THI HC SINH GII Mụn Toỏn 9 - Thi gian : 120 phỳt Cõu 1/ (1) Cho x = 3 3 125 125 3 9 3 9 27 27 + + + + .Chng minh rng x l mt s nguyờn . Gii : 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 125 125 a 3 9 và b = 3 9 27 27 5 Thì a b 6 và a.b = 3 x a b x a b 3ab(a b) x = 6 - 5x (x 1)(x x 6) 0 Mà x x 6 0(do ).Suy ra x 1.Vậy x Z = + + + + = = = + + = + + > = Cõu 2/ (1,5) Cho x > 0 , y > 0 , t > 0 . Chng minh rng : + + + = = xy 1 yt 1 xt 1 Nếu thì x= y= t hoặc x.y.t =1 y t x . Gii : T ng thc vi iu kin do bi ó cho suy ra : 1 1 1 x y z y z x + = + = + (1) y z 1 1 x y z y zy 1 1 z x (1) y z x z xz x y 1 1 z x y x xy = = = = = = (2) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y z z x x y x y y z z x zyzxxy = (3) T (3) = = = x y z Học sinh chứng minh đ ợc rằng xyz 1 Cõu 3/(1,5) Cho a thc bc hai f(x)= ax 2 + bx + c cú nghim dng x = m . Chng minh rng a thc g(x) = cx 2 + bx + a (c0) cng cú nghim dng x = n v tha món m + n 2 . Gii : Ta cú : x = m l nghim ca a thc f(x)= ax 2 + bx + c + + = ⇔ + = ⇔ + + + = 2 2 2 2 Suy ra am bm c 0 (1), mµ m > 0 (gt) b c 1 1 (1) a + 0 a + b( ) c( ) = 0 (2) m m m m 1 §¼ng thøc nµy chøng tá r»ng x= lµ nghiÖm cña m 1 ®a thøc g(x) = cx bx a 0 VËy x= n = > 0 (do m > 0 ) (3) m Ta cã ≥ + ≥ 1 1 m+n = m + 2 m. (do ) m m Hay m n 2 Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình : (m -1)x+ (m -2)y - 1 = 0 (m là tham số) . Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn nhất . Xác định đường thẳng đó . Giải : Nếu m =1 thì d(1) là đường thẳng y= -1 nên khoảng cách từ O đến d(1) là 1 Nếu m =2 thì d(2) là đường thẳng x = 1 nên khoảng cách từ O đến d(2) là 1 (1) Nếu m ≠1 và m≠ 2 thì d(m) cắt trục hoành tại A 1 ;0 m 1 ÷ − và cắt trục tung tại B ÷ − 1 0 ; m 2 Gọi OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lín nhÊt 1 1 1 (m 1) (m 2) OH OA OB 1 3 1 1 2m 6m 5 2 m OH 2 2 2 3 VËy OH 2 OH 2 OH 2 khi m (2) 2 = + = − + − = − + = − + ≥ ÷ ≤ ⇔ ≤ ⇒ = = Từ (1) và (2) và do 1 < 2 suy ra khoảng cách lớn nhất từ O đến d(m) là 2 Khi đó đường thẳng d có công thức là x - y- 2 = 0 Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , trong đó A di động , E cố định ( với A ≠ E) . Qua E vẽ một đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) ở B và C . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB . a/ (1,5đ) Chứng minh EB 2 +EC 2 + EA 2 không phụ thuộc vị trí điểm A . b/ (1,5đ) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K ) . c/ (1đ) Trên tia AK đặt một điểm H sao cho AH = 3 2 AK . Khi A di động trên đường tròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ? Giải : G K D M A C B O E a)Gọi G là trung điểm BC thì OG ⊥ BC (đl) suy ra GB = GC và GE = GD (đl) và OG là đường trung bình ∆ ADE nên OG= 1 2 AE hay AE = 2OG Ta có EB 2 +EC 2 = (BG-EG) 2 + (GC+ GD) 2 =(BG-EG) 2 + (BG+EG) 2 Suy ra EB 2 +EC 2 = 2(BG 2 +EG 2 ) Áp dụng định lý Pi ta go vào các tam giác vuông OGE và OGB ta có : OG 2 +GE 2 = r 2 và OG 2 +GB 2 = R 2 Do đó EB 2 +EC 2 +EA 2 =2(BG 2 +EG 2 )+4OG 2 =2 (BG 2 +OG 2 )+2 (EG 2 +OG 2 ) = 2R 2 +2r 2 ( không đổi) G D M A C B O E Trường hợp đặc biệt : G E D≡ ≡ Thì chứng minh trên vẫn đúng b)Hai tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định , Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM của ∆ ABC đi qua chính là trọng tâm của ∆ ADE c) Do H thuộc tia AK, mà K là trọng tâm ∆ ADE và AH 3 2 = AK nên H trùng với G ( là trung điểm chung của hai đoạn thẳng DE và BC ) Mà OGE∆ vuông tại E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo gt) ) Vậy khi A di động trên đường tròn (O; r) thì H di động trên đường tròn đường kính OE . THI HC SINH GII Mụn Toỏn 9 - Thi gian : 120 phỳt Cõu 1/ (1) Cho x = 3 3 125 125 3 9 3 9 27 27 + + + + .Chng minh rng x l mt s nguyờn . Gii : 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 125 125 a 3 9 và. : (m -1 )x+ (m -2 )y - 1 = 0 (m là tham số) . Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn nhất . Xác định đường thẳng đó . Giải : Nếu m =1 thì d(1) là đường thẳng y= -1 nên. GB = GC và GE = GD (đl) và OG là đường trung bình ∆ ADE nên OG= 1 2 AE hay AE = 2OG Ta có EB 2 +EC 2 = (BG-EG) 2 + (GC+ GD) 2 =(BG-EG) 2 + (BG+EG) 2 Suy ra EB 2 +EC 2 = 2(BG 2 +EG 2 )