CHUYEN DE CUC TRI(DUNG ON TH VAO 10)

Vì vậy làm thế nào để có thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các loại toán , vậndụng kiến thức vào để giải hay cụ thể hơn là phơng pháp giải từng loại toán nh thế nào .Giải quyết đợc

A/ đặt vấn đề

I/Lí do chọn đề tài:

Là giáo viên dạy toán trong các trờng THCS tôi nhận thấy phần đông các em họcsinh học yếu môn toán vì các lí do sau :

1/ Không thuộc kiến thức và không nắm vững kiến thức thức cơ bản

2/Lí do quan trọng hơn là : Các em cha biết cách làm toán mà ta gọi đó là phơngpháp , nhất là các phơng pháp đặc trng cho từng dạng , cho từng loại toán

Muốn chứng minh một đẳng thức thì phải làm sao? Tìm GTLN , GTNN thì phảilàm thế nào ? Các em không nắm chắc

Vì vậy làm thế nào để có thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các loại toán , vậndụng kiến thức vào để giải hay cụ thể hơn là phơng pháp giải từng loại toán nh thế nào Giải quyết đợc vấn đề đó không phải dễ khi mà phân phối chơng trình môn toán THCScha có một tiết nào cho giáo viên dạy một cách hệ thống các phơng pháp giải các loạitoán cụ thể mà chúng chỉ xuất hiện đơn lẻ

Trong chơng trình toán THCS Các bài toán tìm GTLN , GTNN chiếm một vị trí rấtquan trọng Các bài toán này rất phong phú , đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức , vậndụng một cách hợp lý , khá độc đáo và nhỉều cách giải Vì vậy các bài toán tìm GTLN;GTNN gọi chung là (những bài toán cực trị) thờng xuyên xuất hiện trong các sách giáokhoa , sách nâng cao của các khối lớp "Những bài toán cực trị " theo tôi là dạng toánrất hay nó giúp học sinh phát triển trí thông minh , sáng tạo, khả năng t duy toán học cao

Qua nghiên cứu kĩ nội dung kiến thức ,đọc nhiều tài liệu, nghiên cứu kĩ thực tế giảngdạy của giáo viên, cách học tập của học sinh ,qua những năm giảng dạy ở trờng THCS,tôi đã rút ra đợc vài kinh nghiệm , giúp bản thân giảng dạy tốt hơn cũng nh quá trìnhhọc tập của học sinh dạt kết quả cao hơn

II / Mục đích nghiên cứu : Trên cơ sở thực hiện đổi mới phơng pháp dạy học theo

hớng phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập , không ngừng nâng cao chất lợngdạy và học - Đặc biệt trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi Bản thân tôi mạnh dạn hệthống kiến thức :

" Các bài toán cực trị và phơng pháp giải " để giúp học sinh trong nhà trờng ở nơi tôi

đang công tác đạt kết quả cao hơn trong quá trình học tập

III Đối t ợng nghiên cứu:

* Quá trình dạy học của giáo viên

* Vấn đề tự học của học sinh THCS

IV Ph ơng pháp nghiên cứu.

- Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết

- Su tầm tài liệu nghiên cứu trên cơ sở lý thuyết và vấn đề tự học

- Tiến hành điều tra thực tiễn kết quả học tập của học sinh – Phơng pháp truyềnthụ kiến thức của giáo viên

- Kiểm nghiệm , đối chứng giữa lý thuyết và thực tiễn từ đó rút ra bài học trongcông tác nghiên cứu

V Thời gian nghiên cứu.

- Từ ngày 27/10/2009 đến ngày 20/12/2009 Xác định tên đề tài, lập kế hoạch, lập

đề cơng, thu thập số liệu thông tin ở đơn vị thực tế

- Từ ngày 20/12/2004 đến ngày 30/12/2004 Xử lý thông tin, viết bản thảo

- Từ ngày 30/12/2004 đến 11/1/2005 Bổ sung hoàn chỉnh viết đề tài chính thức

b/ nội dung đề tài

I/ yêu cầu:

1/ Với giáo viên:

- Xây dựng cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị và phơng pháp giải cho từngdạng toán

- Phân loại các bài tập và hệ thống từ dễ đến khó

- Rèn luyện khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thứctrong nghiên cứu

- Trong quá trình giảng dạy , phải chú ý tìm ra những vớng mắc , sai sót mà học sinhhay mắc phải khi giải các bài tập

2/ Với học sinh :

-Hiểu đợc bản chất các loại toán

- Nhận dạng đợc từng loại bài tập , vận dụmg phơng pháp hợp lý của từng dạng vàogiải toán

- Phát huy khả năng t duy sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bài khóvới cách giải hay hơn

II/ Nội Dung Cơ Bản

1/ Khái niện về bài toán cực trị

Trong thực tế có những bài toán yêu cầu ta đi tìm cái ''nhất ''trong mối quan hệ đã biết Đó là việc đi tìm GTLN(cực đại )hay GTNN ( cực tiểu )của một đại lợng và gọi chung là " những bài toán cực trị "

2/ Nội dung cụ thể gồm hai phần :

Phần 1 : Cực trị đại số

Phần 2 : Cực trị hình học

Phần 1: Cực Trị Đại Số

*/ Một số kiến thức cơ sở:

Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một miền xác định nào đó mà giá trị của biểu thức

A luôn lớn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng ) một hằng số k và tồn tại giá trị của biến để A=k thì k đợc gọi là GTNN (GTLN) của biểu thức A ứng với giá trị của biến thuộc miền xác định nói trên Nh vậy để tìm GTNN của biểu thức ta cần :

- Chứng minh rẳng A ≥k∀ giá trị của biến và với k là hằng số

- Chỉ ra dấu bằng có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến

Để tìm GTLN của A ta cần:

- Chứng minh rằng A≤k ∀giá trị của biến với k là hằng số

- Chỉ ra dấu bằng có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến

Ta kí hiệu min A là GTNN của A

Ta kí hiệu max A là GTLN của A

2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên

Ví dụ: Xét biểu thức A = x2 ta thấy x2 ≥ 0 ∀x và x2 = 0 khi x = 0

Vậy biểu thức A có GTNN khi x = 0 Biểu thức này không có GTLN

Tìm GTNN, GTLN của một biểu thức là một vấn đề không đơn giản Nhất là đối với học sinh THCS khi mà các em cha tiếp cận đợc một cách đầy đủ các kiến thức cơ bản để giải loại toán này Trong khuôn khổ đề tài nhỏ tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán cực trị thờng gặp ở THCS

Phân dạng bài tập và ví dụ minh hoạ

A/ Với các đa thức nguyên.

I/ Ph ơnmg pháp tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc hai.

⇒2.(x-3)2-3≥- 3 ∀x ⇒ Min A=-3 ⇔ x+3 = 0 hay x=-3

Ví dụ2: Tìm GTNN của biểu thức : B = (x-1)2+(x-5)2

Chó ý: Khi gi¶i bµi to¸n nµy häc sinh cã thÓ m¾c sai lÇm sau:

§ = ( x−2004 -

2

1 )2 +

4 8015

VÝ dô 6: T×m GTNN cña biÓu thøc:

Ta cã: F(x,y) = x2+2y2-2xy-4y+5

F(x,y) = x2-2xy+y2+y2-4y+4+1

F(x,y) = (x-y)2+(y-2)2+1

0

y

y x

hay x=y=2

VÝ dô 7: T×m GTNN cña biÓu thøc:

G = x2+ 2y2- 3z2- 2xy + 2xz-2x-2y- 8z+2010

= +

−

0 1

0 2 0

z

z y

z y x

hay x=y=z=1

Vậy min G =2004 khi x=y=z=1

Các bài toán áp dụng

Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức :

H= x2+2y2-2xy+2x-10

I= x2+6y2+14z2-8yz+6zx-4xy

Ghi nhớ : Qua các ví dụ và các bài tập trên ta thấy những biểu thức có dạng tam thức

bậc hai ax2+bx+c hoặc có thể đa về dạng tam thức bậc hai, hoặc đa về dạng bình phơng

đều có thể giải theo phơng pháp sử dụng tính chất luỹ thừa bậc hai

II / Ph ơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất trị tuyệt đối

1/ Lý thuyết áp dụng :

A+B ≤ A + B

A−B ≤ A − B

Đẳng thức xảy ra khi A.B ≥0

Ví dụ 1:Tìm GTNN của biểu thức

A= x− 1 + x− 3

Giải

Ta có : x− 1 + x− 3= x− 1 + 3 −x ≥ x− 1 + 3 −x = 2

Từ đó suy ra A≥ 2 ∀x

Vậy Min A=2⇔(x-1)(3-x)≥ 0 hay 1≤x≤ 3

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức

Từ đó suy ra MinB = 2 đạt đợc khi và chỉ khi x(2-x)≥0 hay o≤ x≤ 2

Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức

C = x+ 2(1 + x+ 1)+ x+ 2 ( 1 − x− 1 )

2 1 (

1

a a

a a

a

2 2

1

1

≥ + + +

Đẳng thức xảy ra khi a1=a2= =an

Chú ý :Từ đó suy ra hai mệnh đề cho ta giá trị lớn nhất của tích và giá trị nhỏ nhất của

9 3

25 9

+ +

−

= +

−

= +

+

−

x

x x

x x

x

= -6+

3

) 3 ( 25 2 6 3

25 3

+

+ +

−

≥ + + +

x

x x

x

⇒ A ≥ 4 VËy minA=4⇔ 4

3 3

¸p dông hÖ qu¶ B§T cauchy v¬i ba sè kh«ng ©m ta cã

3

) 3 2 ( ) 3 12 ( ) 2 6

§¼ng thøc x¶y ra khi : 6-2x=12-3y=2x+3y ⇔x=0vµy=2

VËy maxB=36⇔x=0;y=2

VÝ dô5: Cho a,b lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n :ab=216.T×m GTNN cña biÓu thøc :E=6a+4b

Gi¶i v× a,b lµ 2 sè d¬ng ; Suy ra 6a,4b >0 ¸p dông B§T cauchy tacã:

6a+4b≥2 6a.4b ⇔E≥2 4.6.216 ⇔ E≥144

Vậy minE=144đạt đợc khi 6a=4b⇔a=12;b=18

Ghi nhớ: Qua các ví dụ áp dụng BĐT cauchy ta thấy BĐT cauchy chỉ áp dụng đợc đối

với 2 số dơng Ngoài điều kiện đó ta không thể áp dụng đợc

+/ Nếu biết đợc tổng của các số dơng là hằng số thì ta tìm đợc GTLN của các số đó +/ Nếu biết đợc tích của các số dơng là hằng số thì ta tìm đợc GTNN của các số đó

3/ Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm GTLN của biểu thức F=x+ 1 x− 2

Bài 2: Tìm GTNN của biểu thức

Bài 3: Cho 2 số dơng x,y thoả mãn x+y=xy Tìm GTNN của biểu thức K=x+y

Bài 4: Cho x,y,z là các số thoả mãn xy+yz+zx=100

Tìm GTNN của biểu thức I=xyz

IV/ Ph ơng pháp tìm c c trị theo BĐT Bunhiacôpxki

a b

a b

(x+2y)2 ≤ (x2+4y2)(12+12)=50⇔ x+ 2y ≤ 50 Hay - 50 ≤M ≤ 50

Vậy MaxM=5 2 khi

2 5

y x

2 5

y x

Ví dụ 2: Cho x,y là hai số thoả mãn x2+y2=1 Tìm GTNN,GTLNcủa biểu thức N=x y+ 1 +y x+ 1

Giải :áp dụng BĐT Bunhiacôpxki

N2=( x y+ 1 + y x+ 1)2 ≤ ( x2+ y2)(x+y+2)⇔N2 ≤x+y+2

Mặt khác (x+y)2 ≤ 2(x2+ y2)=2

⇒2- 2 ≤x+y+2≤2+ 2

Suy ra N2 ≤2+ 2 ⇒- 2+ 2 ≤N ≤ 2+ 2

Ví dụ 4: Cho 2 số dơng a,b Hai số dơng x,y thay đổi sao cho

Giải:Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có

x+y=( x2 + y2 )(a x +b y)=( x2 + y2 )( ( ) 2 ( ) 2 )

y

b x

a

+

y

b y x

y x b

y a

x

+

= +

+

=

=

Suy ra: Min(x+y)= ( a + a)2 khi x= a.( a+ b); y= b.( a + b)

Ví dụ 5: Cho x, y,x,t≥0 thoả mãn

⇔ S2 - S -2 < 0

⇔-1 < S < 2

Vậy Max S = 2 đạt đợc khi x = y = z = t =

2 1

3/ Bài tập áp dụng :

Bài 1 : Cho x,y là hai số thoả mãn x + 2y = 3 Tìm GTNN của E = x2 + 2y2

Bài 2 : Tìm GTLN của biểu thức P = 2x+ 4y+ 5z cho biết x, y, z là các biến số thoả mãn x2 + y 2 + z2 = 169

Bài 3 : A = x+ 1 + y+ 1 biết x, y > 1 và x + y = 2

Bài 4 : Cho a,b là hai số thoả mãn a > 3 và a+b > 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M=a2+b2

B/ Đối với các biểu thức phân

I/ Đối với các biểu thức phân có TXĐ D⊂R

Để tìm cực trị của các biểu thức có tập xác định D ⊂ R ta thờng sử dụng các

ph-ơng pháp đã nêu ở phần các biểu thức nguyên nh áp dụng BĐT Cauchy, tính chất của luỹ thừa bậc hai

x x x

x

+

− +

−

+

−

= +

−

1 1

2 2 2 1 1 2

y= 3+

x

x x

x x

x x

− +

≥

− +

−

1 1

2 2 3

1 1

x = −

−

1 1

bx ab ax

B =

2

1

2 +

5 ) 2 ( 4 ) 4 4 ( 2

− + + +

= +

+ +

− + +

x

x x

x x

x

2

5 ).

II/ §èi víi c¸c biÓu thøc ph©n cã TXD lµ R §Ó t×m GTLN hay GTNN cña c¸c biÓu thøc d¹ng nµy ta ¸p dông tÝnh chÊt:

+

−

x x

x x

+

−

x x

 - 3 y2+ 40 + 5 > 0



3

40 5 3

+ +

x

x x

+ +

; 2

3/ C¸c bµi to¸n ¸p dông:

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:

+

−

x

x x

B =

1 2

1

2

2 + +

+ +

x x

x x

C =

1

3 2

2 − +

−

x x x

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một đại lợng hình học nào đó ( độ dài đờng thẳng, bán kính đờng tròn, chu vi, diện tích một hình nào đó ) Yêu cầu phải tìm các giá trị h1,h2 cố định thảo mãn BĐT.

h1< h< h2

đồng thời chỉ rõ vị trí hình học của các đại lợng biến thiên đang xét để tại đó h đạt giá trị nhỏ nhất h1 hoặc giá trị lớn nhất h2 Đối với nhiều bài toán cụ thể chỉ cần tìm một trong hai giá trị này Để giải các bài toán tìm cực trị thông thờng ta sử dụng các phơng pháp sau :

- Quan hệ giữa đờng vuông góc với đờng xiên , giữa đờng xiên và hình chiếu

- Bất đẳng thức và cạnh trong tam giác, về cạnh và góc trong tam giác

- Các bất đẳng thức trong đờng tròn, đờng kính và dây cung và khoảng cách đến tâm

- Vận dụng các kiến thức đại số, các phơng pháp ở phần cực trị đạt số, đặc biệt là hai BĐT Cauchy và Bunhiacôpxki

Phân loại bài tập và minh hoạ

I - Tìm cực trị dùng quan hệ giữa đ ờng vuôg góc với đ ờng xiên :

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có góc B và góc C là các góc nhọn, M là điểm bất kỳ

thuộc cạnh BC Gọi H và K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ B và C đến

AM Tìm vị trí của M để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất

BM BH

( quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc) => BC + CK < BM + CM Hay BH + CK < BC ( vì M ∈ BC)

=> BH + CK lớn nhất khi đẳng thức xảy ra nghĩa là BH + CK = BC

Khi đó AM ⊥ BC

M là chân đờng cao đi qua đỉnh A của tam giác ABC

Ví dụ 2: Một hình thang có diện tích bằng 1 ( đvdt) Hỏi đờng chéo hình thang có độ

dài nhỏ nhất là bao nhiêu ?

Trong tam giác AMC ta có : AC2 = AM2 + MC2

Hay d2 = h2 + x2 > 2 xh trong đó h = AM là độ dài đờng cao của hình thang

Mặt khác 2xh > ( DC + AB) h = 2SABCD = 2

Suy ra d2 > 2 hay d1 > 2

Vậy đờng chéo của hình thang có độ dài nhỏ nhất là 2

Ví dụ 3 : Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB,Ax và By là các tiếp tuyến của nửa đờng

tòn lần lợt tại A và B M là điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đờng tròn cắt Ax, By tại C và D

Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABCD là nhỏ nhất

Khi M thay đổi thì AB không đổi

yD

D/

B

C’

CA

Vậy CD nhỏ nhất ⇔ CD = AB ⇔ tứ giác ABCD là hình chữ nhật

⇔ AB CD=> 0M ⊥AB hay M là điểm chính giữa cung AB

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH Lấy điểm E thuộc AB điểm F

thuộc AC sao cho góc EHF bằng 900 EF phải có vị trí nh thế nào thì độ dài EF nhỏ nhất

Giải :

Gọi I là trung điểm của EF

Xét trong ∆ vuông EAF và EHF ta có :

FE IA

2 1 2

=>EF nhỏ nhất EF ⇔bằng AH khi đó A,I,H thẳng hàng,nghĩa là I là trung điểm của

AH;EI trở thành đờngtrung tuyến ứng với AH và EI =

2

1 AH => HE⊥ AB => HF ⊥ ACVậy HE ⊥AB, HF ⊥ AC thì EF nhỏ nhất

Ví dụ 2 : cho đờng tròn tâm (O) và dây AB Gọi C,D là hai điểm trên AB sao cho

AC = CD = DB Các bán kính qua C và D cắt đờng tròn tại M và N

CMR /:Góc ở tâm AOB không bị chia thành ba góc bằng nhau và góc COD là góc

Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CO = CE E N

=> Tứ giác AODE là hình bình hành vì có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng nên AD = OE

Vì D là điểm nằm trong đờng tròn tâm (O) nên OD < OA => AE < OA

Do đó trong ∆AEO ta có góc AOC < góc AEO mà góc AEO = góc COD ( hai góc

so le trong) => góc AOC < góc COD (2)

Từ (1 ) và (2) => góc AOC= góc BOD < góc COD

Ví dụ 3: Cho góc nhọn x0y ĐIểm A nằm trong góc đó trên 0x; 0y lần lợt lấy hai điểm

B và C sao cho chu vi ∆ ABC nhỏ nhất

Giải :

Gọi A/ là điểm đối xứng của A qua 0x,

Gọi A" là điểm đối xứng của A qua 0y

=> CA’’ là hình đối xứng của CA qua 0y

Với Ox, C là giao điểm của A’A// với Oy

Thì chu vi ∆ ABC là nhỏ nhất

3/ Các bài tập áp dụng :

Bài 1: Cho hai điểm A và B trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng d cho trớc.

A/ Tìm trên d một điểm sao cho chu vi tam giác ACB nhỏ nhất

B/ Tìm trên d hai điểm M,N có khoảng cách MN = a sao cho độ dài đờng gấp khúc AMNB nhỏ nhất

III- Tìm cực trị dùng BĐT trong đờng tròn

1/ Kiến thức cơ sở:

a/ Cho đờng tròn tâm (0) đờng kính AB với dây CD bất kỳ thì ta có CD < AB

b/ Trong đờng tròn (0) AB, CD là hai dây cung I,K tơng ứng là hai trung điểm của hai dây đó ta có:

AB > CD ⇔ OI < OK

2/ Các ví dụ:

Ví dụ1: A là điểm cố định trong đờng tròn (0,R) (A không trùng 0) và dây MN quay

quanh A Xác định vị trí của dây cung MN để độ dài MN là lớn nhất? Nhỏ nhất ?

Khi đó MN là đờng kính đi qua A

Ví dụ 2: Hai đờng tròn tâm (01) và ( 02)

Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt đờng tròn(01) ở C và cắt đờng tròn (02) ở D sao cho A nằm trong đoạn CD Tìm vị trí cắt tuyến CDsao cho chu vi tam giác BCD nhận giá trị lớn nhất

Giải : Ta có góc ACB =

2

1 Sđ cung AMB( góc nội tiếp chắn cung AnB)

BD

A

ND

IMm

O

A

O2

AC

D

góc DB =

2

1 Sđ cungg AmB

( góc nội tiếp chắn cung AmB)

mà cung AmB và cung AnB là hai cung không đổi => góc ACB và góc ADB không đổi Vậy ∆BCD khi chuyển động sẽ luôn đồng dạng với chính nó Do đó để chu vi của tam giác BCD lớn nhất chỉ còn một cạnh chẳng hạn BC lớn nhất , khi đó dây BC sẽ là đ-ờng kính của đđ-ờng tròn (01) Ta có góc CAB = 900 nên BD cũng là đờng kính của đờng tròn (02) và CD ⊥ AB tại A Vậy cát tuyến CD qua A và vuông góc với AB thì chu vi tam giác BCD lớn nhất IV/ Tìm cực trị dùng BĐT Đại số 1/ Kiến thức cơ sở: + BĐT Cauchy : Cho n số không âm, a1,a,…., an ta có BĐT: n n n a a a n a a a

2 1 2 1+ + + ≥ Dấu đẳng thức thức xảy ra khi a1=a2= =an + BĐT Bunhiacôpxki Cho n cặp số bất kỳ a1,a2,…….an; b1,b2,…,bnta có BĐT: (a1 b1 + a2b2+….+anbn)2 < ( a2 1 + a2 2 + …+a2 ) (b2 + b2 2 +….+b2 ) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n n b a b a b a = = =

2 2 1 1 2/ Các ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc Dựng đ-ờng thẳng d đi qua M sao cho d tạo với hai cạnh của góc một tam giác có diện tích nhỏ nhất Giải:

Kẻ MH // với OA MH // OB => SOHMK = S3 không đổi

SAKM = S1; SMHB = S2; S ABC = S

Đặt MA = a; MB = b

Ta có : S3 = S - ( S1 + S2)

=>

S

S S

S3 S1 2

Ta thấy ∆A MK ; ∆MHB ; ∆AOB đồng dạng (g.g)

x

y A

H

M K

B b

1

2 b

a