CHUYEN DE CUC TRI(DUNG ON TH VAO 10)

A/ đặt vấn đề I/Lí do chọn đề tài: Là giáo viên dạy toán trong các trờng THCS tôi nhận thấy phần đông các em học sinh học yếu môn toán vì các lí do sau : 1/ Không thuộc kiến thức và không nắm vững kiến thức thức cơ bản. 2/Lí do quan trọng hơn là : Các em cha biết cách làm toán mà ta gọi đó là phơng pháp , nhất là các phơng pháp đặc trng cho từng dạng , cho từng loại toán. Muốn chứng minh một đẳng thức thì phải làm sao? Tìm GTLN , GTNN thì phải làm thế nào ? Các em không nắm chắc. Vì vậy làm thế nào để có thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các loại toán , vận dụng kiến thức vào để giải hay cụ thể hơn là phơng pháp giải từng loại toán nh thế nào . Giải quyết đợc vấn đề đó không phải dễ khi mà phân phối chơng trình môn toán THCS cha có một tiết nào cho giáo viên dạy một cách hệ thống các phơng pháp giải các loại toán cụ thể mà chúng chỉ xuất hiện đơn lẻ. Trong chơng trình toán THCS Các bài toán tìm GTLN , GTNN chiếm một vị trí rất quan trọng . Các bài toán này rất phong phú , đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức , vận dụng một cách hợp lý , khá độc đáo và nhỉều cách giải . Vì vậy các bài toán tìm GTLN; GTNN gọi chung là (những bài toán cực trị) thờng xuyên xuất hiện trong các sách giáo khoa , sách nâng cao của các khối lớp . "Những bài toán cực trị " theo tôi là dạng toán rất hay nó giúp học sinh phát triển trí thông minh , sáng tạo, khả năng t duy toán học cao . Qua nghiên cứu kĩ nội dung kiến thức ,đọc nhiều tài liệu, nghiên cứu kĩ thực tế giảng dạy của giáo viên, cách học tập của học sinh ,qua những năm giảng dạy ở trờng THCS ,tôi đã rút ra đợc vài kinh nghiệm , giúp bản thân giảng dạy tốt hơn cũng nh quá trình học tập của học sinh dạt kết quả cao hơn. II / Mục đích nghiên cứu : Trên cơ sở thực hiện đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập , không ngừng nâng cao chất lợng dạy và học - Đặc biệt trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi . Bản thân tôi mạnh dạn hệ thống kiến thức : " Các bài toán cực trị và phơng pháp giải " để giúp học sinh trong nhà trờng ở nơi tôi đang công tác đạt kết quả cao hơn trong quá trình học tập . III. Đối t ợng nghiên cứu: * Quá trình dạy học của giáo viên * Vấn đề tự học của học sinh THCS 1 IV. Ph ơng pháp nghiên cứu. - Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết. - Su tầm tài liệu nghiên cứu trên cơ sở lý thuyết và vấn đề tự học . - Tiến hành điều tra thực tiễn kết quả học tập của học sinh Phơng pháp truyền thụ kiến thức của giáo viên . - Kiểm nghiệm , đối chứng giữa lý thuyết và thực tiễn từ đó rút ra bài học trong công tác nghiên cứu . V. Thời gian nghiên cứu. - Từ ngày 27/10/2009 đến ngày 20/12/2009. Xác định tên đề tài, lập kế hoạch, lập đề cơng, thu thập số liệu thông tin ở đơn vị thực tế - Từ ngày 20/12/2004 đến ngày 30/12/2004. Xử lý thông tin, viết bản thảo. - Từ ngày 30/12/2004 đến 11/1/2005. Bổ sung hoàn chỉnh viết đề tài chính thức. b/ nội dung đề tài I/ yêu cầu: 1/ Với giáo viên: - Xây dựng cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị và phơng pháp giải cho từng dạng toán - Phân loại các bài tập và hệ thống từ dễ đến khó - Rèn luyện khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức trong nghiên cứu . - Trong quá trình giảng dạy , phải chú ý tìm ra những vớng mắc , sai sót mà học sinh hay mắc phải khi giải các bài tập . 2/ Với học sinh : -Hiểu đợc bản chất các loại toán - Nhận dạng đợc từng loại bài tập , vận dụmg phơng pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán - Phát huy khả năng t duy sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bài khó với cách giải hay hơn. II/ Nội Dung Cơ Bản 1/ Khái niện về bài toán cực trị Trong thực tế có những bài toán yêu cầu ta đi tìm cái ''nhất ''trong mối quan hệ đã biết . Đó là việc đi tìm GTLN(cực đại )hay GTNN ( cực tiểu )của một đại lợng và gọi chung là " những bài toán cực trị " . 2/ Nội dung cụ thể gồm hai phần : Phần 1 : Cực trị đại số . Phần 2 : Cực trị hình học . 2 Phần 1: Cực Trị Đại Số */ Một số kiến thức cơ sở: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một miền xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn lớn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng ) một hằng số k và tồn tại giá trị của biến để A=k thì k đợc gọi là GTNN (GTLN) của biểu thức A ứng với giá trị của biến thuộc miền xác định nói trên .Nh vậy để tìm GTNN của biểu thức ta cần : - Chứng minh rẳng A k giá trị của biến và với k là hằng số . - Chỉ ra dấu bằng có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến . Để tìm GTLN của A ta cần: - Chứng minh rằng A k giá trị của biến với k là hằng số. - Chỉ ra dấu bằng có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến . Ta kí hiệu min A là GTNN của A Ta kí hiệu max A là GTLN của A Chú ý: 1/ Nếu chỉ chứng minh đợc A k hoặc A k thì cha đủ để kết luận về GTNN hoặc GTLN của biểu thức . Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức : A = (x-1) 2 + (x-3) 2 Giải : Ta có : (x-1) 2 0 x (1) (x-3) 2 0 x (2) Suy ra A 0 x Nhng không thể kết luận Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời hai BĐT (1) và ( 2) Ta có A = x 2 2x+1+x 2 - 6x+9 = 2.(x-2) 2 +2 2 x Vậy Min A = 2 đạt đợc x-2 = 0 x = 2 2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên. Ví dụ: Xét biểu thức A = x 2 ta thấy x 2 0 x và x 2 = 0 khi x = 0 Vậy biểu thức A có GTNN khi x = 0 . Biểu thức này không có GTLN. Tìm GTNN, GTLN của một biểu thức là một vấn đề không đơn giản .Nhất là đối với học sinh THCS khi mà các em cha tiếp cận đợc một cách đầy đủ các kiến thức cơ bản để giải loại toán này . Trong khuôn khổ đề tài nhỏ tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán cực trị thờng gặp ở THCS. Phân dạng bài tập và ví dụ minh hoạ A/ Với các đa thức nguyên. I/ Ph ơnmg pháp tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc hai. Lí thuyết áp dụng: A 2 0 x ( X là biến của biểu thức A) A 2k 0 x Ví dụ 1: Tìm min của biểu thức A=2.(x-3) 2 -3 Giải: Ta thấy (x-3) 2 0 x 2.(x-3) 2 0 x 2.(x-3) 2 -3 - 3 x Min A=-3 x+3 = 0 hay x=-3 Ví dụ2: Tìm GTNN của biểu thức : B = (x-1) 2 +(x-5) 2 Giải: Ta có : B = (x 2 -2x+1)+(x 2 -10x+25) B = 2x 2 -12x+26 B = 2(x 2 - 6x+9)+8 B = 2(x-3) 2 +8 Ta thấy : 2(x-3) 2 0 x 2(x-3) 2 +8 0 x MinB = 8 đạt đợc x-3=0 hay=3 Vậy Min B = 8 x=3 3 Chú ý: Khi giải bài toán này học sinh có thể mắc sai lầm sau: Ta có : (x-1) 2 0 x (x-5) 2 0 x Từ đó suy ra minB = 0 ; ở đây kết luận minB=0 là sai vì không xảy ra đồng thời hai bất đẳng thức trên. Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức: C= -x 2 +6x-15 Giải: C = -x 2 +6x-15 = -(x 2 +6x-15) =-(X 2 -6X+9+6) = -(X-3) 2 6 Ta có: (x-3) 2 0 x -(x-3) 2 -6 -6 x MaxC = -6 đạt đợc x-3=0hay x=3 ví dụ4: Tìm GTNN của Đ = x- 2004x Giải: TXĐ: D = { x R/ x 2004 } Ta có: Đ = (x-2004)- 2004x +2004 Đ = ( 2004x ) 2 - 2004x + 4 1 + 4 8015 Đ = ( 2004x - 2 1 ) 2 + 4 8015 Ta có: ( 2004x - 2 1 ) 2 0 x D ( 2004x - 2 1 ) 2 + 4 8015 4 8015 x D MinD = 4 8015 Khi x = 4 8017 D Chú ý: Khi tìm GTNN,GTLN của biểu thức có chứa căn thức ta phải chú ý tới miền xác định của biểu thức. Ví dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức : E = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) Giải: E = (x 2 +5x+4)(x 2 +5x+6) E = (x 2 +5x+4) 2 +2(x 2 +5x+4) +1-1 E = (x 2 +5x+4 +1) 2 1 E = (x 2 +5x+5) 2 1 Ta có: (x 2 +5x+5) 2 0 x MinE = -1 x 2 +5x+5 = 0 x= 2 55 + hoặc x= 2 55 Vậy MinE = -1 Khi x= 2 55 + hoặc x= 2 55 Ví dụ 6: Tìm GTNN của biểu thức: Ta có: F(x,y) = x 2 +2y 2 -2xy-4y+5 F(x,y) = x 2 -2xy+y 2 +y 2 -4y+4+1 F(x,y) = (x-y) 2 +(y-2) 2 +1 Ta có = (x-y) 2 0 x (y-2) 2 0 y (x-y) 2 +(y-2) 2 +1 1 x,y Min(x,y) =1 = = 02 0 y yx hay x=y=2 Ví dụ 7: Tìm GTNN của biểu thức: G = x 2 + 2y 2 - 3z 2 - 2xy + 2xz-2x-2y- 8z+2010 4 Giải : Ta có :G=(x-y+z-1) 2 +(y+z-2) 2 +(z-1) 2 +2004 Vì (x-y+z-1) 2 0 x,y,z (y+z-2) 2 0 y,z (z-1) 2 0 z (x-y+z-1) 2 +(y+z-2) 2 +(z-1) 2 +2004 0 x,y,z MinG = 2004 = =+ =+ 01 02 0 z zy zyx hay x=y=z=1 Vậy min G =2004 khi x=y=z=1 Các bài toán áp dụng Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức : A=2x 2 +3x+1 B=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) C=x 4 +2x 3 +1 D=x- 4 1993x Bài 2; Tìm GTLN của biểu thức E= -5x 2 -4x+1 F = -(2x-1) 2 -1 G=-x 4 +6x 3 -10x 2 +6x+9 Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức H= x 2 +2y 2 -2xy+2x-10 I= x 2 +6y 2 +14z 2 -8yz+6zx-4xy Ghi nhớ : Qua các ví dụ và các bài tập trên ta thấy những biểu thức có dạng tam thức bậc hai ax 2 +bx+c hoặc có thể đa về dạng tam thức bậc hai, hoặc đa về dạng bình phơng đều có thể giải theo phơng pháp sử dụng tính chất luỹ thừa bậc hai II / Ph ơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất trị tuyệt đối 1/ Lý thuyết áp dụng : BA + BA + BABA Đẳng thức xảy ra khi A.B 0 Ví dụ 1:Tìm GTNN của biểu thức A= 31 + xx Giải Ta có : 31 + xx = xx + 31 xx + 31 = 2 Từ đó suy ra A x 2 Vậy Min A=2 (x-1)(3-x) 0 hay 1 3 x Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức B = 44 22 ++ xxx Giải: Ta có: B = ( ) 2 2 2 xx + B = xxxx ++ 22 = 2 Từ đó suy ra MinB = 2 đạt đợc khi và chỉ khi x(2-x) 0 hay o 2 x Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C = ( ) )11(2112 +++++ xxxx 5 Giải: TXĐ: D= { 1/ xRx } Ta có C= 122122 ++++++ xxxx C = 1121121 +++++++ xxxx C = 22 )11()11( ++++ xx C= 211111111 =++++++++ xxxx Vậy MinC=2 đạt đợc ( 11 ++x )(1- 1+x ) 0 hay-1 0 x Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức: D = 143 + aa - 1815 + aa Giải: TXĐ: { } 1/ aRa D = 4141 + aa - 16181 + aa D = 2 )21( a - 2 )41( a D= 21 a - 41 a 4121 + aa = 2 Vậy MaxD = 2 đạt đợc 0)41)(21( 1 aa a Hay a 16 2/ Các bài tập ứng dụng: Tìm GTNN của biểu thức : E = 22 1664 xx ++ F = 2222 1997399419963992 +++ xxx G = )11(2)11(2 3333 ++++++ xxxx H= 4 1 44 22 +++ xxxx III/ ph ơng pháp tìm cực trị dựa theo bất đẳng thức cauchy 1/ Lí thuyết áp dụng : Bất đẳng thức cauchy: Cho n số không âm a 1 ,a 2 , ,a n n n n aaa n aaa 2 21 1 +++ Đẳng thức xảy ra khi a 1 =a 2 = =a n Chú ý :Từ đó suy ra hai mệnh đề cho ta giá trị lớn nhất của tích và giá trị nhỏ nhất của tổng sau đây : a/ Nếu a 1 +a 2 + +a n là hằng số (a 1 ,a 2 , ,a n )max a 1 =a 2 = =a n b/ Nếu a 1 . a 2 a n là hằng số (a 1 +a 2 + +a n )min a 1 =a 2 = =a n 2/ Các ví dụ: Ví dụ1: Tìm GTNN của biểu thức : A = 3 16 + + x x với x 0 6 Giải: A = 3 16 + + x x = 3 25 3 3 9 3 259 + += + = + + x x x x x x = -6+ 3 )3(25 26 3 25 3 + + + + ++ x x x x A 4. Vậy minA=4 4 33 25 3 = + =+ xx Ví dụ 2: Cho x,y là các số thay đổi sao cho 0 x 3;0 y 4. Tìm GTLN của biểu thức: B=(3-x)(4-y)(2x+3) Giải: Ta có: B=(3-x)(4-y)(2x+3)= 2. 6 1 . (3-x).3(4-y)(2x+3y)= 6 1 (6-2x).(12-3y)(2x+3y) Với 0 x 3;0 y 4 thì 6-2x 0; 12-3y 0;2x+3y 0 áp dụng hệ quả BĐT cauchy vơi ba số không âm ta có (6-2x).(12-3y)(2x+3y) 3 6 3 )32()312()26( = +++ yxyx Suy ra B 3 6. 6 1 36 B Đẳng thức xảy ra khi : 6-2x=12-3y=2x+3y x=0vày=2 Vậy maxB=36 x=0;y=2 Ví dụ 3: Cho a;b là 2 số dơng , các số dơng x,y thay đổi sao cho x a + y b =1 Tìm GTNN của biểu thức : C= x+y Giải: Ta có: x a + y b =1 C=(x+y)( x a + y b ) C=(a+b)( x ay + y bx ) . áp dụng BĐT cauchy với 2số x ay ; y bx Ta có: x ay + y bx 0,.2 > yx y bx x ay x ay + y bx 2 ab Vậy C a+b+2 ab x,y>0 MinC= a+b+2 ab x ay = y bx b a y x = Ví dụ 4: Cho a,b là 2 số dơng thoả mãn : 3a+5b=12 . Tìm GTNN của biểu thức D = ab Giải: Vì a,b là 2 số dơng , Suy ra 3a, 5b là các số dơng. áp dụng BĐT cauchy ta có 12=3a+5b 2 ba 5.3 6 5 12 153615 DDab Vậy maxD= 5 12 3a=5b=6 a=2,b= 5 6 Ví dụ5: Cho a,b là hai số dơng thoả mãn :ab=216.Tìm GTNN của biểu thức :E=6a+4b Giải vì a,b là 2 số dơng ; Suy ra 6a,4b >0 . áp dụng BĐT cauchy tacó: 6a+4b 144216.6.424.62 EEba 7 Vậy minE=144đạt đợc khi 6a=4b a=12;b=18 Ghi nhớ: Qua các ví dụ áp dụng BĐT cauchy ta thấy BĐT cauchy chỉ áp dụng đợc đối với 2 số dơng. Ngoài điều kiện đó ta không thể áp dụng đợc. +/ Nếu biết đợc tổng của các số dơng là hằng số thì ta tìm đợc GTLN của các số đó. +/ Nếu biết đợc tích của các số dơng là hằng số thì ta tìm đợc GTNN của các số đó. 3/ Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm GTLN của biểu thức F=x+ 2 1 x Bài 2: Tìm GTNN của biểu thức G= x xx 44 2 ++ với x>0 H= 1 2 x x với x>1 Bài 3: Cho 2 số dơng x,y thoả mãn x+y=xy .Tìm GTNN của biểu thức K=x+y Bài 4: Cho x,y,z là các số thoả mãn xy+yz+zx=100 . Tìm GTNN của biểu thức I=xyz IV/ Ph ơng pháp tìm c c trị theo BĐT Bunhiacôpxki 1/ Lí thuýêt áp dụng: BĐT Bunhiacôpxki : Cho n cặp số bất kỳ a 1 ,a 2 , ,a n ; b 1 ,b 2 , ,b n ta có BĐT (a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2 (a 1 2 +a 2 2 + +a n 2 )(b 1 2 +b 2 2 + +b n 2 ) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n n b a b a b a === 2 2 1 1 2/ Các ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho x,y thoả mãn x 2 +4y 2 =25.Tìm GTLN,GTNN của biểu thức M= x+2y Giải: Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có (x+2y) 2 (x 2 +4y 2 )(1 2 +1 2 )=50 502 + yx Hay - 50 M 50 Vậy MaxM=5 2 khi = = 4 25 2 25 y x MinM=- 5 2 khi = = 4 25 2 25 y x Ví dụ 2: Cho x,y là hai số thoả mãn x 2 +y 2 =1. Tìm GTNN,GTLNcủa biểu thức N=x 11 +++ xyy Giải :áp dụng BĐT Bunhiacôpxki N 2 =( x 11 +++ xyy ) 2 ( x 2 + y 2 )(x+y+2) N 2 x+y+2 Mặt khác (x+y) 2 2(x 2 + y 2 )=2 2- 2 x+y+2 2+ 2 Suy ra N 2 2+ 2 - 2222 ++ N 8 Vậy MaxN= 22 + MinN= - 22 + Ví dụ 3: Cho x,y,x là các số thực thoả mãn xy+yz+xz=4. Tìm GTNN của biểu thức : P= x 4 +y 4 +z 4 Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có (xy+yz+xz) 2 ( x 2 +y 2 +z 2 )( x 2 +y 2 +z 2 ) khi và chỉ khi 16 ( x 2 +y 2 +z 2 ) 2 (1) Mặt khác áp dụng lần hai BĐT Bunhiacôpxki ta có : (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 (1 2 +1 2 +1 2 )(x 4 +y 4 +z 4 ) (2) Từ (1) và (2) ta có: 3(x 4 +y 4 +z 4 ) 16 x 4 +y 4 +z 4 3 16 Vậy minP= 3 16 khi x=y=x= 3 32 Ví dụ 4: Cho 2 số dơng a,b . Hai số dơng x,y thay đổi sao cho x a + y b =1 . Tìm x,y để x+y đạt GTNN Giải:Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có x+y=( 22 yx + )( y b x a + )=( 22 yx + )( ))()( 22 y b x a + y b y x a x ( + ) 2 Suy ra: x+y ( aa + ) 2 . Đẳng thức xảy ra khi: ba ba yx b y a x += + + == Suy ra: Min(x+y)= ( aa + ) 2 khi x= ).( baa + ; y= ).( bab + Ví dụ 5: Cho x, y,x,t 0 thoả mãn x(x- 4 1 )+y(y- 4 1 )+t(t- 4 1 ) 2 1 Tìm GTLN của S = x+y+z+t Giải : Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có : ( x+y +z + t) 2 < ( 1 2 + 1 2 + 1 2 )( x 2 + y 2 +z 2 + t 2 ) Hay 4 1 (x+y+z+t) 2 < x 2 + y 2 + z 2 + t 2 (1) Từ giả thiết suy ra x 2 + y 2 + z 2 + t 2 - 4 1 ( x+ y + z + t ) < 2 1 ( 2) Kết hợp (1) và (2) ta có : 4 1 ( x+ y +z +t ) 2 - 4 1 ( x+y+z+t ) < 2 1 S 2 - S -2 < 0 -1 < S < 2 Vậy Max S = 2 đạt đợc khi x = y = z = t = 2 1 3/ Bài tập áp dụng : Bài 1 : Cho x,y là hai số thoả mãn x + 2y = 3 . Tìm GTNN của E = x 2 + 2y 2 9 Bài 2 : Tìm GTLN của biểu thức P = zyx 542 ++ cho biết x, y, z là các biến số thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 = 169 . Bài 3 : A = 11 +++ yx biết x, y > 1 và x + y = 2 Bài 4 : Cho a,b là hai số thoả mãn a > 3 và a+b > 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=a 2 +b 2 . B/ Đối với các biểu thức phân I/ Đối với các biểu thức phân có TXĐ D R Để tìm cực trị của các biểu thức có tập xác định D R ta thờng sử dụng các ph- ơng pháp đã nêu ở phần các biểu thức nguyên nh áp dụng BĐT Cauchy, tính chất của luỹ thừa bậc hai Ví dụ 1 : Tìm GTNN của hàm số : y= 1 2 x + x 1 với 0< x<1 Giải : Ta có y = x xx x xx xx + + + =+ 1 1 2221 1 2 y= 3+ x x x x x x x x + + 1 1 2 23 1 1 2 với 0 < x < 1 => y > 3 + 2 2 suy ra min y = 3 + 2 2 đạt đợc x x x x = 1 1 2 hay x = 2 - 1 Ví dụ 2: Cho a > 0 , b > 0 tìm GTNN của biểu thức: A = x bxax ))(( ++ với x > 0 Giải: Ta có A= x ab xba x bxabaxx +++= +++ 2 => A > a+b+2 x ab x + A > a + b + 2 ab => Min A = a + b + 2 ab đạt đợc x = hay x ab x= ab Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức 10 [...]... đề khó và rộng (trong cả đại và hình) nhng trong quá trình tìm hiểu, tham khảo tài liệu và nhờ th y giáo hớng dẫn viết đề tài tôi th y đây là một vấn đề tài hữu ích cho giáo viên toán trờng THCS Tìm hiểu nghiên cứu các bài toán cực trị giúp tôi có cơ sở lý luận trong việc giải toán, nắm vững các dạng bài tập th ng dụng với phơng pháp giải phù hợp, biết những sai lầm mà học sinh có th mắc phải.vv.,... AB điểm F thuộc AC sao cho góc EHF bằng 900 EF phải có vị trí nh th nào th độ dài EF nhỏ nhất Giải : Gọi I là trung điểm của EF A 1 Xét trong vuông EAF và EHF ta có : IA = 2 FE IH = 1 FE 2 E B F H ( Tính chất đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền) => IA = IH = 1 EF 2 Ta có EF = IE + IF = IA + IH > AH = const ( BĐT về cạnh trong tam giác) 15 C =>EF nhỏ nhất EF bằng AH khi đó A,I,H th ng hàng,nghĩa... đó ( độ dài đờng th ng, bán kính đờng tròn, chu vi, diện tích một hình nào đó ) Yêu cầu phải tìm các giá trị h1,h2 cố định th o mãn BĐT h1< h< h2 đồng th i chỉ rõ vị trí hình học của các đại lợng biến thiên đang xét để tại đó h đạt giá trị nhỏ nhất h1 hoặc giá trị lớn nhất h2 Đối với nhiều bài toán cụ th chỉ cần tìm một trong hai giá trị này Để giải các bài toán tìm cực trị th ng th ng ta sử dụng... hình chiếu - Bất đẳng th c và cạnh trong tam giác, về cạnh và góc trong tam giác - Các bất đẳng th c trong đờng tròn, đờng kính và dây cung và khoảng cách đến tâm - Vận dụng các kiến th c đại số, các phơng pháp ở phần cực trị đạt số, đặc biệt là hai BĐT Cauchy và Bunhiacôpxki Phân loại bài tập và minh hoạ I - Tìm cực trị dùng quan hệ giữa đờng vuôg góc với đờng xiên : 1/ Kiến th c cơ sở : * 0H d (... định M để DE nhỏ nhất Bài 2 : Cho ABC Tìm đờng th ng đi qua đỉnh A sao cho tổng khoảng cách từ Bvà C đến d là nhỏ nhất; lớn nhất II / Tìm cực trị dùng BĐT trong tam giác 1/ Kiến th c cơ sở : + Với 3 điểm A,B,C bất kỳ ta có AC+ BC > AB Đẳng th c xảy ra C AB + Trong tam giác ABC ta có góc BAC > góc ABC BC < AC 2/ Các ví dụ áp dụng : Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH Lấy điểm E thuộc AB... giá trị nhỏ nhất của biểu th c sau: 2 A = x x +1 2 x +1 2 B = x2 + x + 1 x + 2x + 1 C= 2x 3 x x +1 2 12 Phần II: cực tri hình học Một số kiến th c cơ sở:* Trong quá trình giải các bài toán hình học ta th ng gặp các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lợng hình học nào đó Các bài toán này th ng đợc gọi là toán cực trị hình học nội dung của nó th ng đợc diễn đạt dới dạng... Suy ra diện tích AOB nhỏ nhất S = 2 S3 khi a =b khi đó M là trung điểm của AB Vậy khi đó ta dựng đờng th ng d sao cho MA = MB th AOB nhỏ nhất Ví dụ: Cho tam giác ABC có: BC = a ; AC = b; AB = c Tìm điểm M nằm bên trong tam giác ABC sao cho a b c + + có giá trị nhỏ nhất x y z Trong đó x,y,z theo th tự là khoảng cách từ điểm M đến cạnh BC, AC , AB Giải: Gọi diện tích của tam giác ABC là S Ta có ax... biểu th c sau: 2 A = x + 4 x + 4 với x > 0 x 2 B = x với x > 1 x 1 C= D= x 5 + với 0 < x < 1 1 x x x 2 + ( x > 1) 2 x 1 II/ Đối với các biểu th c phân có TXD là R Để tìm GTLN hay GTNN của các biểu th c dạng này ta áp dụng tính chất: 1/ Lý thuyết áp dụng: Biểu th c y = f (x) xác định x R Phơng trình y = f (x) có nghiệm 2/ Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu th c ... điều này rất cần thiết cho bản th n trong quá trình giảng dạy Sau khi áp dụng đề tài tại trờng THCS nơi công tác tôi th y các em học sinh đã hiểu tốt bản chát các loại toán tìm cực trị, vận dụng tốt phơng pháp hợp của từng dạng vào giải toán Biết cách suy luận từ bài toán dễ đến khó và có sự phát hiện các phơng pháp giải hay hơn Tất nhiên một vấn đề mang tính chất khoa học nh đề tài này th bài viết của... độ dài đờng gấp khúc AMNB nhỏ nhất III- Tìm cực trị dùng BĐT trong đờng tròn 1/ Kiến th c cơ sở: a/ Cho đờng tròn tâm (0) đờng kính AB với dây CD bất kỳ th ta có CD < AB b/ Trong đờng tròn (0) AB, CD là hai dây cung I,K tơng ứng là hai trung điểm của hai dây đó ta có: AB > CD OI < OK B A O D 2/ Các ví dụ: Ví dụ1: A là điểm cố định trong đờng tròn (0,R) (A không trùng 0) và dây MN quay quanh A Xác . trên ta th y những biểu th c có dạng tam th c bậc hai ax 2 +bx+c hoặc có th đa về dạng tam th c bậc hai, hoặc đa về dạng bình phơng đều có th giải theo phơng pháp sử dụng tính chất luỹ th a. đẳng th c th phải làm sao? Tìm GTLN , GTNN th phải làm th nào ? Các em không nắm chắc. Vì vậy làm th nào để có th giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các loại toán , vận dụng kiến th c vào. giáo viên dạy toán trong các trờng THCS tôi nhận th y phần đông các em học sinh học yếu môn toán vì các lí do sau : 1/ Không thuộc kiến th c và không nắm vững kiến th c th c cơ bản. 2/Lí do