Bài toán quãng đường thời gian trong dao động điều hòa chuyển động tròn đều Chuyên đề ôn thi ĐH CĐ Vật Lý Thầy Đoàn Văn Lượng

Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của chuyển động tròn đều: Xét một điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A và tốc độ góc ω.. Khi đó hình chiếu của điể

I.CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của

chuyển động tròn đều:

Xét một điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A

và tốc độ góc ω Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí điểm M 0

và tạo với trục ngang một góc φ Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí M

và góc tạo với trục ngang 0x là (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M

xuống ox là OP có độ dài đại số x = OP = Acos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t + ) (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M hình 1)

Hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động điều hòa.

Hay x = Acos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M ωt + φ)cm ; (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t đo bằng s) , được biểu diễn bằng

véctơ quay trên Vòng tròn Lượng Giác như sau:

-Vẽ một vòng tròn có bán kính bằng biên độ:R = A

-Trục Ox nằm ngang làm gốc

-Xác định pha ban đầu trên vòng tròn (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M vị trí xuất phát).

Quy ước : Chiều dương từ trái sang phải.

- Chiều quay là chiều ngượcchiều kim đồng hồ

- Khi vật chuyển động ở trên trục Ox : theo chiều âm.

- Khi vật chuyển động ở dưới trục Ox : theo chiều dương.

- Có bốn vị trí đặc biệt trên vòng tròn:

I : vị trí biên dương xmax = +A  φ = 0 ; (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M đây là vị trí mốc lấy góc φ)

II : vị trí cân bằng theo chiều âm  φ = + π/2 hoặc φ = – 3π/2

III : vị trí biên âm xmax = - A  φ = ± π

IV : vị trí cân bằng theo chiều dương  φ = – π/2 hoặc φ = +3π/2

- Chiều dài quỹ đạo của dao động điều hòa: l= 2A.

2.Quãng đường đi được trong khoảng thời gian (t 2 – t 1 ) của chất điểm dao động điều hoà:

- Quãng đường vật đi được trong 1 chu kỳ dao động(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t2 – t 1 =T) là: S = 4A.

- Quãng đường vật đi được trong 1/2 chu kỳ dao động (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t2 – t 1 =T/2) là: S = 2A.

a.Khi vật xuất phát từ vị trí đặc biệt: Ta chỉ xét khoảng thời gian(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t 2 – t 1 =t < T/2).

Vật xuất phát từ VTCB:(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M x=0)

  : Quãng đường đi được là: S = A/2 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M hình 2)

  : Quãng đường đi được là: S = 2

O +

+ khi vật đi từ: x= A 3

A (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M hình 3)

  : Quãng đường đi được là : S = A- 2

t : Quãng đường đi được là : S = A/2

+ khi vật đi từ: x= A x= 0 thì

4 π

6 π

π

 2

π

 3

2π

 4

3π

 6

5π





6 5π

2 π 3

2π

4 3π

2

3 A 2

2 A 2

1 A

2 2 A

2

1 A

2 3 A

2 2 A -

2

1 A -

2 3 A -

2 3 A

 2 2 A -

2

1 A

v  max

2 3 v

v  max

2 / v

v  max2

/ v

v  max

2 2 v

v  max

v < 0

2 3 v

b Khi vật xuất phát từ vị trí bất kỳ! Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 1 đến t 2

PPG: Phân tích: t 2 – t 1 = nT + t (n N; 0 ≤ t < T)

+ Quãng đường đi được trong thời gian nT là S 1 = 4nA, trong thời gian t là S 2

+ Quãng đường tổng cộng là: S = S1 + S2 Tính S 2 như sau:(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Nếu 2

Lưu ý:+ Nếu t2 – t 1 = nT/2 với n là một số tự nhiên thì quãng đường đi được là S = n.2A.

+ Tính S 2 bằng cách xác định vị trí x 1 , x 2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox

+ Dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều có thể giải bài toán đơn giản hơn.

Mô tả tính S 2 : Dựa vào hình chiếu của chuyển động tròn đều.Tính x1 = Acos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t1+ ); x2 = Acos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t2+) Xác định vị trí điểm M trên đường tròn ở thời điểm t1 và t2.Tìm S2 như các hình 5 sau đây: (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t = t 2 – t 1 )

Hình 6: (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Chú thích: Các Hình vẽ này copy từ trên mạng)

Nhận xét: Khi vật xuất phát từ VTCB hoặc vị trí biên (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M tức là  = 0; ; /2) thì

Trang 3

S 2 = x 1 + 2A + x 2

2 2

1

2 1

2

S 2 = x 1 – x 2

1 1

+Quãng đường đi được từ thời điểm t 1 = 0 đến thời điểm t 2 = T/4 là : S=A

+Quãng đường đi được từ thời điểm t 1 = 0 đến thời điểm t 2 = nT/4 là: S= nA

+Quãng đường đi được từ t 1 = 0 đến t 2 = nT/4 + t (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M với 0 < t < T/4) là: S = nA +x(nT/4 + t) - x(nT/4)

3 Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x 1 đến x 2:

2 2

ss

x co

A x co

và (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 0  1 , 2  ) (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hình 7)

4 Quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất đi được trong t 2 – t 1 =t (0 < t < T/2).

-Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB.Vật có vận tốc nhỏ nhất khi qua vị trí biên.

 Trong cùng một khoảng thời gian:

+Quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB

+Quãng đường đi được càng nhỏ khi vật càng gần vị trí biên.

-Mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều:

-Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M 1 đến M 2 đối xứng qua trục cos (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M hình 9)

=> Trong DĐĐH ta có: 2 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 1 os )

 với S là quãng đường tính như trên.

+Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của vật trong khoảng thời gian t:

S v

t với SMax; SMin tính như trên

Lưu ý: + Tính S2 bằng cách định vị trí x 1 , x 2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox

+ Có thể dùng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và Chuyển động tròn đều giải bài toán sẽ đơn giản hơn. + Trong nhiều bài tập có thể người ta dùng kí hiệu: t = t 2 – t 1 = nT + t’

M M

1 2

Phương pháp 2:Xác định Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 1 đến t 2 : t2 – t1 = nT + T/2 + t0

Bước 1: - Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật tại thời điểm t1 và t2:

(v 1 và v 2 chỉ cần xác định dấu)

Bước 2: - Phân tích: Δt = tt = t2 – t1 = nT + T/2 + t0 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M n ЄN; 0 ≤ tN; 0 ≤ t0 < T/2)

-Quãng đường đi được trong khoảng thời gian Δt là: t là: S = S 1 + S 2

-Quãng đường S1 là quãng đường đi được trong thời gian: nT + T/2 là: S 1 = n.4A+ 2A

-Quãng đường S2 là quãng đường đi được trong thời gian t0 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 0 ≤ t0 < T/2)

thời gian 1,1s đầu tiên.

Giải 1: Quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động Ta thay t = 0 vào phương trình

li độ và phương trình vận tốc để xem vật bắt đầu đi từ vị trí nào và theo chiều nào.?

Ta có : 2cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 10 )(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M )

t s nT t T -> Quãng đườngđi được trong thời gian: nT + T/2 là:

S 1 = n.4A+ 2A => Quãng đường vật đi được là S = 5.4A+ 2A = 22A = 44cm.

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình 4cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M )(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M )

x v

- Tại thời điểm t = 2,25s :

4cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 2, 25 )

2

4 sin(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 2, 25 )

2

x v

Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối là

2 2 2 0 2 2(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M )

S cm .Vậy quãng đường vật đi được trong 2,25s là: S = S 1 +S 2 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 16 2 2)(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M  cm)

Giải cách 2 : (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều).

Tương tự như trên ta phân tích được Δt là: t = 2,25s = T + 0,25(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s).

Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S 1 = 4A = 16cm

Trang 5

Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối Trong 0,25s cuối thì góc mà vật quét được trên đường tròn (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M bán kính A =

4

 t  rad

   =>Độ dài hình chiếu là quãng đường đi được: 2 2

cos 4 2 2(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M )

2

Từ đó ta tìm được quãng đường mà vật đi được là: S = S 1 +S 2 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 16 2 2)(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M  cm)

Ví dụ 3: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình: x = 12cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 50t - π/2)cm Quãng đường vật đi được trong

khoảng thời gian t  π/12(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s), kể từ thời điểm gốc là (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t = 0):

Giải Cách 1: Chu kì dao động : T =2

 = 250

 = 25

  Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dương

 tại thời điểm t = π/12(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) : x 6cm



= 25

Vậy vật quay được 2 vòng +góc π/6  quãng đường vật đi được là : S t = 4A.2 + A/2 = 102cm

Ví dụ 4: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 6cos (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 2πt – π/3)cm Tính độ dài quãng đường mà vật đi được

trong khoảng thời gian t 1 = 1,5 s đến t 2 =13/3 s

A (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 50 + 5 3)cm B.53cm C.46cm D 66cm

Phương pháp GIẢI BÀI NÀY :

* Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 1 đến t 2

- Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật tại thời điểm t 1 và t 2 :

(v 1 và v 2 chỉ cần xác định dấu)

- Phân tích: Δt là: t = t 2 – t 1 = nT + T/2 + t 0 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M n ЄN; 0 ≤ tN; 0 ≤ t 0 < T/2)

-Quãng đường đi được trong khoảng thời gian Δt là: t là: S = S 1 + S 2

- Quãng đường S 1 là quãng đường đi được trong thời gian: nT + T/2

Hướng dẫn giải : T= 1s

- Phân tích: Δt là: t = t 2 – t 1 =13/3s -1,5s = 8.5/3 s = 2T + T/2 + 1/3 s

Quãng đường đi được trong khoảng thời gian Δt là: t là: S = S 1 + S 2

- Quãng đường S 1 : S 1 = 2.4A +2A = 60cm

- Quãng đường S 2 là quãng đường đi được trong thời gian t 0 = 1/3 s

3

' 1

' 1

v x

+ Xác định li độ x 2 và dấu của vận tốc v 2 tại thời điểm t 2 =13/3s

Tại t 2 = 13/3s: 



 0 3 2 2

v x

-Vậy Quãng đường đi được trong khoảng thời gian 8,5/3s: S = S 1 + S 2 = 60+6=66(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M cm)

Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20cm Sau 1/12s kể từ thời điểm ban đầu vật đi được 10cm mà chưa đổi chiều chuyển động vật đến vị trí có li độ 5cm theo chiều dương Phương trình dao động củavật là:

Giải: Biên dộ A = 10cm Như bài 4 ở trên ta suy ra:

Vật đi từ -A/2 đến A/ 2 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M hình vẽ 9B)

Ứng với thời gian vật từ N đến M với góc quay = /3

Hay thời gian đi là T/6 = 1/12 Suy ra T=1/2(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s ) , f= 2Hz

Suy ra =2f =4 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M rad/s) Vật theo chiều dương nên:

góc pha ban đầu dễ thấy là = - (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M NO3 + 3Ox) = - (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M /6 +/2)= -2/3

Vậy phương trình dao động: x = 10 cos(4t -2/3) (cm)

Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa với phương trình x 4 2 cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 5 t  3  / 4 )cm Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 1 = 1/10(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) đến t 2 = 6(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) là:

A 84,4cm B 333,8cm C 331,4 cm D 337,5cm

Giải cách 1: chu kỳ: 2 2

0, 45

Quãng đường đi trong 14T là : S 1 =14.4A =56.4 2=224 2cm

Quãng đường đi trong 0,75T là : S 2 =3A =3.4 2=12 2cm

(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M vì pha ban đầu là -3/4 nên vậy xuất phát từ vị trí cân bằng theo chiều âm)

Quãng đường đi trong 14T+ 0,75T là : S =S 1 +S 2 =236 2cm

Vậy: S =S 1 +S 2 =236 2=333,7544cm  333,8cm chọn B

Giải cách 2: Dùng tích phân: Máy tinh Fx570ES….(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M File kèm sau nhé)

4.Tìm quãng đường đi được của vật dao động điều hòa.( Tham khảo)

a.Vấn đề: Chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục Ox với li độ có dạng x = Acos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t + ) Tìm quãng đường mà vật

đi được từ thời điểm t = t 1 đến thời điểm t = t 2

b.Kiến thức:

-Bất kể vật xuất phát từ đâu, quãng đường vật đi sau nửa chu kì luôn luôn là 2A

-Nếu vật xuất phát từ vị trí cân bằng (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M x (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t1) = 0) hoặc từ vị trí biên (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M x (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t1) =  A) thì quãng đường vật đi sau T/4 là A Trong khoảng thời gian t (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M với 0 < t < 0,5T), quãng đi được tối đa S max và tối thiểu S min ?

Trang 7

M N

X O

A

X2

x1-A

Hình 11

A/2 -A/2

3

Độ lệch cực đại: S = (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M S max - S min )/2  0,4A?

c.Phương pháp giải quyết Vấn đề:

-Quãng đường đi được ‘trung bình’: 2 1.2

Câu 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 1,25cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 2t - /12) (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M cm) (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t đo bằng giây) Quãng đường

vật đi được sau thời gian t = 2,5 s kể từ lúc bắt đầu dao động là

Câu 2: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục 0x (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 0 là vị trí cân bằng) có phương trình dao động x = 3.cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 3t)

(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M cm) (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t tính bằng giây) thì đường mà vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm 3 s là

Câu 4: Một con lắc lò xo dao động với phương trình: x = 4cos4t cm (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t đo bằng giây) Quãng đường vật đi được trong

thời gian 2,875 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) kể từ lúc t = 0 là:

Câu 5: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M O là vị trí cân bằng) có phương trình: x = 5.sin(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 2t + /6) cm (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t đo

bằng giây) Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 1 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) đến thời điểm t = 13/6 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s).

Câu 6: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình: x = 6cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 4t - /3) cm (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t đo bằng giây) Quãng

đường vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = 8/3 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) là

Trang 8

Câu 1 Một vật nhỏ dao động điều hòa có biên độ A, chu kì dao động T, ở thời điểm ban đầu t = 0 vật đang ở vị trí cân

bằng hoặc vị trí biên Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = T/4 là

Câu 2 Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình : x  6cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 20t  π/3)cm Quãng đường vật đi được trong

khoảng thời gian t  13π/60(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s), kể từ khi bắt đầu dao động là :

Câu 3 Một vật dao động điều hoà dọc theo trục 0x với phương trình x = 6.cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 20t - /3) cm (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t đo bằng giây) Quãng

đường vật đi được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t = 0,7π/6 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) là

A 9cm B 15cm C 6cm D 27cm

Câu 4 Một con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng 40 N/m và vật có khối lượng 100 g, dao động điều hoà với biên độ

5 cm Chọn gốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị trí cân bằng Quãng đường vật đi được trong 0,175π (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) đầu tiên là

Câu 5 Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 8t + /3) cm Quãng đường vật đi

được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t = 1,5 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) là

Câu 6 Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình: x = 3cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 4t - /3) cm Quãng đường vật đi được

từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t = 2/3 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) là

Câu 7 Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t +2/3) cm Quãng đường vật đi được

từ thời điểm t 1 = 2 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) đến thời điểm t 2 = 19/3 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) là:

Câu 8 Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t + 2/3) cm Quãng đường vật đi được

từ thời điểm t 1 = 2 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) đến thời điểm t 2 = 17/3 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) là:

Câu 9 Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t + 2/3) cm Quãng đường vật đi

được từ thời điểm t 1 = 2 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) đến thời điểm t 2 = 29/6 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) là:

Câu 10 Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 7cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 5t + /9) cm Quãng đường vật đi

được từ thời điểm t 1 = 2,16 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) đến thời điểm t 2 = 3,56 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) là:

Câu 11 Vật dao động điều hòa theo phương trình: x A cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t) Vận tốc cực đại của vật là vmax = 8 cm/s và

gia tốc cực đại amax = 162 cm/s 2 Trong thời gian một chu kỳ dao động, vật đi được quãng đường là:

A 20cm; B 16cm; C 12cm; D 8cm.

Câu 12 Một con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ 6cm và chu kì 1s Tại t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng

theo chiều âm của trục toạ độ Tổng quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian 2,375s kể từ thờiđiểm được chọn làm gốc là:

A 48cm B 50cm C 55,76cm D 42cm

Dạng 2 : Xác định thời điểm- số lần vật đi qua một vị trí xác định

I.Để xác định thời điểm một vật dao động điều hoà đi qua một điểm đã cho x hoặc v, a, F, W đ , W t

1.

Phương pháp : Phương trình dao động có dạng: x  Acos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t + φ) cm

Phương trình vận tốc: v –Asin(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t + φ) cm/s

Tính số chu kỳ dao động từ thời điểm t 1 đến t 2 : N  t 2 t 1

* Nếu m  0 thì : + Khi t t 1 ta tính x 1 = Acos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t 1 + φ)cm và v 1 dương hay âm (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M không tính v 1 )

+ Khi t  t 2 ta tính x 2 = Acos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t 2 + φ)cm và v 2 dương hay âm (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M không tính v 2 )

Trang 9

Sau đú vẽ hỡnh của vật trong phần lẽ m

T chu kỳ rồi dựa vào hỡnh vẽ để tớnh Slẽ và số lần Mlẽ vật đi qua x0 tương ứng. Khi đú: + Quóng đường vật đi được là: S S T +S lẽ

+ Số lần vật đi qua x 0 là: MM T + M lẽ

II.Xỏc định Số lần vật đi qua vị trớ cho trước xo trong khoảng thời gian t= t1 đến t2

1.

Phương phỏp 1: Phương trỡnh dao động cú dạng: x  Acos(ωt + φ) Khi đú hỡnh chiếu của điểm M t + φ) cm

Bước 1: -Xỏc định vị trớ của vật tại thời điểm t1 là x1 và tại thời điểm t2 là x2

và chiều chuyển động của vật tại thời điểm t1 và t2: (v 1 và v 2 chỉ cần xỏc định dấu)

Bước 2: -Phõn tớch: Δt là: t = t2 – t1 = nT + t0 (ωt + φ) Khi đú hỡnh chiếu của điểm M n ЄN; 0 ≤ tN; 0 ≤ t0 < T)

Bước 3: -Từ hỡnh vẽ ta xỏc định được trong khoảng thời gian t 0 vật

chuyển động từ M 1 -> M 2 qua vị trớ x 0 no lần.

Suy ra số lần vật đi qua vị trớ x0 trong khoảng thời gian từ t1 là t2 là N= 2n+ n0

Phương phỏp 2:

Xỏc định trong khoảng thời gian Δt là: t vật qua một vị trớ cho trước bao nhiờu lần

+ Biểu diễn trờn vũng trũn , xỏc định vị trớ xuất phỏt

+ Xỏc định gúc quột Δt = tφ = Δt = tt.ω

+ Phõn tớch gúc quột Δt là: φ = n1.2π + n2.π + Δt là: φ’ ; n1 và n2 : số nguyờn ; vớ dụ : Δt là: φ = 9π = 4.2π + π

+ Biểu diễn và đếm trờn vũng trũn

- Khi vật quột một gúc Δt là: φ = 2π (ωt + φ) Khi đú hỡnh chiếu của điểm M một chu kỳ thỡ qua một vị trớ bất kỳ 2 lần , một lần theo chiều dương , một lầntheo chiều õm )

CÁCH NHỚ NHANH SỐ LẦN HAI VẬT GẶP NHAU CỦA 2 VẬT DAO ĐỘNG ĐIỀU HềA KHễNG CÙNG BIấN ĐỘ VÀ Cể CÙNG TÂN SỐ GểC

a.CƠ SỞ LÍ THUYẾT:

Hai vật phải cựng vị trớ cõn bằng, biểu diễn bằng hai đường trũn đồng tõm như hỡnh vẽ.

Khi gặp nhau thỡ hỡnh chiếu của chỳng trờn trục hoành trựng nhau

Phần chứng minh dưới đõy sẽ cho thấy:

Chỳng gặp nhau hai lần liờn tiếp cỏch nhau T/2

Giả sử lần gặp nhau ban đầu hai chất điểm ở vị trớ M, N

Do chỳng chuyển động ngược chiều nhau, nờn cú thể giả sử M chuyển động ngược

chiều kim đồng hồ cũn N chuyển động thuận chiều kim đồng hồ.

Nhận xột:

-Lỳc đầu MN ở bờn phải và vuụng gúc với trục hoành (ωt + φ) Khi đú hỡnh chiếu của điểm M hỡnh chiếu của chỳng trờn trục hoành trựng nhau)

-Do M,N chuyển động ngược chiều nhau nờn chỳng gặp nhau ở bờn trỏi đường trũn

-Khi gặp nhau tại vị trớ mới M’ và N’ thỡ M’N’ vẫn phải vuụng gúc với trục hoành

-Nhận thấy tam giỏc OMN và OM’N bằng nhau, và chỳng hoàn toàn đối xứng qua trục tung

-Vậy thời gian để chỳng gặp nhau lần 1 là T/2,

b.CễNG THỨC TÍNH SỐ LẦN HAI VẬT GẶP NHAU:

Từ cơ sở lớ thuyết trờn,ta hoàn toàn tớnh được tổng quỏt số lần gặp nhau:

Gọi thời gian đề bài cho là t, T/2= i Số lần chỳng gặp nhau sau thời gian t:

n t

i

 

   bằng phần nguyờn của t chia nửa chu kỡ

Chỳ ý: Xem lỳc t=0 chỳng cú cựng vị trớ hay khụng, nếu cựng vị trớ và tớnh cả lần đú thỡ số lần sẽ là n+1 c.VÍ DỤ:

Cho 2 vật dao động theo 2 phơng trình x1 = 3 cos (5t-  / 3) cm và x1 = 3 cos (5t- / 6) cm Trong 1s kể từ t = 0,2s vật gặp nhau mấy lần?

Giải: Chu kỡ T=0,4s, T/2=0,2s Sau t= 1s :

Ban đầu hai vật ở cựng vị trớ x=3/2cm ; Số lần gặp nhau kể từ đú: n =1/0,2=5

Vậy nếu khụng kể tại vị trớ t=0 thỡ cú 5 lần, nếu kể cả t=0 thỡ cú 6 lần

2.CỏcVớ dụ :

Vớ dụ 1: Vật d.đ.đ.d với phương trỡnh : x = 6cos(ωt + φ) Khi đú hỡnh chiếu của điểm M 5πt + π/6)cm (ωt + φ) Khi đú hỡnh chiếu của điểm M 1)

a.Trong khoảng thời gian 2,5s vật qua vị trớ x = 3cm mấy lần.

b.Trong khoảng thời gian 2s vật qua vị trớ x = 4cm theo chiều dương mấy lần.

c.Trong khoảng thời gian 2,5s vật qua vị trớ cõn bằng theo chiều dương mấy lần.

Trang 10-6 0 3 +6

d.Trong khoảng thời gian 2s vật qua vị trí cân bằng mấy lần.

Giải:

Trước tiên ta biểu diễn pt (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 1) trên vòng tròn, với φ = π/6(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M rad)

-Vật xuất phát từ M , theo chiều âm (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hình 13 )

a.Trong khoảng thời gian Δt là: t = 2,5s

=> góc quét Δt là: φ = Δt là: t.ω = 2,5.5π = 12,5π = 6.2π + π/2

Từ vòng tròn ta thấy: (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hình 14)

- trong một chu kỳ vật qua x = 3cm được 2 lần tại P (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M chiều âm ) và Q (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M chiều dương )

- trong Δt là: φ 1 = 6.2π ; 6 chu kỳ vật qua x = 3cm được 6.2 = 12 lần

- còn lại Δt là: φ 2 = π/2 từ M →N vật qua x = 3cm một lần tại P (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M chiều âm )

Vậy: Trong khoảng thời gian Δt là: t = 2,5s vật qua x = 3cm được 13 lần

b.Trong khoảng thời gian Δt là: t = 2 s

=> góc quét Δt là: φ = Δt là: t.ω = 2.5π = 10π = 5.2π

Vật thực hiện được 5 chu kỳ (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M quay được 5 vòng)

Từ vòng tròn ta thấy: (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hình 15)

- trong một chu kỳ vật qua vị trí x = +4cm theo chiều dương được một lần , tại N

Vậy : trong 5 chu kỳ thì vật qua vị trí x = 4cm theo chiều dương được 5 lần

c.Trong khoảng thời gian Δt là: t = 2,5s

=> góc quét Δt là: φ = Δt là: t.ω = 2,5.5π = 12,5π = 6.2π + π/2

Từ vòng tròn ta thấy: (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hình 16)

- Trong một chu kỳ vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 1 lần tại N.

- Trong Δt là: φ 1 = 6.2π ; 6 chu kỳ vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 6 lần tại N.

- Còn lại Δt là: φ 2 = π/2 từ M →P vật qua không qua vị trí cân bằng theo chiều dương lần nào.

Vậy trong khoảng thời gian Δt là: t = 2,5s vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 6 lần.

d.Trong khoảng thời gian Δt là: t = 2s

=> góc quét Δt là: φ = Δt là: t.ω = 2.5π = 10π = 5.2π

Vật thực hiện được 5 chu kỳ (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M quay được 5 vòng)

Từ vòng tròn ta thấy: (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hình 17)

- Trong một chu kỳ vật qua vị trí vị trí cân bằng 2 lần tại P (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M chiều âm ) và Q (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M chiều dương )

- Vậy trong khoảng thời gian Δt là: t = 2s vật qua vị trí vị trí cân bằng 10 lần

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 2t) cm Thời điểm thứ nhất

vật đi qua vị trí cân bằng là:

Thời điểm thứ nhất ứng với k = 0  t = 1/4 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s)

Giải Cách 2: Dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.

Vật đi qua VTCB, ứng với vật chuyển động tròn đều qua M 1 hoặc M 2 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hình 18)

Vì  = 0, vật xuất phát từ M 0 nên thời điểm thứ nhất vật qua VTCB ứng với vật qua M 1

Giải Cách 2: Dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.Vật qua x = 2 theo chiều dương là qua

M 2 Qua M 2 lần thứ 3 ứng với vật quay được 2 vòng (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M qua 2 lần) và lần cuối cùng đi từ M 0 đến M 2 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hình 19)

Giải Cách 2: Vật qua x =2 là qua M1 và M 2 Vật quay 1 vòng (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 1 chu kỳ) qua x = 2 là 2 lần.

Qua lần thứ 2013 thì phải quay 1006 vòng rồi đi từ M 0 đến M 1 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hình 20)

A) 1005,5s B)1005s C)2012 s D) 1005,5s

Bài gỉai: Cách 1: Ta có v = -16sin(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M

2t-6

) = -8

1005 1005,5 2

Thời điểm thứ 2010 vật qua vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng.?

    có 4 vị trí trên đường tròn M 1 , M 2 , M 3 , M 4 Qua lần thứ 2010 thì phải quay 502 vòng (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M mỗi vòng qua 4 lần) rồi đi từ M 0 đến M 2 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hình 23)

Câu 4: Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 8cos10πt Xác định thời điểm vật đi qua vị trí x = 4 lần

thứ 2 theo chiều âm kể từ thời điểm bắt đầu dao động

Câu 5: Một vật dao động điều hòa với phương trình x10sin(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 0,5t / 6)cm thời gian ngắn nhất từ lúc vật

bắt đầu dao động đến lúc vật qua vị trí có li độ 5 3cm lần thứ 3 theo chiều dương là

Câu 6: Một vật dao động điều hoà với phương trình x  4cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 4t + π/6) cm Thời điểm thứ 3 vật qua vị trí x 

2cm theo chiều dương

A 9/8 s B 11/8 s C 5/8 s D.1,5 s

Câu 7: Vật dao động điều hòa có ptrình : x 5cosπt (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M cm).Vật qua VTCB lần thứ 3 vào thời điểm :

Câu 8: Vật dao động điều hòa có phương trình: x  4cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 2πt - π) (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M cm, s) Vật đến vị trí biên dương lần thứ 5

vào thời điểm

A.4,5s B 2,5s C 2s D 0,5s.

Câu 9: Một vật dao động điều hòa có phương trình : x  6cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M πt  π/2) (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M cm, s) Thời gian vật đi từ VTCB đến

lúc qua điểm có x  3cm lần thứ 5 là

Câu 10: Một vật dao động điều hòa có phương trình x  8cos10πt(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M cm) Thời điểm vật đi qua vị trí x  4(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M cm) lần

thứ 2008 theo chiều âm kể từ thời điểm bắt đầu dao động là :

A. 12043

30 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) B 10243

30 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) C 12403

30 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) D 12430

30 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s)

Câu 11: Một vật dao động với phương trình x = 10cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 2πt + π/4)cm Khoảng thời gian kể từ thời điểm t = 0 đến thời điểm vật có li độ x = 5 cm lần thứ 5 bằng

A

Giải: T= 1s Vật qua vị trí x= 5 cm 5 lần ứng 2 vòng tròn(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 2.2) và 1/24 vòng (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 150 ) :

Từ vòng tròn lượng gíac suy ra: t = 2T + T/24 = 2.1 +1/24=2,04s

Trang 13Hình 23

Dạng : Xác định vị trí của vật tại thời điểm tt khi biết li độ của vật tại thời điểm t

Câu 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình: 4 os(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 2 )

3

x c t cm và đang chuyển đông theo chiều

âm Vào thời điểm tvật có li độ x = 2 3 cm Vào thời điểm t + 0,25s vật đang ở vị trí có li độ

x c t  cm Tại thời điểm t vật có vận tốc

24cm s/ và li độ của vật đang giảm Vào thời điểm 0,125s sau đó vận tốc của vật là

Câu 4: Một con lắc lò xo có m = 100g, lò xo có độ cứng k = 100N/m Con lắc lò xo dao động điều hòa theophương ngang với biên độ 4 cm Tại thời điểm t vật ở vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng và tốc độ củavật đang giảm Tại thời điểm 7/60 s sau đó vật đang ở vị trí có li độ

Câu 6: Một vật có khối lượng m = 100(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M g) dao động điều hoà trên trục Ox với tần số f =2(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hz), biên độ 10 cm.Lấy  2 10 Tại thời điểm t1 vật có li độ x1= -5cm, sau đó 1,25(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) thì vật có thế năng

Câu 7: Một vật dao động điều hoà với tần số f = 5Hz Tại thời điểm t1 vật có động năng bằng 3 lần thế năng Tại thời điểm t2= (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t1 + 1

30)s động năng của vật

A bằng 3 lần thế năng hoặc bằng cơ năng B bằng 3 lần thế năng hoặc bằng không

C bằng 1/3 lần thế năng hoặc bằng không D bằng 1/3 lần thế năng hoặc bằng cơ năng

Dạng 3 : Xác định thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2

1.Phương pháp:(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Ta dùng mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ đều để tính)

-Khi vật dao động điều hoà từ x 1 đến x 2 thì tương ứng với vật chuyển động tròn

đều từ M đến N (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M x 1 và x 2 là hình chiếu của M và N lên trục OX) (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hình 24)

Thời gian ngắn nhất vật dao động từ x 1 đến x 2 bằng thời gian vật

N'

2 2

x cos

A x cos

Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ là A Tìm thời gian ngắn nhất mà vật đi từ vị trí:

a x = 0 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M vị trí cân bằng) đến vị trí x = A.

b x = 0 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M vị trí cân bằng) đến vị trí

Lấy 2 10 Tần số dao động của vật bằng bao nhiêu?

Nhắc lại phương pháp ở trên:

1.Phương pháp: (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Ta dùng mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ đều để tính)

-Khi vật dao động điều hoà từ x 1 đến x 2 thì tương ứng với vật chuyển động tròn

Trang 15

M N

X

x2-A

N'

Hình 25

đều từ M đến N (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M x 1 và x 2 là hình chiếu của M và N lên trục OX) (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hình 25)

Thời gian ngắn nhất vật dao động từ x 1 đến x 2 bằng thời gian vật

2 2

x cos

A x cos

- Xác định vị trí vật lúc t (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xt đã biết)

- Xác định góc quét Δt là: φ =MOM '   ? Xác định thời gian:  2 1

2 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M hình 26)

Ta chỉ xét giá trị độ lớn của gia tốc ứng với x1 hoặc x2 :

a = 2.x Suy ra 2 1

1000 4

Câu 1 Vật dao động điều hòa theo phương trình: x  4cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M 8πt – π/6)cm Thời gian ngắn nhất vật đi từ x1  –2

3cm theo chiều dương đến vị trí có li độ x1  2 3cm theo chiều dương là :

A 1/16(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) B 1/12(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) C 1/10(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) D 1/20(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s)

Câu 2 Một vật dao động điều hòa với chu kì T  2s Thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm M có li độ x  +A/2

đến điểm biên dương (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M +A) là

A 0,25(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) B 1/12(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s) C 1/3(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s). D 1/6(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M s)

Câu 3: Vật dđđh: gọi t1là thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến li độ x = A/2 và t2 là thời gian vật đi từ vị trí

li độ x = A/2 đến biên dương Ta có

A t1 = 0,5t2 B t1 = t2 C t1 = 2t2 D t1 = 4t2

Câu 4: Một vật dao động điều hòa với tần số bằng 5Hz Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ

x1 = - 0,5A (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M A là biên độ dao động) đến vị trí có li độ x2 = + 0,5A là



) Thời gian ngắn nhất kể từ lúc bắtđầu dao động tới khi vật có gia tốc bằng một nửa giá trị cực đại là

Câu 8: Một con lắc lò xo thẳng đứng , khi treo vật lò xo dãn 4 cm Kích thích cho vật dao động theo phương

thẳng đứng với biên độ 8 cm thì trong một chu kì dao động T thời gian lò xo bị nén là

Trang 16

M N

X

x2-A

Hình 26

A T/4 B T/2 C T/6 D T/3

Câu 9 (ĐH-2008): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng Kích thích cho con lắc dao động điều hòa theo phương

thẳng đứng Chu kì và biên độ của con lắc lần lượt là 0,4s và 8cm Chọn trục x’x thẳng đứng chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại VTCB, gốc thời gian t  0 vật qua VTCB theo chiều dương Lấy g  10m/s2 và

π2= 10 thời gian ngắn nhất kể từ khi t  0 đến lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là :

Dạng 4: Tính quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian Δtt ( 0 < Δtt < T/2).

1.Phương pháp: Trong dao động điều hòa:

- Quãng đường lớn nhất: (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M hình 27)

max 2 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M )

t và

min min 



tb

S v

t

2.Mô tả: Trong dao động điều hòa:

+Quãng đường dài nhất vật đi được trong khoảng t (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M với 0 < t < T/2)

từ M đến N: S max = MO + ON Chọn gốc thời gian lúc vật qua

VTCB theo chiều dương thì : x =A.cos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M t-/2) = A.sint

  (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M Hình 29)

+Quãng đường ngắn nhất vật đi được trong khoảng t (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M với 0 < t < T/2)

từ J đến F rồi đến J: S min = JF + FJ Chọn gốc thời gian lúc vật biên dương thì : x = A.cost

T t

3.Các Ví dụ :

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ là T Tìm quãng đường:

a Nhỏ nhất mà vật đi được trong

Hình 29