SKKN Rèn kỹ năng giải phương trình toán 8

Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ở trường THCS đã và đang làm tích cực hoá

A/ MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Bộ môn Toán học được coi là một trong những môn chủ lực nhất, nó được vận dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống hằng ngày của chúng ta Bởi trước hết Toán học hình thành ở các em học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học, logic và tư duy cao,… do đó nếu chất lượng dạy và học toán ở trường THCS được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta đưa các em học sinh tiếp cận với nền tri thức khoa học hiện đại, có ý nghĩa giàu tính nhân văn của nhân loại

Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ở trường THCS đã và đang làm tích cực hoá hoạt động tư duy học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo, … nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế cuộc sống

Trong chương trình Đại số lớp 8, thì dạng bài tập về giải phương trình là nội dung quan trọng, là trọng tâm của chương trình đại số lớp 8, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng và phức tạp Vì vậy để giúp học sinh nắm được khái niệm về phương trình, giải thành thạo các dạng phương trình là yêu cầu hết sức cần thiết đối với người giáo viên Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (các lớp đang giảng dạy), thì việc giải phương trình là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh mắc phải các sai lầm không đáng có, giải phương trình còn nhiều sai sót, rập khuôn máy móc hoặc chưa làm được, do chưa nắm vững chắc các cách giải, vận dụng kỹ năng biến đổi chưa linh hoạt vào từng dạng toán về phương trình

Nhằm đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn toán nên bản thân đã chọn

đề tài: “RÌn kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh cho häc sinh - m«n §¹i sè 8”.

2 Đối tượng nghiên cứu:

Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh

3 Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 81, 83 ở trường THCS Phước Chỉ, năm học 2009 - 2010

Đề tài có ý tưởng phong phú, đa dạng, nên bản thân chỉ nghiên cứu qua ba dạng phương trình “phương trình đưa về dạng ax + b = 0, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu” trong chương trình toán 8 hiện hành

4 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan

Nghiên cứu qua thực tế giải bài tập của học sinh Nghiên cứu qua theo dõi các bài kiểm tra

Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh

B/.

B/ NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận

Với sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, bùng nổ công nghệ thông tin, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học và quản lý giáo dục, toàn cầu hóa như hiện nay, đã và đang tạo điều kiện thuận lợi cho nền giáo dục và đào tạo của nước ta trước những thời cơ và thách thức mới Để hòa nhập tiến độ phát triển mạnh mẽ đó thì giáo dục và đào tạo trước hết và luôn luôn đảm

nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo

nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà

Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội” Hiện nay ngành Giáo dục tích cực xây dựng nhiều chương trình hành động, đa dạng hóa các loại hình học

tập, trong đó việc đẩy mạnh sử dụng công nghệ hiện đại trong dạy học và quản lý là một trong những biện pháp của quá trình đổi mới giáo dục theo hướng tích cực phù hợp với xu thế hiện nay

Để đáp ứng được mục tiêu giáo dục một cách toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao có hiệu quả chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông Muốn vậy trước hết giáo viên là người định hướng và giúp đỡ học sinh của mình lĩnh hội kiến thức một cách chủ động, rèn luyện tính tự học, tính cần cù, siêng năng, chịu khó, … tạo điều kiện khơi dạy lòng ham học, yêu thích bộ môn, phát huy tư duy sáng tạo của học sinh, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó

Học toán không phải chỉ là học như sách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập hoặc những cách giải

do Thầy, Cô đưa ra mà là quá trình nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, khai thác tổng quát vấn đề và rút ra được những cách giải hay, những điều gì bổ ích Do đó dạng toán giải phương trình của môn đại số 8 đáp ứng yêu đầy đủ cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để các em học tiếp các chương trình sau này, như giải bất phương trình, chương trình lớp 9 sau này, … Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà nên đề tài chỉ đề cập đến ba dạng phương trình và các phương pháp giải thông qua các ví dụ cụ thể

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải được các dạng phương trình một cách nhanh chóng và chính xác Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá, đặc biệt là kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng giải phương trình, kỹ năng vận dụng vào thực tiễn Tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp để giúp học sinh học tập tốt bộ môn

2 Cơ sở thực tiễn

Về học sinh: Còn nhiều hạn chế trong tính toán, kỹ

năng quan sát nhận xét, nhận dạng phương trình và

biến đổi trong thực hành giải toán yếu kém, phần lớn

do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8,

do chay lười học tập, ỷ lại, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, tự ý thức học tập, trong nhờ vào kết quả người khác

Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, không tìm được hướng giải thích hợp

Về giáo viên: Chưa thật sự định hướng, xây dựng,

giúp đỡ ở học sinh thói quen học tập và lòng yêu thích môn học, chưa xây dựng phương pháp học tập tốt và kỹ năng giải toán cho học sinh, dạy học đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin

Về phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đúng mức

đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà Giữ mối liên lạc với nhà trường chưa thường xuyên, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết quả học tập của con em hầu như không có

3 Nội dung vấn đề

3.1 Những giải pháp mới của đề tài

 Đề tài đưa ra các giải pháp như sau:

- Sắp xếp các dạng phương trình theo các mức độ

- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng phương trình

- Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán

- Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kỹ năng giải phương trình

- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán

 Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến

thức cơ bản

+ Phương pháp giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

+ Phương pháp giải phương trình tích

+ Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

 Đối với học sinh đại trà: Phát triển tư duy,

kỹ năng giải phương trình

+ Phát triển kỹ năng giải các dạng phương, khai thác bài toán.(nâng cao)

+ Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng phương trình

3.2 Các phương trình thường gặp

A Củng cố kiến thức cơ bản về phương trình

 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (hoặc ax

= c).

 Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc:

Phương pháp chung:

- Thực hiện bỏ dấu ngoặc.

- Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng ax = c.

 Chú ý: Nếu a 0, phương trình có nghiệm x =

Nếu a = 0, c 0, phương trình vô nghiệm Nếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) (BT-11c)-SGK-tr13)

Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.

Giải: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)

5 – x + 6 = 12 – 8x

– x + 8x = 12 – 11

7x = 1

x = Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

Ví dụ 2: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (2) (BT-17f)-SGK-tr14)

Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.

Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x

x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai)

x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu) –2x = 7 (sai từ trên)

x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai)

Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là:

Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử

trong dấu ngoặc

Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã

chuyển vế

Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái

Lời giải đúng: (2) x – 1 – 2x + 1 = 9 – x

x – 2x + x = 9 0x = 7

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:

Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn và chú ý về cách tìm nghiệm của phương trình

 Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng

số:

Phương pháp chung:

- Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1

- Thực hiện cách giải như dạng 1

Sgk-tr12)

Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế,

thu gọn, tìm nghiệm

(sai ở hạng tử thứ ba) (sai từ trên)

(sai từ trên) (sai từ trên)

Sai lầm của học ở đây là:

Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân

thức lên tử thức chưa đúng.

Vậy: S =

Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:

Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức

 Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách

khác như sau:

Cách 1: (3)

x = 4 Vậy: S =

Cách 2: Đặt t = x -1

(3)

x = 4 Vậy: S =

(BT-18b)-SGK-tr14)

Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế,

thu gọn, tìm nghiệm

Cách giải 1: (4)

4x = 2

x = 0,5 Vậy: S =

 Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như

sau:

Cách 2: Chuyển phương trình về phân số

Cách 3: Chuyển phương trình về số thập phân

(4)

 Phương trình tích

Phương pháp chung:

Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x) … = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.

Cách giải: A(x).B(x).C(x) … = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0

 Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x) … = 0 Ta thường biến

đổi như sau:

Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích

- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.

- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.

Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận.

Ví dụ 5: Giải phương trình (3x – 2)(4x + 5)= 0 (BT- 21a)-Sgk-tr17)

Lời giải: (3x – 2)(4x + 5)= 0

3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5= 0 3x = 2 hoặc 4x = – 5

x = hoặc x = Vậy S =

 Chú ý: Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh

làm quen với kí hiệu sau:

(3x – 2)(4x + 5)= 0

* Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta phải biến đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích

Ví dụ 6: Giải phương trình x2 – x = –2x + 2 (6) (BT-23b)-Sgk-tr17)

- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: (6) x2 – x + 2x – 2 = 0 x2 + x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém Vì vậy giáo viên cần định hướng cho học sinh cách giải hợp lý

Chuyển vế các hạng tử

rồi nhóm

Cách 1: (6) x2 – x + 2x – 2

Nhóm các hạng tử rồi chuyển vế

Cách 2: (6) x(x – 1) = – 2(x

= 0

x(x – 1) + 2(x – 1)

= 0 (x – 1)(x + 2) = 0

Vậy S =

– 1)

x(x – 1) + 2(x – 1)

= 0 (x – 1)(x + 2) = 0

Vậy S =

Ví dụ 7: Giải phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4 (7)

(BT-28f)-Sgk-tr7)

- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế các hạng tử, thu gọn hai vế phương trình

(7) –4x2 – 5x + 6 – x2 – 4x – 4 = 0

–5x2 – 9x + 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trình tích Giáo viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý

Giải: (7) (x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)2

(x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)2 = 0

(x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0

Vậy S =

Giáo viên củng cố cho học sinh kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng tích:

Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi phương trình và đặt ngay nhân tử chung ấy

Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta sử dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử

Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên rút gọn rồi tìm cách phân tích thành nhân tử

 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp chung

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và

khử mẫu

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trì tìm được ở bước

3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là

nghiệm của phương trình đã cho

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau:

Lời giải sai: ĐKXĐ: x 2 ; x 0

(8)

x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (dùng ký hiệu là không chính xác)

x2 + 2x – x + 2 = 2

x2 + x = 0 x(x + 1) = 0

Vậy S = (kết luận dư nghiệm)

Sai lầm của học sinh là: Dùng ký hiệu “ ”không

chính xác

Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện

Lời giải đúng: ĐKXĐ: x 2 ; x 0

(8) x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (8’)

x2 + 2x – x + 2 = 2

x2 + x = 0 x(x + 1) = 0

Vậy S =

Giáo viên cần củng cố ở học:

Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho, nên ta dùng ký hiệu “ ” hay nói

cách khác tập nghiệm của phương trình (8’) chưa chắc là tập nghiệm của phương trình (8)

Kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện rồi mới kết luận

Ví dụ 9: Giải phương trình (9) (BT 30a)-Sgk-tr23)

- Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu thức chung của phương trình, rồi tìm ĐKXĐ

- Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm

Giải: ĐKXĐ: x 2

(9)

1 + 3(x – 2) = 3 – x

1 + 3x – 6 = 3 – x 4x = 8

x = 2 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình vô nghiệm

Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn các kỹ năng sau:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình:

* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu đều khác 0 (Cho các mẫu thức khác 0)

* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó (Cho các mẫu thức bằng 0)

- Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện của phương trình nên cho học sinh tìm trước mẫu thức chung (MTC) và cho MTC khác 0, đây là điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình

- Rèn cho học sinh về kỹ năng thực hiện ở các bước giải phương trình, kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, các quy tắc dấu như quy tắc đổi dấu, quy tắc dấu ngoặc và việc triển khai tích có dấu trừ ở đàng trước

- Rèn ở học sinh về kỹ năng nhận dạng các phương trình có mẫu là các đa thức dạng x2 + 1; 3x2 + 2; x2 + x + 3;… hoặc là bình phương thiếu của một tổng, một hiệu luôn