Các dạng toán BĐT,GTLN,GTNN thường gặp trong thi ts đại học | Bài này được '.giacatkien.' cho '.10.' điểm ĐỊNH NGHĨA GTLN,GTNN: .M được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu. .Chú ý: M là GTLN của A thì nó phải thoả 2 điều:thứ nhất là nó lớn hơn hoặc bằng mọi phần tử thuộc A.thú 2 phải tồn tại 1 phần tử thuộc A bằng M. Ví dụ: (0,1) ko có giá trị lớn nhất vì; .với Mx>M vậy M ko phải GTLN của A. .với M thì ko có phần tử nào thuộc (0,1) bằng M vậy M ko phải GTLN của A. .Vậy A ko có GTLN. .GTNN định nghĩa tương tự. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN,GTNN,CHỨNG MINH BĐT: A.PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ: đây là phương pháp thường dùng nhất để cm các bđt: 1.SỬ DỤNG BĐT THỨC CAUCHY : bđt thường dung nhất. *nhận xét bđt Cauchy thuộc loại bđt thuần nhất đối với những bài toán mà cả hai vế có số “phần tử “ bằng nhau và bậc của chúng bằng nhau thì chúng ta có thể giải bằng bđt Cauchy. Ví dụ 1: với mọi a,b,c>0 .CMR: .dễ thấy cả hai vế có bốn hạng tử và bậc bằng 4 ta dung bđt cauchy. Áp dụng bđt Cauchy cho bốn số dương ta có; . (1) Tt ta có . (2) . (3) .(1)+(2)+(3) suy ra đpcm .dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Ví dụ 2:với ba số a,b,c dương.CMR: .có thể coi hai vế đều có bậc 1,và 3 hạng tử ta dùng bđt cau Cauchy : Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số ta có Suy ra (1) Suy ra (2) (1) v à (2) suy ra đpcm d âu “=’ x ảy ra khi v à ch ỉ khi a=b=c. V í d ụ 3: cho x,y,z d ư ơng CMR: .ta thấy mỗi vế có 3 hang tử và ta có thể coi nó cùng “ bậc -1” ta dung bđt Cauchy Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có; cộng lại ta suy ra dpcm dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z. Ví dụ 4 : cho a,b,c dương.CMR: .ta thấy rằng đây là dạng đặc trưng cho pp sài bđt Cauchy hai lần Áp dụng bđt cauchy cho 3 số ta có: dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. Ví dụ 5: tìm giá trị nhỏ nhất của M= Ta có M+3= = Áp dụng bdt Cauchy ta có: Suy ra M+3 Suy ra M Mà với a=b=c ta có vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2.BẤT ĐẲNG THỨC BSC: mình ít sài bđt này lắm lên ko rành. *với 2n số Ta có dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi ( chú ý nếu thì *VT là trị tuyệt đối của tích vô hưóng,VP là tích modun. *khi ta có tổng mà thì ta áp dụng bđt này. Ví dụ 1: CMR: Áp dung bđt BCS ta có: 3.SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA 1 SỐ PT: *hiện tại mới nhớ ra điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 và pt lượng giác bậc nhất; Ví dụ 1: tìm GTLN và GTNN nếu có của DK:x=! 0 Ta có Suy ra (1) điều kiện tồn tại x là detal tưong đương vậy y ko có GTLN và GTNN của y là ( ta có thể thế y =3/4 vào (1) để tính giá trị x khi y đạt GTNN. Ví dụ 2: tìm GTLN,GTNN nếu có của Ta có : y(sin x+cos x+2)=sin x- cos x+1 Suy ra (y-1)sin x+(y+1)cos x=1-2y diều kiện tồn tại x là tương đương tương đương vậy GTLN của y là GTNN của y là . PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH : ( dung đạo hàm ) *vì phổ thong chỉ học đạo hàm 1 biến lên ta chỉ áp dụng pp này khi chỉ có 1 biến,hoặc nhiều biến nhưng các biến đều biểu diễn theo 1 biến duy nhất. Ví dụ 1: CMR : với mọi x>0 đặt f(x)= với x>0 sra f’(x) với mọi x>0 sra f(x) tăng với x>0 sra f(x)>f(0)=0 với mọi x>0 sra đpcm. Ví dụ 2:cho x,y và x+y=2 .Tìm GTLN của M=xy Ta có y=2-x, và Sra M=x(2-x)=-x^2+2x, M’=-2x+2 M’=0 tương đương x=1 BBT x | 0 1 2 M’| | + 0 - | M | |0 >.1 >0| vậy M đạt GTNL khi x=y=1 khi đó GTNL là 1. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC: *chú ý bđt về tam giác,quan hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông ,giữa đường chéo và đường xiên,giữa cạnh và góc đối diện. *nhiều bài toán có dạng Hay Ta có thể làm bằng cách đặt toạ độ cho Sao cho rồi áp dụng bđt ví dụ 1: cho a+b=3 .CMR đặt Suy ra Áp dụng bđt Suy ra Suy ra ( vì a+b=3) Ví dụ 2: cho a,b,c dương và ab + bc+ca=abc .C MR: từ đk ta sra bđt tương đương đặt Sra (vì ) Suy ra đpcm Bài 1: Cho x,y,z,t>0 .CMR: 1. 2. ( với xy+yz+zx=1) 3. 4. 5. (*) 6. 7. (*) Bài 2:Cho x,y,z,t>0.CMR: 1. 2. ( với x+y=z=1) 3. 4. 5. 6. 7. (**) Bài 3:CMR: 1. với mọi x>0 2. ,với mọi x>0 3.voi moi n ,với moị x>0 4. ,với mọi x>0 5. ,với mọi x>0 Bài 4: 1.cho a.b,c dương ,a+b+c =1 .CMR: dấu “=” xảy ra khi nào ? 2.cho a,b>0.CMR: 3.CMR; 4.cho a,b >0,a+b=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của M= Bài 5: 1.cho x,y>0 .CMR: 2.cho x,y,z,t >CMR: 3cho x,y,z .CMR 4.cho x,y,z,t trong đó tồng hai số lớn hơn 1 số .CMR: 5.cho x,y,y CMR: Bài 6 :tìm GTNN và GTLN nếu có của 1.y=3sin x-4cos x+5 2. 3.m=x+y ( với 4. tìm GTNN n= ( với x+y = 2) 5.y= với -2<x<1 6.y= với Bài 7:cho .CMR: Bài 8:cho n>1.CMR: Bài 9;Cho x,y,u,v thoả .CMR: (*) Bài 10:cho a,b,c,d nguyên dương và a<b<c,a<d (**) Bài 11: cho a,b,c là các số hũư tỉ dương và đôi 1 lớn hơn số thứ 3.CMR (**) Bài 12: so sánh 2 biểu thức sau: và (**) với m>p>0 bài 13: cho a+b .CMR ; bai 14; cho p,q ko âm và p+q=1.CMR: với mọi n,m nguyên dương (*) Bai 15: tìm giá trị nhỏ nhất ; 1. 2. 3. Bài 16;tìm giá trị lớn nhất của M= với (*) bài 17; cho x,y,z thoả CMR: *6 bài tiện là dạng cơ bản ( thưòng hay ra mấy dạng đó ) các bài này tưong đối giống nhau mình ghi nhiều để các bạn làm them. *các bài khác khó hơn xíu *bài 16; một số dề tuyền sinh dh có ra dạng tưong tự nhưng khác số. . tiện là dạng cơ bản ( thưòng hay ra mấy dạng đó ) các bài này tưong đối giống nhau mình ghi nhiều để các bạn làm them. *các bài khác khó hơn xíu *bài 16; một số dề tuyền sinh dh có ra dạng tưong. bdt Cauchy ta có: Suy ra M+3 Suy ra M Mà với a=b=c ta có vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2.BẤT ĐẲNG THỨC BSC: mình ít sài bđt này lắm lên ko rành. *với 2n số Ta có dấu “=’ xảy ra khi và. GTLN. .GTNN định nghĩa tương tự. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN,GTNN,CHỨNG MINH BĐT: A.PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ: đây là phương pháp thường dùng nhất để cm các bđt: 1.SỬ DỤNG BĐT THỨC CAUCHY : bđt thường dung