Toán_11 Thi HK II số 2

KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2009-2010 Trường THPT Cao Thắng Môn Toán – Khối 11 – Ban cơ bản Thời gian: 90 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1.(2,0 điểm) Tính các giới hạn sau: a) 2 2 3 1 2 5 2 n n n n lim − + + − b) 2 3 ( 5 3) x x x lim → − + c) 2 2 5 6 2 4 x x x x lim →− + + + d) sin 3 3 x 0 x x lim → Câu 2.(1,5 điểm) Tính đạo hàm các hàm số sau: a) 3 2 ++= xxy b) )x(siny 32 3 += c) 32 1 2 − + = x x y Câu 3.(1,0 điểm) Cho hàm số 2 4 5 1 ( ) 1 2 1 x x x y f x x mx x  + − ≠  = = −   + =  Tìm m để hàm số liên tục trên .R Câu 4.(2,0 điểm) Cho hàm số 446 23 −+−== xxx)x(fy có đồ thị là (C). a) Viết phương trình tiếp tuyến (d ) với đồ thị (C) của hàm số biết rằng tiếp tuyến (d ) song song với đường thẳng : 5 3y x∆ = − + . b) Chứng minh phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm. Câu 5.(3,5 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , ( )SB mp ABCD⊥ , 2aSB = . Gọi A’, C’ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống SA, SC. a) Chứng minh: AC SD⊥ . b) Chứng minh: SD ⊥ ( BA’C’). c) Tính góc giữa SD và mp (BA’C’); góc giữa SD và mp (ABCD). Hết nếu nếu ĐÁP ÁN BÀI THI MÔN TOÁN LỚP 11 Câu Nội dung Điểm 1 2 điểm Tính các giới hạn sau: a 0,5 điểm 2 2 3 1 lim 5 2 n n n n − + + − 2 2 2 2 3 1 (1 ) lim 1 5 2 (1 ) n n n n n n − + = = + − 0.25 0,25 b 0,5 điểm 2 3 lim( 5 3) 9 15 3 3 x x x → − + = − + = − 0,25 0,25 c 0,5 điểm 2 2 2 5 6 ( 2)( 3) 1 lim lim 2 4 2( 2) 2 x x x x x x x x →− →− + + + + = = + + 0,25 0,25 d 0,5 điểm 0 0 sin sin 1 3 3 lim lim 3 9 9. 3 x x x x x x → → = = 0,25 0,25 2 1,5 điểm Tính đạo hàm các hàm số sau: a 0,5 điểm a) 3 2 ++= xxy . 2 ' 2 2 ( 3) 2 1 ' 2 3 2 3 x x x y x x x x + + + = = + + + + 0,25 0,25 b 0,5 điểm )x(siny 32 3 += 2 ' 3sin (2 3)(sin(2 3))'y x x= + + 2 ' 6sin (2 3) os(2 3)y x c x= + + 0,25 0,25 c 0,5 điểm 32 1 2 − + = x x y 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 3) 2( 1) 4 6 2 2 2 6 2 ' (2 3) (2 3) (2 3) x x x x x x x x y x x x − − + − − − − − = = = − − − 0,25 0,25 3 1,0 điểm Cho hàm số 2 4 5 1 ( ) 1 2 1 x x x y f x x mx x  + − ≠  = = −   + =  • Xét x∈(-∞;1)∪(1;+∞), 2 4 5 ( ) 1 x x f x x + − = − nên f(x) liên tục trên (-∞;1) và (1;+∞). • Xét tại 0 1x = , ta có + 2 1 1 1 4 5 ( ) ( 5) 6 lim lim lim 1 x x x x x f x x x → → → + − = = + = − + (1) 2f m= + • Hàm số liên tục tại 0 1x = 1 lim ( ) (1) 2 6 4 x f x f m m → ⇔ = ⇔ + = ⇔ = • Vậy: với 4m = hàm số liên tục trên R ; 4m ≠ hàm số không liên tục trên R , khi đó nó liên tục trên hai khoảng ( ;1)−∞ và (1; )+∞ và bị gián đoạn tại 0 1x = . 0,25 0,25 0,25 0,25 4 2,0 điểm Cho hàm số 446 23 −+−== xxx)x(fy có đồ thị là (C). a 1điểm Viết phương trình tiếp tuyến (d ) với đồ thị (C) của hàm số biết (d ) song song với đường thẳng : 5 3y x∆ = − + . • Vì (d) // ∆ nên (d) có hệ số góc 5k = − • Xét phương trình : 2 2 '( ) 3 12 4 5 3 12 9 0f x k x x x x= ⇔ − + = − ⇔ − + = 1 3 x x =  ⇔  =  • Với 1 5x y= ⇒ = − ; 3 19x y= ⇒ = − • Có 2 tiếp tuyến cần tìm là : 1 ( ) : 5d y x= − và 2 ( ) : 5 4d y x= − − 0,25 0,25 0,25 0,25 b 1điểm Chứng minh phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm. • Hàm số 3 2 ( ) 6 4 4f x x x x= − + − là hàm đa thức nên liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [ 5; 6] . • Ta có: (5). (6) ( 9).20 180 0f f = − = − < • Do đó tồn tại số 0 [ 5; 6]x ∈ sao cho 0 ( ) 0f x = • Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm. 0,25 0,25 0,25 0,25 nếu nếu 5 3,5 điểm Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , ( )SB mp ABCD⊥ , 2aSB = . Gọi A’, C’ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống SA, SC. a 1,5 điểm • Hình vẽ Chứng minh: AC SD ⊥ . • AC ⊥ BD • AC ⊥ SB • AC⊥ (SBD) • AC ⊥ SD ( có giải thích rõ ràngmới cho điểm). 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 b 1 điểm Chứng minh: SD ⊥ ( BA’C’). • AD ⊥ AB AD ⊥ SB • AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ BA' • Có BA' ⊥ AS, BA' ⊥ AD ⇒ BA' ⊥ (SAD) ⇒ BA' ⊥ SD (1) CD ⊥ BC, CD ⊥ SB ⇒ CD ⊥ (SBC) ⇒ CD ⊥ BC' Có BC' ⊥ SC, BC' ⊥ CD ⇒ BC' ⊥ (SCD) ⇒ BC' ⊥ SD (2) • Từ (1) và (2) suy ra SD ⊥ (BA'C') 0,25 0,25 0,25 0,25 c 1 điểm Tính góc giữa SD và mp (BA’C’); góc giữa SD và mp (ABCD). • Vì SD ⊥ (BA'C') nên góc giữa SD và (BA'C') là 90 0 . • Do ( )SB mp ABCD⊥ nên góc giữa SD và mp (ABCD) là góc BDS∠ . • Tam giác SBD vuông tại B có SB = BD = 2a ⇒ ∆SBD vuông cân tại B nên góc 0 45BDS∠ = . • Vậy: góc giữa SD và mp(ABCD) bằng 45 0. 0,25 0,25 0,25 0,25 A B C D S A' C' . 32 3 += 2 ' 3sin (2 3)(sin (2 3))'y x x= + + 2 ' 6sin (2 3) os (2 3)y x c x= + + 0 ,25 0 ,25 c 0,5 điểm 32 1 2 − + = x x y 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 3) 2( 1) 4 6 2 2 2 6 2 ' (2 3) (2 3) (2 3) x x. 0 ,25 0 ,25 2 1,5 điểm Tính đạo hàm các hàm số sau: a 0,5 điểm a) 3 2 ++= xxy . 2 ' 2 2 ( 3) 2 1 ' 2 3 2 3 x x x y x x x x + + + = = + + + + 0 ,25 0 ,25 b 0,5 điểm )x(siny 32 3 += 2 '. ÁN BÀI THI MÔN TOÁN LỚP 11 Câu Nội dung Điểm 1 2 điểm Tính các giới hạn sau: a 0,5 điểm 2 2 3 1 lim 5 2 n n n n − + + − 2 2 2 2 3 1 (1 ) lim 1 5 2 (1 ) n n n n n n − + = = + − 0 .25 0 ,25 b 0,5 điểm 2 3 lim(