Chuyên đề toán học : Đạo hàm - hàm số pot

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 1 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R} Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh () xAy = () 0xA ≥ tgxy = π+ π ≠ k 2 x () () xBlogy xA = () () ⎩ ⎨ ⎧ ≠< > 1xA0 0xB () () xB xA y = () 0xB ≠ gxco t y = π ≠ kx ⎢ ⎣ ⎡ = x x e a y )0a(x >∀ () n2 xAy = () () + ∈ ≥ Zn 0xA ⎢ ⎣ ⎡ = xarccos xarcsin y 1x1 ≤ ≤ − ⎢ ⎣ ⎡ = xln xlog y 0x >∀ () 1n2 xAy + = () + ∈ ∈∀ Zn Dx ( ) [] ( ) xB xAy = ( ) 0xA > ( )( () () ⎢ ⎣ ⎡ ± = xgxf xgxf y  ) gf DDD ∩= II. MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D} 1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D Hàm f(x) f(D): MGT Hàm f(x) f(D): MGT () () bxf axf ≥ ≤ () ( ] () [ ) +∞= ∞ −= ,bDf a,Df ( ) () bxfa bxfa << ≤ ≤ () [] () ( ) b,aDf b,aDf = = 2. Đánh giá biểu thức bằng các BĐT: () [] () ()() 2222 2 dcbabdac :skyBunhiacôp .ab2 b a :Côsi BĐT * đònh. xác xA làm xa, aaxA * ++≤+≥+ ∀∀≥+ III. HÀM HP g o f [] () () [] () {} () (){} ⎢ ⎣ ⎡ ⊂∧≠ ∈∧∈ = ≠=∈∀ ∃⇒φ= gfff gfgf fg ooofg fgoff fffo DT0T,D DT;DxfDx|x D * fggf và xfgxfg:Dx * ZD:fgDT * ZD:gvàTD:f hàm haicủa hợp hàmlà fg o o o ∩ ∩  IV. HÀM CHẴN – LẺ y=f(x) ĐỐI XỨNG QUA O: ()() () () () () Dx lẽ khôngchẵn khôngHàm :xfxf lẽ f :Dx xfx-f chẵnf:Dx xfxf ∈∀±≠−⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ∈∀−= ∈∀=− V. GIỚI HẠN HÀM SỐ: 1. Phương pháp 1: Khử dạng vô đònh 0 0 Cơ sở của phương pháp là làm xuất hiện dạng trong biểu thức hàm các thừa số (x - x 0 ), để rồi giản ước chính các thừa số đó của tử số và mẫu số trong () () xg x f lim 0 xx→ với các chú ý: • Nếu tử và mẫu là các đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử và mẫu cho (x - x 0 ). Riêng ở đây ta dùng thủ thuật chia Hormer. • Nếu chỉ ở tử hoặc mẫu có chứa căn thức, ta nhân cho tử và mẫu một lượng liên hợp của căn thức đó. llh llh 3 2 33 33 A B A B A B A AB B+←⎯→− ±←⎯→± + Nếu tử và mẫu đều có chứa căn thức, ta sẽ nhân vào tử và mẫu cùng hai lượng liên hợp giao hoán tương ứng. • Không loại trừ các khả năng sử dụng nhanh các hằng đẳng thức: Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 2 ()() ( ) ( ) () ()() () () 22 33 2 2 44 22 nn n1n2 n32 n2n1 a b a b a b a b a b a ab b a b a b a b a b a b a b a a b a b ab b −− − − − −=− + ±=± ±+ −= + − + −=− + + ++ + • Để ý rằng việc biến đổi sơ cấp có thể làm dạng vô đònh này trở thành dạng vô đònh khác. Chẳng hạn: ()() đó) t ư ï th ư ù theo 0 (dạng xgxflim 0x ∞ × → 2. Phương pháp 2: Khử dạng vô đònh ∞ ∞ • PP 1 : Đặt số mũ lớn nhất của các đa thức thành phần ở tử và mẫu làm nhân tử chung để khử vô đònh. • PP 2 : Dùng các đònh lý giới hạn tương đương: () () () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =ε>ε++++ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >−++⇒−∞→ >++⇒+∞→ ⇒∞→ ∞→ 0x lim và 0a với;x a2 b xa~cbxax /3 )0a(;ax~cbxaxx )0a(;ax~cbxaxx 2/ xa~xPx 1/ x 2 2 2 n nn 3. Phương pháp 3: Khử dạng vô đònh ∞ − ∞ Cơ sở của phương pháp tìm giới hạn này là: 1/ Sử dụng lượng liên hợp. 2/ Sử dụng biểu thức tiệm cận: () x a2 b xa~cbxax 2 ε++++ trong đó: a > 0 và () 0xlim x =ε ∞→ 3/ Sử dụng các hằng đẳng thức. 4/ Không dùng hàm số tương đương cho dạng tổng. 4. Phương pháp 4: Giới hạn của hàm lượng giác • TH 1 : Khi (x tính bằng radian) 0x → () () () () () () ( ) () () () () () () () () ux 0 ux 0 2 2 2 ux 0 sinu x tgu x lim 1 hay sinu x ~ u x lim 1 hay tgu x ~ u x ux ux 1cosux 11 lim hay 1-cos u x ~ u x 22 ux →→ → == − ⎡⎤ = ⎣⎦ ⎡⎤ ⎣⎦ Không loại trừ nhân các lượng liên hợp lượng giác. ()() ( ) ( ) llh llh 1 sinu 1 sinu 1 cosu 1 cosu+←⎯→− + ←⎯→− • TH 2 : Khi hàm lượng giác có dạng vô đònh (x tính bằng rian) 0 xx → * Đặt: ⎩ ⎨ ⎧ →⇒→ += ⇔−= 0txx txx xxt 0 0 0 * Khi: 0't,xx'txx 00 → − =⇒→ Ghi chú: không sử dụng hàm tương đương cho tổng số. 5. Hàm kẹp: () () ( ) { } () () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =⇒ == ∈∀≤≤ → →→ Lxglim Lxhlimxflim x|Vx,xhxgxf 0 00 0 xx xxxx 0x 6. Hàm chứa giá trò tuyệt đối: ( ) ( ) () () 00 00 xx xx xx xx lim f x L lim f x L lim f x 0 lim f x 0 →→ →→ ⎧ = ⇒= ⎪ ⎨ = ⇒= ⎪ ⎩ 7. Hàm liên tục: * () () ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =Δ = ∈∀∈ →Δ → 0lim hay xfxflim Dx,Rxf y 0x 0 xx 00 0 0 Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 3 * Liên tục tại x 0 : () () ( ) ( ) ( ) () ( ) ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ⇒== − + −+ → → →→ trái tục liên :xfxflim phảitụcliên:x f x f lim xfxflimxflim 0 xx 0 xx 0 xxxx 0 0 0 0 8. Công thức giới hạn: () () () () () sin x lim 1 x0 x tgx lim 1 x0 x lim U x 0 x0 sin U x lim 1 x0 Ux tgU x lim 1 x0 Ux 1cosx 1 lim 2 x0 2 x = → = → = → = → = → − = → x lim a x x lim a 0 x x lim e x a1 x lim e 0 x x e lim x x x lim x.e 0 x x lim a 0 x 0a1 x lim a x =+∞ →+∞ + = →−∞ =+∞ →+∞ > + = →−∞ =+∞ →+∞ = →−∞ + = →+∞ < < =+∞ →−∞ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ lim log x a x lim log x a x0 lim ln x x a1 lim ln x x0 ln x lim 0 x x lim x. ln x 0 x0 lim log x a x 0a1 lim log x a x0 =+∞ →+∞ =−∞ + → =+∞ →+∞ > =−∞ + → + = →+∞ − = + → =−∞ →+∞ < < =+∞ − → ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ * Quy tắc Lopitan: () () () () x'g x' f lim xg x f lim 00 xxxx →→ = VI. ĐẠO HÀM: () ()() x x f xx f lim x y limx'f 00 xxxx 0 00 Δ −Δ + = Δ Δ = →Δ→Δ hay: () () ( ) () ( ) ( ) () () ( ) ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − − = ⇒ − − = − + → − → + → 0 0 xx 0 0 xx 0 0 xx 0 xx xfxf limx'f trái ĐH xx xfxf limx'f phảiĐH xx xfxf limx'f 0 0 0 0 0 ⇒ f có đạo hàm tại x 0 ⇔ ( ) ( ) −+ = 00 x'fx'f . Nếu ( ) ( ) −+ ≠ 00 x'fx'f thì f không có đạo hàm tại x 0 . 1. Chứng minh hàm số liên tục: Cơ sở của phương pháp để chứng minh một hàm f liên tục tại x 0 , cần làm 3 bước: B 1 : Kiểm tra ; tìm số trò f(x f0 Dx ∈ 0 ) (1) B 2 : Tìm () Rbx f lim 0 xx ∈= → (2) B 3 : So sánh (1) và (2); nếu () ( ) bx f x f lim 0 xx 0 == → , hàm f liên tục tại x = x 0 . () ( ) () ( ) () () ( ) 00 xxxx 00 xx 00 xx x tại tục liên f thì xfxflimxflim x phải bêntục liên f thì ,xfxflim x trái bêntục liên f thì ,x f x f lim 00 0 0 ==⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = −+ − + →→ → → Ghi chú 1: Không loại trừ sử dụng ba phương pháp sau đây để chứng minh hàm liên tục tại x 0 : (1) PP 2 : f là hàm sơ cấp xác đònh tại x 0 ⇒ f liên tục tại x 0 . (2) PP 3 : ⇒ f liên tục tại x 0ylim 0x =Δ →Δ 0 . (3) PP 4 : f khả đạo hàm tại x 0 ⇒ f liên tục tại x 0 . Ghi chú 2: Ngoài ra, khi chứng minh hàm f liên tục trên một tập thì sử dụng các đònh nghóa: ĐN 1 : f liên tục trong () ( ) b;axmọitại tục liên f b,a 0 ∈ ⇔ ĐN 2 : f liên tục trên [] ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⇔ btại trái tục liên f a tại phảitục liên f ba; trong tục liên f b;a 2. Tìm đạo hàm tại một điểm: Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 4 B 1 : Tính () ( ) R bnếu và b xx xfxf lim x y lim 0 0 xx0x 0 ∈= − − = Δ Δ →→Δ B 2 : Tồn tại f’(x 0 )=b. Khi chỉ tồn tại một trong hai giới hạn: * () ( ) () + → = − − + 0 0 0 xx x'f xx xfxf lim 0 : đạo hàm bên phải điểm x 0 . * () ( ) ( − → = − − − 0 0 0 xx x'f xx xfxf lim 0 ) : đạo hàm bên trái điểm x 0 . Ghi chú: Nếu x 0 là điểm thông thường của tập xác đònh, ta có thể dùng công thức tìm y’=f’(x) rồi thay vào ta có f’(x 0 ). 3. Tính đạo hàm bằng đònh nghóa: () Dx;Rx'f x y lim 0x ∈∀∈= Δ Δ →Δ ta làm ba bước cơ bản: B 1 : Gọi Δx là số gia của biến số tại x tùy ý trong D, Δy là số gia của hàm số tương ứng. Ta tính Δy từ: y + Δy = f(x + Δx). B 2 : Lập tỷ số x y Δ Δ B 3 : Tính () Rxg x y lim 0x ∈= Δ Δ →Δ ; thì kết luận: f’(x) = g(x). Đạo hàm Vi phân 1) Hàm cơ bản: () () () 22 v 'v v 1 v 'v.uv'.u v u 'v.uv'.u'v.u 'v'u'vu số) hằng:(c 'u.c'u.c −= ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ − = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ±=± = 2) Hàm hợp: Cho u = u(x); y = f(u) đều khả đạo hàm thì hàm hợp y = (f o u)(x) = f[u(x)] cũng khả đạo hàm và y’ = u’(x).f’[u(x)] hay y 0 = y’ u .u’x. 3) Hàm ngược: Cho: () () ⎩ ⎨ ⎧ =→ → xfyx D f D: f . Khả đạo hàm theo x và có hàm ngược: . () () ⎩ ⎨ ⎧ =→ → − − yfxy DDf:f 1 1 Ta có: x y y x 'y 1 'x 'x 1 'y =⇔= 1) Đònh nghóa: ( ) ( )() xd.x' f dyx f y = ⇒ = 2) Quy tắc vi phân: ( ) () 2 v dv.udu.v v u d dv.udu.vv.ud dvduvud − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ± = ± 3) Hàm hợp: [ ] () () [ ] () () [ ] () () () xux xxx x o 'u.'y'y uf.'u'yufufy =⇒ = ⇒ = = 4) Hàm logarit: ( ) [ ] ( ) ()() 0xu;xuy xv >= () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +==⇒ u 'u vuln'v'u'ulnvy'y 4. Bảng tính đạo hàm: Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) ( ) nn u;x ( ) 'u.u.n;x.n 1n1n −− sinx cosx C 0 cosx -sinx x 1 tgx xtg1 xcos 1 2 2 += ( ) u;x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ u2 'u ; x2 1 e x e x x 1 2 x 1 − a x a x lna Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 5 lnx x 1 cotgx () xgcot1 xsin 1 2 2 +−=− log a x alnx 1 5. Đạo hàm cấp cao: Khi cần tính đạo hàm cấp (n): y (n) = f (n) (x), người ta sử dụng phương pháp tính quy nạp bằng ba bước cơ bản như sau: • Tính y’, y”, y’” để dự đoán công thức của: y (n) = f (n) (x) (1) • Giả sử (1) đúng , tức là ta có: y 1k ≥∀ (k) = f (k) (x) (2) • Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (2) để chứng minh: y (k+1) = f (k+1) (x); đúng 1k ≥ ∀ Kết luận: Công thức (1) là đạo hàm cấp (n) cần tìm. 6. Ứng dụng của đạo hàm: • Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm f’(x 0 ) nếu tồn tại hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thò (C): y = f(x) tại điểm đó: ϕ M(x ,y ) 00 (h.1) t x (C): y = f(x) ( 0 x' ) f tgk = ϕ = (là ý nghóa hình học của đạo hàm) • Nếu một hàm f có đạo hàm tại x 0 thì hàm f liên tục tại điểm x 0 . • Nhưng một hàm f liên tục tại x 0 thì chưa chắc có đạo hàm tại điểm x 0 . • Một hàm f không liên tục tại x 0 thì không có đạo hàm tại điểm x 0 . • Giả sử hàm f : y = f(x) có đạo hàm y’=f’(x) trên D, ta có: ) f là hàm hằng trên D () )1(Dx;0x'f ∈ ∀ = ⇔ ) f đồng biến trên D () )2(Dx;0x'f ∈ ∀ ≥ ⇔ ) f nghòch biến trên D () )3(Dx;0x' f ∈ ∀ ≤ ⇔ Để ý trong (2) và (3), đạo hàm thể hiện một hàm số đơn điệu nghiêm cách (đồng biến hay nghòch biến) trong D có thể bằng không tại những giá trò rời rạc của biến số (xem h.2) nhưng không thể triệt tiêu trong một khoảng tùy ý của (xem h.3). () D; ⊂βα y x x 0,1 f'(x )=0 0,1 f'(x )=0 0,2 x 0,2 b a B (h.2) A 0 C D y α f'(x )=0 x0 ( ; ) 0,1 ∀∈αβ x 0 β a b (h.3) A 0 C D x B x 0 a b f(b) 0 (C) : y = f(x ) y x x 0 a b B (h.6) A f(a) f(b) 0 (C) : y = f(x) x B • Nếu hàm f liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm: . () b;ax 0 ∈ • Nếu: [] ()() [] f liên tục trên a;b fafb 0 f đơn điệu nghiệm cách trên a;b < ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ( ) [] phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất x a;b 0 = ⇒ ∈ ⎧ ⎨ ⎩ Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 6 • Giả sử hàm f : y = f(x) xác đònh trên đoạn [a;b] ) Hàm f đạt một cực đại tại , nếu tồn tại một lân cận ( b;ax 0 ∈ ) ( ) ( ) b;axV 0 ∈ sao cho: () ( ) 00 xx;x f x f ≠ ∀ < . ) Hàm f đạt một cực tiểu tại , nếu tồn tại một lân cận ( b;ax 0 ∈ ) ( ) ( ) b;axV 0 ∈ sao cho: () ( ) 00 xx;x f x f ≠ ∀ > . * Đònh lý 1 Fermat: (Điều kiện cần để hàm số f có cực trò) Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x 0 ) và đạt một cực trò tại x 0 đó thì điều kiện cần là f’(x 0 ) = 0. y a x 0 b A B 0 f'(x )=0 0 (h.9) f'(x )>0 0 f'(x )<0 0 (C):y=f(x) x y a x 0 b A B 0 f'(x )=0 0 (h.10) f'(x )>0 0 f'(x )<0 0 (C):y=f(x) x Ý nghóa hình học: tiếp tuyến với đồ thò (C) : y = f(x) tại điểm cực trò thì song song trục hoành. Hệ quả: Mọi điểm cực trò của hàm số y = f(x) đều là điểm tới hạn. * Đònh lý 2: (Điều kiện đủ thứ nhất để hàm f có cực trò) Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x 0 ) và f’(x 0 ) = 0 (*), đồng thời f’ đổi dấu khi x đi qua x 0 thì đủ để f đạt một cực trò tại x 0 . • Khi f’(x 0 ) = 0 và khi f’(x) đi qua x 0 mà không đổi dấu, ta nói (x 0 ;f(x 0 )) là một điểm uốn với tiếp tuyến nằm ngang. Điều kiện (*) có thể thay thế bằng f’(x 0 ) và f liên tục tại x 0 . • Tiếp điểm nằm trên đường cong (C) : y = f(x) là điểm uốn ⇔ tại đó đường cong vặn mình băng qua tiếp điểm đó. * Đònh lý 3: (Tồn tại điểm uốn) Nếu f có đạo hàm bậc hai f” tại V(x 0 ) (**) và f”(x 0 ) = 0; đồng thời f” đổi dấu khi đi qua x 0 thì M(x 0 ;y 0 ) là điểm uốn của (C) : y = f(x). Trong (**) nếu f” không tồn tại thì cần có thêm tồn tại ( ) 00 xVx ∈ để f liên tục tại x 0 ; thì M vẫn là điểm uốn. y a x 0 b A I B 0 f"(x )=0 0 (h.10) f"(x )>0 0 f"(x )<0 0 (C):y=f(x) x • f”(x) < 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thò (C) : y = f(x) lồi trong (a;b) về phía y dương. • f”(x) > 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thò (C) : y = f(x) lõm trong (a;b) về phía y dương. * Đònh lý 4: (Điều kiện đủ thứ hai để một hàm có cực trò) Nếu f’(x 0 ) = 0 trong V(x 0 ) đồng thời f”(x 0 ) # 0 thì hàm f có cực trò tại x 0 . Cụ thể: f'(x )=0 0 f"(x )<0 0 f'(x )=0 0 f"(x )>0 0 * Đònh lý 5: (Điều kiện tồn tại hàm ngược - Điều kiện đủ) Nếu f là một hàm số liên tục, đơn điệu ngặc trong [a;b] thì f có hàm số f -1 xác đònh trên [f(a);f(b)]. • Lúc đó f -1 cũng liên tục đơn điệu ngặt trên [f(a);f(b)] và cùng chiều biến thiên với f. • Xét tính đối xứng của hai đồ thò hai hàm ngược nhau (C) : y = f(x) và (C -1 ) : y = f -1 (x) qua đường phân giác thứ nhất. • Hàm f tăng nghiêm ngặt (nếu f giảm ngặt ta sẽ biến đổi sơ cấp chẳng hạn (-f) sẽ là hàm tăng ngặt). Lúc đó, ta có: () () () ( ) DfDx;xxf xfxf Dtrênngặt tăng f 1 ∩∈∀=⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = − • Thêm một ứng dụng của đạo hàm và đạo hàm cấp cao là quy tắc (đònh lý) L’ Hospitale như sau: () () ( ) () ( ) () ( ) () () () xg xf lim x"g x"f lim x'g x'f lim 0 0 Dạng xg xf lim 0 0 0000 n n xxxxxxxx →→→→ ==== ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 7 ) Trong đó n0 là chỉ số dừng của đạo hàm cấp n khi dạng vô đònh ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 vừa khử. ) đều có thể biến đổi về dạng ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 để sử dụng được quy tắc L’ Hospitale. ) Dạng ()( ∞−∞∞× ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ ∞ ;0; • Tính lồi lõm của hàm số trong đẳng thức Jensen. y a x 1 x 2 b 0 x 2 x x 2 1 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 x x f 2 1 2 x f x f 2 1 + y a x 1 x 2 b 0 x 2 xx 21 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 xx f 21 2 xfx f 21 + [ ] () [] () () () f liên tục trên a;b fx fx fx xx x n n12 12 f" 0 trên a;b f nn x;x; x a;b n 12 +++ +++ <⇒ ≥ ∈ ⎧ ⎪ ⎛⎞ ⎪ ⎨ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎪ ⎪ ⎩ Dấu đẳng thức trong BĐT xảy ra khi x 1 = x 2 = = x n . * Đònh lý Lagrance: [] () ( )() () ( )() xfabafbf;b;ac ba; đạo khảf ba; tục liên f −=−∈∃⇒ ⎩ ⎨ ⎧ Ý nghóa hình học: Một hàm liên tục và có đạo hàm trên [a;b] thì tồn tại trên đồ thò (C) : y = f(x) các điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với đoạn nối hai đầu nút của đồ thò. Hệ quả: (Đònh lý Rolle) [] () () () () () giữa 2 nghiệm x ;x phân biệt 12 f liên tục trên a;b và f a f b nếu có của f x 0 phải có f có đạo hàm trên a;b ít nhất 1 nghiệm x của f' x 0 0 = ⇒= = ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬⎨ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ CHỦ ĐỀÀ 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU I. TÍNH TĂNG - GIẢM (ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ: () () ( ) ( ) () ( ) ⎢ ⎣ ⎡ ∈∀≥ <⇒<∈∀ ⇔ biếnđồng số Hàm :b;ax,0x'f x f x f xx:b;ax,x ba; trên tăng f 212121 () () ( ) ( ) () ( ) ⎢ ⎣ ⎡ ∈∀≤ >⇒<∈∀ ⇔ biếnnghòch số Hàm :b;ax,0x'f x f x f xx:b;ax,x ba; trên giảm f 212121 f(x) là hàm bất kỳ Tính chất đơn điệu f(x) hàm bậc 3 Nếu min () 0x'f ≥ Nếu max () 0x'f ≤ f luôn tăng: ( ) 0x'f ≥ f luôn giảm: ( ) 0x'f ≤ a > 0 và 0≤Δ a < 0 và 0≤Δ II. TĂNG - GIẢM TRONG KHOẢNG: 1. Hàm bậc 2: . Tăng, giảm trong bax2'ycbxaxy 2 +=⇒++= ( ) + ∞ α ; Hệ số Hàm f tăng () + ∞ α ∈∀≥ ;x,0'y Hàm f giảm () + ∞α∈∀≤ ;x,0'y a = 0 11 mnhận :0b'ymm >=⇒= 11 mnhận :0b'ymm <=⇒ = Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 8 a > 0 ?m a2 b =⇒α≤− Không xảy ra a < 0 Không xảy ra ?m a2 b =⇒α≤− 2. Hàm bậc 3: cbx2ax3'ydcxbxaxy 223 ++=⇒+++= * TH1: () [ ) +∞α+∞α ; hay; Hệ số f tăng () +∞α∈∀≥ ;x,0'y Hệ số f giảm () + ∞α∈∀≤ ;x,0'y a = 0 Xét dấu y’ a = 0 Xét dấu y’ ⎩ ⎨ ⎧ ≤Δ > 0 0a Thỏa () +∞α∈∀≥ ;x,0'y ⎩ ⎨ ⎧ ≤Δ < 0 0a () +∞α∈∀≤ ;x,0'y ⎩ ⎨ ⎧ >Δ > 0 0a [ ) +−+ + ∞ α ∞− 00'y ;xxx 21 α≤<⇔ 21 xx ⎩ ⎨ ⎧ >Δ < 0 0a [ ) −+− + ∞ α ∞ − 00'y ;xxx 21 α≤<⇔ 21 xx a < 0 Không thỏa a > 0 Không thỏa * TH2: ( ] ( ] [ ] ( ) α β α β α∞α− ;hoặc; và ;- hoặc;∞ Tăng 0'y ≥ ( ] ( ] α∞α∞− ;- hoặc; ( ) [] βα β α ; hoặc; ( ] +−+ ∞ + α∞− 00'y xx;x 21 ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤α > 21 xx 0a −+− ∞+ ∞ − 00'y xxx 21 () () 0a.y' và 0'y.a xx 21 ≤β≤α⇔ ≤ β < α ≤ Giảm 0'y ≤ ( ] ( ] α∞α∞− ;- hoặc; ( ) [] βα β α ; hoặc; ( ] −+− ∞ + α∞− 00'y xx;x 21 ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤α > 21 xx 0a +−+ ∞+ ∞ − 00'y xxx 21 () () 0a.y' và 0'y.a xx 21 ≤β≤α⇔ ≤ β < α ≤ 3. Hàm hữu tỷ: ( ) 'bx'a xg 'bx'a cbxax y 2 + = + ++ = Cách 1: Giải như phần II.2 Cách 2: Phần II.2 cũng có thể làm theo cách này. f tăng hoặc ( +∞α; ) α≥x f giảm ( ) + ∞ α ; hoặc α≥x () ( )( () () ) () () () () ( ) ( )() () () () () () () () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤α α≤− < ⇔ ∞+ − ∞+α− α=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞−⇒≤⇔ +∞α∈∀≤ + ∞ α ∈ ∀ ≤ 0g a2 b 0a xg CĐ xg 0x'g a2 b x gxg max ; a2 b trong giảm xg0xg max ;x,0xgthì;x,0'y + () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥α α≤− > ⇔ ∞+ + ∞+α− α=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞−⇒≥⇔ ∞α∈∀≥+∞α∈∀≥ 0g a2 b 0a CT xg 0x'g a2 b x gxg min ; a2 b trong tăng xg0xg min ;x,0xg thì ;x,0'y xg III. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PT VÀ BPT: 1. Bất đẳng thức: Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 9 () () ( ) () () () () () () () () fx 0 hoặc fx 0,x a;b fx tăng thì x 0 fx f0 f ' x f x tăng hoặc giảm fx giảm thì x 0 fx f0 ≤≥∀∈ ≥⇒ ≥ ⇒⇒ ≤⇒ ≤ ⎡ ⎢ ⎣ Nếu BĐT có 2 biến thì: () () β <α f f với ba < β<α< Xét tính đơn điệu của f(x) trong khoảng () ( ) ( ) ( ) () () () ⎩ ⎨ ⎧ β>α⇒β<α⇔ β<α⇒β<α⇔ ⇒βα ff giảm xf fftăngxf ; 2. Phương trình có nghiệm duy nhất: • Chứng minh phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất. ) Suy đoán x = x 0 là nghiệm của phương trình. ) Chứng minh x 0 là nghiệm duy nhất ⇔ f(x) luôn luôn tăng (hoặc giảm). • Chứng minh phương trình f(x) = g(x) có 1 nghiệm duy nhất. ) Suy đoán x = x 0 là nghiệm của phương trình. ) Chứng minh f(x) và g(x) là 2 hàm số đối đơn nghiêm cách (đồng - nghòch biến). CHỦ ĐỀÀ 3: CỰC TRỊ HÀM SỐ I. CỰC TRỊ: () ( ) () () () ( ) () () f đạt CĐ f' x 0 đổi dấu ( ) sang (-) 0 f đạt cực trò tại x f ' x 0 00 f đạt CT f' x 0 đổi dấu (-) sang ( ) 0 f' a 0 f có đạt cực trò tại x f ' x 0 : Hàm f x nhận M a,b làm cực trò 00 fa b f đạ ⇔> + ⇒=⇒ ⇔< + = ⇒= ⇔ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ () { () () () { () () () () a0 t CĐ và CT f' x 0 đổi dấu 2 lần f không đạt cực trò 0 f' x 0 Vô nghiệm a0 f ' x 0 không đổi dấu 0 f' x 0 Nghiệm kép f' x 0 f' x 0 00 f đạt CĐ tại x f đạt CT tại x 00 f" x 0 f" x 00 ≠ ⇔= ⇔ ⇒ Δ> = ≠ ⇔= ⇔ ⇔ Δ≤ = == ⇔⇒ ⇔ < ⎡ ⎢ ⎣ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0> ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Chú ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó f’(x) = 0 hoặc đạo hàm không tồn tại. II. CỰC TRỊ HÀM HỮU TỶ: () () () 22 ax bx c aa'x 2ab'x bb' a' c yy'f'x 2 a'x b' a'x b' 2 y' 0 aa'x 2ab'x bb' a'c 0 (1) aa' 0 *f có CĐ, CT thì (1) có 2 nghiệm phân biệt y' 0 b' *f không có CĐ, CT thì (1) vô nghiệm y' 0 hay ag - a' ++ + + − =⇒== + + =⇔ + + − = ≠ ⇔Δ > ⇔Δ < ⎛ ⎜ ⎝ () () 0 C cắt Ox tại 2 điểm ở 2 bên TCĐ. y' 0 y' 0;x x 2 điểm cực trò cùng 1 phía đối với Ox 12 *f có CĐ, CT và 2 giá trò CĐ, CT cùng dấu đồ thò cắt Ox tại 2 điểm phâ y.y 0 max min <⇒ =Δ> ≠ ⇔⇔ > ⎞ ⎟ ⎠ ⎧ ⎨ ⎩ () () () () () y' 0 y' 0 n biệt y0 y0 y' 0 y' 0 y' 0 y' 0;x x 12 *f có CĐ, CT và 2 giá trò CĐ, CT trái dấu Đồ thò không cắt Ox y0 y0 y.y 0 max min *Điều kiện cần và đủ để tồn ⎧ =Δ> ⎪ ⇔ ⎨ =Δ> ⎪ ⎩ =Δ> =Δ> ≠ ⇔⇔⇔ =Δ< < ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎧ ⎨⎨ ⎩ ⎩ () b' tại 1 điểm mà từ đó kẻ đến C được 2 tiếp tuyến là: ag 0 a' −> ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 10 III. CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG: 1. Dạng 1: () 42 2 y ax bx c y' 2x 2ax b 2x 0 y' 0 2 2ax b 0 (1) f có 3 cực trò (1) có hai nghiệm phân biệt x 0 * f có 2 điểm uốn ab 0 a0,b0 f có một cực trò a 0, b 0 * f không điểm uốn (1) vô nghiệm =++⇒= + = =⇔ += ≠ ⇔ < =≠ ≠= ⇔ ⎡ ⎢ ⎣ ⎡⎡ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ab 0≥ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2. Dạng 2: () () 432 2 yaxbxcdy'x4ax3bxc x0 y' 0 2 4ax 3bx c 0 (2) 0 f chỉ có CT (2) vô nghiệm hoặc nghiệm kép * g0 0 mà không có CĐ (2) có nghiệm x 0 hoặc 1 nghiệm x 0 =+++⇒= ++ = =⇔ ++= Δ≤ ⇔⇔ = =≠ ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎡⎡ ⎢ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎣ 3. Dạng 3: () () ()() () () () 432 3 2 yaxbxcxdxey'4ax3bx2cxd 2 y' x Ax Bx C x g x 0 y' có nghiệm thực g x 0 vô nghiệm hoặc nghiệm kép 0 * f có một cực trò g0 g x 0 có nghiệm x hoặc x =++++⇒= + ++ =−α ++ =−α = α = Δ≤ ⇔⇔ α = ==α≠α ⎡ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ Chú ý: () [] 1) f có cực trò mà hoành độ lớn hơn y' 0 thỏa x x 12 2) f có cực trò mà hoành độ nhỏ hơn x x hoặc x x 1212 3) f có cực trò trong ; y' 0 thỏa x x 12 4) f đạt CĐ tại x , , đạt α⇔ = α< < α⇔ <α< < ≤α αβ ⇔ = α< < <β ∈αβ [] CT tại điểm ngoài x ; y ' 0 thỏa x x 01 ∈αβ⇔ = α≤ ≤β≤ 2 IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG QUA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ: 1. Dạng 1: Đường thẳng qua 3 điểm cố đònh của (C m ) : y = f m (x) có bậc ba: 1/ Gọi (x 0 ;y 0 ) là điểm cố đònh hệ phương trình đặc trưng của các điểm cố đònh tương ứng từ y 0 = f m (x 0 ) (I) là: () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+++= +++= ⇔ )II(0dxcxbxaxg )I(dxcxbxaxf 101 2 01 3 010 202 2 02 3 020m Với (II) là phương trình đặc trưng cho hoành độ điểm cố đònh. 2/ Thực hiện phép chia đa thức f m (x 0 ) : g(x 0 ) để đưa (I) về dạng: () ()  quả hệtrình phương 0 khôngbằng 000 xxgxfy β + α+ γ == () β+α=⇒ xy:d : là đường thẳng đi qua ba điểm cố đònh của (C m ); ∀m. Hay ba điểm cố đònh của (C m ) đi qua ∀m thẳng hàng trên (d) (mặc dù ta không cần tìm rõ ba tọa độ cụ thể của ba điểm cố đònh đó). 2. Dạng 2: Đường thẳng đi qua hai cực trò của hàm bậc ba (C m ) : y=f m (x) [...]... biệt) • Tiệm cận: hàm số luôn có tiệm cận ngang: y= A a Số tiệm cận đứng phụ thuộc vào số nghiệm của: ax2 + bx + c = 0 Đồ thò tùy theo số tiệm cận đứng, số cực trò, đồ thò của hàm số sẽ có các dạng khác nhau • CHỦ ĐỀÀ 7: BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ - PHÉP SUY ĐỒ THỊ I BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH: 1 Phương pháp 1: Dạng cơ bản f(x) = m Vẽ đồ thò (C) : y= f(x) (Nếu chưa... tuyến nào cả B 2: Nếu M ∈ (C ): y = f(x) (T ): y = f’(x0)(x - x0) + y0 (ý nghóa hình học của đạo hàm) B B 30 Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt y http://www.toanthpt.net (C) : y = f(x) (T) (T) M y0 ϕ ϕ x0 x0 k = tgϕ ∈ R Đặc biệt trong trường hợp trên nếu: y0 x x O y (C) : y = f(x) O k = tgϕ ∉ R f (x ) − f (x 0 ) =∞ x→∞ x − x0 lim Ta được tiếp tuyến thẳng đứng như sau: (T ): x = x0 2 Dạng thứ hai: Tiếp tuyến dựng... trình bậc hai: ax2+bx+c = 0) Tính chất của các nghiệm số x1; x2 (quy ước x1 < x2) • 16 Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net b ⎧ ⎪S = x1 + x 2 = − a ⎪ (Đònh lý Viete thuận) ⎨ ⎪P = x x = c 1 2 ⎪ a ⎩ (⇒ ) Mệnh đề : x1 - x 2 = Δ a (⇒ ) Hệ quả (Đònh lý Viete đảo ): Nếu hai số thực có tổng là S, có tích là P; thì hai số đó là nghiệm của phương trình: f (x ) = x 2 − Sx + P = 0 (Với : S2 - 4P ≥ 0)... trùng phương (C) : y = ax + bx + c (a ≠ 0 ) • MX : D = (− ∞;+∞ ) • • Hàm số chẵn (trục đối xứng của (C) là Oy) Sự biến thiên: Xét đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) 23 A B C D 0 x Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net Nếu ab ≥ 0 ⇒ y' = 0 chỉ có một nghiệm và đổi dấu khi x qua nghiệm ⇒ Hàm số có cực trò, đồ thò không có điểm uốn Nếu ab < 0 ⇒ y' = 0 có ba nghiệm, hàm số có ba cực trò,... 5 Hàm hữu tỷ : I⎜ − ; 1 ⎜ a (a')2 ⎟ ⎝ ⎠ 1 Hàm bậc 2: CHỦ ĐỀÀ 1 2: KHOẢNG CÁCH I KHOẢNG CÁCH: 1 Khoảng cách giữa 2 điểm A(xA,yA) và B(xB,yB) là B 2 Khoảng cách từ M(x0;y0) đến (Δ ): Ax + By + C = 0 l : 3 Trường hợp đồ thò có ΔABC: Chú : dt ΔABC (x B − x A )2 + (y B − y A )2 AB = d [M , Δ ] = Ax 0 + By 0 + C A 2 + B2 1 1 = AB.AC sin AB, AC = det AB, AC 2 2 ( ) 34 ( ) Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net... BẬC BỐN - HÀM TRÙNG PHƯƠNG: (Xem thêm Phần 8 CHỦ ĐỀà 3) 1 • Dạng 1: Hàm bậc bốn 3 (C) : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c (a ≠ 0) 2 Đạo hàm: y’ = 4ax + 3bx + 2cx + d là một đa thức bậc ba nên ít nhất một nghiệm thức α Như vậy đạo hàm y’(x) có thể viết dưới dạng: y’=(x - α).g(x) Trong đ : g(x) là một đa thức bậc hai px2 + qx + r (mà các hệ số p, q, r phụ thuộc vào α, a, b, c, d) Nếu g(x) vô nghiệm, g(x) chỉ... nghiệm α hàm số chỉ cũng có một cực trò Hoặc là g(x) có một nghiệm x 2 ≠ α hàm số y cũng chỉ có một cực trò Nếu g(x) có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 ≠ α thì hàm số có ba cực trò bằng α và một nghiệm • T1 Tiếp tuyến với đồ thò tại hai tiếp điểm: B 1: Gọi (t ): y = αx + β là dạng tiếp tuyến không thẳng đứng của: (C ): y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Phương trình hoành độ giao điểm của (t) và (C) l : 4 3 2... đơn giản hơn: Bài toán điểm cố đònh của họ đường cong (Cm) nằm trên Ox Dựng đường thẳng chứa tham số trong mặt phẳng tọa đ : Bài toán biện luận quay - bằng đồ thò số nghiệm một phương trình Tìm tiếp tuyến cố đònh của họ đường cong (Cm ): Bài toán tiếp tuyến cố đònh của (Cm) tại điểm cố đònh Điểm cố đònh của các đường cong trong Hình học giải tích: Bài toán cực trò và quỹ tích Khi có vô số điểm cố đònh... (x 0 ;0 )⎨ ⎩y = Y f(X) là hàm chẵn 2 • Chứng minh (d) có trục đối xứng x = 0 // Oy: Gọi I(x0,0) ∈ x = x0, OI ⇒ f (X ) : hàm chẵn, hệ số bậc lẻ bằng 0 (d ): y = ax + b làm trục đối xứng của (C ): y = f(x) • Chọn (Δ) ⊥ (d) Tìm (Δ) ∩ (C) I là trung điểm AB ⇒ I ∈ (d) III MỘT SỐ TÍNH CHẤT THƯỜNG GẶP: Phương pháp dời trục tònh tiến: ⎧x = X + x 0 ⎪ ⎨ ⎪y = Y + y 0 ⎩ ⇒ [TT(OI) ]: Oxy TT : OI IXY ⎧ I ( x ; y ) ⎡... ; y ) ⎡ f1 ( − X ) = f1 ( X ) ; d : x = x 0 : trục đối xứng ⎪ 0 0 ⇒⎢ ⎨ Y = f ( X) ⎢ f2 ( − X ) = − f2 ( X ) ; I ( x 0 ; y 0 ) : tâm đối xứng ⎪ ⎩ ⎣ Chú : b ⎛ b ⎞ ⎛ b Δ⎞ I⎜ − ;0 ⎟ Trục đối xứng: x = − qua đỉnh S⎜ − ; ⎟ 2a ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a 4a ⎠ ⎡ b ⎛ b ⎞⎤ 2 Hàm bậc 3: Tâm đối xứng là điểm uốn I ⎢− ; f ⎜ − ⎟⎥ ⎣ 3a ⎝ 3a ⎠⎦ 3 Hàm bậc 4: Hàm chẵn ⇒ I ≡ 0 ⎛ d a⎞ 4 Hàm nhất biến: Tâm đối xứng I⎜ − ; ⎟ giao điểm . Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net 1 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM S : D = {x∈R | y = f(x)∈R} Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác. xfgxfg:Dx * ZD:fgDT * ZD:gvàTD:f hàm haicủa hợp hàmlà fg o o o ∩ ∩  IV. HÀM CHẴN – LẺ y=f(x) ĐỐI XỨNG QUA O: ()() () () () () Dx lẽ khôngchẵn khôngHàm :xfxf lẽ f :Dx xfx-f chẵnf:Dx xfxf ∈∀±≠−⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ∈∀−= ∈∀=− V 4) Hàm logarit: ( ) [ ] ( ) ()() 0xu;xuy xv >= () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +==⇒ u 'u vuln'v'u'ulnvy'y 4. Bảng tính đạo hàm: Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) Hàm số f(x) Đạo hàm