Đề thi HSG Toán 09-10

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 Thời gian: 120 phút (không tính thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm) a) Cho x > y > 0 hãy so sánh A = yx yx + − và B = 22 22 yx yx + − b) Cho a + b = 1 Tính giá trị của biểu thức C = 2(a 3 + b 3 ) – 3(a 2 + b 2 ) Bài 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) (x 2 + x) 2 + 4(x 2 + x) = 12 Bài 3: (1,5 điểm) Cho biểu thức : D = 25 2510 : 2 2 2 232 − +− − −− x xxx y yy a) Rút gọn biểu thức D. b) Tính giá trị của biểu thức D với các giá trị của x và y thỏa mãn đẳng thức x 2 + 2−x + 4y 2 – 4xy = 0. Bài 4: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của M = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) Bài 5: (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB //CD). Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của AD với BC.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh : IDIC IBIA ODOC OBOA + + = + + b) Chứng tỏ rằng : I; M; O; N thẳng hàng. c) Giả sử 3AB = CD và diện tích hình thang ABCD bằng a. Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo a. HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN LỚP 8 ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM Bài 1 ( 1,5 đ) a) Vì x > 0; y > 0 suy ra x+y ≠ 0 0,1đ A = yx yx + − = 2 )( ))(( yx yxyx + +− 0,2đ x 2 +y 2 +2xy > x 2 +y 2 ; x 2 – y 2 > 0 0,2đ A = 22 22 2 yxxy yx ++ − < 22 22 yx yx + − x 0,2đ Vậy A < B b) C = 2(a 3 + b 3 ) – 3(a 2 + b 2 ) = 2( a+b)(a 2 – ab + b 2 ) - 3(a 2 + b 2 ) 0,2đ = 2 (a 2 – ab + b 2 ) - 3(a 2 + b 2 ) 0,2đ = 2 (a 2 + b 2 ) – 2ab - 3(a 2 + b 2 ) 0,2đ = - (a 2 + b 2 ) – 2ab = - ( a+b) 2 = -1 0,2đ Bài 2: ( 2,0 đ) a) (x 2 + x ) 2 + 4(x 2 + x) = 12 đặt y = x 2 + x 0,1đ y 2 + 4y -12 = 0 ⇔ y 2 + 6y - 2y -12 = 0 0,2đ ⇔ (y + 6)(y -2) = 0 ⇔ y = - 6; y = 2 0,1đ * x 2 + x = - 6 vô nghiệm vì x 2 + x +6 > 0 với mọi x 0,2đ * x 2 + x = 2 ⇔ x 2 + x -2 = 0 ⇔ x 2 +2x -x -2 = 0 0,2đ ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔ (x + 2)(x - 1) = 0 ⇔ x = -2; x = 1 0,1đ Vậy nghiệm của phương trình x = -2 ; x =1 0,1đ b) 2003 6 2004 5 2005 4 2006 3 2007 2 2008 1 + + + + + = + + + + + xxxxxx ⇔ )1 2003 6 ()1 2004 5 ()1 2005 4 ()1 2006 3 ()1 2007 2 ()1 2008 1 ( + + ++ + ++ + =+ + ++ + ++ + xxxxxx 0,2đ ⇔ 2003 2009 2004 2009 2005 2009 2006 2009 2007 2009 2008 2009 + + + + + = + + + + + xxxxxx 0,2đ ⇔ 0 2003 2009 2004 2009 2005 2009 2006 2009 2007 22009 2008 2009 = + − + − + − + + + + + xxxxxx 0,1đ ⇔ 0) 2003 1 2004 1 2005 1 2006 1 2007 1 2008 1 )(2009( =−−−+++ x 0,2đ Vì 2005 1 2008 1 < ; 2004 1 2007 1 < ; 2003 1 2006 1 < Do đó : 0 2003 1 2004 1 2005 1 2006 1 2007 1 2008 1 <−−−++ 0,2đ Vậy x + 2009 = 0 ⇔ x = -2009 0,1đ Bài 3: ( 1,5 đ) a) Rút gọn D = 25 2510 : 2 2 2 232 − +− − −− x xxx y yy (y ≠ 2; x ≠ 0, x ≠ 5 ± ) 0,2đ = )5)(5( )2510( : 2 22 22 +− +− − −−+ xx xxx y yyy = )5)(5( )5( : 2 )1(2)1( 2 +− − − +−+ xx xx y yyy 0,2đ = 2 )5( )5)(5( . 2 )2)(1( − −+ − −+ xx xx y yy 0,1đ = 2 )5)(2( )5)(5)(2)(1( −− −+−+ xyx xxyy = )5( )5)(1( − ++ xx xy 0,2đ b) Vì x 2 + 2−x + 4y 2 – 4xy = 0 ⇔ x 2 – 4xy +4y 2 + 2−x = 0 ⇔ (x -2y) 2 + 2−x = 0 0,2đ ⇔ (x -2y) 2 = 0 và 2−x = 0 vì (x -2y) 2 0 ≥ với mọi x; y và 2−x 0 ≥ với mọi x 0,2đ ⇔ x -2y = 0 và 2−x = 0 ⇔ x = 2y và x -2 = 0 ⇔ x = 2 và y = 1 0,2đ D = = − ++ )5( )5)(1( xx xy 3 7 3 7 )52(2 )52)(11( −= − = − ++ 0,2đ Bài 4: ( 2,0 đ) a)M = ( x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x 2 + 5x + 6)( x 2 + 5x - 6) 0,2đ = (x 2 + 5x)( x 2 + 5x) – 36 0,2đ = (x 2 + 5x) 2 – 36 ≥ - 36 vì (x 2 + 5x) 2 ≥ 0 với mọi x 0,2đ M ≥ - 36 với mọi x 0,2đ Vậy GTNN của M là -36 0,2đ b)Ta có dcba a cba a +++ > ++ ; dcba b dcb b +++ > ++ ; dcba c adc c +++ > ++ ; dcba d bad d +++ > ++ 0,2đ Suy ra N = bad d adc c dcb b cba a ++ + ++ + ++ + ++ > 1= +++ +++ = +++ + +++ + +++ + +++ dcba dcba dcba d dcba c dcba b dcba a 0,2đ Ta có: ca c adc c ca a cba a + < +++ < ++ ; ; db d bad d db b dcb b + < +++ < ++ ; 0,2đ N = bad d adc c dcb b cba a ++ + ++ + ++ + ++ < db d db b ca c ca a + + + + + + + = 211 =+= + + + + + db db ca ca 0,2đ Do đó 1 < N < 2 Suy ra giá trị của N không phải là số nguyên. 0,2đ Bài 5: ( 3,0đ) a) ∆ OAB ∾ ∆ OCD 0,2đ ODOC OBOA CD AB OD OB OC OA + + === 0,2đ ∆ IAB ∾ ∆ IDC 0,2đ IDIC IBIA CD AB IC IB ID IA + + === 0,2đ Suy ra : = + + ODOC OBOA IDIC IBIA + + 0,2đ b) NC AM OC OA CD AB OC OA =⇒= 0,2đ ∆ OAM ∾ ∆ OCN(c-g-c) 0,1đ = 0,1đ M;O;N thẳng hàng 0,1đ DN AM IC IA CD AB ID IA =⇒= 0,2đ ∆ IAM ∾ ∆ IDN ( c-g-c) 0,1đ 0,1đ I;M;N thẳng hàng 0,1đ Vậy I;M;O;N thẳng hàng. c) 3 1 == CD AB OD OB ⇒ AOD AOB S S = 3 1 ⇒ AOBAOD AOB SS S + 13 1 + = 0,2đ ⇒ ABD AOB S S = 4 1 ⇒ ABDAOB SS 4 1 = 0,2đ 3 1 == CD AB S S BDC ABD ⇒ 13 1 + = + ABDBDC ABD SS S ⇒ 4 1 = ABCD ABD S S ⇒ S ABD = 4 1 S ABCD 0,2đ AOM CON AMI = DNI O C N M I A B D ⇒ ABDAOB SS 16 1 = 9 1 = ICD IAB S S ⇒ 19 1 − = − IABICD IAB SS S ⇒ 8 1 = ABCD IAB S S ⇒ S IAB 8 1 = S ABCD 0,2đ S IAOC = S IAB + S AOB = 8 1 S ABCD + 16 1 S ABCD = 16 3 S ABCD = 16 3 a 0,2đ Chú ý: -Học sinh có bài giải cách khác nếu làm đúng vẫn cho điểm tối đa. -Trong quá trình chấm các nhóm thống nhất chia nhỏ điểm đến 0,1đ. . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 Thời gian: 120 phút (không tính thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm) a) Cho x > y. tính diện tích tứ giác IAOB theo a. HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN LỚP 8 ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM Bài 1 ( 1,5 đ) a) Vì x > 0; y >