Phuong phap c/m quy nap toan hoc(BDHSG - THCS)

GV: Lờ Vn Ho THCS Xuõn Lõm .TG. Thanh Hoỏ Phơng pháp chứng minh quy nạp phép quy nạp hoàn toàn và phép quy nạp không hoàn toàn. ví dụ 1. Quan sát các kết quả sau: 1 3 1 chia hết cho 3. 2 3 2 chia hết cho 3 3 3 3 chia hết cho 3 4 3 4 chia hết cho 3. hãy đa ra một dự đoán rồi chứng minh dự đoán đó. Giải: Dự đoán: a 3 a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dơng a. Chứng minh: Gọi A = a 3 a = a.(a - 1)(a + 1). Xét ba khả năng có thể xảy ra: a) Nếu a = 3k (k N) thì A chia hết cho 3. b) Nếu a = 3k + 1(k N) thì a -1 chia hết cho 3, do đó A chia hết cho 3. c) Nếu a = 3k +2 (k N) thì a + 1 chia hết cho 3, do đó A chia hết cho 3. Vậy a 3 a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dơng a. Ví dụ 2. Quan sát kết quả sau: 2 3 2 chia hết cho 3, 2 5 2 chia hết cho 5. 2 7 2 chia hết cho 7. dự đoán sau đúng hay sai?: 2 n 2 chia hết cho n với mọi số lẻ n? Giải: Dự đoán trên là sai. Chẳng hạn 2 9 2 = 510 không chia hết cho 9. Nhận xét: trong hai ví dụ trên, ta đã thực hiện các phép suy luận sau: 1) Xét các giá trị của a bằng 1, 2, 3, 4, để kết luận rằng a 3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dơng a. 2) Xét các giá trị của a bằng 3k, 3k +1, 3k + 2 (k N) để kết luận rằng a 3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dơng a. 3) Xét các giá trị của n bằng 3, 5, 7 để kết luận rằng 2 n 2 chia hết cho n với mọi số tự nhiên lẻ n. Ba phép suy luận trên đợc gọi là phép quy nạp. đó là phép suy luận đi từ các trờng hợp riêng biệt đi tới kết luận tổng quát. Phép quy nạp gọi là hoàn toàn nếu ta xét tất cả các trờng hợp riêng, chẳng hạn trong phép suy luận 2 ta đã xét mọi khả năng có thể xảy ra khi chia số tự nhiên a cho 3 ( a= 3k, a = 3k + 1, a= 3k +2). Phép quy nạp gọi là không hoàn toàn nếu ta xét một số trờng hợp riêng chứ cha xét đầy đủ mọi trờng hợp riêng. Chẳng hạn trong phép suy luận 1 ta mới xét a bằng 1, 2, 3, 4 để kết luận cho mọi số nguyên dơng a, trong phép suy luận 3 ta mới xét n bằng 3, 5, 7 để kết luận cho mọi số tự nhiên lẻ n. Nhờ phép quy nạp không hoàn toàn mà ta có những dự đoán về một tính chất toán học nào đó, đó là một cơ sở để đi tới các phát minh. Phép quy nạp 1 cho một khẳng định đúng, kết luận này đã đợc chứng minh bằng phép quy Phơng pháp chứng minh quy nạp nạp 2 ( quy nạp hoàn toàn). Phép quy nạp 3 cho một kết luận sai, ta đã bác bỏ nó bằng một phản ví dụ. Nh vậy phép quy nạp hoàn toàn là một phép chứng minh chặt chẽ, còn phép quy nạp không hoàn toàn có thể dẫn tới sai lầm, ngay cả đối với các nhà toán học có tên tuổi dới đây: Nhà toán học Pháp Fecma nhận xét rằng công thức 2 n + 1 cho ta các số nguyên tố với n bằng 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 (thật vậy 2 1 + 1 = 3; 2 2 + 1; 2 4 + 1 = 17; 2 8 + 1 = 257; 2 16 + 1 = 65537; tất cả đều là số nguyên tố ). Với n = 2 5 = 32 thì 2 n + 1 = 2 32 + 1 = 4294967297, Fecma không phân tích đ- ợc ra thừa số nguyên tố, ông cho rằng đó cũng là một số nguyên tố và đa ra giả thuyết tổng quát rằng công thức 2 n + 1 với n là một luỹ thừa của 2 cho ta các số nguyên tố. Một thế kỉ sau, năm 1732 Ơle mới bác bỏ giả thuyết trên bằng cách chỉ ra rằng 2 32 + 1 là một hợp số, nó chia hết cho 641. Có thể kể thêm hai mệnh đề sai nhng lại đúng với một số rất lớn các trờng hợp đầu tiên: Nhà toán học Gravơ đa ra dự đoán: Với mọi số nguyên tố p ta có 2 p- 1 1 không chia hết cho p 2 . Dự đoán này đúng với mọi số nguyên tố nhỏ hơn 1000, nhng chẳng bao lâu sau ngời ta chỉ ra rằng tồn tại số nguyên tố 1093 mà 2 1092 1 chia hết cho 1093 2 . Một dự đoán khác: số 911n 2 + 1 không là số chính phơng với mọi số nguyên dơng n. Số n nhỏ nhất để mệnh đề trên sai là n = 12055735790331359447442538767 (có 29 chữ số) Có một phơng pháp chứng minh hiệu nghiệm giúp ta khẳng định sự đúng đắn của một số tự nhiên, đó là phơng pháp quy nạp toán học. Nội dung của phơng pháp quy nạp Toán học Trong toán học, phép quy nạp hoàn toàn chỉ đợc áp dụng rất hạn chế. Nhiều mệnh đề Toán học đáng chú ý bao gồm một số vô hạn các trờng hợp riêng, nhng con ngời không thể kiểm tra đợc tất cả các trờng hợp riêng đó. Phép quy nạp hoàn toàn, nh chúng ta đã biết thờng dẫn tới kết luận sai lầm. Trong nhiều trờng hợp để tránh những khó khăn nh thế ngời ta áp dụng một phơng pháp suy luận đặc biệt, đợc gọi là phơng pháp quy nạp Toán học. Nội dung của phơng pháp (hay tiền đề) quy nạp Toán học đợc trình bày nh sau: Một mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dơng n đợc xem là đã đợc chứng minh nếu cả hai điều kiện sau đây đợc thỏa mãn: 1, Mệnh đề đúng với n = 1. 2, Từ giả thiết mệnh đề đúng với n = k (k N) suy ra đợc mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. 2 Phơng pháp chứng minh quy nạp Nh vậy để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số nguyên dơng n bằng phơng pháp quy nạp Toán học, ta phải tiến hành ba bớc sau: Bớc 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. Bớc 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1 (Ta gọi là giả thiết quy nạp), rồi chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1. Bớc 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dơng n. III. Vận dụng phơng pháp quy nạp Toán học vào chứng minh 1. Chứng minh quan hệ chia hết: Bài 1:Chứng minh rằng tổng các lập phơng của ba số nguyên dơng liên tiếp thì chia hết cho 9. Giải: Gọi ba số nguyên dơng liên tiếp đó là: n; n +1 và n + 2. Ta phải chứng minh: [n 3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 ] 9 (1). + Với n =1, ta có: 1 3 + 2 3 + 3 3 = 1 + 8 + 27 = 36 9. Vậy (1) đúng với n = 1. + Giả sử (1) đúng với n = k (k N) tức là: [k 3 + (k + 1) 3 + (k + 2) 3 ] 9. Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh: [(k + 1) 3 + (k + 2) 3 + (k + 3) 3 ] 9. Ta có: (k + 1) 3 + (k + 2) 3 + (k + 3) 3 = (k + 1) 3 + (k + 2) 3 + k 3 + 9k 2 +27k + 27. = [k 3 + (k + 1) 3 + (k + 2) 3 ] + 9(k 3 + 3k + 3). Theo giả thiết quy nạp: k 3 + (k + 1) 3 + (k + 2) 3 9. còn 9(k 3 + 3k + 3) 9 với k. Do đó [(k + 1) 3 + (k + 2) 3 + (k + 3) 3 ] 9. + Kết luận: Mệnh đề (1) đúng với mọi số nguyên dơng n. Vậy tổng các lập phơng của ba số nguyên dơng liên tiếp thì chia hết cho 9. Bài 2: Chứng minh rằng: Với mọi n nguyên dơng thì: A (n) = 7 n + 2 + 8 2n + 1 19. Giải: Với n = 1 thì A (1) = 7 3 + 8 3 = 343 + 512 = 19.45 A (1) 19. Vậy A (n) đúng với n = 1. Giả sử A (n) đúng với n = k Ta có: A (k) = 7 k + 2 + 8 2k + 1 19. Ta chứng minh A (n) đúng với n = k + 1. A (k + 1) = 7 k + 3 + 8 2k + 3 = 7.7 k + 2 + 8 2 .8 2k + 1 = 7.7 k + 2 + 64.8 2k + 1 = 7.7 k + 2 + 7.8 2k + 1 + 57.8 2k + 1 = 7.( 7 k + 2 + 8 2k + 1 ) + 19.3.8 2k + 1 3 Phơng pháp chứng minh quy nạp = 7. A (k) + 19.3.8 2k + 1 Vì A (k) 19 (Theo giả thiết quy nạp) 7. A (k) 19 19 19 19.3.8 2k + 1 19. A (k + 1) 19. Theo nguyên lí quy nạp A (n) 19. Với n nguyên dơng. Vậy A (n) = 7 k + 2 + 8 2k + 1 19. Với n nguyên dơng. + Kết luận: Vậy A (n) đúng với mọi số nguyên dơng. Bài 3:Chứng minh rằng: 16 n - 15n - 1 225; n N. Giải: Đặt A (n) = 16 n - 15n - 1 + Với n = 1, ta có: A (1) = 16 - 15 - 1 = 0 225 A (1) 225. + Giả sử A (n) đúng với n = k. Ta có: A (k) = 16 k - 15k - 1 225. Ta phải chứng minh A (n) đúng với n = k + 1. Ta có: A (k + 1) = 16 k + 1 - 15(k + 1) - 1. = 16.16 k -15k - 16. = (16 k - 15k - 1) + 15.16 k - 15. = (16 k - 15k - 1) + 15(16 k - 1). = A (k) + 15(16 k - 1). Theo giả thiết quy nạp có A (k) 225. Ta có: 16 k - 1 16 - 1 16 k - 1 15 15(16 k - 1) 15.15 15(16 k - 1) 225. A (k + 1) 225. Theo nguyên lí quy nạp thì A (n) 225 với n N. + Kết luận: Vậy 16 n - 15 - 1 225 với n N. Bài 4:Chứng minh rằng: A = (10 n + 18n - 1) 27 với n N. Giải: + Với n = 1 A = 10 + 18 - 1 = 27 27. Vậy A đúng với n = 1. + Giả sử đúng với n = k. (k N), tức là : A (k) = 10 k + 18k - 1 27. Ta phải chứng minh A đúng với n = k + 1. Tức là: A (k + 1) = 10 k + 1 + 18(k + 1) - 1. = 10.10 k + 18 + 17. = (10 k + 18k - 1) + 9.10 k + 18. = A + 9(10 k +2). Theo giả thiết quy nạp ta có: A 27. Ta có: 10 k +2 10 + 2 = 12. 9(10 k + 2) 12.9 = 4.27 27. 9(10 k + 2) 27. Vậy A (k + 1) 27. + Kết luận: Vậy A = 10 n + 18n - 1 27 với n N. 4 Phơng pháp chứng minh quy nạp Bài 5:Chứng minh rằng với n N thì các số sau chia hết cho 9. a. 10 n - 1. b. 10 n + 8. Giải: a. Chứng minh 10 n - 1 9. + Với n = 1 10 n - 1 = 10 - 1 = 9 9. Vậy 10 n - 1 9 với n = 1. Giả sử đúng với n = k (k N) tức là 10 k - 1 9. Ta phải chứng minh A = 10 n - 1 đúng với n = k + 1, tức là: A (k + 1) = 10 k + 1 - 1 = 10.10 k - 1 = (10 k - 1) + 9.10 k . Theo giả thiết quy nạp ta có: A = 10 k - 1 9. Mà 9 9 9.10 k 9. Do đó [(10 k - 1) + 9.10 k ] 9. Vậy A đúng với n = k + 1 (k N). + Kết luận: Với n N thì 10 n - 1 chia hết cho 9. b. Chứng minh 10 n + 8 9; Đặt B = 10 n + 8. + Với n = 1 10 n + 8 = 10 + 8 = 18 9. Vậy B đúng với n = 1. + Giả sử B đúng với n = k (k N) tức là 10 n + 8 9. Ta phải chứng minh B = 10 n + 8 chia hết cho 9 đúng với đúng với n = k + 1. Thật vậy: B (k + 1) = 10 k + 1 + 8 = 10.10 k + 8 = (10 k + 8) + 9.10 k Theo giả thiết quy nạp: 10 k + 8 9 (k N). Lại có 9 9 9.10 k 9. Do đó (10 k + 8) + 9.10 k 9 Vậy B đúng với n = k +1. + Kết luận: Vậy với n N thì 10 n + 8 chia hết cho 9. Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì: a) S n = (n + 1).(n + 2).(n + 3) (n + n) chia hết cho 2 n . b) 3 3n + 2 + 5.2 3n + 1 chia hết cho 19. c) n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n chia hết 24. Giải: a) Với n = 1 thì S 1 = (1 + 1).(1 + 2) (1 + n) = 2.3 (1 + 1) 2 n . Vậy S n đúng với n = 1. Giả sử S n đúng với n = k, tức là: S k = (k + 1).(k + 2) (k + k) 2 n . Ta phải chứng minh S n đúng với n = k + 1. Tức là S k + 1 = (k + 2).(k + 3) (k +1 + k + 1) = (k + 2).(k + 3) (2k + 2) 2 n . Thật vậy: S k + 1 = (k + 2).(k + 3).(k + 4) (k + k + 2) = (k + 1).(k + 2).(k + 3) (k + k)2. (2k + 1). 5 Phơng pháp chứng minh quy nạp = S k .2.(2k + 1) Theo giả thiết quy nạp có S k 2 n . Do đó: S k .2.(2k + 1) 2 n . S k + 1 2 n Vậy S n 2 n đúng với n = k + 1. + Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dơng n thì S n 2 n . b) Với n = 1 thì A (n) = 3 3n + 2 + 5.2 3n + 1 = 3 5 +5.2 4 =243 + 80 = 323 chia hết cho 19. A (n) đúng với n = 1. Giả sử A (n) 19 đúng với n = k Tức là: A (k) = 3 3k + 2 + 5.2 3k + 1 19. Ta phải đi chứng minh A (n) 19 đúng với n = k + 1. Tức là: A (k + 1) = 3 3(k + 1) + 2 + 5.2 3(k + 1) + 1 A (k + 1) = 3 3k + 5 + 5.2 3k + 4 19 Thật vậy: A (k + 1) = 3 3k + 5 + 5.2 3k + 4 = 3 3k + 2 .3 3 + 5.2 3k + 1 .2 3 = 27(3 3k + 2 + 5.2 3k + 1 ) - 19.3 3k + 1 . = 27.A k - 19.3 3k + 1 . Theo giả thiết quy nạp có: A k 19 27A k 19. Lại có: 19 19 19.3 3k + 1 19. Do đó A (k + 1) = 27.A k - 19.3 3k + 1 19. Vậy A (n) 19 đúng với n = k + 1. + Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dơng n thì A (n) 19. c) Chứng minh: n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n 24. Với n = 1 thì A = n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n = 1 + 6 + 11 + 6 = 24 24 vậy A 24 đúng với n = 1. Giả sử A 24 đúng với n = k Tức là: A (k) = k 4 + 6k 3 + 11k 2 + 6k 24. Ta phải đi chứng minh A (n) 24 đúng với n = k + 1. Tức là: A (k + 1) = (k+1) 4 + 6(k + 1) 3 + 11(k + 1) 2 + 6(k + 1) 24. Thật vậy: A (k + 1) = k 4 + 4k 3 + 6k 2 + 4k + 1 + 6k 3 + 18k 2 + 18k + 6 + 11k 2 + 22k + 11 + 6k + 1. A (k + 1) = (k 4 + 6k 3 + 11k 2 + 6k) + 24(k 2 + 1) + 4(k 3 + 11k). Dễ thấy: k 4 + 6k 3 + 11k 2 + 6k 24 (Theo giả thiết quy nạp). Và 24(k 2 + 1) 24. Lại có (k 3 + 11k) 6 với k N. Thật vậy: với k = 1 thì k 3 + 11k = 12 6. (đúng) Giả sử đúng với k = m thì m 3 + 11m 6 (m N) Ta phải đi chứng minh k 3 + 11k 6 đúng với k = m +1. Thật vậy: (m + 1) 3 + 11(m + 1) = m 3 + 3m 2 + 3m + 1 + 11m + 11 = (m 3 + 11m) + (3m 2 + 3m + 12) 6. Do đó k 3 + 11k 6 4(k 3 + 11k) 24 6 Phơng pháp chứng minh quy nạp Vậy A (k + 1) = (k 4 + 6k 3 + 11k 2 + 6k) + 24(k 2 + 1) + 4(k 3 + 11k) 24. Vậy A (n) 24 đúng với n = k + 1. + Kết luận: Với mọi số nguyên dơng n thì luôn có: n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n 24. Bài 7. Chứng minh rằng a 5 a chia hết cho 5 (1) với mọi số nguyên dơng a. Giải: + Mệnh đề (1) đúng với a = 1 vì 1 5 1 chia hết cho 5. + Giả sử (1) đã đúng với a =k (k N), tức là ta đã có k 5 k chia hết cho 5. Ta cần chứng minh rằng (1) cũng đúng với a = k + 1, tức là phải chứng minh (k + 1) 5 (k + 1) chia hết cho 5. Ta có: (k + 1) 5 (k + 1) = k 5 + 5k 4 + 10k 3 + 10k 2 + 5k + 1 k 1 = (k 5 k ) + [5k 4 + 10k 3 + 10k 2 + 5k] Ta thấy k 5 k chia hết cho 5 do giả thiết quy nạp, còn biểu thức trong dấu móc hiển nhiên chia hết cho 5, do đó (k + 1) 5 (k + 1) chia hết cho 5. + Kết luận: Mệnh đề (1) đúng với mọi số nguyên dơng a. * Chú ý: 1) Để chứng minh (k + 1) 5 (k + 1) chia hết cho 5, ta cũng có thể xét hiệu [(k + 1) 5 (k + 1)] - (k 5 k ). Hiệu này bằng: 5k 4 + 10k 3 + 10k 2 + 5k, chia hết cho 5, mà (k 5 k ) chia hết cho 5 theo giả thiết quy nạp, do đó (k + 1) 5 (k + 1) chia hết cho 5. Bài 8.(Ta cũng có thể chứng minh đợc mệnh đề tổng quát của ví dụ trên) Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên thì a p a chia hết cho p (2) ( Đây là nội dung định lý nhỏ Fecma). Chứng minh: Cố định p, ta chứng minh bằng phơng pháp quy nạp theo a. + Mệnh đề (2) đúng với a = 0 vì 0 p 0 chia hết cho p. + Giả sử (2) đã đúng với a = k tức là ta đã có A k = k p k chia hết cho p. Ta cần chứng minh rằng A k+1 = (k +1) p (k + 1) cũng chia hết cho p. Xét hiệu: ( ) kkkpkk pp k ppp k pp pkkAA ppppp kk ++ ++ + ++= + 11 2.1 )1( 3.2.1 )2)(1( 2.1 )1( 2321 1 )3( 2.1 )1( 3.2.1 )2)(1( 2.1 )1( 2321 pkk pp k ppp k pp pk ppp + ++ + += Xét dạng chung của các hệ số trong biểu thức (3), đó là các số nguyên có dạng p(p-1)(p-2) (p-k+1): 1.2.3 k (4). Chú ý rằng các số nguyên tố p lớn hơn k nên p không rút gọn đợc với một thừa số nào ở mẫu của (4) chia hết cho p, do đó A k - A k +1 chia hết cho p. Ta lại có A k chia hết cho p theo giả thiết quy nạp. Vậy A k +1 chia hết cho p. Chứng minh tơng tự ta cũng có A k- 1 = (k - 1) p - (k - 1) chia hết cho p. 7 Phơng pháp chứng minh quy nạp + Kết luận: Mệnh đề ( 2 ) đúng với mọi số nguyên a. *Các bài tập giải t ơng tự : Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a: a) a 2 a chia hết cho 2. b) a 3 a chia hết cho 3. c) a 5 a chia hết cho 5. d) a 7 a chia hết cho 7. Bài 2:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì: a) 3 2n + 1 + 40n - 67 chia hết cho 64. b) 2 n + 2 .3 n + 5n - 4 chia hết cho 25. Bài 3:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì: a) 7 n + 2 + 8 2n + 2 chia hết cho 57. b) 10 n + 72n - 1 chia hết cho 81. Bài 4:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì gồm 3 n chữ số 1 chia hết cho 3 n : a) 7 n + 2 + 8 2n + 2 chia hết cho 57. b) 10 n + 72n - 1 chia hết cho 81. HD: Mệnh đề đúng với n = 1. Vì số 111 3. Giả sử số k 11 1 3 chia hết cho 3, ta có số: k 1 11 1 3 + = k 11 1 3 . k 11 1 3 . k 11 1 3 = k 11 1 3 . k 100 1 3 . k 100 01 3 chia hết cho 3. Vậy với mọi số nguyên dơng n thì gồm 3 n chữ số 1 chia hết cho 3 n . Bài 5:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n: a) 7 4n - 1 chia hết cho 5. b) 3 4n +1 + 2 chia hết cho 5. c) 2 4n +1 + 3 chia hết cho 5. d) 2 4n +1 + 1 chia hết cho 5. e) 9 2n +1 + 1 chia hết cho 10. Bài 6: Chứng minh rằng: a) (n 2 + n - 1) 2 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n. b) (a 2 + 3a + 1) 2 1 chia hết cho 24 với a là số tự nhiên. c) n 3 + 6n 2 +8n chia hết cho 48 với mọi số chẵn n. d) n 4 10n 2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số lẻ n. Bài 7: Chứng minh rằng A chia hết cho B với: a) A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 99 3 + 100 3 B = 1+ 2 + 3 + + 99 + 100 b) A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 99 3 B = 1+ 2 + 3 + + 99 Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là lập phơng của một số tự nhiên thì (n - 1).n.(n + 1) chia hết cho 504. 8 Phơng pháp chứng minh quy nạp Bài 9: Chứng minh rằng 2 n 3 chia hết cho 13 với mọi số tự nhiên n. Bài 10: Chứng minh rằng số 72 14 2 + + n chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n. Bài 11: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n: a) 6 2n + 3 n+ 2 + 3 n chia hết cho 11. b) 10 n 9n 1 chia hết cho 27. Bài 12. Chứng minh rằng số gồm 3 n chữ số 1 thì chia hết cho 3 n . Bài 13. Chứng minh rằng biểu thức 10 n + 18n - 1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên. Bài 14. Chứng minh rằng : 25n 4 + 50n 3 n 2 - 2n chia hết cho 24 nếu n là số nguyên dơng tuỳ ý. Bài 15. Chứng minh rằng 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 5n - 3 + 2 5n - 2 + 2 5n - 1 chia hết cho 31 nếu n là số nguyên dơng bất kì. Bài 16. Chứng minh rằng Nếu a và b không chia hết cho 3 thì a 6 b 6 chia hết cho 9. Bài 17. Chứng minh rằng 4a 2 + 3a + 5 chia hết cho 6 nếu a là một số nguyên. Bài 18. Chứng minh rằng n 2 + 3n + 39 và n 2 + n + 37 chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên n. Bài 19. a) Chứng minh rằng nếu tổng hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phơng của chúng chia hết cho 9. b) Chứng minh rằng hiệu các bình phơng của hai số lẻ thì chia hết cho 8. Bài 20. Cho tổng của năm số nguyên bằng 0. Chứng minh rằng tổng các luỹ thừa bậc năm của năm số nguyên đó chia hết cho 25. Bài 21. a) Chứng minh rằng 4 n + 6n 1 chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n 1. b) Chứng minh rằng 10 n 9n 1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên, n 1. Bài 22. Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dơng: a) (n + 1) (n + 2) (n + 3) (2n) chia hết cho 2 n b) (n + 1) (n + 2) (n + 3) (3n) chia hết cho 3 n . Bài 23. Chứng minh rằng: a) 2n 3 + 3n 2 + n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. b) n 5 - 5n 3 + 4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên n. c) n 3 3n 2 n + 3 chia hết cho 48 với mọi số lẻ n. d) n 4 + 4n 3 4n 2 - 16n chia hết cho 348 với mọi số chẵn n. Bài 24. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n: a) Số n 2 + 11n + 39 không chia hết cho 49. b) Số n 2 + n + 1 không chia hết cho 9. 9 Phơng pháp chứng minh quy nạp Bài 25. a) Chứng minh rằng 8.16 n 8 chia hết cho 120. b) Chứng minh rằng 16 n 1 chia hết cho 15, nhng không chia hết cho 17 với n là số lẻ. c) Chứng minh rằng 2n 3 + 3n 2 + n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Bài 26. Chứng minh rằng A = n 3 ( n 2 - 7 ) 2 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n. 2. Chứng minh đẳng thức: Bài 1:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:í S n = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 = [ n(n 1) 2 + ] 2 (1). Giải : + Với n = 1, vế trái của (1) bằng 1 3 = 1 vế trái của (1) bằng [ 1(1 1) 2 + ] 2 = 1 VT = VP. Vậy (1) đúng với n = 1. + Giả sử (1) đúng với n = k (k N & k 1) Tức là: S K = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + k 3 = [ (k 1)(k 2) 2 + + ] 2 Ta phải đi chứng minh (1) đúng với n = k +1. Tức là: S K + 1 =1 3 + 2 3 + 3 3 + + (k + 1) 3 = [ (k 1)(k 2) 2 + + ] 2 Thật Vậy: S K + 1 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + (k + 1) 3 . = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + k 3 + (k + 1) 3 . = S K + (k + 1) 3 . Theo giả thiết quy nạp thì S k = [ (K(K 1) 2 + ] 2 Do đó: S k + 1 = [ (k(k 1) 2 + ] 2 + (k + 1) 3 . = [ 2 k (k 1) 4 + ] 2 + (k + 1) 3 = 2 2 (k 1) . k 4(k 1) 4 + + + = ( ) 2 2 (k 1) . k 4k 1 4 + + + = ( ) 2 2 (k 1) . k 2 4 + + = 2 (k 1).(k 1) 2 + + S K + 1 = 2 (k 1).(k 1) 2 + + đúng. Vậy (1) đúng với n = k + 1. + Kết luận: Mệnh đề (1) đúng với mọi số nguyên dơng n. Bài 2. Chứng minh rằng mọi số nguyên dơng n thì: 10 [...]... Phơng pháp chứng minh quy nạp Giải: + Với n = 1, vế phải của đẳng thức (1) bằng -1 vế trái của đẳng thức (1) bằng (-1 )1.( 2-1 ) = -1 VP = VT = -1 vậy Sn đúng với n = 1 + Giả sử (1) đúng với n = k (k Z+, k 1) Tức là: Sk = -1 + 3 - 5 + 7 - 9 + + (-1 )k.(2k - 1) = (-1 )k.k Ta phải đi chứng minh đẳng thức (1) đúng với n = k + 1 Tức là: Sk + 1 = -1 + 3 - 5 + 7 - 9 + + (-1 )k + 1.(2k + 1) = (-1 )k + 1.(k + 1)... Tức là: Sk + 1 = -1 + 3 - 5 + 7 - 9 + + (-1 )k + 1.(2k + 1) = (-1 )k + 1.(k + 1) Thật vậy: Sk + 1 = -1 + 3 - 5 + 7 - 9 + + (-1 )k.(2k - 1) + (-1 )k + 1.(2k + 1) = Sk + (-1 )k + 1.(2k + 1) Theo giả thiết quy nạp: Sk = (-1 )k k Do đó: Sk + 1 = (-1 )k.k + (-1 )k + 1.(2k + 1) = (-1 )k.k - (-1 )k.(2k + 1) Sk + 1 = (-1 )k + 1.(k + 1) Vậy Sn đúng với n = k + 1 + Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dơng n thì đẳng thức... tơng tự) b) Ta cần chứng minh: an2 an 1 an + 1 = (-1 )n 1 với mọi n 2 Mệnh đề đúng với n = 2 vì 12 1.2 = -1 Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là ta có: ak2 ak 1 ak + 1 = (-1 )k 1 Ta có: ak+ 12 ak ak + 2 = ak+12 ak (ak + ak + 1 ) = ak+12 ak 2 - ak ak + 1 = ak + 1.(ak + 1 - ak) a2k = ak + 1.ak - 1 a2k = -( ak2 ak 1.ak + 1) = -( -1 )k - 1 = (-1 )k 1 a +a 1 +2 3 c) Mệnh đề đúng với n = 2 vì a1... +1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 Cộng các đẳng thức trên rồi rút gọn ta đợc: (n +1)3 = 13 + 3(12 + 22 ++ n2) + 3(1 + 2 + + n) + n Do đó 3(12 + 22 ++ n2) = (n +1)3 - 3n(n + 1) - (n -1 ) 2 11 Phơng pháp chứng minh quy nạp = (n -1 ) [(n + 1)2 - 3n n 1 - 1] = (n - 1)(n2 + ) = n(n + 1)(2n + 1) 2 2 2 Vậy (12 + 22 ++ n2) = n(n + 1).(2n + 1) 6 Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì: 1.4 + 2.7 + 3.10 + +... với mọi số nguyên dơng n: n(n + 1) 2 12 22 + 32 42 + + (-1 ) n - 1 n2 = (-1 )n 1 Bài 13 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n: a) 1.2 + 2.3 + + (n - 1)n = 1 (n 1)n(n + 1) 3 Với n 2 b) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n.(3n - 1) = n2 (n + 1) c) 1.4 + 2.7 + 3.10 + + n.(3n + 1) = n (n + 1)2 d) 1.2.3 + 2.3.4 + + (n -1 ).n.(n+ 1) = e) 1.22 + 2.32 + + (n - 1)n2 = 1 (n 1)n(n + 1)(n + 2) 4 1 (n 1)n(n + 1)(3n +... + k.k! + (k + 1).(k + 1) = Sk+(k + 1).(k + 1)! Theo giả thiết quy nạp có Sn = (k + )! - 1 Do đó: Sk + 1 = (k + )! - 1 + (k + 1).(k + 1)! = (k + )!.(k + 1 + 1) - 1 = (k + 1)!.(k + 2) - 1 Sk + 1 = (k + 2).(k + 1)! - 1 Vậy Sn đúng với n = k + 1 + Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dơng n thì ta luôn có: 1.1! + 2.2! + 3.3! + + n.n! = (n + 1)! - 1 Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì: 1 1 1 n2 +... 25 Phơng pháp chứng minh quy nạp Giả sử mệnh đề đúng với k 4, tức là mọi số nguyên dơng A không vợt quá ak đều có tính chất Ta sẽ chứng minh rằng mệnh đề đúng với k+ 1, tức là mọi số nguyên dơng A không vợt quá ak+ 1 cũng có tính chất Xét hai khoảng giá trị của A: - Nếu A ak thì A có tính chất theo giả thiết quy nạp - Nếu ak < A ak + 1 thì 0 < A ak ak + 1 ak Theo quy luật dãy thì ak + 1 ak... ak +2 ak +1 + ak +3 số tối giản Gọi d là ớc chung của ak + ak+1 + và ak+ 1 + ak + 3 thì (ak+ 1 + a k+ 3) (ak + ak + 2) chia hết cho d (ak+ 1 - a k) + (ak + 3 - ak + 2) chia hết cho d ak - 1 + ak + 1 chia hết cho d Nh vậy d là ớc chung của ak + ak+2 + và ak- 1 + ak + 1, do đó d = 1 d) Ta sẽ chứng minh rằng ak +3 < ak + ak +1 + ak +2 < ak +4 Bất đẳng thức này sẽ tơng đơng với: ak +2 + ak +1 < ak +... thì: Sn = 1.1! + 2.2! + 3.3! + + n.n! = (n + 1)! - 1 Giải: + Với n = 1 thì VT = 1; VP = 2! - 1 = 1 VT = VP = 1 Vậy Sn đúng với n = 1 + Giả sử Sn đúng với n = k (k Z+, k 1) Tức là: Sk = 1.1! + 2.2! + 3.3! + + k.k! = (k + 1)! - 1 Ta phải đi chứng minh đẳng thức (1) đúng với n = k + 1 Tức là: Sk + 1 = 1.1! + 2.2! + 3.3! + + (k + 1).(k + 1)! = (k + 2)! - 1 Thật vậy: Sk + 1 = 1.1! + 2.2! + 3.3! + + k.k!... (1) đúng với n = k (k N, k 3), tức là 2k > 2k + 1 Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 Tức là: 2k + 1 > 2k + 3 (2) k+1 k Thật vậy: 2 = 2 2 Theo giả thiết quy nạp 2k > 2k + 1 Do đó: 2k + 1 > 2(2k + 1) = (2k + 3).(2k - 1) > 2k + 3 (Vì 2k - 1 > 0 với k 3) Vậy (2) đúng với k 3 + Kết luận: 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dơng và n 3 Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức côsi với n số không âm a1 + a2 + . 1) = 16 k + 1 - 15(k + 1) - 1. = 16.16 k -1 5k - 16. = (16 k - 15k - 1) + 15.16 k - 15. = (16 k - 15k - 1) + 15(16 k - 1). = A (k) + 15(16 k - 1). Theo giả thiết quy nạp có A (k) . là: S k = -1 + 3 - 5 + 7 - 9 + + (-1 ) k .(2k - 1) = (-1 ) k .k. Ta phải đi chứng minh đẳng thức (1) đúng với n = k + 1. Tức là: S k + 1 = -1 + 3 - 5 + 7 - 9 + + (-1 ) k + 1 .(2k + 1) = (-1 ) k +. S k + 1 = -1 + 3 - 5 + 7 - 9 + + (-1 ) k .(2k - 1) + (-1 ) k + 1 .(2k + 1) = S k + (-1 ) k + 1 .(2k + 1). Theo giả thiết quy nạp: S k = (-1 ) k .k Do đó: S k + 1 = (-1 ) k .k + (-1 ) k + 1 .(2k