Trong mô hình hồi quy ở bài trước thì các hệ số hồi quy đối với một biến cụ thể là số đo tác động riêng phần của biến tương ứng khi tất cả các biến khác trong mô hình được giữ cố định..
Trang 1Chương: ĐA CỘNG TUYẾN
(Multicollinearity)
1 Giới thiệu đa cộng tuyến trong kinh tế lượng.
Trong bài thuyết trình trước chúng ta xét mô hình hồi quy bội với giả thiết các biến giải thích Xi độc lập tuyến tính với nhau và liệu rằng giả định trên luôn đúng trong mọi mô hình hồi quy bội ? để làm rõ những nghi ngờ này, chúng ta sẽ xét bài toán hồi quy bội khi giả thiết về tính độc lập tuyến tính đó bị phá vỡ và sẽ đưa ra cách thức phát hiện cũng như biện pháp khắc phục hiện tượng giả thiết đó
bị vi phạm
Trong mô hình hồi quy ở bài trước thì các hệ số hồi quy đối với một biến
cụ thể là số đo tác động riêng phần của biến tương ứng khi tất cả các biến khác trong mô hình được giữ cố định Nếu tính độc lập bị phá vỡ, tức là các biến giải thích có tương quan thì chúng ta không thể chỉ cho một biến thay đổi và giữ các biến còn lại cố định Do vậy sẽ có hiện tượng đa cộng tuyến, đó là hiện tượng các biến độc lập trong mô hình phụ thuộc lẫn nhau và thể hiện được dưới dạng hàm số
Xét mô hình nhiều biến độc lập:
E(Y/Xi ) = β1 + β2X2i + +βkXki (k ≥ 3) Hiện tượng đa cộng tuyến xảy ra khi một biến là tổ hợp tuyến tính của các biến còn lại và một sai số ngẫu nhiên, hay nói cách khác là có một biến biểu diễn xấp xỉ tuyến tính qua các biến còn lại
1.1 Bản chất và nguyên nhân.
Bản chất:
Là sự tương quan lẫn nhau giữa các biến độc lập với nhau Cov(XiXj) <> 0
Nguyên nhân:
a/ Do phương pháp thu thập dữ liệu.
Thu thập số liệu ít, số quan sát nhỏ hơn số biến độc lập, không toàn diện
Trang 2Các giá trị của các biến độc lập phụ thuộc lẫn nhau trong mẫu, nhưng không phụ thuộc lẫn nhau trong tổng thể
Ví dụ: người có thu nhập cao hơn khuynh hướng sẽ có nhiều của cải hơn Điều này có thể đúng với mẫu mà không đúng với tổng thể
Trong tổng thể sẽ có các quan sát về các cá nhân có thu nhập cao nhưng không có nhiều của cải và ngược lại
b/ Do bản chất của các biến độc lập trong mô hình là tương quan nhau.
Các biến giải thích được xuất hiện trong mô hình kinh tế lượng thường xuất phát từ lý thuyết hoặc hiểu biết căn bản về hành vi chúng ta cố gắng thiết lập mô hình, cũng như từ kinh nghiệm quá khứ Dữ liệu về các biến này đặc biệt xuất phát
từ những kinh nghiệm không kiểm soát và thường tương quan với nhau Điều này đặc biệt đúng đối với các biến chuỗi thời gian thường có những xu hướng tiềm ẩn thông thường ví dụ , dân số và tổng sản phẩm quốc nội là hai chuỗi dữ liệu tương quan chặt lẫn nhau
Chú ý: hiện tượng đa cộng tuyến thường diễn ra đối với số liệu chuỗi thời gian (time series) giữa hai biến độc lập với nhau.
c/ Do một số dạng mô hình sản sinh ra đa cộng tuyến.
Ví dụ: hồi qui dạng các biến độc lập được bình phương (dạng hàm) sẽ xảy
ra đa cộng tuyến và đặc biệt khi phạm vi giá trị ban đầu của biến độc lập là nhỏ
1.2 Phân biệt: đa cộng tuyến hoàn hảo và đa cộng tuyến không hoàn hảo 1.2.1 Đa cộng tuyến hoàn hảo
Bài toán
Các biến X2 ,X3 , ,X k gọi là các đa cộng tuyến hoàn hảo hay còn gọi là
đa cộng tuyến chính xác nếu tồn tại λ2 , ,λk không đồng thời bằng không sao cho: λ2X2 + λ3X 3+ + λkX k = 0 (1.1)
Đa cộng tuyến hoàn hảo thường rất ít khi xảy ra trong thực tế Trừ trường hợp chúng ta rơi vào bẫy biến giả (dummy trap)
1.2.2 Đa cộng tuyến không hoàn hảo (gần đa cộng tuyến)
Bài toán
Trang 3Các biến X2 ,X3 , ,X k gọi là các đa cộng tuyến không hoàn hảo nếu tồn tại λ2 , ,λk không đồng thời bằng không sao cho:
λ2 X2 + λ3 X3 + + λ k X k + vi = 0 (1.2)
trong đó vi là sai số ngẫu nhiên
Đa cộng tuyến không hoàn hảo thường hay xảy ra trong thực tế (Near collinearity) khi các biến độc lập tương quan khá cao
Trường hợp nay chúng ta có thể ước lượng các hệ số hồi qui
Tuy nhiên sai số chuẩn rất lớn và vì vậy hệ số hồi qui ước lượng không chính xác, kiểm định t ít có ý nghĩa thống kê và dễ dàng chấp nhận giả thuyết
“không”
1.3 Ước lượng khi có đa cộng tuyến hoàn hảo.
Chúng ta sẽ thấy rằng khi có hiện tượng đa cộng tuyến hoàn hảo thì các hệ
số hồi quy có thể không xác định và sai số tiêu chuẩn của chúng có thể bằng vô cùng Để đơn giản chúng ta xét mô hình hồi quy 3 biến:
= + + + , (i= ) (1.3)
Đặt = - , = - , = -
Ta cũng có = + + (1.4)
Trong phần hồi quy bội ta đã có các ước lượng , là :
Nếu xảy ra hiện tượng đa cộng tuyến hoàn hảo thì :
= λ => =
Thay vào biểu thức (1.5) và (1.6) ta có :
Trang 4= = (1.7)
Rõ ràng biểu thức trên là không xác định => trong trường hợp đa cộng tuyến hoàn hảo chúng ta không thể ước lượng được các hệ số hồi quy riêng , cho mô hình (1.3)
1.4 Ước lượng khi có đa cộng tuyến không hoàn hảo.
Trong thực tế hiếm khi xảy ra trường hợp đa cộng tuyến hoàn hảo vì các biến độc lập hiếm khi có quan hệ thực sự tuyến tính với nhau Vì vậy nếu có hiện tượng đa cộng tuyến thì thường chỉ xảy ra hiện tượng đa cộng tuyến không hoàn hảo Để đơn giản, ta cũng xét mô hình hồi quy 3 biến với đa cộng tuyến không hoàn hảo:
= + + + (1.8) ( i = )
Với là các nhiễu ngẫu nhiên không tương quan với các biến độc lập.Khi đó giữa hai biến độc lập , có sự đa cộng tuyến không hoàn hảo nghĩa là :
= λ + (1.9)
Với λ ≠ 0 , là các nhiễu ngẫu nhiên không tương quan với và tức là
Từ (1.9) ta cũng có = λ + (1.10) và ta có ước lượng cho là :
=
Tương tự ta cũng có biểu thức của
2 Hậu quả của hiện tượng đa cộng tuyến:
Trang 5Xét trường hợp mô hình có hiện tượng đa cộng tuyến không hoàn hảo, tức biến độc lập có thể xấp xỉ tuyến tính theo các biến , , Đối với mô hình
hồi quy đa biến thì có thể theo nghĩa là hệ số tương quan riêng có giá trị tuyệt đối xấp xỉ 1 Trong chương mô hình hồi quy bội ta đã có biểu thức :
Var ( ) =
Đồng thời với độ tin cậy 95% ta có khoảng ước lượng cho , là :
); +1.96Se( ) Với Se( ) = , (i=2,3)
ta thấy rằng khi xấp xỉ 1 thì:
Phương sai Var( ), Var( ) gần với
Khoảng ước lượng lớn hay nói cách khác là khoảng ước lượng tiến tới
(-.Vì vậy ước lượng hệ số trở lên khó có hiệu lực, tức là không có ý nghĩa,
vì khoảng ước lượng quá lớn
Trang 6Để kiểm định giả thuyết = 0 ,i = 2, 3 ta dùng các tiêu chuẩn thống kê =
, i= 2, 3
Tuy nhiên cả 2 thống kê này đều tiến dần tới 0 do Se( ) vì vậy khả năng chấp nhận giả thuyết là rất lớn Điều này mâu thuẫn với thực tế vì rõ ràng mức tiêu dung nội địa phụ thuộc vào các nguồn thu ,
Từ ví dụ trên ta rút ra được một số hậu quả của đa cộng tuyến như sau:
2.1 Ước lượng phương sai trở nên kém chính xác Hệ số phóng đại phương sai (VIF)
2.2 Giá trị tới hạn t trở nên nhỏ hơn so với thực tế trong khi R2 là khá cao Kiểm định t và F trở nên kém hiệu quả
2.3 Các giá trị ước lượng biến động mạnh khi thay đổi số liệu trong mô hình (n N) sẽ làm giảm khả năng xảy ra đa cộng tuyến.
(rút ra hoặc thêm vào) các biến có tham gia vào hiện tượng đa cộng tuyến.
3 Cách phát hiện đa cộng tuyến:
Ta đã thấy hậu quả của hiện tượng đa cộng tuyến trong mô hình hồi quy Vì vậy vấn đề quan trọng là làm thế nào để phát hiện ra hiện tượng đa cộng tuyến và biện pháp khắc phục ra sao?
Một số quy tắc để phát hiện ra hiện tượng đa cộng tuyến:
a/ Hệ số xác định R2 lớn nhưng giá trị của thống kê t lại nhỏ: Khi thấy trong mô hình hồi quy có hệ số xác định R2 khá cao (R2 > 0.8) nhưng các giá trị thống kê
ti thấp và xác suất ý nghĩa tương ứng tương đối cao thì có thể kết luận đã có hiện tượng đa cộng tuyến
b/ Hệ số tương quan giữa các biến độc lập có giá trị tuyệt đối lớn: Ta có thể tính các hệ số tương quan rij giữa các biến độc lập Nếu rij khá gần 1 thì kết luận có
Trang 7hiện tượng đa cộng tuyến.Hệ số tương quan từ 0.8 trở lên là cao, từ 0.9 trở lên là rất cao
c/ Dùng mô hình hồi quy phụ, nếu R2 của mô hình hồi quy phụ cao hơn mô hình hồi quy chính thì mô hình hồi quy chính có xảy ra hiện tượng đa cộng tuyến Hồi qui giữa một biến độc lập nào đó theo các biến độc lập còn lại với nhau và quan sát hệ số R2 của các hồi qui phụ Thực hiện tính thống kê F
F = [R2/(k-1)] /[(1-R2)/(n-k)]
- k số biến độc lập trong hồi qui phụ
- Nếu F > F∝ thì chúng ta có thể kết luận rằng R2 khác không theo ý nghĩa thống kê và điều này có nghĩa là có đa cộng tuyến trong mô hình
d/ Dùng chỉ sổ phóng đại phương sai, nếu VIF ≥10, mô hình xảy ra hiện tượng đa cộng tuyến rất cao Từ 5 trở lên là có hiện tượng ĐCT cao VIF = 1/(1-rtj2)
- rtj2 là hệ số tương quan giữa hai biến độc lập trong mô hình
- Khi rtj tăng làm VIF tăng và làm tăng mức độ đa cộng tuyến
- Rule of thumb: VIF ≥ 10 có hiện tượng đa cộng tuyến giữa hai biến độc lập trong mô hình
4 Các giải pháp khắc phục Đa cộng tuyến.
- Sử dụng thông tin tiên nghiệm
Mấu chốt của hiện tượng đa cộng tuyến là thông tin mẫu vì vậy một trong những biện pháp khắc phục là sử dụng thông tin tiên nghiệm (là các thông tin đã biết từ trước về mô hình) hoặc thông tin bên ngoài để ước lượng các hệ số hồi quy Các
mô hình KTL trong trong các nghiên cứu này có tính khả thi và có thể khắc phục được thì tiến hành
Ta xét ví dụ sau :Thiết lập một phương trình sản xuất của một quá trình sản xuất ta có phương trình :
Trang 8trong đó là lượng sản phẩm được sản xuất ở thời kỳ thứ i, là lượng lao động
ở thời kỳ thứ i, là nguồn vốn có được trong thời kỳ thứ i, là nhiễu ngẫu
nhiên, là các hằng số cần ước lượng Lấy lôgarit 2 vế của (1.11) ta có:
ln = ln + ln( ) + ln( ) + (1.12)
đặt = ln ; = ln ) ; = ln( ) khi đó phương trình (1.11) trở thành
= ln + + + (1.13)
Nếu tương quan giữa K và L cao tức là xảy ra hiện tượng đa cộng tuyến khi đó phương sai của các hệ số ước lượng , sẽ lớn.Tuy nhiên, nếu biết được từ nguồn thông tin bên ngoài là ngành sản xuất này có quy mô không đổi, tức là +
=conts thì khi đó ta có :
- = ln + ( - ) + (1.14)
Đặt = - , = - khi đó phương trình (1.11) được đưa về
dạng = ln + +
Đây là phương trình hồi quy đơn do đó ta có thể ước lượng được các hệ số ln ,
và từ đó tính được ước lượng của
tuyến Tìm mẫu dữ liệu khác hoặc gia tăng cỡ mẫu Nếu mẫu lớn hơn mà vẫn còn
Trang 9multicollinearity thì vẫn có giá trị vì mẫu lớn hơn sẽ làm cho phương sai nhỏ hơn
và hệ số ước lượng chính xác hơn so với mẫu nhỏ
thống kê hơn loại ra trước (điều này chỉ mang tính tương đối) Biện pháp bỏ biến trong mô hình đa cộng tuyến là biện pháp đơn giản nhất Ta thấy rằng hiện tượng
đa cộng tuyến xảy ra khi biến độc lập nào đó có biểu diễn tuyến tính hoặc gần tuyến tính qua các biến độc lập khác Vì thế ta hãy loại biến đó ra khỏi mô hình,nhưng vấn đề đặt ra là không chỉ có một biến biểu diễn tuyến tính qua các biến khác mà có nhiều biến như vậy Vì vậy ta cần dựa vào một số quy tắc để quyết định bỏ biến nào trong số các biến độc lập của mô hình Hai quy tắc thường được áp dụng trước tiên khi gặp phải hiện tượng đa cộng tuyến là khảo sát hệ số tương quan cặp giữa các biến độc lập và sử dụng các mô hình hồi quy phụ
Cụ thể:
o Khi giữa hai biến độc lập nào đó có mối tương quan tuyến tính mạnh (hệ số tương quan giữa hai biến có giá trị tuyệt đối rất gần 1), ta có thể dựa vào ý nghĩa thực tế để cân nhắc loại bỏ một trong hai biến đó ra khỏi phương trình hồi quy
o Các mô hình hồi quy phụ với một biến độc lập nào đó được hồi quy theo các biến độc lập còn lại có thể được sử dụng để xác định biến cần loại bỏ khỏi mô hình Nếu hệ số xác định của mô hình hồi quy phụ có giá trị lớn (trên 80% chẳng hạn), ta có thể khẳng định biến được giải thích trong mô hình hồi quy phụ được xấp xỉ tuyến tính qua các biến độc lập còn lại, do đó có thể bị loại ra khỏi danh sách các biến độc lập của mô hình hồi quy chính
Ví dụ: Bỏ biến của cải ra khỏi mô hình hàm tiêu dùng
Điều này xảy ra với giả định rằng không có mối quan hệ giữa biến phụ thuộc và biến độc lập loại bỏ mô hình
Nếu lý thuyết khẳng định có mối quan hệ với biến dự định loại bỏ thì việc loại bỏ này sẽ dẫn đến loại bỏ biến quan trọng và chúng ta mắc sai lầm về nhận dạng mô hình (specification error)
Trang 10- Kết hợp giữa số liệu chuổi thời gian và số liệu chéo có thể khắc phục được
hiện tượng đa cộng tuyến
- Dùng mô hình sai phân
B1: xây dựng mô hình hồi quy gốc ban đầu
B2: xây dựng mô hình hồi quy thứ hai, trong đó, loại bỏ một quan sát đầu tiên (do
mô hình hồi quy đúng với t quan sát thì cũng đúng với t-1 quan sát)
B3: Dùng mô hình ở B1 – B2 ta có mô hình sai phân bậc 1
Đặc điểm: Mô hình sai phân B3 có thể giảm hiện tượng đa cộng tuyến của các biến độc lập
KẾT LUẬN:
Nếu một mối quan hệ tuyến tính đúng đắn tồn tại giữa hai hay nhiều biến giải thích, các biến đó được gọi là đa cộng tuyến một cách chính xác Trong tình huống như vậy, các hệ số hồi quy tương ứng với các biến độc lập không thể ước lượng một cách duy nhất.Nếu với biến giải thích là gần đa cộng tuyến, các ước lượng OLS vẫn không thiên lệch, nhất quán và là ước lượng không thiên lệch tuyến tính tốt nhất (BLUE) Do đó các dự báo cũng không thiên lệch và là nhất quán Hơn nữa, tất cả các kiểm định của giả thuyết đều hiệu lực
Hiệu ứng của gần đa cộng tuyến là tăng độ lệch chuẩn của các hệ số hồi quy và giảm các giá trị thống kê t của chúng Điều này có khuynh hướng làm cho các hệ
số kém ý nghĩa hơn nếu không có sự đa cộng tuyến Do đó nên chú ý khi rút ra suy luận và không đưa ra kết luận rằng mọi biến không có ý nghĩa nên bị loại bỏ
Đa cộng tuyến có thể được nhận dạng bằng cách khảo sát dạng tương quan giữa các biến giải thích Vì các biến chuỗi thời gian có chiều hướng phát triển cùng nhau, các mô hình dựa trên chúng sẽ thiên về các bài toán đa cộng tuyến hơn là các mô hình chéo Nếu bỏ một hay nhiều biến độc lập làm biến đổi mạnh kết quả, chắc chắn sự đa cộng tuyến là nguyên nhân
Không có giải pháp duy nhất nếu loại bỏ sự đa cộng tuyến Nếu trọng tâm là dự báo ,đa cộng tuyến có thể thường được bỏ qua vì khả năng dự báo thường không
Trang 11bị tác động nhiều Nếu các biến tự do có mặt trong mô hình thì nên loại bỏ các biến thừa và các biến có thể bị loại là những biến có giá trị t thấp
Tuy nhiên, việc loại bỏ các biến quan trọng sẽ gây ra sự thiên lệch Để khác phục
ta nên dùng các kiến thức lý thuyết để quyết định nên hay không giữ một biến lại mặc dù các vấn đề của đa cộng tuyến có thể có