Tim cuc tri.doc

Một số phơng pháp giải toán cực trị Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/ phần ! : Bài toán cực trị Phần đại số A . Yêu cầu A . một số Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả mãn 1 o . f(x) M với x D 2 o . Tồn tại x 0 D sao cho f(x 0 ) = M. kí hiệu là max f(x) = M b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1 o . f(x) m với x D 2 o . Tồn tại x 0 D sao cho f(x 0 ) = m. 2. Các b ớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị - B ớc 1 : Chứng minh bất đẳng thức: f(x) m (hoặc f(x) M) với x D. - B ớc 2: Chỉ ra giá trị x 0 D để: f(x 0 ) = m f(x 0 ) = M) - B ớc 3 Kết luận: Với giá trị x 0 D thì f(x) đạt: MxMaxf Dx o = )( mxM D x = 0 )inf( Chú ý : 1 / Nếu chỉ chứng minh đợc f (x) m hoặc f(x) M thì cha đủ để kết luận về GTLN hoặc GTLN Ví dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 1) 2 +(x-3) 2 Giải : Ta có (x-1) 2 0 x (1) ( x - 3 ) 2 0 (2) A 0 x nhng không thể kết luận đợc Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời hai BĐT (1) và (2). 1 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị Ta có: f(x) = x 2 - 2x + 1 + x 2 -6x + 9 = 2 ( x 2 - 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 ) 2 + 2 2 Vậy Min A = 2 x - 2 = 0 x = 2 2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên B. Phơng pháp cơ bản và ví dụ Ph ơng pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức 1.1. Nội dung ph ơng pháp + Dùng bất đẳng thức đã biết vào chứng minh f(x) m (hoặc f(x) M) với x D + Chỉ ra sự tồn tại x 0 D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "=" xảy ra). 1.2. Kiến thức bổ sung a) Bất đẳng thức cô si + Với a,b > 0, a,b D thì ab ba + 2 Dấu = xảy ra khi a= b + Tổng quá: Với n số dơng a 1 , a 2 , , a n D thì: n n n aaa n aaa 21 21 +++ Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = = a n . b) Bất đẳng thức Bunhiacopski + Nếu a 1 , a 2 , , a n và b 1 , b 2 , , b n là 2n số tuỳ ý thì: ( )( ) ( ) 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 1 nnnn babababbbaaa +++++++++ Dấu "=" xảy ra n n b a b a b a === 2 2 1 1 . (Quy ớc nếu a i = 0 thì b i = 0 i = 0, 1, 2, 3, n) c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối *. 0a a D dấu bằng xảy ra a = 0 2 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị * baba ++ với a,b D dấu bằng xảy ra a.b 0. Tổng quát : a 1 , a 2 , , a n D thì nn aaaaaa ++++++ 2121 Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu. *. baba dấu bằng xảy ra khi a.b 0 d) Với a b > 0 thì ba 11 dấu bằng xảy ra khi a = b. e) 2+ a b b a ( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b. 1.3. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y,z) = x 4 + y 4 + z 4 xét trên miền D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4} Tìm xem vận dụng BĐT nào cho bài toán này là điều khó khăn nhất đói với học sinh . Tuy nhiên có thể thấy rằng có thể vận dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x,y,z và y,z ,x ta có ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( xy + yz + zx ) 2 Từ đó ta suy ra nếu ( x, y, z ) D Thì ( x 2 + y 2 + z 2 ) 16 Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x 2 ,y 2 ,z 2 và 1,1 ,1 ta có 3 ( x 4 + y 4 +z 4 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (2) Từ (1) và (2) f(x,y,z) > 16/3 (x,.y,z) D Mặt khác f ( 3 2 , 3 2 , 3 2 ) = 3 16 và ( 3 2 , 3 2 , 3 2 ) D Vậy Min f (x,y,z) = 16/3 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = + x x 1 với x 1,y 2 , z 3 A = + x x 1 + y y 2 + z z 3 áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 và x - 1 ta có: ( ) 22 11 1.1 xx x = + 3 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị Tơng tự : 22 2 22 . 2 1 2 2 1 2 yy yy = + = 32 2 33 . 3 1 3 3 1 3 zz zz = + = A z z y y x x 3222 2 ++ A 32 1 22 1 2 1 ++ Dấu "=" xảy ra = = = 6 4 2 z y x Max A = 32 1 22 1 2 1 ++ = = = 6 4 2 z y x Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) D = 12 + xx b) Cho x 1 , x 2 , , x 2004 thoả mãn 2005 200421 =+++ xxx Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 1 11 200421 +++ xxx Giải: a) áp dụng bất đẳng thức baba ++ dấu "=" xảy ra khi a.b 0 Ta có D = 11212 =++ xxxx Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x-2)(1-x) 0 1 x 2 Vậy Min D = 1 khi 1 x 2 b) Vận dụng bất đẳng thức baba Dấu "=" xảy ra khi ab 0. Ta có: 11 11 xx 11 22 xx 11 20042004 xx Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc: 4 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị E = 1 11 200421 +++ xxx 200421 xxx +++ - 12004 1 11 só +++ = 2005 - 2004 = 1 Vậy E 1 Dấu "=" xảy ra khi x 1 , x 2 , x 2004 0 và 200421 xxx +++ = 2005 Những sai lầm th ờng gặp của dạng toán này Sai lầm thờng gặp khi vận dung BĐT rất phổ biến là : - Điều kiện tồn tại BĐT - Dấu bằng của BĐT không xảy ra với những giá trị tìm đợc Ví dụ 3 : Với x , y , z , t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = t xzy z txy y xzt x tzy xzy t txy z xzt y tzy x ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ Học sinh có thể ngộ nhận và vận dụng ngay BĐT 2+ a b b a ( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b Để ra ngay kết quả A 8 Min A = 8 0==== ++= ++= ++= ++= tzyx zyxt yxtz xtzy tzyx Điều này hoàn toàn không xảy ra vì A không tồn tại với x = y = z = t = 0 Đây là những sai lầm thờng gặp mà nhiệm vụ của ngời thầy là phải chỉ ra đợc những sai lầm để các em rút kinh nghiệm khi giải toán cực trị 1.4. Bài tập vận dụng 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = )11(2)11(2 ++++++ xxxx 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền D = { } 1,0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxxyx 3) Tìm giá trị bé nhất của hàm số : f(x,y,z) = ( 1+ x 1 ) ( 1+ y 1 ) ( 1+ z 1 ) Xét trên miền. 5 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị D = { } 1;0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxzyx Ph ơng pháp 2 Tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc chẵn 2.1. Nội dung ph ơng pháp */ A 2 0 x ( x là biến của biểu thức A ) A 2k 0 x */ - B 2 0 x (x là biến của biểu thức B ) - B 2k 0 x Nhiệm vụ của ngời thầy phải chỉ ra đợc : */ A 2k +m m m là GTNN A = 0 */ -B 2k + M M M là GTLN B = 0 2.2. Kiến thức bổ sung: Nhiệm vụ của các em là làm thế nào để có thể đa về dạng A 2k +m m và -B 2k + M M bằng các phép biến đổi đại số 2.3 : các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 3x 2 + 6x - 5 Giải: Ta có A = 3 ( x 2 + 2x + 1 ) - 8 = 3 (x + 1 ) 2 - 8 - 8 Dấu bằng xảy ra x + 1 = 0 x = - 1 Vậy Min A = - 8 x = - 1 Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x 2 - 4x + 1 Giải : A = -5 ( x 2 + 4/5 x ) + 1 = -5 ( x 2 + 4/5x + 4/25 ) + 9/5 ( x 2 + 2/5 ) 2 +9/5 9/5 Dấu = xảy ra x + 2 /5 = 0 x = - 2/5 * Chú ý : f(x) = ax 2 + bx + c * Có giá trị nhỏ nhất a > 0. * Có giá trị lớn nhất a < 0. Không dừng lại ở đây ta có thể đa ra một số ví dụ sau : Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: )( 1 12 683 2 2 + + = x xx xx C 6 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị Có thể các em sẽ ngỡ ngàng và lúng túng trong việc giải . Tuy nhiên có thể gọi phơng pháp giải là tìm cách đa về dạng ax 2 + bx + c bằng cách đổi biến số , cụ thể cách làm nh sau : C = 22 2 )1( 1 1 2 3 )1( 1)1(2)12(3 + = ++ xxx xxx Đặt y = 1 1 x (y 0 ) C = 3 - 2y + y 2 đến đây C đã đa về dạng cơ bản việc giải không còn gì khó khăn nữa, giáo viên cần phải cho học sinh thấy rằng việc đổi biến số trong toán cực trị là rất quan trọng trong nhiều bài toán và việc đổi biến số giúp chúng ta giải đợc bài toán nhanh hơn, gọn hơn. Ta còn có thể mở rộng dạng toán này. Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f(x,y ) = 4x 2 + 4y 2 - 4xy - 3x = 4y 2 - 4xy + x 2 + 3( x 2 -x ) = ( 2y - x ) 2 + 3( x- 2 1 ) 2 - 4 3 - 4 3 Đẳng thức xảy ra x = 2 1 và y = 2 x = 4 1 min f(x,y) = - 4 3 = = 4 1 2 1 y x Sai lầm thờng gặp ở dạng toán này là:. Nh ví dụ 4 các em có thể làm nh sau: f(x,y) = x 2 - 4xy + 4y 2 + 2x 2 - 4x + 2 + x 2 + x -2 = ( x - 2y ) 2 + 2 ( x -1 ) 2 + x 2 + x - 2 x 2 + x - 2 x (1) Vì g(x) = x 2 + x - 2 = ( x + 2 1 ) 2 - 4 9 - 4 9 Đẳng thức xảy ra x = - 2 1 min f(x,y) = - 4 9 = = 4 1 2 1 y x 7 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị Các em không thấy đợc rằng đẳng thức xảy ra ở (1) khi = = 1 2 x yx = = 1 2 1 x y còn dấu đẳng thức xảy ra ở (2) khi x = - 2 1 thì 2 dấu đẳng thức xảy ra không đồng thời nên GTNN của g(x) không phải là GTNN của f(x,y). Hoặc với bài: Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của: M = x + x M = x + x = ( x + x + 4 1 ) - 4 1 = ( x + 2 1 ) 2 - 4 1 - 4 1 Vậy min M = - 4 1 . Sai lầm ở chỗ M - 4 1 học sinh cha chỉ ra khi nào dấu đẳng thức xảy ra: M = - 4 1 x = - 2 1 là vô lí Vậy việc tìm ra điều kiện dấu đẳng thức xảy ra là rất quan trọng trong việc tìm cực trị của biểu thức đại số. 3.3 . Bài tập vận dụng. 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của : C = x 2 - 2xy + 2y 2 + 2x - 10y + 17 E = x (x+ 1) (x + 2) (x + 3 ) 2) Tìm giá trị lớn nhất của: A = - 5x 2 - 2xy - 2y 2 + 14x + 10y - 1. 3) Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của : A = 2 2 95 x xx ++ B = 2 2 )1( 952 + + x xx Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp miền giá trị hàm số 3.1 . Nội dung ph ơng pháp. 8 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) nếu x D gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho. Điều đó có nghĩa hệ phơng trình sau đây với ẩn x có nghiệm. = Dx yxf 0 )( Tuỳ dạng bài mà có điều kiện nghiệm thích hợp. Trong nhiều trờng hợp điều kiện ấy (sau khi biến đổi và rút gọn) sẽ đa về dạng. m y 0 M vì y 0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ đó ta có: Min f(x) = m và Max f(x) = M. x D x D Nh vậy để tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của một hàm số nếu dùng phơng pháp này , ta qui về việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm. 2.2. Kiến thức bổ sung: Công thức nghiệm và công thức nghiêm thu gọn của phơng trình bậc hai 3.2 . Các bài toán Bài toán 1 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số. f(x) = 123 3102 2 2 ++ ++ xx xx với x R. Giải Gọi y 0 là giá trị tuỳ ý của hàm số . Vậy phơng trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm. 123 3102 2 2 ++ ++ xx xx = y 0 (1) Do 3x 2 +2x + 1 > 0 x R (1) 2x 2 + 10x + 3 = 3x 2 y 0 + 2xy 0 + y 0 ( 3y 0 - 2 ) x 2 + 2x ( y 0 - 5 ) + y 0 - 3 = 0 (2) Xét 2 khả năng sau : * Nếu 3y 0 - 2 = 0 y 0 = 3 2 (2) có nghiệm Tức f(x) = 3 2 x R 9 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị * Nếu 3y 0 - 2 0 y 0 3 2 thì (2) là phơng trình bậc 2 đối với ẩn x Do đó (2) có nghiệm nếu: = - 2y 0 + 19y 0 - 35 0. 2 5 y 0 7 và y 0 3 2 . 2 5 y 0 7 (3). Từ (3) Maxf(x) = 7 và Mìnf(x) = 2 5 . Nhận thấy với phơng pháp này ta có thể vận dụng cho các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức dới dạng phân thức. Bài toán 2 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số. f(x,y) = x 2 + y 2 xét trên miền D = (x,y) ; ( x 2 - y 2 + 1) 2 + 4x 2 y 2 - x 2 - y 2 = 0 Giải: Gọi t 0 là một giá trị bất kì của hàm số f(x,y) trên miền D . Điều đó chứng tỏ phơng trình ẩn (x,y) sau có nghiệm: =++ =+ )()( )( ` 2041 1 2222222 0 22 yxyxyx tyx =++++ =+ 0413 222222 0 22 xyxyx tyx )()( ` =++ =+ )( )( 40413 3 2 0 2 0 22 xtt tyx Để (4) ẩn x có nghiệm thì: t 2 - 3t 0 + 1 0 2 53 2 53 0 + t (5) Với đièu kiện (5) gọi m là nghiệm của (4) và (3) ta có : 4m 2 + 4y 2 = 4t 0 - t 0 2 + 3t 0 - 1 4y 2 = 4t 0 4y 2 = t 2 0 + t 0 + 1 (6) Do t 0 2 + t 0 + 1 > 0 t 0 với điều kiện (5) thì (6) có nghiệm. Nghĩa là (5) là điều kiện để hệ (3), (4) tức là hệ (1) , (2) có nghiệm. 10 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá