GTLN , GTNN

Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Nguyễn Đức Thanh GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I. Định nghĩa: Giả sử hàm số )(xf xác định trên tậpD ( RD ⊂ ) 1.Nếu tồn tại một điểm Dx ∈ 0 sao cho )()( 0 xfxf ≤ với mọi Dx ∈ ,thì số M = )( 0 xf được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số )(xf trên tập D. Kí hiệu là M = )(max xf Dx∈ 2.Nếu tồn tại một điểm Dx ∈ 0 sao cho )()( 0 xfxf ≥ với mọi Dx ∈ ,thì số m = )( 0 xf được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số )(xf trên tập D. Kí hiệu là m = )(min xf Dx∈ Nhận xét: Muốn chứng tỏ rằng M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số )(xf trên tập D chỉ cần chỉ rõ: 1. Mxf ≤)( (hoặc mxf ≥)( với mọi x thuộc D. 2. Tồn tại ít nhất một điểm Dx ∈ 0 sao cho Mxf =)( 0 (hoặc ))( 0 mxf = Chú ý:Ta qui ước khi nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số )(xf (mà không nói “ trên tập D” thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của )(xf trên tập xác định của nó. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .4)( 2 xxf −= Bài giải Tập xác định của hàm số là [-2; 2]. Hiển nhiên 2)(0 ≤≤ xf với mọi x ]2;2[−∈ 20)( ±=⇔= xxf và 02)( =⇔= xxf Do đó: [ ] 24max;04min 2 2;2 2 ]2;2[ =−=− −∈ −∈ xx x x II. Sử dụng đạo hàm của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Phương pháp thường được sử dụng để tim giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm trên một tập hợp là lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó. Căn cứ vào bảng biến thiên ta tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( nếu có). 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn Nhận xét: Nếu hàm số )(xf luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên đoạn[a;b] thì nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn[a;b] [ ] { } [ ] { } )();(min)(min ,)();(maxmax ; ; bfafxf bfaf ba ba = = Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số 33)( 3 +−= xxxf trên đoạn . 2 3 ;3       − Bài giải: Ta có .10)( )1(3)( , 2, ±=⇔= −= xxf xxf Bảng biến thiên của hàm số )(xf trên đoạn : 2 3 ;3       − TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA 1 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Nguyễn Đức Thanh 5 + ∞ - ∞ 3 2 -15 _ _ + + 15 8 1 0 0 1 -3 f(x) f '(x) x Từ bảng biến thiên, ta được .315)3()(min;15)1()(max 2 3 ;3 2 3 ;3 −=⇔−=−=−=⇔=−=       −∈       −∈ xfxfxfxf x x Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số. 234 10124)( xxxxf +−= trên đoạn       5 6 ;0 Bài giải: Ta có        = = = ⇔= −−=+−= 4 5 1 0 0)( )54)(1(4203616)( , 23 x x x xf xxxxxxxf Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn       5 6 ;0 2 + ∞ - ∞ 1224 625 0 _ _ + + 5 4 6 5 1 0 0 0 0 f(x) f '(x) x Từ bảng biến thiên suy ra 00)(min,12)(max 5 6 ;0 5 6 ;0 =⇔==⇔=       ∈       ∈ xxfxxf x x Chú ý: người ta chứng minh được hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Từ hai ví dụ trên ta có qui tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn[a;b] mà trên đoạn đóhàm số đó liên tục. Qui tắc: a.Tìm các điểm tới hạn của hàm số thuộc đoạn [a; b].tức là các điểm x i thuộc [a; b] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. b.Tính các giá trị )(),(),( bfafxf i . c. So sánh các giá trị trên với nhau số lớn nhất(hoặc nhỏ nhất) trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất(hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a; b] 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng. TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA 2 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Nguyễn Đức Thanh Nhận xét: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b).Nếu trên khoảng (a; b) mà hàm số chỉ có một cực trị thì giá trị cực trị đó là giá trị lớn nhất trên khoảng (a; b) nếu cực trị là cực đại và giá trị cực trị đó là giá trị nhỏ nhất trên khoảng (a; b) nếu cực trị đó là cực tiểu. Sau đây ta chỉ xét trường hợp hàm số có nhiều hơn một cực trị trên khoảng (a; b) Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số xxxxf 84)( 34 +−= trên khoảng );1( ∞+− Bài giải:    = = ⇔=+−⇔= +−= 2 0 0)23(40)( 8124)( 3, 23 x x xxxf xxxf Lại có 3)84(lim)(lim )84(lim)(lim 34 11 34 −=+−= +∞=+−= −→−→ +∞→+∞→ xxxxf xxxxf xx xx Bảng biến thiên + ∞ 2 1 5 + ∞ - ∞ _ _ + + 1 0 0 -4 -3 f(x) f '(x) x Từ bảng biến thiên suy ra 2,4)(min );0( =−= +∞∈ xkhixf x , Hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng );0( ∞+ Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số xxxxf +−= 23 2)( trên khoảng )2;1(− Bài giải: 2)2(lim)(lim,4)2(lim)(lim 3 1 1 0)(143)( 23 22 23 11 ,2, =+−=−=+−=     = = ⇔=⇒+−= →→−→−→ xxxxfxxxxf x x xfxxxf xxxx Bảng biến thiên 0 4 27 1 3 2 2 1 + ∞ - ∞ _ _ + + 1 0 0 -4 f(x) f '(x) x Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho không đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (-1; 2). TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA 3 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Nguyễn Đức Thanh Từ hai ví dụ trên ta có qui tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng(a;b) mà trên khoảng đó hàm số đó liên tục. Qui tắc a. Tìm các điểm tới hạn của hàm số thuộc khoảng (a; b).tức là các điểm x i thuộc (a; b) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. b.Tính các giá trị )( i xf và )(lim);(lim xfxf bxax →→ c. So sánh các giá trị )(xif với nhau chọn số lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong các giá trị đó d. So sánh giá trị lớn nhất trong các giá trị )( i xf vói )(lim);(lim xfxf bxax →→ nếu giá trị lớn nhất trong các giá trị )( i xf lớn hơn hoặc bằng một trong hai giới hạn )(lim);(lim xfxf bxax →→ thì giá trị lớn nhất trong các giá trị )( i xf là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (a; b). nếu giá trị lớn nhất trong các giá trị )( i xf nhỏ hơn một trong hai giới hạn )(lim);(lim xfxf bxax →→ thì hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng (a; b). e. So sánh giá trị nhỏ nhất trong các giá trị )( i xf vói )(lim);(lim xfxf bxax →→ nếu giá trị nhỏ nhất trong các giá trị )( i xf nhỏ hơn hoặc bằng một trong hai giới hạn )(lim);(lim xfxf bxax →→ thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị )( i xf là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a; b). nếu giá trị nhỏ nhất trong các giá trị )( i xf lớn hơn một trong hai giới hạn )(lim);(lim xfxf bxax →→ thì hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (a; b). Chú ý: a.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng [a; b) ( hoặc (a; b]) thì phải so sánh các giá trị )( i xf với )(lim)( xfvàaf bx→ (hoặc )()(lim bfvàxf ax→ ) b.Nếu bài toán không nói cụ thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập nào thì hiểu là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó. Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số xxxfc xx x xfb xx xx xfa sin21cos21)(. 34 34 )(. 1 1 )(. 2 2 2 +++= +− − = ++ +− = Bài giải: Câu a: *Tập xác định: R *    = −= ⇔=⇒ ++ − = 1 1 0)( )1( 22 )( , 22 2 , x x xf xx x xf Khi 3 1 )1()(1,3)1()(1 ==⇒==−=⇒−= fxfxfxfx Ta có 1 1 1 lim)(lim 2 2 = ++ +− = ±∞→±∞→ xx xx xf xx Bảng biến thiên: TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA 4 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Nguyễn Đức Thanh + + _ 0 0 1 3 -1 1 + ∞ 1 1 f(x) f '(x) x 3 - ∞ Từ bảng biến thiên của hàm số ta có 1, 3 1 )(min 1,3)(max == −== xKhixf xKhixf R R Câu b: Tập xác định : R \ {1; 3} 4) 2 3 ()( 2 3 ;1)0()(0 2 3 0 0640)( )34( 64 )( 2, 22 2 , −==⇒=−==⇒=     = = ⇔=+−⇔=⇒ +− +− = fxfxfxfxkhi x x xxxf xx xx xf 0 34 34 lim 2 = +− − −∞→ xx x x , 0 34 34 lim 2 = +− − +∞→ xx x x +∞= +− − − → 34 34 lim 2 1 xx x x , −∞= +− − + → 34 34 lim 2 1 xx x x −∞= +− − − → 34 34 lim 2 3 xx x x , +∞= +− − + → 34 34 lim 2 3 xx x x + + _ _ _ + ∞ + ∞ + ∞ - ∞ - ∞ - ∞ 0 0 3 2 -4 3 1 -1 0 0 0 f(x) f '(x) x Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó. Câu c: Tập xác đinh: R Do f(x) > 0 với mọi x thuộc R xxxxxxxf cossin4)cos(sin212)cos(sin46)( 2 ++++++=⇒ Đặt sinx + cosx = t với [ ] 2;2−∈t ta có hàm số 122246)( 2 −+++= ttttF là hàm số xác định trên đoạn [ ] 2;2− Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số xxxf sin21cos21)( +++= trên R là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 122246)( 2 −+++= ttttF trên đoạn [ ] 2;2− TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA 5 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Nguyễn Đức Thanh Ta có ( )              +−−− ∈+−=       +− ∪       −− −∈++= = 2 31 ; 2 31 84)( 2; 2 31 2 31 ;2484)( 2 2 2 1 tkhittF tkhitttF tF ( )              +−−− ∈−=       +− ∪       −− −∈+= =⇒ 2 31 ; 2 31 8)( 2; 2 31 2 31 ;288)( , 2 , 1 , tkhittF tkhittF tF 00)( , =⇔= ttF ( ) 28122;2812)2( −=−+= FF Bẩng biến thiên: 4+2 3 4-2 3 8 12-8 2 12+8 2 0 _ _ + 0 _ _ + + + 0 F , (t) F(t) F , 2 (t) F , 1 (t) t - 2 2 -1+ 3 2 -1- 3 2 Từ bảng biến thiên suy ra 224) 2 31 ()(min,2812)2()(max ]2;2[ ]2;2[ −= −− =+== −∈ −∈ FtFFtF t t Vậy 13) 2 31 ()(min),12(2)2()(max −= −− =+== FxfFxf R R . Nhận xét :Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số không nhất thiết trường hợp nào cũng phải lập bảng biến thiên tuy nhiên lập bảng biến thiên dễ nhận thấy min ,max hơn. 3. Một số bài toán ứng dụng thực tế Ví dụ 1: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu hình 1.4.Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x (cm) , chiều cao là h (cm) và có thể tích là 500 cm 3 . Gọi S(x) là diện tích của mảnh các tông .Tìm x sao cho S(x) nhỏ nhất hính 1.4 Bài giải: TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA 6 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Nguyễn Đức Thanh Ta có thể tích của hộp là V = x 2 h = 500 (cm 3 ) suy ra h = 0, 500 2 >x x (1) Diện tích mảnh các tông là S(x) = x 2 + 4hx Do (1) ta có x xxS 2000 )( 2 += , x > 0 Vậy S(x) là hàm số của biến số x có tập xác định là (0; +∞) Có 100)( )1000(22000 2)( , 2 3 2 , =⇔=⇒ − =−= xxS x x x xxS Bảng biến thiên: _ + + ∞ 0 0 300 10 S(x) S '(x) x Theo bảng biến thiên ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 10 Vậy để làm một cái hộp không nắp có thể tích 500 cm 3 và tốn ít nguyên liệu nhất thì phải lấy cạnh đáy của hộp có độ dài 10 cm. Ví dụ 2: Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy xác định hình trụ có diện tích xung quanh lớn nhất Bài giải: Gọi x , y lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ nội tiếp trong hình cầu bán kính R Thì 0 < x < R và 0 < y < 2R Ta có 22222 2) 2 ( xRyRx y −=⇔=+ do y > 0 Diện tích xung quanh của hình trụ là S xq = 2πxy = 22 4 xRx − π Vậy S xq của hình trụ là một hàm số S(x) của biến số x có tập xác định là (0; R) Xét hàm số S(x) = 22 4 xRx − π trên tập xác định (0; R) Có 2 2 0)( 2 4)(4)( , 22 22 22 22, R xxS xR xR xR x xxRxS =⇔= − − = − − +−= ππ Bảng biến thiên : Max + _ 0 R 0 R 2 2 S '(x) S(x) x S(x) lớn nhất khi x = 2 2R khi đó x RR Ry 2 2 2 .2) 2 2 ( 22 ==−= Vậy trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R thì hình trụ có bán kính đáy 2 2R r = đường cao hình trụ bằng hai lần bán kính đáy là hình trụ có diện tích xung quanh lớn nhất. TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA 7 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Nguyễn Đức Thanh 4.Các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa tham biến. Ví dụ 1.Tìm các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số aaaxxxf 244)( 22 −+−= trên đoạn [-2; 0] bằng 2 Bài giải: Nhận xét: Đây là bài toán đơn giản học sinh lớp 10 có thể giải được bằng kiến thức hàm số bậc hai. Ta giải bài toán bằng công cụ đạo hàm Tập xác định: R 2 0)(48)( ,, a xxfaxxf =⇔=⇒−= Trường hợp 1: 42 2 −<⇔−< a a Bảng biến thiên + _ 0 0 -2 a 2 f(x) f '(x) x Từ bảng biến thiên ta có [ ] 166)2()(min 2 0;2 ++=−= − aafxf [ ] 014621662)(min 22 0;2 =++⇔=++⇔= − aaaaxf vô nghiệm suy ra a < -4 không thỏa mãn Trường hợp 2: 42 2 −=⇔−= a a Bảng biến thiên + _ 0 0 -2 f(x) f '(x) x Từ bảng biến thiên ta có [ ] 28166)2()(min 2 0;2 ≠=++=−= − aafxf suy ra a = -4 không thỏa mãn Trường hợp 3: 040 2 2 <<−⇔<<− a a Bảng biến thiên + -2 - 0 0 a 2 f(x) f '(x) x Từ bảng biến thiên ta có [ ] a a fxf 2) 2 ()(min 0;2 −== − [ ] )0;4(1222)(min 0;2 −∈−=⇔=−⇔= − aaxf suy ra a = -1 thỏa mãn Trường hợp 4: 00 2 =⇔= a a Bảng biến thiên TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA 8 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Nguyễn Đức Thanh _ + 0 -2 0 f(x) f' '(x) x Từ bảng biến thiên ta có [ ] 202)0()(min 2 0;2 ≠=−== − aafxf suy ra a = 0 không thỏa mãn Trường hợp 5: 00 2 >⇔> a a Bảng biến thiên + _ 0 -2 0 a 2 f(x) f '(x) x Từ bảng biến thiên ta có [ ] aafxf 2)0()(min 2 0;2 −== − [ ]     += −= ⇔=−−⇔=−⇔= − 31 31 022222)(min 22 0;2 a a aaaaxf Do a > 0 nên 31−=a (loại) Vậy: [ ] 12)(min 0;2 −=⇔= − axf hoặc 31+=a Chú ý: Giải bài toán này không cần phải chia nhỏ các trường hợp như cách giải nêu trên mà ta có thể ghép trường hợp 1 với trường hợp 2, trường hợp 4 với trường hợp 5 để lời giải đơn giản hơn .Tuy nhiên đối với đối tượng học sinh có lực học trung bình trở xuống thì việc chia nhỏ là cần thiết vì giúp cho các em dễ hiểu nhưng sau khi giải nên hướng dẫn để các em có thể tự ghép các trường hợp với nhau. Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số 344)( 2 +−+= xxaxxf lớn hơn 2. Bài giải: Tập xác định: R Ta có      ∈++−= ∞+∪−∞∈−−= =      ∈−++−= +∞∪−∞∈+−−= =+−+= )3;1()1(42)( );3()1;()1(42)( )( )3;1(3)1(4)( );3[]1;(3)1(4)( 344)( , 2 , 1 , 2 2 2 1 2 xkhiaxxf xkhiaxxf xf xkhixaxxf xkhixaxxf xxaxxf              −< > −= ⇔         > < −= ⇔= 2 1 2 1 )1(2 3 1 )1(2 0)( , 1 a a ax x x ax xf TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA 9 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Nguyễn Đức Thanh      <<− += ⇔    << += ⇔= 2 1 2 1 )1(2 31 )1(2 0)( , 2 a ax x ax xf Trường hợp 1: 2 1 −<a thì 2(1+a) < 1< 3 < 2(1-a) Bảng biến thiên - - 4a 12a -4 a 2 +8a-1 0 0 2(1-a) 2(1+a) x - - - + + 3 1 f(x) f ' (x) f 2 ' (x) f 1 '(x) Theo bảng biến thiên ta có 184))1(2()(min 2 −+−=−= aaafxf R Vậy 2 3 3 1 038421842)(min 22 <<⇔>+−⇔<−+−⇔> aaaaaxf R Vậy 2 1 −<a (loại) Trường hợp 2: 2 1 2 1 <<− a Khi đó cả hai giá trị 2(1+a) và 2(1-a) đều thuộc khoảng (1; 3) Đồng thời 2(1- a) ≥ 2(1+ a) khi 0 2 1 ≤<− a và 2(1 – a) ≤ 2(1 + a) khi 2 1 0 <≤ a Ta có bảng biến thiên 0 ≤ a< 1 2 - 1 2 < a ≤ 0 4 a 2 -8a+1 4 a 2 -8a+1 12a 12a 4a _ + + + _ + + _ _ _ _ _ _ + ∞ + ∞ + ∞ + ∞ + ∞ + ∞ - ∞ - ∞ 0 3 3 1 1 2(1+a) 2(1+a) f 2 '(x) f 2 ' (x) f 1 '(x) f 1 '(x) + + + 0 2(1-a) 0 2(1-a) - 0 0 4a 0 f(x) f(x) f '(x) f' '(x) x x Từ bảng biến thiên ta có { } { } aaffxf R 12;4min)3();1(min)(min == Vậy 2 1 6 1 2 1 212 24 2)(min >⇔        > > ⇔    > > ⇔> a a a a a xf R Do 2 1 2 1 2 1 >⇒<<− aa (loại) Trường hợp 3: 2 1 >a khi đó )1(231)1(2 aa +<<<− Bảng biến thiên là TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA 10 [...]... 14: Cho 3 số thực x, y, z ∈ [ 0; 2] và x + y + z = 3 Tim GTLN của biểu thức S = x2 + y2 + z 2 Bài 15: Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 Tìm GTNN của biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx Bài 16: Cho hai số thực x, y ≠ 0 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 3 x 2 − 4 xy T= 2 x + y2 Bài 17: Cho x, y , z là 3 số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm GTLN của biểu thức... (t ) = g (1) = [ −1;1] 2 2 1− m π ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z ; R 2 4 m +1 π min f ( x ) = ⇔ x = + kπ , k ∈ Z R 2 4 max f ( x) = *-2 < m < 2 1 m  x = arcsin + kπ  m +8 2 2 ⇔ ,k ∈ Z Hàm số không có giá trị nhỏ nhất max f ( x) = R 1 8  x = (π − arcsin m ) + kπ  2 2  m ≥ 2 thì * 1− m π min f ( x ) = ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z ; R 2 4 m +1 π max f ( x) = ⇔ x = + kπ , k ∈ Z R 2 4 2 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA... x 2 − 2mx − 2m − 4 , Ta có f ( x) = ( x − m) 2 2 f ( x0 ) = Dấu của f , ( x) là dấu của t ( x ) = x 2 − 2mx − 2m − 4 Vì t(x) là một hàm số bậc hai có hệ số của x2 bằng 1 > 0 nên đồ thị t(x) là một Parabol quay bề lõm lên trên Mặt khác , = m 2 + 2m + 4 > 0 với mọi m suy ra Parabol t(x) luôn cắt Ox tại hai điểm có hoành độ phân biệt x 1, x2 (2) 5 Do m ≤ − suy ra 4 t (1) = −3 − 4m > 0, t (3) = 5 − 8m >... x + m sin x cos x = − sin 2 x + sin 2 x + 1 2 2 Đặt sinx = t với t ∈ [−1; 1] 1 2 m Ta có g (t ) = − t + t + 1 2 2 Nhận thấy max f ( x ) = max g (t ), min f ( x) = min g (t ) R [ −1;1] R [ −1;1] 1 2 m Xét g (t ) = − t + t + 1 trên đoạn [-1; 1] 2 2 m m , , Đạo hàm g (t ) = −t + Trên R thì g (t ) = 0 ⇔ t = 2 2 m ≤ −1 ⇔ m ≤ −2 Trường hợp 1: 2 Bảng biến thiên m -1 t 2 _ g'(t) g(t) 1 m+1 1-m 2 2 Từ bảng... (loại) R 2 Trường hợp 5: a = 1 2 Ta có 2   f 1 ( x) = x − 2 x + 3 khi x ∈ (−∞;1] ∪ [3;+∞) f ( x) = 4ax + x − 4 x + 3 =   f 2 ( x) = − x 2 + 6 x − 3 khi x ∈ (1; 3)  ,  f ( x) = 2 x − 2 khi x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; + ∞)  f , ( x) =  1,  f 2 ( x ) = −2 x + 6 khi x ∈ (1; 3)  Hàm số có hai điểm tới hạn là x = 1 và x = 3 Bảng biến thiên: 2 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA 11 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của... 2 ⇔ R Trường hợp 4: a = − 1 2 Ta có 2   f ( x) = x − 6 x + 3 khi x ∈ (−∞;1] ∪ [3;+∞) f ( x) = 4ax + x 2 − 4 x + 3 =  1  f 2 ( x) = − x 2 + 2 x − 3 khi x ∈ (1; 3)  ,  f ( x) = 2 x − 6 khi x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; + ∞)  f , ( x) =  1,  f 2 ( x ) = −2 x + 2 khi x ∈ (1; 3)  Hàm số có hai điểm tới hạn là x = 1 và x = 3 Bảng biến thiên: x 1 -∞ _ f1 '(x) +∞ + _ f2 '(x) f '(x) 3 _ f(x) +∞ + _ +∞ -2 -6 1... gía trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau a f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 2 trên đoạn [-1;3] b f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 9 x trên đoạn [0;4] n n c f ( x ) = (1 − x) + (1 + x) , n ∈ N , n ≥ 1 Trên đoạn [-1;1] 1 + sin 6 x + cos 6 x e f ( x) = 1 + sin 4 x + cos 4 x Bài 3:Cho hàm số f ( x) = x 4 − 6ax 2 + a 2 Tùy theo giá trị của tham số a hãy tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên... không lớn hơn 3 Bài 6:Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = 2 2 Bài 8: Gọi x 1, x2 là các nghiệm của phương trình 12 x − 6mx + m − 4 + 12 =0 m2 Tìm m sao cho x13 + x 2 3 a Đạt giá trị lớn nhất b Đạt giá trị nhỏ nhất Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của F = a4 b4 a2 b2 a b + 4 −( 2 + 2)+ + 4 b a b a b a a, b ≠ 0  x + y = 2a − 1 Bài 10: Giả sử (x; y) là nghiệm của hệ  2 Tìm a để xy nhỏ... + y = a + 2a − 3 Bài 11: Cho phương trình 2 x 2 + 2(m + 1) x + m 2 + 4m + 3 = 0 Gọi x 1, x2 là nghiệm của phương trình Tìm giá trị lớn nhất của A = | x1.x2 – 2(x1 + x2 | 1 1 2 Bài 12: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 1 + mx − x trên [− ; ] lớn nhất 2 2 Bài 13: Cho C là hằng số dương và x + y = C Tìm GTNN của biểu thức F = x 3 + y 3 + 3( x 2 − y 2 ) + 3( x + y ) TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH... hai điểm có hoành độ phân biệt x 1, x2 (2) 5 Do m ≤ − suy ra 4 t (1) = −3 − 4m > 0, t (3) = 5 − 8m > 0 (3) b = m < 1 (4) hoành độ đỉnh của Parabol t(x) là − 2a Từ (2) , (3) và (4) suy ra x1 < x 2 < 1 vì vậy t(x) > 0 với mọi x ∈ [1; 3] ⇒ f , ( x ) > 0 với mọi x ∈ [1; 3] ⇒ f ( x ) liên tục và luôn đồng biến trên đoạn [1; 3] 16 + m ⇒ max f ( x ) = f (3) = [1;3] 3− m TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA 12 Giá . )              +−−− ∈−=       +− ∪       −− −∈+= =⇒ 2 31 ; 2 31 8)( 2; 2 31 2 31 ;288)( , 2 , 1 , tkhittF tkhittF tF 00)( , =⇔= ttF ( ) 28122;2812)2( −=−+= FF Bẩng biến thiên: 4+2 3 4-2 3 8 12-8 2 12+8 2 0 _ _ + 0 _ _ + + + 0 F , (t) F(t) F , 2 (t) F , 1 (t) t - 2 2 -1+ 3 2 -1- 3 2 Từ. Tim GTLN của biểu thức S = 222 zyx ++ Bài 15: Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện 1 222 =++ zyx . Tìm GTNN của biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx. Bài 16: Cho hai số thực 0, ≠yx Cho hai số thực 0, ≠yx . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 22 2 43 yx xyx T + − = . Bài 17: Cho x, y , z là 3 số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm GTLN của biểu thức xzzyyxM 222 ++= (