Kiểm tra học kỳ II Môn : Toán 11 – Nâng cao Thời gian : 90 phút ***** Câu I : (2 điểm) Tính các giới hạn sau : 1. (1đ) 2 1 1 4 lim 3 1 x x x L x →+∞ − + = + 2. (1đ) 2 3 0 2sin sin 2 lim x x x L x → − = Câu II : (2 điểm) 1. (1đ) Cho hàm số : 2 3 1 víi 1 ( ) 1 1 víi 1 x x f x x m x − ≠ = − + = (m là tham số) Tìm m để hàm số f liên tục tại 1x = . 2. (1đ) Cho phương trình : ( ) ( ) 2009 2008 2 1 1 3 0m x x x− + + − − = (m là tham số) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. Câu III : (3 điểm) 1. (1đ) Cho hàm số 2 ( ) 1f x x x= + . Chứng minh rằng : '( ) 0, f x x> ∀ ∈¡ . 2. (1đ) Cho hàm số 4 1 ( ) 1 tan f x x = + . Tính ' 3 f π ÷ . 3. (1đ) Cho hàm số 2 1 2 x y x − = + . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 5 y x= − . Câu IV : (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đoạn 3 SO 2 a = . 1. (1đ) Gọi α là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Tính cos α . 2. (1đ) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau. 3. (1đ) Gọi (P) là mặt phẳng chứa AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P). Tính diện tích của thiết diện này theo a. HẾT ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Nội dung Điểm I (2đ) 1 2 2 1 1 1 4 4 lim lim 3 1 3 1 x x x x x x x x L x x →+∞ →+∞ − + − + ÷ ÷ = = + + 0,25 0,25 2 1 1 4 1 lim 1 3 3 x x x →+∞ − + ÷ = = − + 0,25 0,25 2 ( ) ( ) 2 3 3 2 0 0 0 0 2sin 1 cos 2 1 cos 2sin 2sin cos sin lim lim lim lim x x x x x x x x x x x L x x x x → → → → − − − = = = 0,25 Vì 0 sin lim 1 x x x → = và ( ) 2 2 2 0 0 sin 2 1 cos 2 lim lim 1 2 x x x x x x → → − = = ÷ 0,50 nên 2 1L = 0,25 II (2đ) 1 3 2 2 3 3 3 3 3 1 1 1 1 3 2 3 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1) lim ( ) lim lim lim 1 1 1 lim ( 1)( 1) 6 x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x → → → → → − − + − + + + = = = − − − = + + + = 0,50 Hàm số f liên tục tại x = 1 1 lim ( ) (1) x f x f → ⇔ = 0,25 6 1 5m m⇔ = + ⇔ = 0,25 2 Hàm số ( ) ( ) 2009 2008 2 ( ) 1 1 3f x m x x x= − + + − − là hàm đa thức nên liên tục trên ¡ , do đó nó liên tục trên đoạn [ ] 2 ; 1− − . 0,25 2008 ( 2) 2 0, f m m− = + > ∀ ∈¡ ; ( 1) 1 0f − = − < 0,50 Suy ra ( 2) ( 1) 0,f f m− − < ∀ ∈¡ nên tồn tại số ( 2 ; 1)c ∈ − − sao cho ( ) 0f c = , suy ra phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. 0,25 III (3đ) 1 ( ) 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 1 '( ) ' 1 1 1. 1 . 2 1 1 x x f x x x x x x x x x + = + + + = + + = + + 0,75 Vì 2 2 1 0, x x+ > ∀ ∈¡ và 2 1 0, x x+ > ∀ ∈¡ nên '( ) 0, f x x> ∀ ∈ ¡ 0,25 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ' 4 3 2 2 2 4 4 1 tan 4tan 1 tan '( ) 1 tan 1 tan x x x f x x x + + = − = − + + 0,75 12 3 ' 3 25 f π = − ÷ 0,25 3 Gọi ( ) 0 0 ;M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho. Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng 0 0 0 ( ) : '( )( )d y y f x x x− = − với ( ) ( ) 0 2 0 5 ' 2 f x x = + 0,25 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 5 y x= − khi và chỉ khi : ( ) 0 ' 5f x = ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 1 5 5 2 1 3 2 x x x x = − ⇔ = ⇔ + = ⇔ = − + 0,25 với 0 1x = − thì 0 3y = − nên ta có phương trình tiếp tuyến là 1 ( ) : 5 2d y x= + 0,25 với 0 3x = − thì 0 7y = nên ta có phương trình tiếp tuyến là 2 ( ) : 5 22d y x= + 0,25 IV (3đ) 1 Vì SO (ABCD)⊥ nên OC là hình chiếu của SC lên mp(ABCD), do đó góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) bằng góc giữa đường thẳng SC và OC và bằng góc · SCO . 0,25 AC 2 OC 2 2 a = = ; 2 2 2 2 3 2 5 4 4 2 a a a SC SO OC= + = + = 0,25 0,25 Vậy 2 2 10 2 cos 5 5 5 2 a OC SC a α = = = = 0,25 2 ABCD là hình vuông nên suy ra BD AC⊥ (1) 0,25 SO (ABCD) SO BD⊥ ⇒ ⊥ (2) 0,25 Từ (1), (2) suy ra BD (SAC)⊥ 0,25 Mà BD (SBD)⊂ nên suy ra (SBD) (SAC)⊥ 0,25 3 Gọi P, K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Dễ thấy tam giác SPK đều. Trong ∆ SPK, vẽ đường cao PQ nên PQ SK⊥ (3) BC PK BC (SPK) BC PQ BC SO ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ (4) Từ (3), (4) suy ra PQ (SBC)⊥ , mà PQ (ADQ)⊂ nên (ADQ) (SBC)⊥ Vậy (P) chính là (ADQ) 0,25 AD //(SBC) (ADQ) (SBC) MN // AD⇒ ∩ = ( Q MN∈ , M SB∈ , N SC∈ ) Vậy, thiết diện là hình thang ADNM. 0,25 3 PQ 2 a = (đường cao của tam giác đều SPK cạnh a) MN // BC MN SQ 1 BC MN= BC SK 2 2 2 a ⇒ = = ⇒ = 0,25 nên ( ) 2 ADNM 3 AD MN PQ 3 3 2 2 S 2 2 8 a a a a + ÷ + = = = (đvdt) 0,25 HẾT . 2 1 1 3 0m x x x− + + − − = (m là tham số) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. Câu III : (3 điểm) 1. (1đ) Cho hàm số 2 ( ) 1f x x x= + . Chứng minh rằng. sin 2 lim x x x L x → − = Câu II : (2 điểm) 1. (1đ) Cho hàm số : 2 3 1 víi 1 ( ) 1 1 víi 1 x x f x x m x − ≠ = − + = (m là tham số) Tìm m để hàm số f liên tục tại 1x = . 2. (1đ). 0,f f m− − < ∀ ∈¡ nên tồn tại số ( 2 ; 1)c ∈ − − sao cho ( ) 0f c = , suy ra phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. 0,25 III (3đ) 1 ( ) 2 ' 2 2 2 2 2 2