ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001 MÔN : TOÁN

Một hình thang ABCD AB//CD thay đổi sao cho bốn đỉnh A,B,C,D nằm trên đường tròn O,R1 và giao điểm của hai đường chéo AC,BD nằm trên đường tron O,R2.. Tìm quỹ tích giao điểm P của hai đư

ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001

MÔN : TOÁN (Bảng A)

Ngày thi thứ nhất

Bài 1 : Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B và P1P2 là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó (P1(O1),

P2(O2)) Gọi M1 và M2 tương ứng là hình chiếu vuông góc của P1 và P2 trên đường thẳng O1O2 Đường thẳng AM1 cắt (O1) tại điểm thứ hai N1, đường thẳng AM2 cắt (O2) tại điểm thứ hai N2 Hãy chứng minh N1,B,N2 thẳng hàng

Bài 2 : Cho số nguyên dương n và cho hai số nguyên nguyên tố cùng nhau a,

b lớn hơn 1 Giả sử p, q là hai ước lẻ lớn hơn 1 của a n

+ b n Hãy tìm số dư trong phép chia p n

+ q n cho 6.(12)n

Bài 3 : Với mỗi cặp số thực (a, b), xét dãy số {xn}, nN, được xác định bởi:

x0 = a và xn1 = xn + b.sinxn với mọi nN

1/ Cho b = 1 Chứng minh rằng với mọi số thực a, dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi n  Hãy tính giới hạn đó theo a

2/ Chứng minh rằng với mỗi số thực b>2 cho trước, tồn tại số thực a sao cho dãy {xn} tương ứng không có giới hạn hữu hạn khi n 

( N là tập hợp các số tự nhiên)

-

ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001

MÔN : TOÁN (Bảng A)

Ngày thi thứ hai

Bài 4 : Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau :





























5 2 10 3

6 3 z

x

} , 2 {x min 2

1

z y

y z

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P(x,y,z) = 12 22 32

z y

Bài 5 : Cho hàm số g(x) = 2

1

2

x

x

 Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định , liên tục trên khoảng (-1;1) và thoả mãn hệ thức :

(1 - x2).f(g(x)) = (1 + x2)2.f(x) với mọi x(-1;1)

Bài 6 : Cho số nguyên n1 Xét hoán vị (a1,a2,…,a n) của 2n số nguyên dương đầu tiên sao cho các số |ai1 - ai|, i = 1,2,….,2n – 1, đôi một khác nhau Chứng minh rằng a1 - a n = n khi và chỉ khi 1a k n với mọi k = 1,2,…,n

-

ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002

MÔN : TOÁN (Bảng B)

Ngày thi thứ nhất

Bài 1 : Trong mắt phẳng cho hai đường tròn cố định (O,R1) và (O,R2) có

R1>R2 Một hình thang ABCD (AB//CD) thay đổi sao cho bốn đỉnh

A,B,C,D nằm trên đường tròn (O,R1) và giao điểm của hai đường chéo AC,BD nằm trên đường tron (O,R2) Tìm quỹ tích giao điểm P của hai đường thẳng AD và BC

Bài 2 : Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực R và

thoả mãn hệ thức :

f(y – f(x)) = f(x2002 - y) – 2001y.f(x) với mọi số thực x, y

Bài 3 : Cho tập hợp S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn [1;2002] Gọi T

là tập hợp gồm tất cả các tập hợp con không rỗng của S Với mỗi tập hợp X thuộc T , kí hiệu m(X) là trung bình cộng của tất cả các số thuộc X Đặt :

m =

|

|

) (

T

X m

ở đây tổng lấy theo tất cả các tập hợp X thuộc T

Hãy tính giá trị của m

(|T| kí hiệu số phần tử của tập hợp T)

-

ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002

MÔN : TOÁN (Bảng B)

Ngày thi thứ hai

Bài 4 : Cho a, b, c là ba số thực tuỳ ý Chứng minh rằng :

6(a + b + c)(a2 + b2 + c2)≤ 27abc + 10(a2 + b2 + c2)2

3

Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 5 : Xét phương trình :

x

2

1

+

1

1



x +

4

1



x + … + 1 2

k

x + … + 2

1

n

x = 0 trong đó n là tham số nguyên dương

1/ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm trong khoảng (0;1) ; kí hiệu nghiệm đó là x

n 2/ Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn khi n  

Bài 6 : Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn điều kiện :

Cn n = (2n)k trong đó k là số các ước nguyên tố của Cn

n (Cn n kí hiệu số tổ hợp chập n của tập hợp có 2n phần tử)

-

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003

MÔN: TOÁN (Bảng A)

Ngày thi : 12/3/2003

Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và

thoả mãn điều kiện :

f(cotgx) = sin2x + cos2x với mọi x thuộc khoảng (0;)

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :

g(x) = f(x).f(1-x) trên đoạn [-1;1]

Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O1) và (O2) tiếp xúc với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O2) lớn hơn bán kính của đường tròn (O1) Xét điểm A nằm trên đường tròn (O2) sao cho 3 điểm

O1,O2,A không thẳng hàng Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O1) (B và C là các tiếp điểm) Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O2),tương ứng, tại E và F Gọi D là giao điểm của đường thẳng

EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O2) Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định , khi A di động trên đường tròn (O2) sao cho ba điểm O1,O2,A không thẳng hàng

( (O) kí hiệu đường tròn tâm O)

Bài 3 : Với mỗi số nguyên n>1 , kí hiệu sn là số các hoàn vị (a1,a2,….,an) của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a1,a2,…., an) đều có tính chất 1|ak- k|2 với mọi k = 1,2,3,…,n

Chứng minh rằng : 1,75.sn1 < sn < 2.sn1 với mọi số nguyên n >6

-

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003

MÔN: TOÁN (Bảng A)

Ngày thi : 13/3/2003

Bài 4 : Hãy tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho hệ phương trình :

(x+1)2 + y2

1 = (x+2)2 + y2

2 = … = (x+k)2 + y2

k = … = (x+n)2 + y2

n

có nghiệm nguyên (x,y1,y2,….,yn)

Bài 5 : Cho hai đa thức :

P(x) = 4x3- 2x2- 15x + 9

và Q(x) = 12x3 + 6x2 - 7x + 1

1/ Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt 2/ Kí hiệu α và β tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x) Chứng minh rằng: α2 + 3β2 = 4

Bài 6 : Cho tập hợp F gồm tất cả các hàm số f : R  R thoả mãn điều kiện:

f(3x) f(f(2x)) + x với mọi số thực dương x

Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với mọi hàm số f thuộc tập hợp F

ta đều có :

với mọi số thực dương x

( R kí hiệu tập hợp các số thực dương)

-