khao sat ham so - luyen thi dai hoc

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ TÌM GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG 1. Tìm m để (C) : y = –2x 3 + x + 1 cắt (P) : y = m(x 2 – 1) tại ba điểm phân biệt. ĐS : 5 m 2 m 2 2 2 m 2 2 2  ≠ −    < − ∨ > +  2. Tìm m để (C m ) : y = x 3 – (m + 2)x 2 + (1 + 2m – m 2 ) x cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ không dương. ĐS : 4 1 2 m 0 m 1 2 5 − < < ∨ < < + 3. Tìm m để (C) : y = x 4 cắt (P) : y = (3m + 4)x 2 – m 2 tại 4 điểm phân biệt. ĐS : 4 m 0 5 − < ≠ 4. Cho (C) : y = x 3 –3(m+1)x 2 + 2(m 2 + 4m+ 1) x – 4m(m+1) Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn 1 (ĐS : 1 m 1 2 < ≠ ) 5. Biện luận theo m số giao điểm các đồ thò sau : a) (P m ) : y = x 2 + mx + 2m – 1 và d : y = x + 1 b) (C) : y = x 3 – 4x 2 + 4x và d : y = mx c) (C m ) : y = x 4 + 2(m – 2)x 2 + m 2 và trục Ox d) (P 1 ) : y = x 2 + 2x – 2m và (P 2 ) : y = mx 2 + mx + 3 e) (C m ) : y = mx 3 + x + 8m và (P) : y = x 2 + 3x f) (C) : y = 2 x 2x 2 x 1 − + − và d : y = – x + m – 1 6. Cho (C) : 2 x x m y x m − + + = + . Tìm các giá trò của m để (C) cắt đường thẳng y = x – 1 tại 2 điểm phân biệt . Khi đó gọi y 1 , y 2 là tung độ các giao điểm . Tìm hệ thức liên hệ giữa y 1 và y 2 không phụ thuộc vào m ĐS : m <– 6 – 4 2 ; m > – 6 + 4 2 và m ≠ 0 2(y 1 + y 2 +2) – (y 1 + 1)(y 2 + 1) = 2 7. Tìm m để (C) : y = 2 x x 1 x 1 − + − cắt đường thẳng y = m tại hai điểm AB sao cho AB = 2 ĐS : m = 1 6± 8. Cho (C) : y = x 3 – 3x 2 – 9x + m . Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng ĐS : m = 11 9. Cho (C) : y = x 4 – 2(m+1)x 2 + 2m + 1 = 0 . Tìm m để (C) cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng . (ĐS : m = 4 hay m = - 4/9 ) 10. a) CMR : Nếu đồ thò hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn thuộc 0x b) Cho y = x 3 – 3mx 2 + 2m(m- 4)x + 9m 2 – m . Tìm m để đồ thò hàm số cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau . ĐS : b) m = 1 11. CMR : y = 3 2 x 3 + (cosa – 3sina)x 2 – 8(cos2a + 1)x +1 luôn có cực đại và cực tiểu tại x 1 và x 2 thoả : 2 2 1 2 x x 18+ ≤ 12. Cho a < b < c. Xét hàm số y = (x – a)(x – b) (x – c) a) CMR : hàm số luôn có cực đại và cực tiểu b) So sánh hoành độ cực đại và cực tiểu với a , b ,c c) Cho b = 0. Tìm điều kiện giữa a và c để điểm uốn thuộc đồ thò hàm số y = x 3 . ĐS : b) a < x 1 < b < x 2 < c ; c) a+c = 0 13. Cho (C) : 2 x 2x 2 y x 1 − + = − và d: y = – x + m a) Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A , B đối xứng qua đường thẳng d 1 : y = x+3 b) Tìm k để trên (C) có 2 điểm P ,Q khác nhau thỏa : P p Q Q x y k x y k + =    + =   . CMR : khi đó P ,Q thuộc 1 nhánh của (C) ĐS : a) m = 9 ; b) k 1 2 2 k 1 2 2< − ∨ > + 14. Cho (C m ) : 2 x (m 2)x m y x 1 + + − = + a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu b) Tìm m để đường thẳng y = – x – 4 cắt đồ thò tại 2 điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y = x ĐS : a) m < –1/2 ; b) m = 1 SỰ TIẾP XÚC GIỮA 2 ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN 15. Cho (C): y = (x + 1) 2 (x – 1) 2 a) Tìm b để (P) : y = 2x 2 + b tiếp xúc với (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến chung tại tiếp điểm ĐS : a) b = 1hay b = -3 ; b) y = 1 hay y = 4 2x 7± − 16. Cho y = 2x 3 + 3(m+3)x 2 + 18mx + 8 . Tìm m để đồ thò hàm số tiếp xúc với trục hoành ĐS : m = 1 hay m = 624 ± hay m = 35/27 17. Cho (C) : y = x 3 + 3x 2 + 3x + 5 a) CMR : trên (C) không tồn tại 2 điểm sao cho tiếp tuyến với (C) tại 2 điểm đó vuông góc với nhau b) Tìm k để trên (C) có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó vuông góc với đường thẳng y = kx ĐS : k < 0 18. Cho hàm số y = 2 x 3x 3 x 2 + + + a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò vuông góc với đường thẳng 3y – x + 6 = 0 c) Xác đònh tọa độ các tiếp điểm trên ĐS : 2) y = - 3x – 3 ; y = - 3x -11 19. Cho hàm số y = x + 2 4x 2x 1+ + . Tìm những điểm trên trục tung sao cho từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thò ĐS : (0,m) với 1 m 1 2 − < ≤ 20. Cho y = x 3 – 3(2m + 1)x 2 + (12m + 5)x + 2 a) Tìm m để hàm số đồng biến trên(0,+ ∞ ) b) Khi m = 2 . Từ A(–2,5) kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thò ĐS : a) 5 m 12 ≤ ; b) Có 3 tiếp tuyến 21. Cho (C) : y = x 3 – 3x 2 + 2 a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua A(23/9,–2) b) Tìm trên đường thẳng y = –2 các điểm mà từ đó kẻ được đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc ĐS : a) y =-2,y = 9x-25,y = -5x/3 + 61/27 ; b) (55/27,-2) 22. Cho (H) : 2 x 3x 4 y 2x 2 − + = − a) M là một điểm tùy ý trên (H) .Tiếp tuyến với (H) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại A và B . CMR : M là trung điểm AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vò trí điểm M ( với I là giao điểm 2 tiệm cận ) b) Tìm trên (H) những điểm đối xứng nhau qua đường thẳng có phương trình y = x ĐS : a) S = 2 ; b) 15 57 15 57 ( , ) 6 6 + − 23. Cho 2 (3m 1)x m m y x m + − + = + . Tìm m để tại giao điểm của đồ thò với Ox , tiếp tuyến với đồ thò song song với đường thẳng y +10 = x . Viết pt tiếp tuyến ấy ĐS : m = –1 ; m = –1/5 ; y = x + 1 ; y = x – 3/5 24. Cho (C) : y = 2 x 2x 2 x 1 + + + a) Lấy A trên (C) với x a = a. Viết phương trình tiếp tuyến t a với (C) tại A. b) Tìm a để t a qua (1,0) . CMR : có 2 giá trò của a thỏa và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ĐS : b) 3 5 a 2 − ± = 25. Cho hàm số y = 3 2 x 3mx 2 m − + − a) Tìm m để đồ thò hàm số có tâm đối xứng là (1,0) b) Cho m = 2 . Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thò ĐS : a) m = 1 ; b) (a,2) với 5 a 1 a 2 3 < − ∨ < ≠ 26. Cho hàm số y = 2 3 2 (m 1)x 2mx (m m 2) x m + − − − − − với m 1≠ − a) Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0,2) b) CMR : Tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một parabol cố đònh c) Tìm m để tâm đối xứng của đồ thò thuộc Parabol : y = x 2 + 1. Khảo sát hàm số với m vừa tìm d) Tìm trên Ox những điểm sao cho từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến với đồ thò (C) ĐS : a) Không có m ; b) y = – x 2 /4 + 3x/2 – ¼ c) m = 1 ; d) (1,0) ; (0,0) 27. Cho 3 điểm A, B, C trên (C) : y = x 3 – 3x + 2. Các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C cắt lại (C) tại M, N, P. CMR : Nếu A, B, C thẳng hàng thì M, N, P thẳng hàng BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ 28. a) Khảo sát hàm số y = 2 x 2x 1 x 2 − + − . Biện luận theo m số nghiệm pt : x 2 – (m + 2)x + 2m + 1 = 0 b) Khảo sát hàm số y = 2 x 3x x 1 − − . Biện luận theo m số nghiệm dương của pt : x 2 + (m – 4)x + 1 – m = 0 c) Khảo sát hàm số y = x 3 – 3x + 2 . Biện luận theo m số nghiệm pt : x 3 – 3x – m 2 – 7 = 0 d) Khảo sát hàm số y = – x 3 +3x 2 – 3x + 2 . Biện luận theo m số nghiệm pt : x 3 – 3x 2 + 3x + m – 2 = 0 và so sánh các nghiệm đó với 2 số 1 và –1 e) Khảo sát hàm số y = 2x 1 x 2 + + . Biện luận theo m số nghiệm lớn hơn – 3 của pt : (3m – 2)x + 6m – 1 = 0 29. Đònh m để phương trình : a) sin 2 x + (m – 2)cosx + 1 – m = 0 có nghiệm b) x 2 + (3 – m)x + 3 – 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc đọan [–3, 0] c) x 4 – 4x 3 + 4x 2 = m 2 – m có 4 nghiệm phân biệt. d) x 3 – x 2 + 18mx – 2m = 0 có 3 nghiệm dương phân biệt e) (m – 1)x 2 +(3 – m)x+m – 2 = 0 có nghiệm thuộc [0,5] f) msin 2 x + (m – 1)sinx + m – 1 = 0 có nghiệm g) sin 4 x + (1 + sinx) 4 = m có nghiệm h) 2cos3x + 3cos2x + 6cosx + 6 = m có nghiệm i) cos2x – (2m+1)cosx + m + 1 = 0 có nghiệm thuộc khoảng 3 ( , ) 2 2 π π j) x 4 – 6x 3 + mx 2 – 12x + 4 = 0 có nghiệm k) x + 2 2x 1+ = m có nghiệm l) x + 3 = m 2 x 1+ có nghiệm m) 2 4 (4 x)(2 x) x 2x m 18− + = − + − + có nghiệm n) (x 2 + 2x) 2 – (m + 1)(x 2 + 2x) + m + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [– 3, 0] o) 2 (4 x)(6 x) x 2x m+ − = − + có 2 nghiệm phân biệt thuộc [0, 6] ĐS : a) m ≤ 2 ; b) 1 < m ≤ 3/2 ; c) 1 5 1 5 m 0 1 m 2 2 − + < < ∨ < < e) 3 2 3 m 2 3 − ≤ ≤ ; f) 0 ≤ m ≤ 1 ; g) 1/8 ≤ m ≤ 17 ; h) 1/18 ≤ m ≤ 17/18 i) –1 ≤ m < 0 ; j) m ≤ 13 ; k) 2 m 2 ≥ ; l) 1 m 10− < ≤ ; m) 6 ≤ m ≤ 10 n) – 3/2 < m < –1 ; o) 2 6 ≤ m < 6 30. Biện luận theo m số nghiệm các phương trình a) x 4 + 4x 3 + 8x = m b) x 3 – 3x + 2 = 2 m 1 2( ) m + c) 2 2 2 x x 1 3 m 4m 3 2 x 1 + + = − + + − 31. a) Khảo sát hàm số y = x 4 – 4x 3 + 3 b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 4 – 4x 3 + 8x + m = 0 32. a) Khảo sát hàm số y = (x+1) 2 (2–x). Biện luận theo m số nghiệm pt : (x + 1) 2 (2 – x) = (m + 1) 2 (2 – m) b) Khảo sát hàm số y = (x + 1) 2 (x – 1) 2 . Biện luận theo m số nghiệm của pt : (x 2 – 1) 2 – 2m + 1 = 0 33. Khảo sát hàm số y = 2 33 2 + ++ x xx . Biện luận theo m số nghiệm phương trình và so sánh với – 3 và –1 : x 2 + (3-m)x + 3 – 2m = 0 34. Khảo sát hàm số y = 2 x x 2 x 3 − + − . Biện luận theo m số nghiệm x ],0[ π ∈ của phương trình : cos 2 x – (m+1)cosx + 3m + 2 = 0 HỌ ĐƯỜNG CONG 35. CMR : đồ thò hàm số sau luôn đi qua một điểm cố đònh y = x 3 – 3(m+1)x 2 – 2(m 2 +4m+1)x – 4m(m+1) 36. CMR : đồ thò hàm số y = x 2 (m – x) – m luôn cắt đường thẳng y = kx + k + 1 tại một điểm cố đònh ĐS : (–1,1) 37. Cho hàm số y = 2 (m 1)(x 2x) 4 m mx m − − + + + . CMR : Với mọi m khác 0 và –1/4 , đồ thò hàm số luôn có một tiệm cận cố đònh , còn tiệm cận thứ 2 luôn đi qua một điểm cố đònh ĐS : x = –1 ; Tiệm cận thứ 2 qua (3,0) 38. Cho (C m ) : y = 2x 3 + 3(m+3)x 2 + 18mx – 8 . CMR : trên (P) : y = x 2 có 2 điểm không thuộc đường nào của họ (C m ) ĐS : (0,0) và (6,36) 39. CMR : Họ đường cong sau luôn đi qua một điểm cố đònh y = x 3 – (m+1)x 2 – (2m 2 –3m+2)x + 2m(2m–1) . Từ đó tìm m để đồ thò hàm số tiếp xúc với Ox ĐS : (2,0) ; m = –2 , 3/2 , 1/3 40. Cho (C m ) : y = 2 2x (m 2)x x 1 + − − . Tìm trên mặt phẳng tọa độ những điểm mà không có đường cong nào của họ đồ thò đi qua ĐS : Những điểm trên đường thẳng x = 1, x = 0 trừ (0,0) 41. Cho (C m ) : y = 2 (3m 1)x m m x m + − + + với m khác 0 a) CMR: (C m ) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố đònh b) Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm mà không có đường cong nào của họ đi qua ĐS : a) y = x + 1 ; y = 9x + 1 ; b) (a,1) với 2 < a < 10 42. CMR : Parabol y = x 2 + (2m+1)x + m 2 – 1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố đònh ĐS : y = x – 1 43. Cho (C m ) : y = x 3 + (m + m )x 2 – 4x – 4(m + m ) Tìm điểm cố đònh của họ đường cong . ĐS : (2,0) ; (–2,0) TẬP HP ĐIỂM 44. Cho (C) : y = 2 x 4x 3 x 2 + + + a) Khảo sát hàm số . b) Tìm k để d: y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm A, B c) Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn AB ĐS : 2 2x 5x 2 k 1;y 2(x 1) + + ≠ = + 45. Cho (C) : y = 4 2 x 5 3x 2 2 − + . Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm M trên (C) có hoành độ a a) Tìm a để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, P ,Q b) Tìm quỹ tích trung điểm I của PQ ĐS : a/ 2 1 a 3≠ < ; b/ 4 2 2 7 5 y x 9x ;1 x 3 4 2 =− + + ≠ < 46. CMR : với mọi m, (C m ) : y = x 3 + 3x 2 + mx +1 luôn cắt (C) : y = x 3 + 2x 2 + 7 tại 2 điểm phân biệt A ,B . Tìm quỹ tích trung điểm của AB ĐS : y = 4x 3 + 4x 2 + 18x + 9 47. Cho (C) : y = 1 42 + + x x a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) b) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = –2x + m c) Khi d cắt (C) tại 2 điểm A, B .Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn AB ĐS : c) y = 2x + 4 với x < -2 hay x > 0 48. Cho (H m ) : y = 2 x mx 6 x 2m − − + a) Tìm m để (H m ) là hypebol b) Khi đó , tìm quỹ tích các tâm đối xứng của (H m ) 49. Cho (C m ) : y = 2 x mx 2m 4 x 2 + − − + a) Tìm m để hàm số có 2 cực trò b) Tìm quỹ tích các điểm cực trò ĐS : a) m < 0 ; b) y = – x 2 /4 + x – 1 trừ (–2 ,–4) 50. Cho (P) : y = x 2 – 2x – 3 . Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng mà từ đó kẻ được đến (P) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau ĐS : những điểm trên đường thẳng y = –17/4 51. Cho (C) : y = (4 - x)(x – 1) 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số b) Gọi A là giao điểm của (C) với Oy , d là đường thẳng qua A có hệ số góc k. Tìm k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C c) Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn BC ĐS : a) 9 k 0− ≠ < ;b) Đường thẳng x = 3 với 423 <≠− y 52. Cho (C m ) : y = x 3m 1 (m 2)x 4m + − + + a) Tùy theo m khảo sát sự biến thiên của hàm số b) Khảo sát hàm số với m = 0 c) Tìm tập hợp tâm đối xứng của (C m ) ĐS : c) x – 8y + 4 = 0 trừ (4,1) và (–1,3/8) 53. Cho (C m ) : y = 1 )2(2 2 − −+ x xmx a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu b) Tìm quỹ tích các điểm cực đại c) Tìm quỹ tích các điểm cực tiểu ĐS : a) m > 0 ; b) y = 2x 2 với x < 1 ; c) y = 2x 2 với x > 1 54. Cho (P) : y = ax 2 + bx + c a) Cho biết (P) tiếp xúc với đường thẳng y = 2x + 1 tại điểm (1,3) . Hãy biểu diễn b, c qua a b) Với điều kiện của câu 1/ . Tìm quỹ tích đỉnh (P) ĐS : a) b = 2(1-a) , c = 1 + a ; b) y = x + 2 trừ (1,3) ĐƯỜNG THẲNG QUA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT 55. Lập phương trình đường thẳng qua các điểm cực trò của đồ thò các hàm số sau a) y = x 3 – 3x 2 – 9x + m b) y = –2x 3 – mx 2 + x + m + 1 c) y = x 3 – 3mx 2 + 3(m 2 – 1) x – m 3 d) y= x 3 + (m – 1) x 2 – (m + 3) x – 1. e) y = 2 x mx 6 x m + − − . ĐS : a) y =- 8x+ m- 3 ; b) y= 9 1 (m 2 + 6)x+ 8 17m +1; c) y= – 2x – m. d) y= 1/9 (2m 2 – 10m – 16) x+1/9 (m+ 3)(m – 1) – 1. e) y= 2x+ m. 56. Cho (C m ):y=(m+ 3)x 3 – 3(m+ 3)x 2 – (6m+ 1)x + m + 1. a) CMR: (C m ) luôn luôn qua 3 điểm cố đònh b) Lập phương trình của đường thẳng đi qua 3 điểm cố đònh ấy. ĐS : b) y= 17x – 2 57. Cho (C m ) : y = 1 2 2 − ++ x mxx a) Tìm m để hàm số có cực trò. b) Lập phương trình đường thẳng qua các điểm cực trò của (C m ). ĐS : a) m < –2 hay m> 0 ; b) y= – x/2 – m. 58. Cho (C m ) : y= 2 x m x 1 + + . CMR: Nếu (C m ) có ba điểm uốn thì chúng thẳng hàng và lập phương trình đường thẳng qua ba điểm uốn. ĐS : x – 4y+ 3m = 0. 59. Cho (P) : y= x 2 - 4x+ 4 và điểm M(-1,-1) a) CMR: Từ M kẻ được hai tiếp tuyến với (P) b) Lập phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến ở trên. ĐS : b) 6x+ y – 13= 0 TRỤC ĐỐI XỨNG , TÂM ĐỐI XỨNG 60. CMR : Các đồ thò các hàm số sau nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng a) y = x 4 – 4x 3 + 7x 2 - 6x + 4 b) y = x 4 – 4x 3 – 2x 2 + 12x – 1 . Từ đó tìm giao điểm của đồ thò với trục hoành ĐS : b) ( ) 1 4 3 2 , 0± + 61. Đònh m dể các đồ thò sau có trục đối xứng song song trục tung : a) y = x 4 + 4ax 3 – 2ax 2 – 12ax b) y = x 4 + 4x 3 + mx 2 c) y = x 4 + (m+3)x 3 + 2(m+1)x 2 ĐS : a) m =1 , m = - 3/2 ; b) m = 4 ; c) m = 1 62. CMR : Đồ thò các hàm số sau nhận đường thẳng d làm trục đối xứng a) y = 1 3 + + x x ; d : y = x + 4 . b) y = 1 1 − + x x ; d : y = x + 2 và d : y = - x 63. CMR : Đồ thò các hàm số sau nhận điểm I làm tâm đối xứng a) y = 2 3 1 + − x x ; I(1,2) . b) y = 2 2 1 x x − − ; I(1,2) . ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ DẤU GÍA TRỊ TUYỆT ĐỐI 64. Cho hàm số y = 2 x x 3 x 2 + − + ; (1). a) Khảo sát hàm số trên. b) Từ đồ thò hàm số suy ra đồ thò của hàm số y = 2 x x 3 x 2 + − + . c) Tìm các điểm trên trục Ox sao cho từ đó có thể vẽ đến đồ thò hàm số (1) đúng một tiếp tuyến 65. Cho hàm số y = 2 x x 2 x 2 − + − a) Khảo sát hàm số b) Tìm tập hợp các điểm N(x,y) có tọa độ thỏa 2 x x 2 y x 1 − + ≥ − c) Biên luận theo m số nghiệm của phương trình : cos 2 x – (m+1)cosx + m + 2 = 0 , x [0, ] π ∈ 66. Khảo sát hàm số y = 1 x 3 x 1 + + + . Chỉ rõ giao điểm của đồ thò với trục hoành 67. Cho hàm số y = 2 x 2 x 2 x 1 − + − a) Xác đònh các cực đại và cực tiểu của hàm số, các tiệm cận của đồ thò và vẽ đồ thò b) Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thò kẻ từ điểm A(3,0) c) CMR : k R∀ ∈ thỏa k 1> thì đường thẳng y = kx+ m luôn cắt đồ thò với mọi m 68. a) Khảo sát hàm số y = 2 x 3x 3 ; (C) x 1 + + + b) Tìm 2 điểm A, B trên (C) sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất c) Vẽ đồ thò hàm số y = 2 x 3x 3 ; x 1 + + + 69. Cho hàm số y = 2 x x 1 ; (C) x 1 − − + a) Khảo sát hàm số trên. Suy ra đồ thò hàm số y = 2 x x 1 x 1 − − + b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = x c) Tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn –1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm đó tạo với 2 tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất 70. Cho hàm số y = 2 x 3x p x 4 − + + − a) Tìm p để hàm số có giá trò cực đại M và giá trò cực tiểu m thỏa : m – M = 4 b) Khảo sát hàm số khi p = 0. Từ đó suy ra đồ thò các hàm số : − + − + = = − − − + − + = = − − 2 2 2 2 x 3 x x 3x y ; y ; x 4 x 4 x 3x x 3x y ; y x 4 x 4 TOÁN TỔNG HP 71. a) Khảo sát hàm số y = x 3 – 6x 2 + 9x – 3 (C) b) Gọi d là đường thẳng qua điểm uốn I của (C) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm I, A, B sao cho độ dài AB = 2 3 ĐS : b) m = 0 3 5 m 2 − ± ∨ = 72. a) Khảo sát hàm số y = 2 2x 3x x 2 − − (C) b) CMR : đường thẳng d : y = 15 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. Tính diện tích tam giác tạo bởi 2 điểm M, N và điểm cực đại của (C) . ĐS : b) S = 7 21 73. a) Khảo sát hàm số : y = 2 x x 1 x 1 − + − (C) b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB = 2 c) Tìm 2 điểm thuộc hai nhánh của (C) sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất d) CMR : Tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến 2 tiệm cận của (C) là một hằng số ĐS : a) m =1 4 4 4 1 1 21 ; c) (1 2,1 2 ) ; d) 2 2 ± ± ± ± 74. Cho (C) : y = 2 x cost 2x.sint 1 x 2 + + + a) Khảo sát và vẽ đồ thò với t = 0 b) Khi t thay đổi, tìm bán kính lớn nhất của đường tròn tâm O và tiếp xúc với tiệm cận xiên của (C) ĐS : b) 6 75. Cho (C) : y = 2 x x 5 x 2 + − − a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) b) Tìm 2 điểm thuộc hai nhánh của (C) sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất c) CMR : Tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến 2 tiệm cận của (C) là một hằng số ĐS : 4 4 4 1 1 b) (2 2,5 2 ) ; c) 2 2 ± ± ± 76. Cho (H m ) : y = (m 1)x m x m − − + a) Khảo sát và vẽ đồ thò (H) với m = 1 b) Tìm trên (H) những điểm có tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất c) CMR : với m khác 0 , (H m ) luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố đònh ĐS : 2/ (0,-1) ; (-2,1); 3/ y = x –1 77. Cho (P) : y = x 2 + (2m+1)x + m 2 – 1 a) Tìm tập hợp các đỉnh của (P) b) CMR : Khoảng cách giữa các giao điểm của (P) với đường thẳng y = x không phụ thuộc m c) Với m = –1/2 .Tìm điểm M thuộc (P) sao cho OM có độ dài nhỏ nhất . CMR : khi đó đường thẳng OM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M ĐS : a) y = x – ¾ ; b) 2 2 ; c) x M = ± 1/2 78. Cho hàm số y = 2 2x 3x m x m − + − a) Tìm m để đồ thò hàm số không có tiệm cận đứng b) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu thỏa cd ct y y 8− > c) Cho m khác 0 và 1. CMR: tiếp tuyến với đồ thò tại giao điểm của nó với trục tung luôn cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1 ĐS : a) m = 0 , 1 ; b) 1 5 1 5 m m 2 2 − + < ∨ > 79. a) Khảo sát hàm số 2 x x 2 y x 1 − + = − b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 2 2 − +− x xx = log 2 m 80. Khảo sát hàm số y = x + 1 + 1 1 −x . Suy ra số nghiệm x ] 2 ,0[ π ∈ của phương trình : 1 + sinx + cosx + m xx gxtgx =+++ ) cos 1 sin 1 cot( 2 1 81. Khảo sát hàm số y = 2 x x 2x 2 + − . Biện luận theo m số nghiệm phương trình : 2 x x 2x 2 + − = m 82. Khảo sát hàm số y = 2 x x 1− .Biện luận số nghiệm phương trình : t 4 – mt 3 + (m+2)t 2 – mt + 1 = 0 83. Cho (C m ) : y = x 4 – 2(m-1)x 2 + 4m – 6 a) CMR : (C m ) qua 2 điểm cố đònh A, B (x A > 0) b) Đònh m để tiếp tuyến của (C m ) tại A song song với đường thẳng d : y = 4 2x c) Khảo sát hàm số với m = 2 , gọi đồ thò là (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua I(0,2). d) Đònh k để đường thẳng y = k cắt (C) tại 4 điểm M, N, P, Q sao cho MN = NP = PQ . e) Đònh m để hàm số đồng biến khi x ≥ 0 ĐS : a) A( 2,2);B( 2, 2)− ; b) m = 2 c) y = 2; y = ± + = ≤ 4 6 42 x 2; d) k ; e) m 1 9 25 84. Cho hàm số y = − + − 2 x 4x m 1 x a) Đònh m để hàm số a 1 ) Luôn giảm trên từng khoảng xác đònh a 2 ) Có đồ thò là một đường thẳng b) Đònh m để hàm số đạt cực trò tại x = 2. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thò (C) với m vừa tìm c) Một đường thẳng d qua A(-1,0) và có hệ số góc k c 1 ) Biện luận theo k số giao điểm của d và (C) c 2 ) Khi (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt M, N. Tìm qũy tích trung điểm của MN. ĐS : a 1 ) m < 3; a 2 ) m = 3; b) m = 4; c 2 ) y = − + + 2 x x 2 x 85. Cho (H m ) : y = mx 2 x 1 − + a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thò (H) với m = ½ . Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên . b) CMR : Tồn tại một giá trò của m làm cho (H m ) là đường thẳng . c) Xét hàm số y = x 2 – mx – 2 có đồ thò là (P m ). CMR : khi m thay đổi (H m ) và (P m ) cùng đi qua một điểm cố đònh A. d) Đònh m để điểm cố đònh A là tiếp điểm của 2 đồ thò ĐS : a) (0,2) ; (–2,3) ; (4,0) ; (–6,1) ; b) m = 2 ; c) A(0,-2) ; d) m = -1 86. Cho (C m ) là đồ thò của hàm số : y = x 3 – (m+1)x 2 – (2m 2 -3m+2)x + 2m(2m-1) a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thò với m = 3/2 b) Đònh m để (C m ) tiếp xúc với Ox. c) Đònh m để hàm số tăng khi x > 2. d) Đònh m để (C m ) tiếp xúc với d : y = – 49x + 48 ĐS : b) m = -2; 3/2; 1/3 ; c) ; d) m = 5; –11/2; –13/3. 87. Cho (C m ) : y = - x 3 + mx 2 – m a) Tìm tập hợp các điểm uốn của (C m ). b) Khảo sát hàm số với m = 3 , gọi đồ thò là (C) c) Cho d : y = kx + k + 1. CMR : d luôn cắt (C) tại điểm I cố đònh với mọi k d) Đònh k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I, M, N. Tìm qũy tích các trung điểm của đoạn MN khi k thay đổi ĐS : a) y = 2x 3 – 3x ; c) I(-1,1) ; d) đt : x = 2 , − ≠ <( 26 y 1) 88. Cho (C m ) : y = + − + + − 2 (m 1)(x 3x) 2(2m 1) mx m a) Khảo sát hàm số với m = 1 ; (gọi đồ thò là (C) ) b) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là những số nguyên c) Dùng đồ thò (C) , biện luận theo k số nghiệm của phương trình : x 2 – (3+k)x + 3 + k = 0. d) CMR : Với mọi m khác 0 , đồ thò hàm số có một tiệm cận cố đònh còn tiệm cận thứ 2 đi qua một điểm cố đònh ĐS : b) (1,2); (0,–6); (3,3); (–1,–7) ; d) x = 1 ; (2,0). 89. Cho hàm số : y = x 3 – 3ax 2 + 4a 3 a) Với a > 0 . Khảo sát sự biến thiên của hàm số. b) Đònh a để điểm cực đại và cực tiểu của đồ thò hàm số đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. c) Đònh a để đường thẳng y = x cắt đồ thò tại 3 điểm phân biệt A, B, C với AB = BC. ĐS : b) a = ± 2 2 ; c) a = 0 hay a = ± 2 2 90. Cho hàm số y = (x+a) 3 + (x+b) 3 – x 3 a) Khảo sát hàm số với a = 1 ; b = 2. b) Trong trường hớp tổng quát các hệ số a và b phải thỏa điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu . c) CMR : với mọi a, b phương trình sau không thể có 3 nghiệm phân biệt (x+a) 3 + (x+b) 3 – x 3 = 0 ĐS : b) ab > 0. 91. Cho hàm số y = 1 3 mx 3 – (m-1)x 2 + 3(m-2)x + 1 3 a) Tìm điểm cố đònh của họ đồ thò. b) Đònh m để hàm số có cực đại và cực tiểu tại x 1 , x 2 thỏa điều kiện x 1 + 2x 2 = 1 c) Đònh m để hàm số đồng biến trên [2,+∞). ĐS : a) (0,1/3) ; b) m = 2 ; m = 2/3 ; c) m ≥ 3/2 92. Cho hàm số y = x 4 + 4x 3 + mx 2 a) Với m = 4 . Khảo sát hàm số và chứng minh đồ thò có một trục đối xứng . b) Tìm tất cả các giá trò của m để đồ thò hàm số có trục đối xứng song song Oy c) Đònh m sao cho : x 4 + 4x 3 + mx 2 ≥ 0 khi x ≥ 1. ĐS : a) Trục đối xứng x = 1; b) m = 4 ; c) m ≥ – 5. 93. Cho hàm số y = 2 3 x m(m 1)x m 1 x m − + + + − a) Khảo sát hàm số khi m = 1. Gọi đồ thò là (C) . b) CMR : với mọi m hàm số luôn có hai cực trò . Xác đònh tọa độ các điểm cực trò . Suy ra qũy tích trung điểm I của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trò. c) CMR : Trong mặt phẳng tọa độ , tồn tại duy nhất một điểm có tính chất : Là một điểm cực đại của đồ thò hàm số ứng với một giá trò của m và là một điểm cực tiểu của đồ thò hàm số ứng với một giá trò của m khác. ĐS : b) (m – 1, - m 2 + m – 2) ; (m + 1, - m 2 + m + 2) ; Qt I : y = – x 2 + x ; 3/ (- ½, - 7/4) với m = – 3/2 ; m = ½. 94. Cho hàm số y = + − ax b x 1 có đồ thò là (C) a) Tìm a, b để (C) cắt trục tung tại A(0,-1) và tiếp tuyến với (C) tại A có hệ số góc bằng – 3 . Khảo sát hàm số với a, b vừa tìm. b) Xét đường thẳng d qua B(–2,2) và có hệ số góc m. Đònh m để đồ thò hàm số ở câu a) cắt d tại 2 điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN. c) Các đường thẳng qua M, N và song song với các trục tọa độ cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật. Tính độ dài các cạnh hình chữ nhật đó theo m . Đònh m để hình chữ nhật đó là hình vuông. ĐS : a) a = b = 2; b) x = - ½ với y <0 hay y>2; c) m = 1 95. Cho hàm số y = + + + 2 x 3x 3 x 2 có đồ thò (C) a) Khảo sát hàm số . Suy ra đồ thò hàm số + + = + 2 x 3x 3 y x 2 b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3y – x + 6 = 0. c) Biên luận theo a số nghiệm phương trình sau và so sánh với – 3 và –1 : x 2 + (3 – a)x + 3 – 2a = 0 96. Cho hàm số y = 2 2 x cos 2x cos x 2x cos 1 α − + α − α + . Chứng minh rằng : với mọi x ta có : y 1≤ 97. Cho hàm số y = x 3 có đồ thò (C) a) Tìm những điểm nằm trên đường phân giác thứ nhất sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến với (C) b) Giả sử từ điểm M(a,a) kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) với các tiếp điểm là A, B, C. Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC. ĐS : a) M(a,a) với a < -1 hay a > 1; b) ( − − 3 a 27a 12a , 2 24 ) 98. Cho hàm số y = − − 2 x 3 x 2 có đồ thò (C) a) Khảo sát hàm số b) Tìm trên (C) những điểm sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất ĐS : b) (0,3/2). 99. Cho hàm số y = x 4 + 2ax 2 + 2ax + a 2 + 2a + 1 a) Khảo sát hàm số với a = 0. b) Xét các giá trò của a để phương trình y = 0 có nghiệm. Với mỗi a đó gọi x a là nghiệm bé nhất của phương trình , tìm a để x a nhỏ nhất ĐS : b) a = –1 100. Cho hàm số y = 4x 3 – 3x + 1 a) Gọi A là diểm trên (C) có x A = 1 , d là đường thẳng qua A có hệ số góc m. Đònh m để d cắt (C) tại 2 điểm M, N phân biệt khác A . b) Cho điểm P trên d thỏa: − − = − − A M P M N A P N x x x x x x x x .Tìm quỹ tích P ĐS : a) < ≠0 m 9 ; b) y = 6x 2 – 3x – 1 với − < ≠ 1 x 1 2 101. Cho hàm số y = + + + 2 x 5x 15 x 3 có đồ thò (C) a) Khảo sát hàm số . b) Tìm những điểm trên (C) có tọa độ nguyên. c) Tìm những điểm M trên (C) có khoảng cách từ M đến Ox bằng 2 lần khoảng cách từ M đến Oy ĐS : b) (-2,9), (-4,-11), (0,5), (-6,-7), (6,9), (-12,-11) c)   − ± − ±  ÷  ÷   1 61 ; 1 61 2 102. Cho hàm số f(x) = x n + (c – x) n với c là hằng số dương và n là số tự nhiên lớn hơn 1 a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số b) Từ kết quả trên . CMR : với n là số tự nhiên và a + b ≥ 0. 103. Cho hàm số y = + + + 2 2 2 x 2m x m x 1 a) Tìm m để hàm số có cực trò. b) Đònh m để đồ thò có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ. c) Khảo sát hàm số với m = 2. ĐS : a) -1 < m < 1 ; b) < ≠ 2 m 1 2 104.Cho (P) : y = ax 2 + bx + c tiếp xúc với d : y = 2x + 1 tại điểm A(3,1) a) Tính b, c theo a b) Tìm quỹ tích đỉnh của (P) khi a thay đổi c) Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà không có (P) nào đi qua dù a lấy bất kỳ giá trò nào. ĐS : a) b = 2(1-a) ; c = 1 + a ; b) y = x + 2 trừ (1,3) c) x = 1 và y = 2x + 1 trừ (1,3) 105. Cho (C m ) : y = 2 x 2mx m x m − + + a) Khảo sát hàm số với m = 1. b) CMR : Nếu (C m ) cắt Ox tại điểm có hoành độ a thì hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là k = 2a 2m a m − + c) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại 2 điểm và tiếp tuyến với đồ thò tại 2 điểm đó vuông góc với nhau. [m = 5] 106. Cho hàm số y = 2 x x 1− có đồ thò (C) a) Khảo sát hàm số b) Tìm 2 điểm trên (C) đối xứng nhau qua d : y = x – 1 c) Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm t của phương trình : t 4 – mt 3 + (m+2)t 2 – mt + 1 = 0 ĐS : b) 2 2 2 2 ( , 1);( , 1) 2 2 2 2 − − − − 107. Cho hàm số y = 2 x 2mx 1 x 1 + + − a) Khảo sát hàm số với m = 1 b) CMR : Nếu đồ thò hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ x = a thì y / (a) = 2(a m) a 1 + − c) Tìm số a nhỏ nhất sao cho với x [0,1]∈ , ta luôn có : a(x 2 + x – 1) ≤ (x 2 + x + 1) 2 [ a = -1 ] 108. Cho hàm số y = 2 x mx 1 x 1 + − − a) Tìm m để hàm số đồng biến trên (- ∞ , 1) và (1, ∞ ). b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò hàm số tạo với các trục tọa độ một tam giác có diên tích bằng 8 c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thò tại 2 điểm A, B với OA ⊥ OB . d) Khảo sát hàm số hàm số khi m = 1 109. Tìm a để hàm số y = 2 2x 2 a x 4x 5− + + − + có cực đại. 110. Cho hàm số y = 2 2 3 mx (m 1)x 4m m x m + + + + + a) Với m = 1. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thò (C) của nó. Tìm trên mỗi nhánh của (C) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất b) Tìm m để đồ thò hàm số có một điểm cực trò thuộc góc phần tư thứ hai và một điểm cực trò thuộc góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ. 111.Cho hàm số y = x 4 + ax 2 + b , (1) a) Khảo sát hàm số khi a = 3 10 và b = 1. b) Gỉa sử đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng. CMR : 9a 2 – 100b = 0. 113. Cho hàm số y = x 1 x+ a) Dùng đònh nghóa đạo hàm , tính đạo hàm của hàm số tại điểm x = 0 b) Lập bảng biến thiên của hàm số và vẽ đồ thò. c) Tìm số a lớn nhất sao cho : ≥ + ∀ + 2 x ax x , x 1 x 114. Cho hàm số y = 2 2 (x cos )(x sin ) x λ θ λ θ − − , trong đó λ là hằng số dương còn góc θ là hằng số, [0, ] 2 π θ ∈ , (C) là đồ thò của hàm số. a) CMR : (C) có một điểm cực đại M 1 và một điểm cực tiểu M 2 . Tính tọa độ (x 1 ,y 1 ) của M 1 và (x 2 ,y 2 ) của M 2 theo λ và θ b) Giả sử θ thay đổi từ 0 đến 2 π .Tìm qũy tích các điểm M 1 và M 2 . Phải lấy điểm M ở trong miền nào của mpOxy để cho M có thể được coi là điểm M 2 . c) Cho x 2 = 2; y 2 = –1. Vẽ đường cong (C) tương ứng. 115. Cho hàm số y = 2 x x 1 ; (C) x 1 − − + a) Khảo sát hàm số trên. Suy ra đồ thò hàm số y = 2 x x 1 x 1 − − + b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = x c) Tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn –1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm đó tạo với 2 tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 116. Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + m 2 x + m. a) Khảo sát hàm số với m = 0. b) Tìm tất cả các giá trò của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò hàm số đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 5 y x 2 2 = − . ĐS : b) m = 0 117. Cho hàm số 2 x 2mx 2 y x 1 + + = + (m là tham số) a) Khảo sát hàm số với m = 1. b) Tìm các giá trò của m để đồ thò của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau ĐS : m = ½ 118. Cho hàm số 2 x x y x 2 + = − có đồ thò (C) a) Khảo sát hàm số . b) Đường thẳng d qua B(0,b) và song song với tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0,0). Xác đònh b để đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. Chứng minh trung điểm I của MN nằm trên một đường thẳng cố đònh khi b thay đổi. 119. Cho hàm số y = x 3 – 3(a – 1)x 2 + 3a(a – 2)x + 1 trong đó a là tham số. a) Khảo sát hàm số khi a = 0. b) Với giá trò nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trò của x sao cho : 1 x 2≤ ≤ ĐS : 1/ a 2 a 4 a 1≤ − ∨ ≥ ∨ = 120. Tìm tất cả các giá trò của tham số m để đồ thò hàm số 2 m y x 3x 3 x = − + + có 3 điểm cực trò. Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trò này đều nằm trên đường cong : y = 3(x – 1) 2 . ĐS : –1 < m < 0 ****************************************** . (C) có khoảng cách từ M đến Ox bằng 2 lần khoảng cách từ M đến Oy ĐS : b) (-2 ,9), (-4 ,-1 1), (0,5), (-6 ,-7 ), (6,9), (-1 2 ,-1 1) c)   − ± − ±  ÷  ÷   1 61 ; 1 61 2 102. Cho hàm số f(x) = x n . ; (–2,3) ; (4,0) ; (–6,1) ; b) m = 2 ; c) A(0 ,-2 ) ; d) m = -1 86. Cho (C m ) là đồ thò của hàm số : y = x 3 – (m+1)x 2 – (2m 2 -3 m+2)x + 2m(2m-1) a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thò với m = 3/2 b). thò hàm số ứng với một giá trò của m khác. ĐS : b) (m – 1, - m 2 + m – 2) ; (m + 1, - m 2 + m + 2) ; Qt I : y = – x 2 + x ; 3/ (- ½, - 7/4) với m = – 3/2 ; m = ½. 94. Cho hàm số y = + − ax b x