chuyen de toan 7 rat

chuyên đề: số tự nhiên - áp dụng. ********** * Các bài toán về dãy số viết theo quy luật. Bài toán 1: Tính các tổng sau. a) 1 2 3 4 n+ + + + + b) 2 4 6 8 2.n+ + + + + c) 1 3 5 (2. 1)n+ + + + + d) 1 4 7 10 2005+ + + + + e) 2+5+8++2006 g) 1+5+9+.+2001 Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau: 1 2 4 8 16 8192A = + + + + + + Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số. Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+.+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190. b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 2 3 2004n+ + + + = c) Chứng minh rằng: [ ] (1 2 3 ) 7n+ + + + không chia hết cho 10 n N Bài toán 5: a) Tính nhanh 1.2 2. 3 3.4 1999.2000 + + + + b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh 1.1 2.2 3.3 1999.1999B = + + + + c) Tính nhanh : 1.2.3 2.3.4 48.49.50.C = + + + Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trờng hợp tổng quát. Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3;8;15;24;35; b) 3; 24;63;120;195; c) 1;3;6;10;15; d) 2;5;10;17;26; e) 6;14;24;36;50; g) 4;28;;70;130; Bài toán 7: Cho dãy số 1;1 2;1 2 3;1 2 3 4; + + + + + + Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?. Bài toán 8: Cho 1 2 3 4 1 2; 3 4 5; 6 7 8 9; 10 11 12 13 14; S S S S= + = + + = + + + = + + + + . Tính 100 S . Bài toán 9: Tính bằng cách hợp lý. a) 41.66 34.41 3 7 11 79 A + = + + + + b) 1 2 3 200 6 8 10 34 B + + + + = + + + + c) 1 5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 C + + + = + + + * Các bài toán về tập hợp. Bài toán 10: Cho a) { } 1;2A = ; { } 1;3;5B = b) { } ,A x y= ; { } , , ,B x y z t= Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B. Bài toán 11: Cho a) { } 2; 3; 100A x N x x x= <M M b) { } 6; 100B x N x x= <M Hãy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử. Bài toán 12: Cho 353535C = 478478478D = a) Viết tập hợp P các chữ số trong C và tập hợp Q các chữ số trong D bằng cách liệt kê phần tử. b) Bằng cách liệt kê phần tử hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó 2 phần tử thuộc P và một phần tử thuộc Q. Bài toán 13: Cho a) { } ; 3.A x N x ab a b= = = b) { } 20B x N x= M c) { } 11. 3; ; 300C x N x n n N x= = + Xác định các tập hợp trên bằng cách liệt kê các phần tử. Bài toán 14: Xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng. a) { } 1;4;9;16;25;36;49;64;81;100A = b) { } 2;6;12;20;30;42;56;72;90B = chuyên đề: tập hợp , tập hợp con - áp dụng. ********** Bài toán 1: Cho tập hợp { } , , , ,A a b c d e= . a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử. c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?. d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ? Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trờng hợp sau. 1 a) { } 1;3;5A = ; { } 1;3;7B = b) { } ,A x y= ; { } , ,B x y z= c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn. Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu ; .A B A B Hãy viết các tập con thực sự của tập hợp { } 1;2;3B = Bài toán 4: Cho các tập hợp { } 1;2;3; 4A = ; { } 3; 4;5B = Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B Bài toán 5: Cho tập hợp { } 1;2;3; 4A = . a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn. b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A. Bài toán 6: Chứng minh rằng nếu ;A B B D thì A D Bài toán 7: Có thể kết luận gì về hai tập hợp A, B nếu biết: a) x B thì x A b) x A thì x B , x B thì x A Bài toán 8: Cho tập hợp { } 5;6;7;8K = . Viết các tập hợp con của tập hợp K sao cho các phần tử của nó có ít nhất một số lẻ, một số chẵn. Bài toán 9: Cho H là tập hợp ba số lẻ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên. a) Viết tập hợp L các phần tử thuộc K mà không thuộc H. b) CMR: H K c) Tập hợp M có số phần tử sao cho ;H M M K . + Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử ? nhiều nhất bao nhiêu phần tử ? + Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thoả mãn điều kiện trên. Bài toán 10: Cho tập hợp { } 30;4; 2005;2;9M = . Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số: a) Có một chữ số b) có hai chữ số c) Là số chẵn. Bài toán 11: Cho { } 2; 4; 100A x N x x x= <M M ; { } 8; 100B x N x x= <M a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B. b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ? Bài toán 12: Cho { } 18;42;60a , { } 35;52b . Hãy xác định tập hợp { } M a b= Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên. a) CMR: B A b) Viết tập hợp M sao cho ,B M M A . Có bao nhiêu tập hợp M nh vậy. Bài toán 14: Cho { } 7. 3; ; 150A x N x q q N x= = + . a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A. Bài toán 15: Cho { } 1;13; 21; 29;52M = . Tìm ;x y M biết 30 40x y< < chuyên đề: các phép toán về số tự nhiên - áp dụng . ********** Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên. a) Viết tập hợp A. b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A. Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 0 .a b c< < < a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên. b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448. Tìm ba chữ số a, b, c nói trên. Bài toán 3: Thay các chữ bởi các chữ số thích hợp để đợc kết quả đúng. a) ab bc ca abc+ + = b) 874abc ab a+ + = c) 4321abcd abc ab a+ + + = d) **.** ***= (2 thừa số ở vế trái chẵn và tích là số có ba chữ số nh nhau) Bài toán 4: Cho bốn chữ số a, b, c, d khác nhau và khác 0. Lập số lớn nhất và số nhỏ nhất có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên. Tổng của hai số này bằng 11330. Tính tổng: a b c d + + + 2 Bài toán 5: a) Có hay không một số tự nhiên có 4 chữ số sao cho nó cộng với số gồm 4 chữ số ấy viết theo thứ tự khác đợc tổng bằng 999. b) Tồn tại hay không một số tự nhiên có ba chữ số sao cho nó cộng với số gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự khác đợc tổng bằng 999 ?. Bài toán 6: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số của số đó thì đợc số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu. Bài toán 7: Tìm kết quả của các phép nhân a) { { 2005 . 2005 . 33 3.99 9 c s c s A = b) { { 2005 . 2005 . 33 3.33 3 c s c s B = Bài toán 8: Tổng của hai số có ba chữ số là 836. Chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5, của số thứ hai là 3. Nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ đợc hai số có hai chữ số mà số này gấp hai lần số kia. Tìm hai số đó. Bài toán 9: Chia một số tự nhiên gồm ba chữ số nh nhau cho một số tự nhiên gồm ba chữ số nh nhau ta đợc thơng là 2, còn d. Nếu xoá một chữ số ở số bị chia và xoá một chữ số ở số chia thì thơng của phép chia vẫn bằng 2 nhơng số d giảm hơn trớc là 100. Tìm số bị chia và số chia lúc đầu. Bài toán 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2005 1005 : (999 )A x= với x N Bài toán 11: Ngời ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,. Hỏi chữ số thứ 659 là chữ số nào ? Bài toán 12: Cho 7 10 13 100S = + + + + a) Tính số số hạng của tổng trên. b) Tìm số hạng thứ 22 của tổng. c) Tính tổng S Bài toán 13: Tìm số có ba chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị. Chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì đợc thơng là 2 và d 2. Tích của số phải tìm với 7 là một số có chữ số tận cùng là 1. Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A= { 11 122 2 n 123 c.s1 n c.s2 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đợc viết bằng 100 chữ số 3, số B đợc viết bằng 100 chữ số 6. Hãy tính tích A.B chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng. ********** Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các tích sau a) 2 2 31 .35 b) 2 2 16 .125 c) 2 2 200 .72 d) 2 2 121 .316 Bài toán 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 3 9 .a a b) 5 7 ( )a b) 6 4 12 ( ) .a a d) 3 5 3 3 (2 ) .(2 ) Bài toán 3: Viết tích sau dới dạng một luỹ thừa a) 10 30 4 .2 b) 25 4 3 9 .27 .81 c) 50 5 25 .125 d) 3 8 4 64 .4 .16 Bài toán 4: Viết mỗi thơng sau dới dạng một luỹ thừa a) 8 6 3 :3 ; 5 2 7 : 7 ; 7 3 19 :19 ; 10 3 2 :8 ; 7 7 12 : 6 ; 5 3 27 : 81 b) 6 10 :10 ; 8 2 5 : 25 ; 9 2 4 : 64 ; 25 4 2 :32 ; 3 3 18 :9 ; 3 4 125 : 25 Bài toán 5: Tính giá trị của các biểu thức a) 6 3 3 2 5 : 5 3 .3+ b) 2 2 4.5 2.3 Bài toán 6: Viết các tổng sau thành một bình phơng. a) 3 3 1 2+ b) 3 3 3 1 2 3+ + c) 3 3 3 3 1 2 3 4+ + + d) 3 3 3 3 3 1 2 3 4 5+ + + + Bài toán 7: Viết các số sau dơi dạng tổng các luỹ thừa của 10. a) 213 b) 421 c) 1256 d) 2006 e) abc g) abcde Bài toán 8 : Tìm x N biết a) 3 .3 243 x = b) 20 x x= c) 2 2 .16 1024 x = d) 8 64.4 16 x = Bài toán 9 : Viết các tích sau dới dạng một luỹ thừa 3 a) 5 .5 .5x x x b) 1 2 2006 . x x x c) 4 7 100 . . x x x x d) 2 5 8 2003 . . x x x x Bài toán 10: Tìm x, y N biết 2 80 3 x y + = Bài toán 11: Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý a) 17 2 15 15 4 2 (2 17 ).(9 3 ).(2 4 )+ b) 1997 1995 1994 (7 7 ) :(7 .7) c) 2 3 4 5 3 3 3 3 8 2 (1 2 3 4 ).(1 2 3 4 ).(3 81 )+ + + + + + d) 8 3 5 3 (2 8 ) :(2 .2 )+ Bài toán 12: Viết kết quả phép tính sau dới dạng một luỹ thừa a) 6 2 16 : 4 b) 8 4 27 : 9 c) 5 3 125 : 25 d) 14 28 4 .5 e) 2 12 : 2 n n g) 4 5 20 64 .16 : 4 Bài toán 13: Tìm x N biết a) 2 .4 128 x = b) 15 x x= c) 3 (2 1) 125x + = d) 4 6 ( 5) ( 5)x x = e) 10 1 x x = g) 2 15 17 x = h) 3 5 2 (7 11) 2 .5 200x = + i) 2 0 3 25 26.2 2.3 x + = + k) 27.3 243 x = l) 49.7 2041 x = m) 5 64.4 4 x = n) 3 243 x = p) 4 7 3 .3 3 n = Bài toán 14: Tìm số d khi chia A, B cho 2 biết a) (4 6 8 10 ) (3 5 7 9 ) n n n n n n n n A = + + + + + + b) 2003 2004 2005 ; n n n B n N= + + Bài toán 15: Tìm n N biết: a) 9 3 81 n < < b) 25 5 125 n chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo) ********** Bài toán 16: Tính giá trị của các biểu thức a) 10 10 9 4 3 .11 3 .5 3 .2 A + = b) 10 10 8 2 .13 2 .65 2 .104 B + = c) 9 4 4 4 .36 64 16 .100 C + = d) 3 2 4 72 .54 108 D = e) 6 4 5 12 4 .3 .9 6 E = f) 13 5 10 2 2 2 2 2 F + = + g) 2 5 21 .14.125 35 .6 G = h) 3 4 2 5 45 .20 .18 180 H = i) 22 7 15 14 2 11.3 .3 9 (2.3 ) I = Bài toán 17: Tìm * n N biết a) 32 2 128 n < < b) 2.16 2 4 n > c) 2 5 3 .3 3 n = d) 2 (2 : 4).2 4 n = e) 4 7 1 .3 .3 3 9 n = g) 5 1 .2 4.2 9.2 2 n n + = h) 1 .27 3 9 n n = i) 5 64.4 4 n = k) 27.3 243 n = l) 49.7 2401 n = Bài toán 18: Tìm x biết a) 3 ( 1) 125x = b) 2 2 2 96 x x+ = c) 3 (2 1) 343x + = d) [ ] 3 720 : 41 (2 5) 2 .5x = Bài toán 19: Tính các tổng sau bằng cách hợp lý. a) 0 1 2 2006 2 2 2 2A = + + + + b) 2 100 1 3 3 3B = + + + + c) 2 3 4 4 4 4 n C = + + + + d) 2 2000 1 5 5 5D = + + + + Bài toán 20: Cho 2 3 200 1 2 2 2 2A = + + + + + . Hãy viết A+1 dới dạng một luỹ thừa. Bài toán 21: 4 Cho 2 3 2005 3 3 3 3B = + + + + . CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3. Bài toán 22: Cho 2 3 2005 4 2 2 2C = + + + + . CMR: C là một luỹ thừa của 2. Bài toán 23: Chứng minh rằng: a) 5 4 3 5 5 5 7 + M b) 6 5 4 7 7 7 11+ M c) 9 8 7 10 10 10 222+ + M e) 6 7 10 5 59 M g) 2 2 * 3 2 3 2 10 n n n n n N + + + M h) 7 9 13 81 27 9 45 M i) 10 9 8 8 8 8 55 M k) 9 8 7 10 10 10 555+ + M Bài toán 24: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2 2 2+ ; 2 3 2 2 2+ + ; 2 3 4 2 2 2 2+ + + b) Chứng minh rằng: 2 3 2004 2 2 2 2A = + + + + chia hết cho 3; 7 và 15. Bài toán 25: a) Viết tổng sau thành một tích 4 5 6 7 3 3 3 3+ + + b) Chứng minh rằng: 2 99 1 3 3 3 40B = + + + + M Bài toán 26: Chứng minh rằng: a) 2 3 2004 1 5 5 5 5 6;31;156S = + + + + M b) 2 3 100 2 2 2 2 2 31S = + + + + M c) 5 15 3 16 2 33s = + M d) 4 53! 51! 29S = M chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo) ********** * Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số. I. Tóm tắt lý thuyết. 1. Tìm chữ số tận cùng của một tích. + Tích của các số lẻ là một số lẻ. + Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn. + 0. 0x a y= (với a N ) + 5. 5x a y= (với ;a N a lẻ) 2. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa. + 0 0 n x y= ( * n N ); + 1 1 n x y= ( n N ); + 5 5 n x y= ( * n N ); + 6 6 n x y= ( * n N ) + 2 1 4 4 k x y + = ( k N ); + 2 1 9 9 k x y + = ( k N ); + 2 4 6 k x y= ( * k N ); + 2 9 1 k x y= ( * k N ) + 4 2 6 n x y= ( * n N ); + 4 8 6 n x y= ( * n N ); + 4 3 1 n x y= ( * n N ); + 4 7 1 n x y= ( * n N ); * Chú ý: Số chính phơng là số bằng bình phơng của một số tự nhiên. - Một số chính phơng có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 không có tận cùng là 2; 3; 7; 8 II. Bài tập áp dụng: Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau. 2003 99 99 99 99 99 2 ; 4 ;9 ;3 ;7 ;8 ; 3 7 5 789 ; 5 3 8 74 ; 32 87 ; 33 58 ; 35 23 Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 2007.2009.2011 2017 2002.2004.2006.2008 Bài toán 3: CMR: các số sau có có chữ số tận cùng nh nhau. a) 11a và a ( a N ) b) 7a và 2a (a là số chẵn) Bài toán 4: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10 a) 1999 481 1999 n + b) 2001 2000 16 8 c) 2005 2004 19 11+ d) 102 102 8 2 e) 5 4 21 17 24 13+ g) 2004 1000 12 2 Bài toán 5: Tìm chữ số tận cùng của các số: 2003 2 và 2003 3 ; 2005 5 19 ; 7 6 5 234 ; 5 7 6 579 Bài toán 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng 2 3 96 5 5 5 5+ + + + Bài toán 7: Chứng minh rằng số 2006 94 2004 92 1 .(7 3 ) 10 A = là một số tự nhiên. Bài toán 8: Cho 0 1 2 30 3 3 3 3S = + + + + . Tìm chữ số tận cùng của S. CMR: S không là số chính phơng. 5 Bài toán 9: Có hay không số tự nhiên n sao cho 2 2 5n n+ + M Bài toán 10: * Chú ý: + 01 01 n x y= ( * n N ) + 25 25 n x y= ( * n N ) + 76 76 n x y= ( * n N ) + Các số 20 5 4 2 2 3 ;81 ;7 ;51 ;99 có tận cùng bằng 01 + Các số: 20 5 4 2 4 2 2 ;6 ;18 ;24 ;68 ;74 có tận cùng bằng 76 + Số 26 ( 1) n n > có tận cùng bằng 76. áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau. 99 100 1991 51 99 666 101 101 2 ;7 ;51 ;99 ;6 ;14 .16 ; 2003 2 Bài toán 11: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 1998 1998 7 4 Bài toán 12: Các tổng sau có là số chính phơng không ? a) 8 10 8+ b) 100! 7+ c) 100 50 10 10 1+ + chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo) ===== ===== * Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số. Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau. a) 2005 2002 ; 1994 1992 ; 2003 2003 33 .34 ; 2006 1003 28 .81 ; 4 7 100 1892.1892 .1892 1892 b) 2001 2003 ; 1 2 3 100 1973 .1973 .1973 1973 ; 2003 2003 27 .9 ; 2007 669 2007 81 .343 .9 c) 2005 1997 ; 2006 2006 9 .23 ; 2 5 8 2003 1997 .1997 .1997 1997 ; 1999 1999 111 .27 d) 1997 198 ; 2002 1998 ; 2003 2003 36 .63 ; 7 13 151 1998.1998 .1998 1998 Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau. a) 2001 1999 ; 2004 99 ; 2005 2005 7 .27 ; 2004 2006 999 ; 9999 999 99 ; 2006 5 19 1999 b) 2005 2004 ; 2004 1994 ; 205 205 8 .28 ; 896 895 894 ; 2006 11 20 2004 ; 1954 5 7 194 Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau a) 2004 2001 2002 ; 2005 2000 1992 ; 83 82 81 72 ; b) 2005 2004 2003 ; 2004 2001 193 ; 2006 6 21 83 c) 2006 2000 1997 ; 110 105 101 27 ; 2003 2002 2001 2007 d) 2000 200 1998 ; 205 205 201 201 24 .42 ; 2005 2003 2001 198 Bài toán 4: Cho 0 1 2 2005 2 2 2 2A = + + + + Tìm chữ số tận cùng của A. Chứng tỏ rằng A không là số chính phơng Bài toán 5: Cho 2 3 96 5 5 5 5B = + + + + a) Chứng minh rằng 96BM b) Tìm chữ số tận cùng của B Bài toán 6: Cho 2 3 100 2 2 2 2S = + + + + a) Chứng minh rằng 3S M b) Chứng minh rằng 15SM c) Tìm chữ số tận cùng của S Bài toán 7: Tìm chữ số tận cùng của các số sau a) 23! b) 37! 24! c) 2.4.6 1998 1.3.5 1997 Bài toán 8: 6 Các tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ? a) 49! b) 7.8.9 81 c) 100! Bài toán 9: Chứng minh rằng a) 2004 1000 2002 1002 10 M b) 2001 2005 1999 201 10+ M c) 9 9 9 9 9 9 9 10 M Bài toán 10: Chứng minh rằng: a) 2003 1997 0,3.(2003 1997 ) là một số tự nhiên b) 2006 1998 2004 1994 1 .(1997 1993 ) 10 là một số tự nhiên chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo) Các bài toán so sánh hai luỹ thừa ===== ===== * Tóm tắt lý thuyết: a) Nếu m n> thì m n a a> (a>1) b) Nếu a b > thì n n a b> (n>0) c) Nếu a < b thì a.c < b.c (c > 0) * Bài tập áp dụng: Bài toán 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn a) 30 10 và 100 2 b) 444 333 và 333 444 c) 40 13 và 161 2 d) 300 5 và 453 3 Bài toán 2: So sánh các số sau a) 217 5 và 72 119 b) 100 2 và 9 1024 c) 12 9 và 7 27 d) 80 125 và 118 25 e) 40 5 và 10 620 f) 11 27 và 8 81 Bài toán 3: So sánh các số sau a) 36 5 và 24 11 b) 5 625 và 7 125 c) 2 3 n và 3 2 n * ( )n N d) 23 5 và 22 6.5 Bài toán 4: So sánh các số sau a) 13 7.2 và 16 2 b) 15 21 và 5 8 27 .49 c) 20 199 và 15 2003 d) 39 3 và 21 11 Bài toán 5: So sánh các số sau a) 45 44 72 72 và 44 43 72 72 b) 500 2 và 200 5 c) 11 31 và 14 17 d) 24680 3 và 37020 2 e) 1050 2 và 450 5 g) 2 5 n và 5 2 ;( ) n n N Bài toán 6: So sánh các số sau a) 500 3 và 300 7 b) 5 8 và 7 3.4 c) 20 99 và 10 9999 d) 303 202 và 202 303 e) 21 3 và 31 2 g) 1979 11 và 1320 37 h) 10 10 và 5 48.50 i) 10 9 1990 1990+ và 10 1991 Bài toán 7: So sánh các số sau a) 50 107 và 75 73 b) 91 2 và 35 5 c) 4 54 và 12 21 Bài toán 8: Tìm x N biết a) 16 128 x < b) { 1 2 18 18 / 0 5 .5 .5 100 0 : 2 x x x c s + + Bài toán 9: Cho 2 2005 1 2 2 2S = + + + + . Hãy so sánh S với 2004 5.2 Bài toán 10: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0. Hãy so sánh m với 8 10.9 7 Bài toán 11: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1; 2; 3 với điều kiện mỗi chữ số đ- ợc dùng một lần và chỉ dùng một lần chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên - áp dụng. ===== ===== I. Tóm tắt lý thuyết: 1. Nhắc lại về quan hệ chia hết: Cho ; ; 0.a b N b Nếu có số tự nhiên k sao cho .a b k = ta nói a chia hết cho b Kí hiệu: a bM . đọc là: a chia hết cho b hoặc b chia hết a; hoặc a là bội của b hoặc b là ớc của a. 2. Tính chất chia hết của một tổng: a) Tính chất 1: a m M M M ; b m a+ b m + Chú ý: 1) Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu a b : a m M M M ; b m a-b m 2) Tính chất 1 cũng đúng với một tổng nhiều số hạng: 1 2 1 2 ; ; ; n n a m a m a m a a a m + + +M M M M b) Tính chất 2: Nếu a không chia hết cho m; b chia hết cho m thì a+b không chia hết cho m + Chú ý: - Tính chất 2 đúng với một hiệu a>b - Tính chất 2 đúng với một tổng nhiều số hạng, trong đó chỉ có một số hạng không chia hết cho m, các số hạng còn lại đều chia hết cho m. 3. Các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 3; 9. a. Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2. b. Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là 0 hặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5. c. Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9. d. Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3. e. Các dấu hiệu chia hết cho 4; 8; 25; 125 II. Bài tập áp dụng. Bài toán 1: Chứng minh rằng: nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu .a m k a mM M ( k N ) Bài toán 3: Chứng minh rằng: a) 11ab ba+ M b) 9ab ba M với a>b Bài toán 4: Chứng minh rằng: a) 2 39 1 2 2 2S = + + + + là bội của 15 b) 7 9 125 25T = là bội của 124 c) 2 3 2000 7 7 7 8M = + + + + M d) 2 3 2 1; , n P a a a a a a n N= + + + + + M Bài toán 5: Cho a cM và b cM . Chứng minh rằng: ; ; ,ma nb c ma nb c m n N+ M M Bài toán 6: CMR: tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 5. Bài toán 7: CMR: a) tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6, b) tổng ba số lẻ liên tiếp không chia hết cho 6 Bài toán 8: Tìm n N để a) 6n n+ M b) 4. 5n n+ M c) 38 3n n M d) 5 1n n+ +M e) 3 4 1n n+ M g) 2 1 16 3n n+ M Bài toán 9: Cho ;a b N và 7a b M . Chứng minh rằng: 4 3 7a b+ M Bài toán 10: CMR:a) n N thì { / 1 2. 11 1 3 nc s A n= + M b) , ,a b n N thì { / 1 (10 1). (11 1 ). 9 n nc s B a n b= + M Bài toán 11: a) CMR: n N thì 10 2 3 n + M b) { / 8 88 8 9 9 nc s n + M chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên - áp dụng. Các phơng pháp chứng minh chia hết 8 ===== ===== Ph ơng pháp 1: để chứng minh A bM ( 0b ). Ta biểu diễn .A b k= trong đó k N Bài toán 1: Cho n N . Chứng minh rằng: 100 (5 ) 125n M Bài toán 2: Cho 2 2004 2 2 2A = + + + . Chứng minh rằng: a) 6AM b) 7AM c) 30AM Bài toán 3: Cho 2 1998 3 3 3S = + + + . Chứng minh rằng : a) 12SM b) 39sM Bài toán 4: Cho 2 100 3 3 3B = + + + Chứng minh rằng: 120BM Bài toán 5: Chứng minh rằng a) 36 10 36 9 45 M b) 10 9 8 8 8 8 55 M c) 5 4 3 5 5 5 7 + M d) 6 5 4 7 7 7 11+ M e) 54 24 10 63 24 .54 .2 72M g) 7 9 13 81 27 9 45 M h) 3 1 3 2 3 3 2 2 6 n n n n n N + + + + + + + M i) 10 11 12 (2 2 2 ) : 7+ + là một số tự nhiên. Ph ơng pháp 2: Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng Nếu a b m M và a m b mM M Bài toán 6: Tìm n N để: a) 3 2 1n n+ M b) 2 2 7 2n n n+ + +M c) 2 1 1n n+ M d) 8 3n n+ +M e) 6 1n n+ M g) 4 5 2 1n n M h) 12 8n n M i) 20 nM k) 28 1n M l) 113 7n+ M m) 113 13n+ M Bài toán 7: Tìm .n N để các phân số sau có giá trị là số tự nhiên a) 2 3 n + b) 7 1n c) 1 1 n n + d) 2 8 5 5 n n+ Ph ơng pháp 3: Để chứng minh một biểu thức chứ chữ (Giả sử chứa n) chia hết cho b ( 0b )Ta có thể xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho b Bài toán 8: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. c) Chứng minh rằng: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 d) Chứng minh rằng: Tích của 5 số tự nhiên liên liếp chia hết cho 120 (Chú ý: Các bài toán trên đây đợc sử dụng trong chứng minh chia hết, không cần CM lại) Bài toán 9: Chứng minh rằng: a) (5 7)(4 6) 2n n n N+ + M b) (8 1)(6 5)n n+ + không chia hết cho 2 N Bài toán 10: Chứng minh rằng: ( 1)(2 1) 6A n n n n N= + + M Bài toán 11: a) Cho n N . Chứng minh rằng: 2 3n M hoặc 2 n chia 3 d 1 b) CMR: Không tồn tại n N để 2 1 300 0n + = Bài toán 12: Chứng minh rằng: ,m n N ta luôn có 2 2 . ( ) 3m n m n M Bài toán 13: Chứng minh rằng: 2006 2005 ( 2005 )( 2006 ) 2n n n N+ + M Bài toán 14: CMR không tồn tại n N để 2 15 2004 1 20042004 2004 so n + = 1 4 44 2 4 4 43 chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên . Các phơng pháp chứng minh chia hết (Tiếp) ===== ===== Ph ơng pháp 4: Để chứng minh A bM . Ta biểu diễn b dới dạng .b m n= . Khi đó + Nếu (m, n)=1 thì tìm cách chứng minh A mM và A nM .A m n M hay A bM 9 + Nếu ( ; ) 1m n ta biểu diễn 1 2 .A a a= rồi tìm cách chứng minh 1 2 ;a m a nM M thì tích 1 2 . .a a m nM tức A bM Bài toán 1: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. c) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24. d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120 Bài toán 2 : Chứng minh rằng: nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì 2 1 6a M Bài toán 3: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8 b) Chứng minh rằng: Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48 c) Chứng minh rằng: Tích của bốn số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 384 Bài toán 4: : Chứng minh rằng: 10 18 1 27 n B n= + M Bài toán 5: Chứng minh rằng: a) 10 36 1 27 ; 2 n n n N n M b) số { 27 / 1 11 1 27 c s M Ph ơng pháp 5: Dùng dấu hiệu chia hết Bài toán 6: Chứng minh rằng: 20006 10 8 72+ M Bài toán 7: Chứng minh rằng: a) Số { / 5 55 5 nc s không chia hết cho 125 ( * n N ) b) 3 10 2 9 n + M c) 37 23 37 23 10 M Bài toán 8: Chứng minh rằng: a) 33 10 8 2;9+ M b) 10 10 14 3;2+ M c) 50 10 5 3;5+ M d) 25 10 26 2;9+ M Bài toán 9: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ số biết rằng một số chia hết cho 125, số kia chia hết cho 8. Bài toán 10: Chứng minh rằng n N thì a) 4 1 2 3 5 n+ + M b) 4 2 2 1 5 n+ + M c) 2 1 9 1 10 n+ + M d) 4 7 1 5 n M e) 4 1 3 2 5 n+ + M Bài toán 11 : Chứng minh rằng 10 10 (2 1) 25+ M Bài toán 12: Cho số tự nhiên ab bằng ba lần tích các chữ số của nó. a) Chứng minh rằng: b aM b) Giả sử b=k.a. Chứng minh rằng k là ớc của 10. c) Tìm các số ab nói trên chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên . Các phơng pháp chứng minh chia hết (Tiếp) Ph ơng pháp 6: để chứng minh A bM ta biểu diễn 1 2 n A A A A= + + + và chứng minh các ( 1, ) i A i n b= M Bài toán 1: CMR: a) n N thì { / 1 2. 11 1 3 nc s A n= + M b) , ,a b n N thì { / 1 (10 1). (11 1 ). 9 n nc s B a n b= + M c) { / 8 88 8 9 9 nc s n + M Bài toán 2: 10 [...]... 13.15. 17 + 91 b) B = 2.3.5 .7. 11 + 13. 17. 19.21 c) C = 12.3 + 3.41 + 240 d) D = 45 + 36 + 72 + 81 e) E = 91.13 29.13 + 12.13 g) G = 4.19 5.4 2 3 h) H = 3 + 3. 17 + 34.3 i) I = 7 + 7 2 + 73 + 7 4 + 75 Bài toán 16: Cho n = 2.3.4.5.6 .7 CMR: 6 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n +7 Bài toán 17: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 đều là số nguyên tố Bài toán... cũng là số nguyên tố ÔN TậP TổNG HợP CHUYÊN Đề Số Tự NHIÊN ===== ===== Bài toán 1: Tính 18.123 + 9.45 67. 2 + 3.5310.6 1 + 4 + 7 + 10 + + 55 + 58 490 2181 .72 9 + 243.81. 27 c) C = 2 2 3 9 243 + 18.54.162.9 + 72 3 .72 9 a) A = 15 9 20 9 b) B = 5.4 9 4.3 8 6 9 19 29 5.2 6 7. 2 27 10 15 13 314 d) D = 218.6 7 + 3 15.425 2 18 3 + 315.2 Bài toán 2: a) Hãy viết liên tiếp hai mơi chữ số 5 và đặt một số dấu cộng... Chứng minh rằng số abc deg M 11 Bài toán 10 : Cho abc deg M Chứng minh rằng: abc deg M 13 13 Bài toán 11: Cho biết số abcM Chứng minh rằng: 2a + 3b + c M 7 7 Bài toán 12 : Cho số abcM trong đó a, b là các chữ số chẵn Chứng minh rằng: 4 a) cM b) bacM 4 4 Bài toán 13: Tìm các chữ số a, b sao cho a b = 4;7a5b1M 3 Bài toán 14: Cho 3a + 2bM a, b N ) Chứng minh rằng: 10a + bM 17( 17 Bài toán 15: Cho a... abaM 7 7 Biết a + b + c M Chứng minh rằng: nếu abcM thì b=c 7 7 Bài toán 5: Tìm số tự nhiên ab sao cho 567a9bM 45 Bài toán 6: Tìm các cặp số tự nhiên (a,b) sao cho a) 1 1 b = + a 6 3 b) a 1 3 = 4 b 4 11 Bài toán 7: Cho số N = dcba Chứng minh rằng: a) N M a + 2bM 4 4 b) N M a + 2b + 4c M 8 8 c) N M a + 2b + 4c + 8d M với b chẵn 16 16 Bài toán 8: Chứng minh rằng: a) 2 x + 3 y M 9 x + 5 y M 17 17 b)... 1994 xyM 72 * Các bài toán tổng hợp: Bài toán4: Chứng minh rằng: 88 + 220 M 17 Bài toán 5: Chứng minh rằng: m + 4n M 10m + n M m, n N 13 13 Bài toán 6: Có hay không hai số tự nhiên x, y sao cho ( x + y )( x y ) = 2002 Bài toán7: Tìm n N để a) 4n 5M b) 5n + 1M 13 7 c) 25n + 3M d) 18n + 3M 53 7 Bài toán 8 : Chứng minh rằng nếu ab + cd M thì abcd M 11 11 Bài toán 9 : Cho hai số tự nhiên abc và deg đều... 13 13 c) 3 a + 2bM 10a + bM 17 17 Bài toán 9: Chứng minh rằng: a) 10n + 72 n 1M n N 81 { 81 b) 11 1M 81c / s1 Bài toán 10: Tìm các số tự nhiên n sao cho a) n + 11M 1 b) 7nM 3 n n 2 c) n + 2n + 6M + 4 d) n 2 + n + 1M + 1 n n Bài toán 11: Chứng minh rằng một số có hai chữ số chia hết cho 7 khi và chỉ khi tổng của chữ số hàng chục và 5 lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho 7 Bài toán 12: Với a, b là các... các số tự nhiên a, b, c sao cho abc + a = 333; abc + b = 335; abc + c = 341 Bài toán 5:Chứng minh rằng: nếu ab = 2.cd thì abcd M 67 Bài toán 6:Chứng minh rằng: nếu ab + cd + eg M thì abc deg M 11 11 Bài toán 7: Chứng minh rằng: a) abcabcM 7; 11;13 b) abc deg M 29 nếu abc = 2.deg 23; Bài toán 8: Chứng minh rằng nếu viết thêm đằng sau một số có hai chữ số số gồm hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngợc lại thì... số khác nhau Bài toán 7: Cho ba số tự nhiên a, b, c trong đó a và b là các số khi chia cho 5 d 3, còn c khi chia cho 5 d 2 a) Tìm số d của a+b+c; a+b-c; a+c-b khi chia cho 5 b) Hai số nào trong ba số trên có tổng chia hết cho 5, hiệu chia hết cho 5 ? Vì sao ? Bài toán 8: Phải thay x bởi chữ số nào để a) 113 + x M b) 113+x chia 7 d 5 c) 20 x 20 x 20 xM 7 7 d) 12 + 2 x3M e) 5 x793 x 4M 3 3 Bài toán 9:... Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số ? a) A = 1.3.5 .7 13 + 20 b) B = 1 47. 2 47. 3 47 13 Bài toán 5: { { Cho n N * Chứng minh rằng số A = 11 1211 1 là hợp số nc / s1 nc / s1 Bài toán 6: a) Cho n là một số không chia hết cho 3 Chứng minh rằng: n 2 chia 3 d 1 b) Cho p là số nguyên tổ lớn hơn 3 Hỏi p 2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số ? Bài toán 7: Cho n N ; n > 2 và n không chia hết cho 3 Chứng minh... số a, b sao cho a b = 4;7a5b1M 3 Bài toán 14: Cho 3a + 2bM a, b N ) Chứng minh rằng: 10a + bM 17( 17 Bài toán 15: Cho a 5b M a, b N ) Chứng minh rằng: 10a + bM 17( 17 n Bài toán 16: Chứng minh rằng: 9.10 + 18M n N 27 Bài toán 17: Chứng minh rằng: nếu abcd M thì ab + cd M và ngợc lại 99 99 chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên ôn tập tổng hợp Các phơng pháp chứng minh chia hết (Tiếp) Bài . 4 7 100 1892.1892 .1892 1892 b) 2001 2003 ; 1 2 3 100 1 973 .1 973 .1 973 1 973 ; 2003 2003 27 .9 ; 20 07 669 20 07 81 .343 .9 c) 2005 19 97 ; 2006 2006 9 .23 ; 2 5 8 2003 19 97 .19 97 .19 97. 3 5 5 5 7 + M b) 6 5 4 7 7 7 11+ M c) 9 8 7 10 10 10 222+ + M e) 6 7 10 5 59 M g) 2 2 * 3 2 3 2 10 n n n n n N + + + M h) 7 9 13 81 27 9 45 M i) 10 9 8 8 8 8 55 M k) 9 8 7 10 10. 13.15. 17 91A = + . b) 2.3.5 .7. 11 13. 17. 19.21B = + . c) 12.3 3.41 240C = + + d) 45 36 72 81D = + + + e) 91.13 29.13 12.13E = + g) 4.19 5.4G = h) 2 3 3 3. 17 34.3H = + + i) 2 3 4 5 7 7 7 7