Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của AD với BC.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.. Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo a... -Trong quá trình chấm các nhóm
Trang 1KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 120 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
a) Cho x > y > 0 hãy so sánh A =
y x
y
x
+
−
và B = 2 2
2 2
y x
y x
+
−
b) Cho a + b = 1
Tính giá trị của biểu thức C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2 )
Bài 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho biểu thức : D =
25
25 10
: 2
2
2
2 3
2
−
+
−
−
−
−
x
x x
x y
y y
a) Rút gọn biểu thức D
b) Tính giá trị của biểu thức D với các giá trị của x và y thỏa mãn đẳng thức
x2 + x− 2 + 4y2 – 4xy = 0
Bài 4: (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của M = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB //CD) Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của AD với BC.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD a) Chứng minh :
ID IC
IB IA OD OC
OB OA
+
+
= +
+
b) Chứng tỏ rằng : I; M; O; N thẳng hàng
c) Giả sử 3AB = CD và diện tích hình thang ABCD bằng a Hãy tính diện tích
tứ giác IAOB theo a
HẾT
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN THI: TOÁN LỚP 8 ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM
Bài 1 ( 1,5 đ)
A =
y
x
y
x
+
−
) (
) )(
(
y x
y x y
x
+
+
−
x2 +y2 +2xy > x2 +y2 ; x2 – y2 > 0 0,2đ
2 2
2xy x y
y
x
+ +
− <
2 2
2 2
y x
y x
+
−
Vậy A < B
b) C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) = 2( a+b)(a2 – ab + b2) - 3(a2 + b2 ) 0,2đ
Bài 2: ( 2,0 đ)
a) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x 0,1đ
* x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x +6 > 0 với mọi x 0,2đ
* x2 + x = 2 ⇔x2 + x -2 = 0 ⇔ x2 +2x -x -2 = 0 0,2đ
⇔x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔(x + 2)(x - 1) = 0 ⇔x = -2; x = 1 0,1đ
b)
2003
6 2004
5 2005
4 2006
3 2007
2 2008
1 + + + + = + + + + +
) 1 2003
6 ( ) 1 2004
5 ( ) 1 2005
4 ( ) 1 2006
3 ( ) 1 2007
2 (
)
1
2008
1
( x+ + + x+ + + x+ + = x+ + + x+ + + x+ + 0,2đ
⇔
2003
2009 2004
2009 2005
2009 2006
2009 2007
2009 2008
2003
2009 2004
2009 2005
2009 2006
2009 2007
22009 2008
2003
1 2004
1 2005
1 2006
1 2007
1 2008
1 )(
2009
Trang 3Vì
2005
1 2008
1 < ;
2004
1 2007
1
< ;
2003
1 2006
1
<
2003
1 2004
1 2005
1 2006
1 2007
1 2008
1
<
−
−
− +
Bài 3: ( 1,5 đ)
a) Rút gọn D =
25
25 10
: 2
2
2
2 3
2
−
+
−
−
−
−
x
x x
x y
y y
(y≠2; x≠0, x≠ ± 5 ) 0,2đ
=
) 5 )(
5 (
) 25 10 (
: 2
2
2
+
−
+
−
−
−
−
+
x x
x x
x y
y
y
y
=
) 5 )(
5 (
) 5 ( : 2
) 1 ( 2 ) 1
+
−
−
−
+
− +
x x
x x y
y y
y
0,2đ
) 5 )(
5 ( 2
) 2 )(
1 (
−
−
+
−
− +
x x
x x y
y y
0,1đ
= ( 2 )( 5 ) 2
) 5 )(
5 )(
2
)(
1
(
−
−
− +
−
+
x y
x
x x y
y
=(y x+(x1)(−x5)+5) 0,2đ
b) Vì x2 + x− 2 + 4y2 – 4xy = 0
⇔ x2 – 4xy +4y2 + x− 2 = 0 ⇔ (x -2y)2 + x− 2 = 0 0,2đ
⇔(x -2y)2 = 0 và x− 2 = 0
vì (x -2y)2 ≥ 0 với mọi x; y và x− 2 ≥0 với mọi x 0,2đ
⇔x -2y = 0 và x− 2 = 0 ⇔x = 2y và x -2 = 0 ⇔x = 2 và y = 1 0,2đ
D = (y x+(x1)(−x5)+5) = (1+2(12)(−25+)5) = −73 =−73 0,2đ
Bài 4: ( 2,0 đ)
a)M = ( x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x2 + 5x + 6)( x2 + 5x - 6) 0,2đ
= (x2 + 5x)2 – 36 ≥ - 36 vì (x2 + 5x)2 ≥0 với mọi x 0,2đ
b)Ta có
d c b a
a c
b a
a
+ + +
>
+
b d
c b
b
+ + +
>
+
d c b a
c a
d c
c
+ + +
>
+
d b
a d
d
+ + +
>
+
Suy ra N =
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
a
+ +
+ + +
+ + +
+ +
1
= + + +
+ + +
= + + +
+ + + +
+ + + +
+ + +
d c b a d c b a
d d
c b a
c d
c b a
b d
c b
a
a
0,2đ
Trang 4Ta có:
c a
c a d c
c c a
a c b
a
a
+
<
+ + +
<
+
d b a d
d d b
b d c b
b
+
<
+ + +
<
+
N =
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b
a
a
+ +
+ + +
+ + +
+ +
d d b
b c a
c c a
a
+
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+
d
b
d
b
c
a
c
a
0,2đ
Do đó 1 < N < 2 Suy ra giá trị của N không phải là số nguyên 0,2đ
Bài 5: ( 3,0đ)
0,2đ
OD OC
OB OA CD
AB OD
OB
OC
OA
+
+
=
=
Suy ra : =
+
+
OD OC
OB OA
ID IC
IB IA
+
b)
NC
AM OC
OA CD
AB
OC
OA
=
⇒
∆OAM ∾∆OCN(c-g-c) 0,1đ
= 0,1đ
M;O;N thẳng hàng 0,1đ
DN
AM IC
IA CD
AB
ID
IA
=
⇒
∆IAM ∾∆IDN ( c-g-c) 0,1đ
0,1đ
I;M;N thẳng hàng 0,1đ
Vậy I;M;O;N thẳng hàng
c)
3
1
=
=
CD
AB
OD
OB
⇒
AOD
AOB
S
S
=31 ⇒
AOB AOD
AOB
S S
S
1
+
⇒
ABD
AOB
S
S
= 41 ⇒ S AOB S ABD
4
1
3
1
=
=
CD
AB
S
S
BDC
1 3
1
+
= + ABD
BDC
ABD
S S
S
⇒
4
1
=
ABCD
ABD
S
S
⇒ SABD =
4
1
SABCD 0,2đ
AOM CON
AMI = DNI
O
C N
M
I
D
Trang 5⇒S AOB S ABD
16
1
=
9
1
=
ICD
IAB
S
S
⇒
1 9
1
−
=
− IAB
ICD
IAB
S S
S
⇒
8
1
=
ABCD
IAB
S
S
⇒SIAB
8
1
SIAOC = SIAB + SAOB =
8
1
SABCD + 161 SABCD= 163 SABCD =
16
3
Chú ý:
-Học sinh có bài giải cách khác nếu làm đúng vẫn cho điểm tối đa.
-Trong quá trình chấm các nhóm thống nhất chia nhỏ điểm đến 0,1đ.