Trần văn Đoàn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số A.Một số ph ơng pháp . Ph ơng pháp 1 : Biến đổi biểu thức đã cho sao cho có chứa số hạng là một luỹ thừa bậc chẵn (là một biểu thức không âm) rồi tuỳ theo dấu đặt trớc số hạng đó là dơng (hay âm) mà biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất). Chẳng hạn: A= (ax + b) 2 + m m Thì Min A = m khi và chỉ khi x = - a b A = - (ax + b) 2 + M M Thì Max A = M khi và chỉ khi x = - a b Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp tìm Tập giá trị của hàm số Giả sử ta phải tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x). - Tập hợp D gồm tất cả các giá trị của đối số x để f(x) xác định , đợc gọi là tập xác định của hàm số f(x) - Tập hợp tất cả các giá trị của f(x) khi x nhận mọi giá trị trong miền D đợc gọi tập xác định của hàm số f(x) - Giả sử trên tập xác định D , hàm số y = f(x) có tập giá trị là đoạn [ m, M] tức là m y M .Thế thì : m là giá trị nhỏ nhất của hàm số M là giá trị lớn nhất của hàm số Ta ký hiệu nh sau: Min y = m ; Max y = M D D Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp dùng bất đẳng thức Côsi (Cauchy) Trung bình cộng của hai số không âm nhỏ hơn trung bình nhân của hai số đó Với a 0 , b 0 ta có 2 ba + ab Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b *Hệ quả 1. Nếu a + b = S (Constant) thì ab 2 S ab 4 2 S Vậy ab đạt giá trị nhỏ nhất 4 2 S a = b Nếu hai số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau *Hệ quả 2 1 Trần văn Đoàn Nếu ab = P (Constant) thì a + b 2 P . Vậy a + b đạt giá trị nhỏ nhất 2 P khi và chỉ khi a = b Nếu hai số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau Ph ơng pháp 4 : Sử dụng tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [ a; b ] - Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ a ; b] thì: Min y =f(a) ; Max y = f(b) - Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ a ; b] thì ; Min y = f(b) ; Max y = f(a). B.Ví dụ: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau: a) x 2 + 2x + 5 b) 2x 2 x + 3 c) 1 1 2 + xx d) 12 5 + x Giải: a) x 2 + 2x + 5 = -x 2 + 2x 1 + 6 = - ( x 2 + 2x + 1) + 6 = - (x- 1) 2 + 6 6 Vậy x 2 + 2x + 5 đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 1 b) 2x 2 x + 3 = 2( x 2 - 2 1 x) + 3 = 2(x 2 - 2 1 x + 16 1 - 16 1 ) + 3 = 2 16 1 ) 4 1 ( 2 x + 3 = 2(x - 4 1 ) 2 - 8 1 + 3 = 2(x - 4 1 ) 2 + 8 23 8 23 Vậy 2x 2 x + 3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 23 khi x = 4 1 c) 1 1 2 + xx = 4 3 4 1 1 2 ++ xx = 4 3 ) 2 1 ( 1 2 + x 4 3 1 = 3 2 = 3 32 ( vì mẫu số 4 3 4 3 ) 2 1 ( 2 + x ) ở đây ta áp dụng tính chất : Nếu phân số dơng có tử là hằng số thì phân số đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi mẫu đạt giá trị nhỏ nhất Vậy 1 1 2 + xx đạt giá trị lớn nhất bằng 3 32 khi x = 2 1 2 Trần văn Đoàn d) Với điều kiện x 1 thì 01 x 2 5 12 5 12 1 212 + + + xx x (Dấu = xảy ra khi x=1) vậy giá trị lớn nhất của 12 5 + x là 2 5 khi x = 1 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = x 2 + 3x + 4 B = - 3x 2 + 4x + 1 C = 3y 2 + x 2 + 2xy + 2x + 6y 5 D = 23 5 2 x Giải : Biểu thức A và B có thể dùng cả hai phơng pháp 1 và 2 Giải câu B theo phơng pháp 2 nh sau: Gọi B 0 là một giá trị nào đó thuộc tập giá trị.Khi đó tồm tại ít nhất một giá trị của x sao cho : B 0 = - 3x 2 + 4x + 1 phơng trình 3x 2 4x 1 + B 0 = 0 phải có nghiệm 0 / 4 + 3 3B 0 0 7 3B 0 0 3B 0 7 B 0 3 7 Vậy : Max B = 3 7 khi x = 3 2 (là nghiệm kép của phơng trình) Bài C Sử dụng phơng pháp 1 C = 3y 2 + x 2 + 2xy + 2x + 6y 5 = x 2 + y 2 + 2xy + 2x + 2y + 1 + 2y 2 + 4y + 2 8 = (x + y + 1) 2 + 2(y+1) 2 8 - 8 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi = = =+ =++ 1 0 01 01 y x y yx Vậy : Min C = - 8 = = 1 0 y x Bài D = 23 5 2 x Do : - 3x 2 2 - 2 (dấu = xảy ra khi x = 0 ) 3 Trần văn Đoàn Nên D 2 5 . Vậy Min C = - 2 5 khi x = 0 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 2 2 ++ + xx x Giải: giải bài này bằng phơng pháp 2 nh sau: Biểu thức đợc xác định với mọi x (vì x 2 + x + 1= 0 4 3 2 1 2 + + x với mọi x) Đặt y = 1 1 2 2 ++ + xx x .Gọi y 0 là một giá trị nào đó thuộc tập giá trị của hàm số .Khi đó tồn tại ít nhất một giá trị của x sao cho y 0 = 1 1 2 2 ++ + xx x hay y 0 (x 2 + x+ 1) = x 2 + 1 hay (y 0 1)x 2 + y 0 x + y 0 1 = 0 (*) Phơng trình này phải có nghiệm . Ta xét 2 trờng hợp a)Nếu y 0 = 1 : phơng trình (*) có nghiệm x = 0 b)Nếu y 0 - 1 : phơng trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi 0 y 0 2 4(y 0 1) 2 0 (y 0 2y 0 + 2)(y 0 + 2y 0 2) 0 ( - y 0 +2)(3y 0 -2) 0 2 3 2 0 y Suy ra = = 2 3 2 Maxy Miny Khi đó x = - )1(2)1(2 0 0 0 0 y y y y = Với y 0 = 3 2 thì x = 1 với y 0 = 2 thì x = -1 vậy Min y = 3 2 khi x = 1 ; Max y = 2 khi x = -1 Bài 4: Cho biểu thức : P = )5)(3( 8 xx + với 3 < x < 5 Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó Giải: 4 Trần văn Đoàn (Bài này giải bằng phơng pháp 3 nh sau) Đặt E = )5)(3( xx + Nhận xét : với -3 < x < 5 thì E > 0 P > 0 P đạt min E đạt max (x + 3)(5 x) đạt max. Xét tổng (x + 3) + (5 x) = 8 (constant) Suy ra (x + 3)( 5 x) đạt max x + 3 = 5 x x = 1 thoả mãn điều kiện: -3 < x < 5 Thay x = 1 vào biểu thức ban đầu ta có : Min P = 2 khi x = 1 -3< x < 5 Bài 5: Cho biểu thức : Q = x x 3 72 2 + với x > 0 Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ nhất . tìm giá trị nhỏ nhất đó. Giải : Bài này có thể giải theo phơng pháp 2.ở đây xin trình bầy cách giải theo phơng pháp 3: Q = x x 3 72 2 + = x x 24 3 + Do x > 0 suy ra 3 x > 0 và x 24 > 0 Xét tích 3 x . x 24 = 8 (constant) Suy ra : x x 24 3 + đạt min 3 x = x 24 x 2 = 72 x = 6 2 (bỏ x = - 6 2 vì x > 0 ) Thay x = 6 2 vào biểu thức Q, ta có : Min Q = =+=+ 2 4 22 26 24 3 26 2 2 + 2 2 = 4 2 Vậy Min Q = 4 2 và đạt đợc khi x = 6 2 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 52 62 2 2 ++ ++ xx xx Giải Bài này có nhiều cách giải .ở đây xin trình bầy theo phơng pháp 4 5 Trần văn Đoàn Có x 2 + 2x + 5 = (x + 1) 2 + 4 > 0 với mọi x , do đó hàm số xác định với mọi giá trị của x Đặt t = 52 2 ++ xx = 4)1( 2 ++ x 2 t 2 x 2 + 2x + 5 = t 2 x 2 + 2x = t 2 5 Xét hàm số y = f(t) = t t t t 165 2 += + Với mọi t 1 ; t 2 2 và t 1 < t 2 ta có : f(t 1 ) f(t 2 ) = t 1 + 1 1 t - t 2 - 2 1 t = t 1 t 2 + 1 1 t - 2 1 t = t 1 t 2 + 21 12 tt tt (t 1 t 2 )(1 - 21 1 tt ) < 0 Suy ra hàm số y = f(t) đồng biến trong [2; ) Nên min y = f(2) = 2 + 2 1 = 2 5 Với t = 2 52 2 ++ xx = 2 x 2 + 2x + 5 = 4 x 2 + 2x + 1 = 0 (x + 1) 2 = 0 x = - 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng 2 5 khi x = -1 Bài 7: Giả sử x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình : x 2 - 2(m 1)x + m 2 - m = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = x 1 2 + x 2 2 Hớng dẫn Điều kiện để phơng trình có nghiệm : 0 - m + 1 0 m 1 S = x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = 4(m 1) 2 2(m 2 m) = 2m 2 6m + 4 Do hàm số S(m) = 2m 2 6m + 4 nghịch biến trong khoảng ( - ,1] nên với mọi m 1 thì S(m) S(1) Suy ra Min S = S(1) = 0 khi đó m = 1 x 1 = x 2 = 0 C.bài tập đề nghị Bài 1: Tìn x,y,z để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị nhỏ nhất đó: a)M= x 2 + 4y 2 + x 2 2x + 8y 6z + 15 b)N = 2x 2 + 2xy + y 2 2x + 2y + 2 Bài 2 :Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất (nếu có ) của các hàm số: a)y = 2 2 20082 x xx + c) y = 2 13 1 x b)y = 1 1 2 2 + ++ xx xx d)y = 722 3 2 ++ xx Bài 3: Tìm Max và Min của biểu thức: S = x 6 + y 6 biết x 2 +y 2 = 1 6 Trần văn Đoàn Bài 4: cho x + y =1 và xy = a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = (x 2 + x +1)(y 2 + y + 1) Bài 5: Cho hai số dơng x và y biết x+ y = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của : Q= yx 22 + Bài 6: Cho x,y 0 và x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = xy xy + + 1 1 Bài 7 : Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất (nếu có) của: P = (a+ b 1 )( b+ a 1 ) với a,b > 0 và a + b = 1 7 . + 5 = -x 2 + 2x 1 + 6 = - ( x 2 + 2x + 1) + 6 = - (x- 1) 2 + 6 6 Vậy x 2 + 2x + 5 đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 1 b) 2x 2 x + 3 = 2( x 2 - 2 1. 2(x 2 - 2 1 x + 16 1 - 16 1 ) + 3 = 2 16 1 ) 4 1 ( 2 x + 3 = 2(x - 4 1 ) 2 - 8 1 + 3 = 2(x - 4 1 ) 2 + 8 23 8 23 Vậy 2x 2 x + 3 đạt giá trị nhỏ