1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Khảo sát hàm so 12 ( Nâng Cao)

30 556 1
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 30
Dung lượng 1,89 MB

Nội dung

Giải Tích 12 Chương 1 : Đ Ạ O H A ØM      I). Phương pháp tính đạo hàm bằng đònh nghóa : • Tìm tập xác đònh D ⊂ R • Cho x 0 ∈ D số gia biến số ∆x . Tương ứng với số gia hàm số : ∆y = 0 0 ( ) ( )f x x f x+ ∆ − • Lập tỉ số y x ∆ ∆ • Tìm giới hạn 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) lim lim x x f x x f x y y x f x x x ∆ → ∆ → +∆ − ∆ = = = ∆ ∆ II). Qui tắc tính đạo hàm : • ( u ± v ) ‘ = u ‘ ± v ‘ • (k u )’ = k u ‘ • (u.v)‘=u’v+u v‘ • (u.v.w)‘= u’v.w + u.v’w + u.v.w‘ • 2 ' ' ( )' u u v uv v v − = • 2 1 'u u u − = III). Công thức tính đạo hàm HS Lũy thừa HS Lượng giác HS Mũ - Logarit (x n )’ = n x n-1 (sin x)’ = cos x (e x )’ = e x 1 1 ( ) ' n n n x x + − = (cos x)’ = – sin x (a x )’ = a x ln a 2 1 )' 1 ( x x −= (tg x)’ = x 2 cos 1 = 1+tg 2 x (ln x )' = (ln x )' = x 1 1 ( ) ' 2 x x = (cotg x)’= 2 1 sin x − =– (1+cotg 2 x) (log a x)’= alnx 1 IV). Đạo hàm hàm số hợp Cho hai hàm số y =y(u) là hàm số y theo biến u và u = u(x) là hàm số u theo biến x . ta có công thức tính đạo hàm của hàm số hợp y theo x như sau : y’ x = y‘ u . u’ x  Bảng công thức tính đạo hàm hàm số hợp (u n )’ = nu’u n-1 (sin u)’ = u’ . cos u (e u )’ =u’. e u 1 1 . ' ( ) ' n n n u u u + − = (cos u)’ = – u’.sin u (a u )’ = u’a u ln a 2 1 ' ( )' u u u = − (tg u)’= 2 ' cos u u =u’.(1+tg 2 u) (lnu )' (ln u )'= = 'u u ' ( ) ' 2 u u u = (cotg u)’= 2 ' sin u u − = –u’(1+cotg 2 u) (log a u)’ = ' ln u u a • Chú ý : Trong các công thức tính đạo hàm theo biến số x ta có thể suy ra công thúc tính đạo hàm của hàm số hợp theo u như sau : khi thay biến số x  u thì vế phải nhân thêm cho u ‘ • Nếu thay x → u = ax + b thì vế phải nhân cho a V).Đạo hàm bậc 2 – bậc cao – vi phân :  Đạo hàm của đạo hàm bậc nhất f ’(x) là đạo hàm bậc 2 của hàm số y = f(x) . Kí hiệu là y “= f”(x)  Đạo hàm bậc n kí hiệu là y (n) = f (n) (x)  Vi phân hàm số bằng đạo hàm nhân vi phân biến số : dy = y’. dx VI). Phương trình tiếp tuyến  Hệ số góc của tiếp tuyến (C) tại M(x 0 ; y 0 ) là giá trò đạo hàm tại x 0  Phương trình tiếp tuyến đường cong y = f(x) tại điểm M (x 0 ; y 0 ) ∈ (C) là y – y 0 = f‘(x 0 ).( x – x 0 ) + M (x 0 ; y 0 ) gọi là tiếp điểm  Chú ý Khi viết phương trình tiếp tuyến (C) ta cần tính 3 giá trò x 0 ; y 0 và f’(x 0 ) . nếu chi 1 trong các giá trò trên ta sẽ suy ra các giá rò còn lại (1) Đạo hàm các hàm số lũy thừa : (a) 3 2 1 1 2 1 3 2 y x x x= − − + . Tính y’(– 1) ; tìm x để f’(x) = 0 -1- - 2 - (b) 2 2 (1 )y x= − . Tính y’( 1 2 ) ; tính đạo hàm của y‘. (c) 2 1 1 x y x + = − . Tính y’(1) ; y’(2) (d) 2 3 6 1 x x y x − + − = − . Tính y‘(–2) ; Giải phương trình f’(x)=0 (e) 1 1 1 2 2 1 y x x = + − + ; 2 1 1 x u x x + = + + ; 2 3 1 2 3 v x x x = + − (f) 3 4 y x x x= − + ; 1 1 2 y x x x x = − + ; 3 . .v x x x= (g) 2 ( )y x x= + ; 3 1 ( )v x x = + ; 1 2w x x= + + − (h) 2 2 (1 )y x x= + + ; 2 3 4 ( 1)(2 3)(2 5 )u x x x= − + − (2)* Tính các đạo hàm có chứa tham số : (a) 3 2 2 2 1y mx x mx m= + + + − . Tìm m để đồ thò cắt trục hoành tại điểm M có x 0 = - 1 . Khi đó giá trò đạo hàm tại x 0 (b) 2 1 1 x mx y x + + = − . Tìm m để phương trình y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt . Khi m = 1 tính 2 nghiệm đó (c) 3 2 y x x mx 3= − + − . Tìm m sao cho y’(x)>0 x R∀ ∈ . Tìm m để phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm dương (d) 4 2 2 y x ax a 1= − + + . Tìm a để phương trình y’= 0 có 3 nghiệm (3) Dùng qui tắc đạo hàm hàm số hợp [a] 2 10 (3 1)y x= − [b] 2 2 5y x x= + + [c] 3 3 2 4y x x= − + [d] 4 2 3 ( 1)( 1)y x x= − + [e] 2 5 ( 1)y x= + [f] 2 (1 ) 2y x x= − + [g] 2 1 2 3 y x x = − − [h] 2 1 (1 ) y x = − [i] 2 1 2 1 y x = + [j] 2 2 3 2 (1 )(1 ) ( 1) x x y x + − = + [k] 2 1 x y x + = − [l] 1 1 x y x − = + [l] y a x b= + − [m] 2 y x x m= + + [n] 2 1y x x x= + − + (4) Đạo hàm các hàm số lưọng giác (a) 2 1 sin cos 2 2 y x x x= − . Tính y( 2 π ) ; y’( π ) (b) 0 3 0 2 sin( ) ; v cos(2 45 ) ; w=tg ( 3 ) ; z=cotg(60 ) 4 2 2 x u x x x π π = − = − − − (c) y = sin2x + cos2x + tg2x + cotg 2x . Tính y( 3 π ) ; y’( 8 π ) (d) x x x sin + cos + tg + cotg 2 3 4 5 x y = (e) 2 2 2 2 sin ; v cos ; w ; z =cotg x u x x tg x= = = (f) 4 2 3 2 2 sin ; v cos ; w ( +1) ; z =cotg ( ) 2 x u x tg x x a= = = + (g) 1 1 ; v= sinx cos ; w=tg x cot sin cos u x g x x x = + + + (h) ( ) sin(cos ) cos(sin ) ; g(x)=tg(sinx)+cotg(cosx)f x x x= + (i) 5 4 sin .cosu x x= ; 2 3 sin 3 .cos 2v x x= ; 2 1 cos 2 x w = + (j) 32 2 2 2 2 (cos sin ) ; v=(tg2x+cotg2x) ; w cotu x x g x a= − = + [k] sin cos sin cos a x b x y c x d x + = + [l] 2 2 1 sin .cos 2 2 y x x = [m] 2 2 2 1 2 x tg y x tg    ÷ =  ÷  ÷ −   [n] 2 sin ( 2 )y m x= − [o] sin 2 cos 2 m m y x x= + [p] sin .cos m n y x x= [q] cot k k y tg ax g ax= + [r] (sin ) (cos )y tg x cotg x= + [s] sin( ) cos(cot )y tgx gx= + (5)Tính đạo hàm các hàm số sau : ( hs mũ –logarit ) (a) 2 ( 2 3) x y x x e= − + ; (sin cos ) x u x x e − = − ; 2 3 10 x x x v = + + (b) 2 1 x y e= + ; 2 sin x u e x= ; 2 sin sin ; w = 2 x x x v e e= + (c) 2 1 1 ; u = x x x x x x x e e y e e e e e − − − = − + + ; 1 2 3 1 1 ; w = x x x x v e e e + + = − (d) 2 2 y x ln x xln x= + ; ln lnu x x= + ; 2 x y ln ln x 2 = + (e) 2 2 ln ln(ln ) ; u = 1+ln2x ; w= x .ln 1 x y x x x = + + (f) 2 2 2 x f(x) = x lgx + log ; g(x) = log (2 1)x x + (g) 2 2 ln 1 cos ; u=ln(x+ 1) ; v =ln tg ln 1 2 sin x x x y x x x − = + − + [h] sin(ln ) cos(ln )y x x= + [i] ln(sin ) ln(cos )y x x= + [j] 1 ln 1 x y x − = + [k] 4 ln 2 x y x − = − [l] 1 sin ln cos x y x + = (6) Tính các giá trò đạo hàm và đạo hàm cấp cao : (a) 1 y x 1 = + . Tính y’(2) ; ( 5 ) y ( 2 )− (b) y = 2 1 1 x x x + + + . Tính y‘ (–1 ) ; y ‘’(1) ; y’’’(0) (c) x y sin 2x sin 2 = + . Tính y( ) ; y'( ) ; y''( ) 2 3 π π π (d) y = tg x + cotgx . Tính y( 3 π ) ; y ’ ( ) 4 π ; y’’( 6 π ) (e) lny x x= . Tính y (e 2 ) ; y’’ (e) (f) y = x e x . Tính y (1) ; y ‘’ (0) (g) 3 2 1 y x 3x 5x 1 3 = − + + . Tìm x sao cho y’(x) > 0 và y ‘’(x) <0 (h) 2 y=x 1 x+ . Tính y’(0) và y’’(1) (7) Chứng minh các hệ thức về đạo hàm : (a) 2 ad-bc y' = (cx+d) ax b y cx d + = ⇒ + (b) 2 2 2 adx +aex+(be+cd) y' = (dx+e) ax bx c y dx e + + = ⇒ + (c) 2 2 2 2 1 ln( ) y' = y x x a x a = + + ⇒ + (d) 2 2 1 -a ln (x 0 ; a>0) y' = x a y x x x a + + = ≠ ⇒ + (e) y = x cosx . CMR : x y – 2(y’ – sinx) + x y’’ = 0 (f) y = e -x sinx . CMR : 2 y + 2 y’ + y’’ = 0 (g) y= 4cos 3 x - 3cosx CMR : y’ = - 3 sin3x (h) y = xtg x . CMR : x 2 y’’ –2 (x 2 +y 2 )(1+y) = 0 (i) sin x y e= CMR : y’ cosx – y sinx – y’’ = 0 (j) 2 x 1 y CMR 4y' ( 2 y 1 )y'' 2x 1 + = = − −  Bài tập nâng cao (8) Chứng minh các biểu thức sau : (a) 2 2 2 2 2 (ab'-ba')x +2(ac'-ca')x+bc'-cb' y' = ' ' ' ( ' ' ') ax bx c y a x b x c a x b x c + + = ⇒ + + + + (b) 2 2 4 2 2 1 2 2(x -1) ln y' = 1 2 1 x x y x x x − + = ⇒ + + + (c) sin cosa 2 ln y' = sin sin cos 2 x a y x a x a − = ⇒ + − (d) 2 ( )(1 sin ) 1 4 2 y' =- sin sin x tg x y x x π − + = ⇒ (e) 1 1 1 1 1 1 1 cos x (0; ) y' = - sin 2 2 2 2 2 2 2 8 8 x y x π = + + + ∀ ∈ ⇒ (f) 2 3 y 2x x CMR : x+yy'+y y'' 0= − = (g) 1 1 ln y x x = + + CMR : xy ‘ = y.(ylnx –1 ) (h) y = sin(lnx) + cos(lnx) CMR : x 2 y’’ + x y ‘ + y = 0 (i) 5 1 y CMR : y''+y = 3y cos 2x = (j) 2 2 2 x x y x 1 ln x x 1 CMR : 2y=xy'+lny' 2 2 = + + + + + (9) Giải phương trình có chứa đạo hàm : (a) 2 1 .cos 2 x y x − = . Giải PT : y – ( x – 1). y’ = 0 (b) y = (x+1)sinx + cosx . Giải PT : y’ = 0 (c) 2 sin cos 2 1y x x x= + + + Giải PT : y’ = 0 (d) y = 2x 2 + 16cosx – cos2x . Giải PT : y ‘’ = 0 (e) 2 2 ( 1) 1 8 3 y x x x x= − − − + . Giải BPT : ' 0y ≤ (10) Cho hàm số : 2 1y x x= + + (a) Tìm tập xác đònh của hàm số . (b) CM Rằng : 2 2 1 . 'y x y= + (c) Suy ra : 4 (1 + x 2 ) y‘’ + 4x. y’ – y = 0 (11) Tìm hoặc chứng minh đạo hàm cấp n (bằng phương pháp qui nạp) (a) ( ) ( ) ( 1)( 2) .( 1) m n m n x m m m m n x − = − − − + (b) 1 ( ) ( 1) ( 1)! (ln ) n n n n x x − − − = (c) ( ) (sin ) sin( ) 2 n x x n π = + ; ( ) (cos ) cos( ) 2 n x x n π = + (d) 2 (n) 2 y [ 2 ( 1)]. x x y x e x nx n n e= ⇒ = + + − (e) Tìm A,B sao cho 2 1 3 2 2 1 A B y x x x x = = + − + − − . Suy ra y (n) (f) 2 3 2 1 3 2 y = ; ; y = cos 1 2 1 x x y x x x x − + = − + − ( chỉ đưa ra dự đoán biểu thức y (n) không cần chứng minh qui nạp ) (12) Tính các đạo hàm (bằng cách lấy logarit Neper 2 vế hoặc đổi cơ số ) (a) 2 2 1 log ( 1) x y x + = + ; sin log (cos 1) x u x= + (b) 2 sin cosx x ( 1) ; u = (sinx) ; v = x x y x= + (c) x sin 2 1 cos x ; u = ; v =( 1+2) 1 cos 1+x x x e x y x x   −   = +  ÷  ÷  ÷ +      Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C) tại điểm M thuộc (C): y – y 0 = f‘(x 0 ).( x – x 0 ) (1) Trong phương trình tiếp tuyến có 3 đại lượng cần tìm là x 0 , y 0 và f‘(x 0 )  Cho hoành độ tiếp điểm x 0 ⇒ Tính y 0 và f ‘ (x 0 )  Cho tung độ tiếp điểm y 0 ⇒ Tìm x 0 và f ‘ (x 0 )  Cho hệ số góc tiếp tuyến k ( hay là tiếp tuyến // hoặc ⊥ một đường thẳng khác ) . Ta có phương trình k = f’(x 0 ) (gọi là phương trình hoành độ tiếp điểm). Giải phương trình ta tìm được nghiệm x 0 . Suy ra và y 0 . Sau đó thế vào phương trình (1)  Chú y ù: Số nghiệm x 0 là số tiếp tuyến tìm được có hệ số góc k .Nếu phương trình vô nghiệm thì không có tiếp tuyến nào .  Hai đường thẳng song song ⇒ Hai hệ số góc bằng nhau k = k’  Hai đường thẳng vuông góc ⇒ Tích 2 hệ số góc k.k’= – 1 ∗Ví dụ : Viết phương trình của (C) : 2 y x 4x 3= − + : (a) Tại điểm có hoành đo ä x 0 = – 1 (b) Tại điểm có tung độ y 0 = 0 (c) Biết kệ số góc k = 6 Giải (a) Ta có x 0 = – 1 ⇒ y 0 = 8 Đạo hàm là y ‘ (x) = f(x) = 2x – 4 ⇒ y’(–1) = – 6 Vậy phương trình tiếp tuyến là y– 8 = – 6(x+1) ⇒ y= – 6x + 2 (b) Biết tung độ y 0 = 0 ta có phương trình hoành độ giao điểm là : 2 x 4 x 3− + = ⇒ x 1 = 1 và x 2 = 3 ⇒ f’(1) = – 2 và f’(3) = 2 Ta có 2 phương trình tiếp tuyến là + y – 0 = –2( x – 1) ⇒ y = – 2x + 2 + y – 0 = 2( x – 3) ⇒ y = 2x – 6 (c) Biết hệ số góc k = 4 . Ta có phương trình hoành độ tiếp điểm : 2x – 4 = 6 ⇒ x 0 = 5 ⇒ y 0 = 8 Phương trình tiếp tuyến là y – 8 = 6 ( x – 5) ⇒ y = 6x – 22 (13) Viết phương trình tiếp tuyến (PTTT) với đồ thò (C) : (a) 3 y x x= − tại điểm M∈(C) , biết i) M( 2 ; 6) ii) M có hoành độ bằng 1 iii) M trên trục tung iv) M trên trục hoành (b) 2 3 2 1 x x y x − + = + tại giao điểm (C) và trục hoành (c) 4 2 y = x 2x − + tại điễm có tung độ bằng 1 + song song với trục hoành (d) 2 1y x= + tại điểm M 0 ∈ (C) có tung độ 0 2y = (e) y = xln x biết hệ số góc tiếp tuyến k = 1 (f) y = sin 2 x tại điểm có hoành độ x = 6 π (g) 3 2 1 1 3 y x x= − + biết tiếp tuyến ⊥ 1 2 3 y x= − + (CĐTCKT4_2004) (h) Tìm trên 2 x 3x 6 y x 1 + + = + các điểm mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 y x 3 = (CĐĐiệnLực2006) (14) Cho hàm số : y = 1 3 x x + − có đồ thò (C) (a) Lập PTTT với (C) vuông góc đường thẳng (D) : 2006y x= + (b) Tìm điểm M trên (C) để tiếp tuyến tại đó song song (D’) 2x+y–4 =0 (15) Cho hàm số : 2 x x 1 y x 1 + + = + có đồ thò (C) (a) Viết PTTT song song đường thẳng (D) : y = – 3x (b) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là những số nguyên .Viết PTTT của (C) tại các điểm đó .  Bài tập nâng cao (16) Cho hàm số 3 2 3 9 5y x x x= + − + có đồ thò (C) (a) Tìm giao điểm của (C) và trục hoành . Viết PTTT của (C) tại các điểm đó (b) Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thò hàm số , hảy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất (17) Cho hàm số : 2 x mx 3 y x 1 + + = + có đồ thò (C) (a) Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (b) Khi m = 0 viết PTTT (C) vuông góc (d) : x- 3y -1 = 0ù (18) Chứng minh rằng một tiếp tuyến bất kỳ của (C) : 1 y x = cắt 2 trục tọa độ tại A và B thì diện tích tam giác OAB không đổi . (19) Đònh m để (C) : 2 2 1y x mx= − + cắt trục hoành tại 2 điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau . (20) Cho điểm M ∈ 3 2 m 1 m 1 ( C ) : y x x 3 2 3 = − + có hoành độ –1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M song song đường thẳng 5x– y = 0 (KhốiD 2005) (21) Cho hàm số 2 3 3 1 x x y x − + = − . Tìm 2 điểm A , B thuộc đồ thò hàm số sao cho tiếp tuyến tại A,B của đồ thò song song với nhau và độ dài đoạn AB ngắn nhất .      Chương 2 :ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số  Điều kiện cần : • f(x) đồng biến (tăng) trên (a,b) ⇒ f ’(x) ≥ 0 , ∀x ∈ (a,b) • f(x) nghòch biến (giảm) trên (a,b) ⇒ f ’(x) ≤ 0 , ∀x ∈ (a,b) (Hàm số đồng biến hay nghòch biến trên (a,b) gọi là hs đơn điệu ) • f(x) không đổi trên (a,b) ⇔ f ’(x) = 0 , ∀x ∈ (a,b) (hàm hằng)  Điều kiện đủ :  f’(x) > 0 , ∀x ∈ (a,b) ⇒ f (x) đồng biến (a,b)  f’(x) < 0 , ∀x ∈ (a,b) ⇒ f (x) nghòch biến trên (a,b) Chú ý : Nếu đạo hàm ≥ 0 ( hoặc ≤0) và dấu = chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên D thì hàm số sẽ Đbiến ( hoặc Nbiến ) trên D  Điểm tới hạn : x 0 của hàm số f (x) là các điểm mà tại đó đạo hàm f’(x 0 ) = 0 hoặc f ‘ (x 0 ) không xác đònh .  Phương pháp giải toán : Loại 1 :Xét tính đơn điệu của hàm số (hay tìm khoảng ĐB,NB) • Tìm tập xác đònh D của hàm số • Tính đạo hàm bậc nhất f ’ (x) • Tìm các điểm tới hạn x 1 ; x 2 ; x 3 . . . . • Lập bảng xét dấu f ‘(x) (sau nầy còn gọi là bảng biến thiên ) • Dựa vào bảng trên kết luận khoảng đồng biến Z , nghòch biến ]  Chú ý : khi xét dấu đạo hàm ta thường gặp nhò thức bậc nhất hoặc tam thức bậc 2 . Ngoài ra có 2 trường hợp đặc biệt sau đây :  Nếu là f ’(x)= đa thức bậc 3. thì khoảng nghiệm gần + ∞ thì f’(x) sẽ cùng dấu ax 3  Khi xét dấu của hàm vô tỉ, siệu việt, lượng giác . . . Nên áp dụng tính chất của hàm liên tục để nhẩm dấu trên khoảng : “ Nếu g(x) không triệt tiêu trên (a ; b) thì nó mang 1 dấu trên khoảng đó “ ⇒ Lấy một giá trò bất kỳ trên khoảng và đònh dấu >0 hay <0  Loại 2 : Đònh tham số m để hàm số luôn đồng biến (hoặc nghòch biến ) trên R : Nếu y’= g(x) = ax 2 + bx + c hoặc dấu y’ tùy thuộc tam thức g(x)  Hàm số luôn đồng biến trên R g(x) 0 g(x) 0 , x 0 a R >  ⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔  ∆ ≤   Hàm số luôn nghòch biến trên R g(x) 0 g(x) 0 , x 0 a R <  ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔  ∆ ≤   Loại 3 : Đònh tham số m để hàm số đơn điệu trong một khoảng cho trước : loại nầy thường dẫn đến bài toán so sánh một số α ( hoặc hai số α và β ) với các nghiệm x 1 và x 2 của tam thức bậc hai g(x) = ax 2 + bx + c ( thường thì g(x) = f ‘ (x) )  Nhắc lại một số kiến thức về so sánh 1 số cho trước với nghiệm số của tam thức bậc 2 : f(x) = ax 2 +bx + c • x 1 < α < x 2 ⇔ a.f( α ) < 0 • 1 2 af( ) 0 x af( ) 0 x α α β β ≤  ≤ < ≤ ⇔  ≤  • α ≤ x 1 < x 2 α α   ∆ >  ⇔ ≥    − >  0 . ( ) 0 0 2 a f S • x 1 < x 2 ≤ α α α   ∆ >  ⇔ ≥    − <  0 . ( ) 0 0 2 a f S • x 1 ≤ α < x 2 ≤ β α β ≤  ⇔  ≥  . ( ) 0 . ( ) 0 a f a f • α 1 ≤ x 1 < β < x 2 α β ≥  ⇔  <  . ( ) 0 . ( ) 0 a f a f • f(x)có 2 nghiệm phân biệt và chỉ có 1 nghiệm ∈ ( α ; β ) ⇔ f( α ).f( β ) <0 • α < x 1 < x 2 < β α β α β ∆ >   >   ⇔  >   < <   0 . ( ) 0 . ( ) 0 2 a f a f S (22) Khảo sát tính đơn điệu của hàm số [a] 3 2 5 1y x x x= + − − [b] 3 2 2y x x x= − + − [c] 2 ( 1)( 1)y x x x= − + + [d] = − 2 4 1 1 2 4 y x x [e] = + − 4 2 2y x x [f] = − + 2 2 (1 )(1 )y x x [g] − + + = − 2 3 3 2( 1) x x y x [h] = − − − 4 2 1 1 y x x [i] − − = − 2 3 1 3 x x y x [j] + = − 2 2 x y x [k] = + − 1 3 1 y x [l] = − 4 1 2 y x [m] = + − 4 3 1 1 2 4 3 y x x x [n] − + = + + 2 2 1 1 x x y x x [o] + = + 2 1 1 x y x (23)Tìm khoảng đồng biến và nghòch biến của hàm số : [a] y = x e x [b] 2 . x y x e − = [c] 2 4ln( 1)y x x= − − [d] = ln x y x [e] π = + ∈cos2 x (0; ) 2 y x x [f] s 2 6sin 2 x (0; )y in x x x π = − − ∈ [g] 3 sin xy x= + [h] cot x ( ; ) 2 2 y tgx gx π π = + ∈ − [i] 1 3y x x= + + − [j] = + − 2 3 4y x x [k] + = + 1 3 x y x [l] = − + 2 4 5y x x [m] = + 2 ln( 1)y x [n] π = + ∈2sin sin 2 x (0;2 )y x x (24) Đònh tham số m . . để hàm số sau thỏa điều kiện đơn điệu : [a] 3 2 2 3 3y x x mx= + + − i) Đồng biến trên R ii) Đồng biến trên (1 ; +∞) iii) Nghòch biến trên ( - 2 ; 1) [b] 2 1 x x m y x − + − = − i) Nghòch biến trên từng khoảng xác đònh ii) Đồng biến trên (1 ; 2) [c] 1x y x m − = − i) Đồng biến trên các khoảng xác đònh ii) Đồng biến trên ( – 1 ; 2) [d] 4 2 2y x mx m= − + i) Nghòch biến khi x < – 1 ii) Đồng biến trên ( – 1 ; 2) [e] + = + 2 1 x a y x luôn đồng biến trên tập xác đònh  Bài tập nâng cao (25) Đònh m để hàm số : = − − + − − 3 2 (2 1) ( 2) 2y mx m x m x luôn đồng biến trên R . (26) Đònh a để hàm số : + − = + 2 6 2 2 ax x y x [a] Đồng biến trên từng khoảng xác đònh [b] Nghòch biến trong khoảng (1;+ ∞ ) (27) Đònh m để hàm số : = + − 4 3 2 2 1 1 4 3 y x x m x (a) Nghòch biến trên (– ∞ ; – 1) (b) Nghòch biến trên ( 1 ; 2 ) (28) Đònh m để hàm số sau thỏa điều kiện : (a) 3 2 3y x x mx m= + + + nghòch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 (b) 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − đồng biến trên ( 1 ; +∞) (c) 3 2 3( 1) 3 ( 2) 1y x m x m m x= − − + − + đồng biến trên tập hợp các giá trò của x sao cho 1 2x≤ ≤ (d) 2 3 2 ( 5 ) 6 6 6y m m x mx x= − + + + − đơn điệu trên R . Khi đó hàm số đồng biến hay nghòch biến . (e) 2 3 2 ( 1) 2 ( 2)m x mx m m y x m + − − − + = − luôn nghòch biến trên các khoảng xác đònh của hàm số (f) 2 1 1 x mx y x + − = − đồng biến trên (–∞;– 1) và (1 ; +∞) (29) Đònh a để hàm số : = − − + 2 y x x x a nghòch biến trên R (30) Dùng tính đơn điệâu để chứng minh bất đẳng thức : [a] ≥ − ∀ >cos 1 ( 0)x x x [b] x (0; ) 2 tgx x π > ∈ [c] e x > 1 + x (∀x∈ R) [d] 2 ln(1 ) 2 x x x x− < + < [e] 1 1 1 ln 1 x x x x + < < + [f] x+y = 1 thì 4 4 1 8 x y+ ≥ (31) (a) Chứng minh rằng − ≤ ∀ ∈ 2 2 3 (1 ) x (0;1) 9 x x (b) Từ đó chứng minh rằng : nếu a,b,c >0 và a 2 + b 2 + c 2 =1 thì + + ≥ + + + 2 2 2 2 2 2 3 3 2 a b c b c c a a b  Đáp số : [B24] 4 7 7 ( ) i). m ii). m iii). m 9 3 3 a ≥ ≥ − ≤ − ( ) i). m 0 ii). 0 < m < 1b ≤ ( ) i). m 1 ii). m 1c < ≤ − ( ) i). 1 ii). m 4 d m ≤ ≥ [B25] [B29] Không tồn tại giá trò a [B26] 7 14 ( ) 0 < a (b). a 2 5 a ≤ ≤ − [B27] ( ) m = 0 (b). m 3 v m 3a ≤ − ≥ [B28] 9 ( ) m= (b). m 2 3 (f) m 0 4 a ≤ − ≤ Bài 2 Cực Trò của hàm số  Đònh nghóa :  Hàm số đạt cực đại tại x 0 ⇔ f(x) < f(x 0 ) (∀ x ∈ V= lân cận x 0  Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ⇔ f(x) > f(x 0 ) trừ ra điểm x 0 )  Chú ý Gọi chung là f (x) đạt cực trò tại x 0 ; x 0 gọi là điểm cực đại hay cực tiểu của hàm số . Giá trò cực đại và cực tiểu f(x 0 ) tương ứng gọi là cực trò của hàm số . Kí hiệu y CĐ , y CT .  Minh hoạ tính đơn điệu ,cực trò bằng đồ thò  Hàm số đồng biến trên (a ,b) và (c ; d)  Hàm số nghòch biến trên (b ; c )  Hàm số đạt cực đại tại x 1 = b và đạt cực tiểu tại x 2 = c • Đònh lý Fermat (Điều kiện cần ) Nếu f có đạo hàm tại x 0 và f đạt cực trò tại x 0 thì f ‘(x 0 ) = 0 • Điều kiện đủ 1 : Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm trên một vùng lân cận x 0 và f ’(x) đổi dấu khi qua x 0 thì f đạt cực trò tại x 0 . Cụ thể : ∗ Từ dấu (+) → (– ) thì f đạt cực đại tại x 0 ∗ Từ dấu (– ) → (+) thì f đạt cực tiểu tại x 0 • Điều kiện đủ 2 : Nếu hàm số y= f(x) có f ’’(x) liên tục tại x 0 và f ’(x 0 ) = 0 ; f’’(x 0 ) ≠ 0 thì x 0 là điểm cực trò của hàm số : ∗ Nếu f ’’(x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 ∗ Nếu f ’’(x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 • Chú ý : điều kiện f ’(x 0 ) = 0 , chưa đủ kết luận x 0 là điểm cực trò mà phải xét dấu f’(x) khi qua x 0 (Dấu hiệu 1) hoặc đònh dấu giá trò của f ’’(x 0 ) (Dấu hiệu 2)  Phương pháp tìm cực trò của một hàm số:  Qui tắc 1 ( dùng đạo hàm bậc nhất ) • Tìm tập xác đònh D của hàm số • Tính đạo hàm bậc nhất f ’ (x) • Tìm các điểm tới hạn x 1 ; x 2 ; x 3 . . . . • Lập bảng biến thiên để xét dấu f ‘ (x) • Kết luận các điểm cực đại CD ]Z và điểm cực tiếu CT] Z  Qui tắc 2 ( dùng đạo hàm bậc hai ) • Tìm tập xác đònh D của hàm số • Tính đạo hàm bậc nhất f ’(x) • Giải phương trình f ‘ (x) = 0 tìm các nghiệm : x 1 ; x 2 ; x 3 . . . . • Tính f ‘’ (x ) • Đònh dấu f ‘’(x 1 ) ; f ‘’(x 2 ) ; f ‘’(x 3 ) . . . . • Kết luận điểm cực đại f ”(x) < 0 và cực tiểu f ” (x) >0  Đặc Biệt :  Cực trò của hàm hửu tỉ : Nếu hàm số hữu tỉ : ( ) ( ) ( ) u x y f x v x = = đạt cực trò tại x 1 thì giá trò cực trò tương ứng là 1 1 1 '( ) ( ) '( ) u x f x v x =  Cực trò của hàm bậc 3 : Nếu hàm số bậc 3 : y = ax 3 +bx 2 +cx + d có 2 điểm cực trò x 1 và x 2 .  Giả sử khi chia đa thức bậc 3 là y = ax 3 + bx 2 + cx + d cho đạo hàm y’= 3ax 2 +2bx +c được thương q (x) và phần dư r(x)= kx+ m  Ta viết : y = y’. q(x) + r(x) .  Nếu hàm số đạt cực trò tại x 1 thì y’(x 1 ) = 0 ⇒ y 1 = r(x 1 ) và tương tự cho y 2 =r(x 2 )  Do đó phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò của đồ thò hàm số bậc 3 là phần dư : y = r(x) = kx + m •Chú ý : Nếu y’= g(x) = ax 2 + bx + c hoặc dấu y’ tùy thuộc tam thức g(x) . Điều kiện hàm số có cực trò g(x) 0 0 a ≠  ⇔  ∆ >  Phương pháp tìm tham số m để hàm số đạt cực trò tại x 0 ♦ Hàm số đạt cực trò tại x 0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =  ⇔  ≠  ♦ Hàm số đạt cực đại tại x 0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =  ⇔  <  ♦ Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =  ⇔  >  (32) Tìm cực trò (nếu có ) , của các hàm số : [a] 4 2 4 3y x x= − + [b] 2 2 1 2 x x y x − + = − [c] 2 2 1 x y x − = + [d] + + = − 2 2 1 1 x x y x [e] = + 2 1 y x x [f] − = − + 2 3 1 3 2 x y x x [g] + − + = + 3 2 2 4 1 x x x y x [h] = − 4 1 x y x [i] 2 . x y x e − = [j] 2 x x y e − + = [k] 2 lny x x= [l] 2 lny x x= − [m] 2 1y x x= − [n] sin (1 cos ) (0 x )y x x π = + ≤ ≤ [o] 32 2 ( 4)y x x= − [p] π + = + + ∈ 2 3 3 sin cos x [0;2 ] 2 x y x x [q] 2 2 3 1y x x= + + [r] 2 1 1 x y x + = + [s] = − + − + 4 3 2 1 11 2 6 5 4 2 y x x x x [t] 1 sin 1 sin x y x + = − [u] cot ( ) 3 y g x π = + [v] 2 sin ; x [0;2 ] x y x π = ∈ [w] + = − + 2 1 1 x y x x [x] = − + + 2 2 3 5y x x [y] − + = − 2 2 2 1 x x y x (33) Đònh tham số của hàm số để điểm cực trò thỏa điều kiện : [a] Đònh m để hàm số = − + − + 3 2 2 3 ( 1) 2y x mx m x đạt cực đại tại điểm x = 2 ( TNPT 2005) [b] Đònh m để hàm số = − − 3 2 1 3 y x mx mx i) Đạt cực tiểu tại x = 1 ii) Có cực trò trong khoảng ( –∞ ; 0) iii) Đạt cực tiểu trong khoảng (–3 ; 4) [c] Đònh m để hàm số − − = − 2 1 1 x mx y x i) Đạt cực trò tại x = 0 ii) Có hai cực trò iii) Có điểm cực đại thuộc khoảng (–3 ; 1) [d] Đònh m để hàm số = − + 4 2 2y x mx m i) Có đúng 1 cực trò ii) Có ba cực trò iii) Có điểm cực tiểu thuộc khoảng ( 1 ; 2) [e] Đònh m để hàm số = − − + − + 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) 3 3 y mx m x m x i) Có cực trò ii) Có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương iii) Có cực đại và cực tiểu tại x 1 ; x 2 thỏa điều kiện x 1 +2x 2 = 1 iv) Có cực đại ; cực tiểu và x CĐ < x CT v) Có cực đại tại x = 0 [f] Đònh m để hàm số + − = − 2 2 1 x mx y mx i) Có cự c trò ii) Có cực đại , cực tiểu với hoành độ thỏa : x 1 + x 2 = 4x 1 x 2 iii)Có cực đại , cực tiểu với hoành độ dương [g] Đònh m để 4 2 1 3 4 2 y x mx= − + có cực tiểu nhưng không có cực đại [h] Tìm m để − + + − 3 2 y = 3 3 1x x mx m có hoành độ điểm cực trò < 2 [i] Tìm m để + − − − 3 2 y = m 3 ( 1) 1x mx m x không có cực trò (ĐHBK2000) (34) Chứng minh rằng hàm số sau luôn luôn có CĐ và CT : [a] + − + 2 2 x 2 y = 1 x m x . Đònh m để điểm CĐ,CT thuộc khoảng ( –3; 3) [b] 3 2 2 3 3 3( 1) - m y x mx m x m= + + − + c] + 1 y = x+3-m+ x m  Bài tập nâng cao (35) Đònh tham số để có cực trò ( các hàm số khác ) : [a] − + 2 y = 2x + 2 + m 4 5x x có cực đại . [b] + 2 x+a y = 1x . i). Không có cực trò ii).Có cực tiểu [c] 2 1 y = (m-1)x - mx +lnx 2 đạt cực tiểu tại x = 1 [d] y = m.sinx – x có cực trò . [e] + 2 2 y = e mx x có cực đại . (36) Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trò : [a] 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + + và hoành độ các điểm CĐ, CT thỏa x 1 – x 2 không phụ thuộc m [b] + − − + − 2 2 2 x ( 1) 1 y = m m x m x m [c] 3 2 2 (cos 3sin ) 8(cos2 1) 1 3 y x x x α α α = + − − + + với 2 2 1 2 18x x+ ≤ (37) Đònh m để hàm số có cực trò , viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò đó : [a] 3 2 2 3 2 3 3(1 )y x mx m x m m= − + + − + − (KhốiA2002) [b] = + − + − − 3 2 2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x . Đònh m để đường thẳng qua điểm CĐ và CT song song đường thẳng y = – 2x [...]... số : y = mx + (* ) ( m la tham số ) x 1 [a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 4 [b] Tìm m để hàm số (* ) có cực trò và khoảng cách từ điểm cực tiểu của 1 (Cm) đến đường tiệm cận xiên của (Cm) bằng ( KhốiA_2005) 2  ĐS : (B40) (a) m = 0 (b) k = – 1 v k = 5 (B42) (b) Hai điểm M12 ( 1 ± (B43) M12 ( ± 4 4 8 8 4 ;1 ± ± 2 ) khi đó Tổng D= (c) AB = 2 2 3 1 1± 5 ; − ± 3 ) (B44) m = 2 2... 95) ĐS : (B42) A( 3 ,7 ) ; B(– 3 , – 2) ( B44) M12 ( ± 1 2 x 2 − 3x + 4 đối xứng nhau 2x − 2 ; −1m 2 ) 2 (B43) m < 0 v m > 1 2 15 ± 57 15 m 57 ; ) (B44) M12 ( 6 6  Vấn đề 8: Đồ Thò của Hàm co ù chứa giá trò tuyệt đối Bài toán : Cho đồ thò (C) của hàm số :y = f(x) Từ đồ thò (C) suy ra đồ thò hàm số sau : nếu f(x) > 0  f (x)  Đồ thò (C1): y = f ( x ) =  − f ( x ) nếu f(x) < 0  Do đó (C 1 ) gồm... Đònh m để (D) tiếp xúc với (C) : [a] (C) : y = x 3 − 3 x 2 + 2 ; ( ) : y = m(x+1) -2 x+3 [b] (C) : y = ; ( ) : y = -2x + m x+1 x2 − 3x + 3 ; ( ) : y = 3x + m 1− x x2 + x − 2 [d] (C) : y = ; ( ) : y = mx x +1 ( 2m − 1 )x − m 2 ; ∆ : y=x [e] (C) y = x −1 Trong câu (c) , (d) đònh tọa độ tiếp điểm  Bài Tập nâng cao [c] (C) : y = (TNPT2001) (TNPT2004) (TNPT2005) ( Khối D2002) 1 3 x − 2 x 2 + 3 x (C) 3 [b]... hàm số y = x −1 Dựa vào (C ’) đònh m sao cho phương trình : x2 –(m – 1) x + m –1= 0 có 2 nghiệm thuộc ( 1 ; 1) (2 7) [a] Khảo sát và vẽ (C) của hàm số : y = x 2 Viết phương trình x −1 tiếp tuyến của (C) phát xuất từ A (0 ; 1) [c] Dùng đồ thò (C) , biện luận phương trình : (1 – m) x2 – ( 1 – m ) x + 1 = 0 (2 8) [a] Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số : y = f(x) = ( x − 1)2 x+2 ( x − 1) 2 =m [c] Biện... 2 x +1 (3 8) *[a] Khảo sát và vẽ đồ thò (C) : y = ø x [b] Tìm tập hợp các điểm để từ đó có thể kẽ đến (C) hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau ( H Y Dược 99) 2 2 x + (m + 1) x − 3 (3 9) Cho hàm số : y = Tìm q tích giao điểm 2 đường x+m tiệm cận của đồ thò hàm số trên  ĐS : (B35) y = – 2x – 4 (x0 ) ; (B36) m>1 và y=x2 +4x– 2 (x>1) (B37) (a) A(2,0) ; B(-2,0) (b) m= – 1 (c) y =... ii).m= iii) 0 1 2 (b) m = (d) i) m0 iii) 1 < m < 4 3 ; 2 [B37] (a) y = 2x -m + m (b) m=1 v m = 7 [B38] (a ) − 3 < m < 1 [B39] (a) m=1 (b) 0 . pháp qui nạp) (a) ( ) ( ) ( 1 )( 2) .( 1) m n m n x m m m m n x − = − − − + (b) 1 ( ) ( 1) ( 1)! (ln ) n n n n x x − − − = (c) ( ) (sin ) sin( ) 2 n x x. biến (tăng) trên (a,b) ⇒ f ’(x) ≥ 0 , ∀x ∈ (a,b) • f(x) nghòch biến (giảm) trên (a,b) ⇒ f ’(x) ≤ 0 , ∀x ∈ (a,b) (Hàm số đồng biến hay nghòch biến trên (a,b)

Ngày đăng: 14/09/2013, 20:10

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

 Bảng công thức tính đạo hàm hàm số hợp - Khảo sát hàm so 12 ( Nâng Cao)
Bảng c ông thức tính đạo hàm hàm số hợp (Trang 1)
y’ x= y‘ u. u’x - Khảo sát hàm so 12 ( Nâng Cao)
y ’ x= y‘ u. u’x (Trang 1)
• Lập bảng xét dấu f‘(x) (sau nầy còn gọi là bảng biến thiê n) - Khảo sát hàm so 12 ( Nâng Cao)
p bảng xét dấu f‘(x) (sau nầy còn gọi là bảng biến thiê n) (Trang 6)
 Phương pháp tìm cực trị của một hàm số: - Khảo sát hàm so 12 ( Nâng Cao)
h ương pháp tìm cực trị của một hàm số: (Trang 9)
• Lập bảng biến thiên để xét dấu f‘(x) - Khảo sát hàm so 12 ( Nâng Cao)
p bảng biến thiên để xét dấu f‘(x) (Trang 9)
Ta lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (a,b) .Nếu f(x) là hàm số - Khảo sát hàm so 12 ( Nâng Cao)
a lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (a,b) .Nếu f(x) là hàm số (Trang 12)
(4) Lập bảng biến thiên (ghi lại các kết quả trê n) - Khảo sát hàm so 12 ( Nâng Cao)
4 Lập bảng biến thiên (ghi lại các kết quả trê n) (Trang 16)
 Lập bảng xét dấu f’’(x) suy ra tính lồi lõm, tìm điểm uốn - Khảo sát hàm so 12 ( Nâng Cao)
p bảng xét dấu f’’(x) suy ra tính lồi lõm, tìm điểm uốn (Trang 16)
 Bảng biến thiê n: - Khảo sát hàm so 12 ( Nâng Cao)
Bảng bi ến thiê n: (Trang 18)
(c )* Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bới (C) và - Khảo sát hàm so 12 ( Nâng Cao)
c * Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bới (C) và (Trang 29)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w