A. PHƯƠNG TRÌNH TQ CỦA ĐƯỜNG THẲNG. 1.Vec tơ pháp tuyến của đt (d): là 0n ≠ r r có giá vuông góc với đường thẳng (d). 2.Lập phương trình tổng quát của đt(d). + Tìm 1 VTPT ( ; )n a b= r . + Tìm 1 điểm 0 0 ( ; ) ( )M x y d∈ + Thay vào công thức : 0 0 ( ) ( ) 0a x x b y y− + − = 3.PT đường thẳng theo đoạn chắn.Là PTĐT đi qua điểm A(a;0)và điểm B(0;b) có dạng 1 x y a b + = ( 0, 0)a b≠ ≠ 4.Pt có hệ số góc k: là PT đưa về dạng y= kx + m (với k= a b − ) PT đt đi qua điểm 0 0 ( ; )M x y có hệ số góc k: 0 0 ( )y y k x x− = − 5.Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Cho 1 1 1 1 ( ) : 0a x b y c∆ + + = và 2 2 2 2 ( ): 0a x b y c∆ + + = * 1 2 ,∆ ∆ cắt nhau 1 1 2 2 a b a b ⇔ ≠ (toạ độ giao điểm của 2 đt là nghiệm của hệ PT 1 1 1 2 2 2 0 0 a x b y c a x b y c + + = + + = ) * 1 2 //∆ ∆ 1 1 1 2 2 2 a b c a b c ⇔ = ≠ * 1 2 ∆ ≡ ∆ 1 1 1 2 2 2 a b c a b c ⇔ = = Chú ý: Hai đt song song là hai đt có cùng VTPT (2 VTPT cùng phương). BT1. Tìm 1 VTPT và tìm 1 điểm thuộc các PTđt sau: a/ 2x+3y+1=0 b/2x-1=0 c/ 6-y=0 d/ 2 x-2y-2=0 e/x=0 f/-y+10=0 BT2. Viết PT TQ của đường thẳng (d) đi qua điểm A và có VTPT a r , biết: 1) ( ) ( ) 2;3 , 1;2A a = − r 2) ( ) ( ) 1;4 , 0;1A a− = r .3) ( ) ( ) 0;4 , 3;1A a = r 4) ( ) ( ) 11;4 , 2;0A a = r BT3. Viết PT TQ của đường thẳng (d) đi qua điểm ( ) 1;2A − và song song với: a) Đường thẳng ( ) : 1 0x y∆ − − = . b) Trục Ox. c) Trục Oy. d) ( ) : 2 3 1 0x y∆ + − = e) ( ) : 2 1 0x∆ − = BT4.Viết PTTQ của đường thẳng (d) đi qua điểm ( ) 1;2A và vuông góc với: 1) Đường thẳng ( ) : 1 0x y∆ − − = .2) Đường thẳng ( ) : 2 1 0x y∆ + − = . 3) Đường thẳng ( ) : 1 0x∆ − = . 4)Trục Ox. 5) Trục Oy. BT5.Viết PTTQ của đường thẳng đi qua hai điểm A, B trong các trường hợp: a) ( ) ( ) 3;2 , 1; 5A B − − b) ( ) ( ) 3;1 , 1; 6A B− − c) A(0;1), B(2;-1) d) A(3;0) , B(-2;0) e) A(3;0), B(0;-2). BT6.Cho tam giác ABC với ( ) ( ) ( ) 2;1 , 2;5 , 4;1A B C− . Viết PT các đường trung trực của các cạnh của tamgiác ABC , từ đó suy toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. BT7.Cho tam giác ABC, với ( ) ( ) ( ) 2;2 , 1;6 , 5;3A B C− − .1) Viết PT các cạnh của ∆ABC. 2) Viết PT đường thẳng chứa đường cao AH của ∆ABC. 3) Viết PT đường thẳng chứa đường cao BK của ∆ABC 4) Viết PT đường thẳng chứa đường cao CI của ∆ABC BT8.Cho tam giác ABC với ( ) ( ) ( ) 1; 1 , 2;1 , 3;5A B C− − .1) Viết PT đường thẳng chứa trung tuyến BI . 2) Viết PT đường thẳng chứa trung tuyến AM của ∆ABC 3) Viết PT đường thẳng qua A và vuông góc với trung tuyến BI. BT9.Viết PT các đờng thẳng chứa các cạnh, các đường trung trực của tam giác ABC, biết trung điểm của ba cạnh BC,AC,AB theo thứ tự là ( ) ( ) ( ) 2;3 , 4; 1 , 3;5M N P− − . BT10. Cho đường thẳng ( ) :3 4 12 0d x y+ − = . 1) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của (d) lần lượt với trục Ox, Oy. 2) Tìm toạ độ hình chiếu H của gốc toạ độ O trên (d). 3) Viết phương trình của đường thẳng ( ) 1 d đối xứng của (d) qua O. BT11.Cho đường thẳng ( ) : 2 3 3 0d x y+ − = và điểm ( ) 5;13M − . 1) Viết PT đường thẳng qua M và song song với (d). 2) Viết PT đường thẳng qua M và vuông góc với (d). Xác định tọa độ của H là hình chiếu của M trên (d). BT12.Vit PT thng (d) trong mi trng hp sau: 1) i qua im ( ) 1;1A v cú h s gúc 2k = . 2) i qua im ( ) 1;2B v to vi hng dng ca trc Ox mt gúc 0 30 = . 3) i qua im ( ) 3;4C v to vi trc Ox mt gúc 0 45 = . B.PHNG TRèNH THAM S CA NG THNG. 1.Vec t ch phng ca t (d): l 0u r r cú giỏ song song hoc trựng vi ng thng (d). 2.Lp phng trỡnh tham s t(d). + Tỡm 1 VTCP ( ; )u a b= r . + Tỡm 1 im 0 0 ( ; ) ( )M x y d + Thay vo cụng thc : 0 0 ,( ) x x at t R y y bt = + = + 3.Lp phng trỡnh chớnh tc ca t (d):Nu 0a v 0b ,Rỳt ra t PTTS: 0 0 x x y y a b = * Chỳ í:+VTPT v VTCP ca mt ng thng vuụng gúc vi nhau. +Mt ng thng ch cú mt PTTQ nhng cú vụ s PTTS. BT1.T ng thng (d) cú pTTS: ( ) 3 2 , 4 x t t y t = = + Ă . a).Tỡm 1 VTCP ca t(d) v tỡm 3im phõn bit thuc t (d). b).Trong cỏc im sau .im no thuc vo dt (d): A(5;3) ; 9 2; 2 B ữ ;C(1;2) D(0;5). BT2. Vit PT TS (d) i qua im A v cú vect ch phng u r , bit:1) ( ) ( ) 2; 3 , 1;2A u = r 2) ( ) ( ) 1;4 , 1;0A u = r .3) ( ) ( ) 0;4 , 3; 1A u = r 4) ( ) ( ) 11;4 , 2;0A u = r 5) ( ) ( ) 0;0 , 2;3A u = r BT3. Vit PT TS v PTCT(nu cú) ca (d) i qua im ( ) 1; 2A v song song vi: a) ng thng ( ) : 2 3 0x y = . b) Trc Ox. c) Trc Oy. d) ( ) : 2 3 1 0x y + = e) ( ) : 4 1 0y = . f) ( ) 2 1 : 2 1 x y + = . g) ( ) : 4 3 x y = BT4.Vit PTts v PTCT(nu cú)ng thng (d) i qua im ( ) 3;2A v vuụng gúc vi: 1) ng thng ( ) :3 1 0x y = .2) ng thng ( ) : 2 1 0x y + = . 3) ng thng ( ) : 1 0x = . 4)Trc Ox. 5) Trc Oy. 6) ( ) 2 1 : 3 2 x y + = 7) . ( ) 2 1 : 3 5 x y = BT5.Vit PT TS v PTCT(nu cú)ca ng thng(d) i qua hai im A, B trong cỏc trng hp: a) ( ) ( ) 3;2 , 1; 5A B b) ( ) ( ) 3;1 , 1; 6A B c) A(0;1), B(2;-1) d) A(3;0) , B(-2;0) e) A(3;0), B(0;-2). BT6. Viết phơng trình tổng quát của các đờng thẳng sau: a) += = ty tx 3 21 ; b) = += ty tx 2 2 ; c) = = ty x 26 3 ; d) = = 4 32 y tx BT7. Viết phơng trình chính tắc, tham số rồi suy ra phơng trình tổng quát của đờng thẳng trong các trờng hợp sau: a. Qua A(2; -5) và nhận vectơ u (4; -3) làm véctơ chỉ phơng. b. Qua hai điểm A(1; -4) và B(-3; 5). BT8. Viết phơng trình các đờng cao của tam giác ABC biết A(-1; 2), B(2; -4), C(1; 0). BT9.Vit PT tham s v PT chớnh tc ca ng thng (d): 20 0x y+ = . BT10.Lp PT cỏc ng thng cha cỏc cnh ca tam giỏc ABC , bit ( ) 2;2A , v hai ng cao thuc cỏc ng thng ( ) ( ) 1 2 : 2 0; :9 3 4 0d x y d x y+ = + = . BT11.Cho tam giỏc ABC cú PT cỏc cnh : 9 0AB x y+ = , PT cỏc ng cao qua nh ( ) ( ) 1 2 : 2 13 0 , : 7 5 49 0quaA x y d B x y d+ = + = . Lp PT cnh AC, BC v ng cao cũn li. BT12 Cho im ( ) 3;1A ,v ( ): 9 0x y + = . a).Vit PTTQ ca (d) i xmg vi t ( ) qua im A. b).Tỡm to hỡnh chiu ca A trờn t ( ) . C©u 1. Cho tam giác ABC có trực tâm H. PT cạnh : 9 0AB x y+ − = , các đường cao qua đỉnh A, B lần lượt là ( ) ( ) 1 2 : 2 13 0, : 7 5 9 0d x y d x y+ = = + − = . 1) Xác định toạ độ trực tâm H và viết PT đường cao CH. 2) Viết PT đường thẳng BC. 3) Tính diện tích của tam giác giới hạn bởi các đường thẳng , ,AB BC Oy . C©u 2. Lập PT các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh ( ) 3;5C , đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có PT là: ( ) ( ) 1 2 :5 4 1 0, :8 7 0d x y d x y+ − = + − = . C©u 3. Lập PT các cạnh của tam giác ABC biết ( ) 3;1A , và hai đường trung tuyến có PT ( ) ( ) 1 2 : 2 1 0, : 1 0d x y d x− − = − = . C©u 4. PT hai cạnh của một tam giác là 3 24 0,3 4 96 0x y x y− + = + − = . Viết PT cạnh còn lại của tam giác đó biết trực tâm tam giác là 32 0; 3 H ÷ . C©u 5. Cho đường thẳng ( ) :3 4 12 0d x y+ − = . 1) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của (d) lần lượt với trục Ox, Oy. 2) Tìm toạ độ hình chiếu H của gốc toạ độ O trên (d). 3) Viết phương trình của đường thẳng ( ) 1 d đối xứng của (d) qua O. . PHƯƠNG TRÌNH CỦA ELIP. C©u 6. Cho elip ( ) 2 2 :16 25 100E x y+ = . 1) Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tính tâm sai của (E). 2) Tìm toạ độ của điểm ( ) M E∈ , biết 2 M x = . Tính khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm cuae (E). 3) Tìm tất cả các giá trị của b để đường thẳng y x b= + có điểm chung với (E). C©u 7. Cho elip ( ) 2 2 : 4 9 36E x y+ = . 1) Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tính tâm sai của (E). 2) Cho ( ) 1;1M , lập PT đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm A, B : MA MB= . C©u 8. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai điểm ( ) ( ) ( ) 1 2 4;0 , 4;0 0;3 vµ F F A− . 1) Viết PT chính tắc của elip (E) đi qua A và nhận 1 2 ;F F làm các tiêu điểm. 2) Tìm tọa độ điểm ( ) M E∈ sao cho 2 1 2MF MF= . C©u 9. Viết PT chính tắc cuae elip (E), biết: 1) Trục lớn thuộc Ox, độ dài trục lớn bằng 8; trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 6. 2) Trục lớn thuộc Oy có độ dài bằng 10, tiêu cự bằng 6. 3) Hai tiêu điểm thuộc Ox; trục lớn có độ dài bằng 26, tâm sai 12 13 e = . 4) (E) đi qua các điểm ( ) ( ) 4;0 , 0;3M N . 5) Hai tiêu điểm: ( ) ( ) 1 2 1;0 , 5;0F F− ; tâm sai 3 5 e = . 6) (E) có tâm ( ) 1;1I , tiêu điểm ( ) 1 1;3F , trục nhỏ có độ dài bằng 6. C©u 10. Tìm tâm sai của elip (E) ,biết: 1) Các đỉnh trên trục nhỏ nhìn đoạn thẳng nối hai tiêu điểm dưới một góc vuông. 2) Độ dài trục lớn bằng hai lần độ dài trục nhỏ. 3) Khoảng cách giữa hai đỉnh, một đỉnh trên trục lớn và đỉnh kia thuộc trục nhỏ bằng tiêu cự của (E). C©u 11. Chứng tỏ rằng PT: 2 2 0 . 0, . 0 víi Ax By F A B A F+ + = > < 1) Là PT của một elip có tâm ( ) 0;0O nếu A B≠ . Tìm toạ độ các tiêu điểm của elip. 2) Là PT của một đờng tròn tâm ( ) 0;0O nếu A B= . C©u 12. Chứng tỏ rằng PT: 2 2 0 0 víi ax by cx dy e ab+ + + + = > 1) Là PT của một elip nếu 2 2 0 4 4 c d a e a c + − > ÷ . Tìm toạ độ các tiêu điểm của elip. 2) Là một điểm nếu 2 2 0 4 4 c d e a c + − = . C©u 13. Cho elip ( ) 2 2 : 4 9 36E x y+ = . 1) Viết (E) dưới dạng chính tắc, từ đó xác định toạ độ các đỉnh, các tiêu điểm và tính tâm sai của (E). 2) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng ( ) : 2 0d x y m− − = tiếp xúc với (E). 3) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (E) tại hai điểm A,B: 1AB = . C©u 14. Cho elip ( ) 2 2 :9 4 36E x y+ = . 1) Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tính tâm sai của (E). 2) Cho ( ) 1;1M , lập PT đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm A, B : MA MB= . C©u 15. Lập PT chính tắc cuae elip (E) , biết: 1) (E) đi qua các điểm ( ) ( ) 3 3;2 , 3;2 3M N . 2) Hai tiêu điểm ( ) ( ) 1 2 2;0 , 2;0F F − và a) trục lớn có độ dài bằng 4. b) (E) đi qua gốc toạ độ. . TIẾP TUYẾN CỦA ELIP. C©u 16. CMR: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng ( ) : 0d Ax By C+ + = ( ) 2 2 0A B+ > tiếp xúc với elip ( ) 2 2 2 2 : 1 x y E a b + = là : 2 2 2 2 2 C A a B b= + . C©u 17. CMR: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng ( ) :d y kx m= + tiếp xúc với elip ( ) 2 2 2 2 : 1 x y E a b + = là : 2 2 2 2 m k a b= + . C©u 18. Viết PT tiếp tuyến của elip ( ) 2 2 : 1 16 9 x y E + = , biết: 1) Tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 4;0A . 2) Tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 2;4B . 3) Tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : 2 6 0x y∆ − + = . 4) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng ( ) : 0x y∆ − = . C©u 19. Viết PT tiếp tuyến của elip ( ) 2 2 : 1 9 4 x y E + = biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng ( ) : 2 0x y∆ − = một góc 0 45 α = . C©u 20. Viết PT tiếp tuyến chung của hai elip sau: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 : 1, : 1 9 4 4 9 x y x y E E+ = + = . C©u 21. Viết PT các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông ngoại tiếp elip 2 2 1 3 6 x y + = . C©u 22. Cho elip ( ) 2 2 : 1 9 4 x y E + = . Viết PT tiếp tuyến với (E) đi qua điểm ( ) 3;2A . Tìm toạ độ của tiếp điểm ? C©u 23. 1) Viết PT của elip ( ) E có tiêu cự bằng 8, tâm sai 4 5 e = và các tiêu điểm nằm trên Ox, đối xứng nhau qua trục Oy. 2) Viết PT các tiếp tuyến của (E) đi qua điểm ( ) 15 0; 4 A . 3) Tính diện tích hình phẳng chắn bởi (E) và hai tiếp tuyến nói trên. C©u 24. Cho elip ( ) 2 2 : 1 9 5 x y E + = . Một hình chữ nhật được gọi là ngoại tiếp elip (E) nếu mỗi cạnh của hình chữ nhật đều tiếp xúc với (E). Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp (E), hãy xác định: 1) Hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất. 2) Hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất. C©u 25. Viết PT các cạnh của hình vuông ngoại tiếp elip ( ) 2 2 : 1 24 12 x y E + = . QUỸ TÍCH ĐỐI VỚI ELIP. C©u 26. (ĐH Huế_96) Cho elip ( ) 2 2 2 2 : 1 x y E a b + = . Gọi 1 2 A A là trục lớn của (E). Kẻ các tiếp tuyến 1 1 2 2 ,At A t của (E). Một tiếp tuyến qua điểm ( ) M E∈ , cắt 1 1 2 2 At A t vµ theo thứ tự tại 1 2 T T vµ . 1) CMR: Tích số 1 1 2 2 .AT A T không phụ thuộc vào vị trí điểm M . C©u 27. Cho họ elip ( ) ( ) 2 2 : 2 0 1 x E y x m m = − < < . 1) Đưa (E) về dạng chính tắc, xác định toạ độ của tâm, các tiêu điểm 1 2 ,F F và các đỉnh 1 2 ,A A thuộc trục lớn của (E). 2) Tìm quỹ tích các đỉnh 1 2 ,A A khi m thay đổi. 3) Tìm quỹ tích các tiêu điểm 1 2 ,F F khi m thay đổi. . ) 2 2 0A B+ > tiếp xúc với elip ( ) 2 2 2 2 : 1 x y E a b + = là : 2 2 2 2 2 C A a B b= + . C©u 17. CMR: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng ( ) :d y kx m= + tiếp xúc với elip ( ) 2 2 2. và 2 2 2 2 ( ): 0a x b y c∆ + + = * 1 2 ,∆ ∆ cắt nhau 1 1 2 2 a b a b ⇔ ≠ (toạ độ giao điểm của 2 đt là nghiệm của hệ PT 1 1 1 2 2 2 0 0 a x b y c a x b y c + + = + + = ) * 1 2 //∆. Viết PT các cạnh của hình vuông ngoại tiếp elip ( ) 2 2 : 1 24 12 x y E + = . QUỸ TÍCH ĐỐI VỚI ELIP. C©u 26 . (ĐH Huế_96) Cho elip ( ) 2 2 2 2 : 1 x y E a b + = . Gọi 1 2 A A là trục lớn của