mãn đồng thời các các tính chất sau đây :
a/ Không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng
b/ Không có bốn điểm nào trong chúng cùng nằm trên một đường tròn c/ Tất các các đường trong đi qua ba điểm trong chúng đểu có bán kính bằng nhau
Bài 6 : Với mỗi đa thức hệ số thực P(x) , kí hiệu AP là tập hợp các số thực
x sao cho P(x) = 0
Tìm số phần tử nhiều nhất có thể có của AP khi P(x) thuộc tập hợp các đa thức có hệ số thực với bậc ít nhất là 1 và thoả mãn đẳng thức :
P(x2- 1) = P(x).P(-x) với mọi giá trị thực x