Chuyên đề Toán 9 thi THPT

Chủ đề : chứng minh tứ giác nội tiếp I/ MC TIấU CA CH . Qua ch ny giỳp hc sinh: - Bit c mt s phng phỏp chng minh t giỏc ni tip ng trũn. - Vn dng linh hot cỏc phng phỏp chng minh c cỏc t giỏc ni tip ng trũn. - Vn dng tớnh cht ca t giỏc ni tip ng trũn chng minh cỏc bi toỏn hỡnh hc cú liờn quan. - Rốn k nng tỡm li gii v trỡnh by li gii ca mt bi toỏn hỡnh hc. - Bit cỏch khai thỏc cỏc bi toỏn hỡnh hc, t ú rốn luyn t c lp sỏng to hc ca hc sinh II/ Một số gợi ý để đến chứng minh tứ giác nội tiếp. A B D C 1. 2. 3. 4. 5. 6. Chứng minh cho đỉnh tứ giác cách điểm đó. Chứng minh tứ giác có tổng góc đối 180 . Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh lại dới hai góc nhau. Chứng minh tứ giác có tổng góc đối nhau. Sử dụng định lí đảo hệ thức lợng đờng tròn. Trờng hợp phải chứng minh điểm trở lên nằm đờng tròn, ta chọn điểm cố định, chọn điểm thứ chứng minh cho điểm nằm đờng tròn. Sau lại chứng minh điểm cố định với điểm thứ năm nằm đờng tròn tiếp tục nh điểm cuối cùng. Nh tất điểm đó, kể từ điểm thứ trở nằm đờng tròn qua điểm chọn làm cố nh, t ú suy cỏc im ú u nm trờn mt ng trũn. II/ MT S BI TON MINH HA Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA 1. Bi toỏn 1: Cho tam giỏc ABC vuụng A. Trờn AC ly mt im M v dng ng trũn ng kớnh MC. Ni BM v kộo di gp ng trũn ti D. ng thng DA gp ng trũ ti S. Chng minh rng a. ABCD l t giỏc ni tip b. CA l phõn giỏc ca gúc SCB. 1.1. Phõn tớch tỡm cỏch gii GT ABC cú A = 90o ng trũn ng kớnh MC. MB ct ng trũn ti D KL a/ ABCD l t giỏc ni tip. b/ CA l tia phõn giỏc SCB K O3 D S A M O2 B O1 T C Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA Nhn xột: a. Vỡ A v D nm cựng phớa i vi on thng BC m A = 90o theo GT nờn chng minh c t giỏc ABCD ni tip ta phi chng minh BDC = 900 . Ta cú MDC = 900 ( gúc ni tip chn na ng trũn), t ú suy iu phi chng minh. b. chng minh cho CA l ng phõn giỏc SCB, li dng kt qu ó chng minh cõu a, ta cú ACB = ADB ( cựng chn cung AB ). Mt khỏc SCA = ADB ( cựng chn cung SM ca ng trũn ng kớnh MC) . T ú suy PCM. 1.2. Li gii ( túm tt ) a/ MDC = 900 ( gúc ni tip chn na ng trũn ng kớnh MC ). M BAC = 900 (GT) T A v D nm cựng phớa BC nhỡn on BC di gúc 900 nờn A v D nm trờn ng trũn ng kớnh BC ABCD l t giỏc ni tip. ADB = ACB ( gúc ni tip chn na ng trũn ) b/ ADB = SCM ( gúc ni tip chn na ng trũn ) SCM = ACB CA l phõn giỏc SCB. 1.3. Khai thỏc bi toỏn: Nhn xột 1: Gi K l giao im ca BA v CD kộo di. T l giao im ca ng trũn ng kớnh MC vi cnh BC. Vỡ M l trc tõm tam giỏc KBC nờn KM kộo di phi qua T. Ta cú cõu hi tip theo cho bi toỏn c/ Gi T l giao im ca ng trũn ng kớnh MC vi BC v K l giao im ca AB v CD kộo di. Chng minh rng: + K, M, T thng hng + ATK = DTK Nhn xột 2: Theo kt qu ó chng minh cõu b thỡ SCM = TCM suy cung MS = cung TM TS MC ST // AB. Ta cú cõu hi tip cho bi toỏn 1. d/ Chng minh rng t giỏc KBTS l hỡnh thang. Nhn xột 3: Ta thy tam giỏc ASC ng dng vi tam giỏc AMD. Ta cú cõu hi tip theo cho bi toỏn Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA AS SC AC = = e/ Chng minh rng: AM MD AD Nhn xột 4: Nh kt qu ca cõu c ta nhn KT, BD v CA l ng phõn giỏc ca tam V ATD. Mt khỏc: A1 + DAT + A2 = M = DCT ( cựng bự vi DMT), M A1 = M = M = A v M ta li cú DCT = DO T DO T = A1 + A2 t giỏc DATO ni tip O l trung im on thng MC nm trờn ng trũn ngoi tip tam giỏc ADT. Ta cú cõu hi tip theo cho bi toỏn trờn f/ Gi O , O v O3 ln lt l trung im ca cỏc on thng MC, MB, v MK. Chng minh rng O , O v O3 nm trờn ng trũn ngoi tip tam giỏc DAT. 2. Bi toỏn 2. Cho tam giỏc ABC cú ng phõn giỏc BN. T A k mt tia vuụng gúc vi tia BN, ct BC ti H. Gi O l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC. Chng minh rng bn im A, O, H, C nm trờn mt ng trũn. Hng dn A A M K I N K I M O B H H' C N O H' B C H H2b H2a Ta phõn bit hai trng hp - H v O nm cựng phớa vi AC ( H2a ) - H v O nm khỏc phớa vi AC ( H2b ) Cỏch AH ct BN I. K AH ' vuụng gúc vi ng phõn giỏc CM v ct CM K. D ã thy IK l ng trung bỡnh ca tam giỏc AHH ' . T ú, ta cú IKO bng ( hoc ã ã ã bự ) OCH . T giỏc AKOI ni tip ( K = I = 90 ) nờn IKO = OAI . T ú suy PCM. Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA Cỏch Ni OA v OH. D thy BN l ng trung trc ca tam giỏc ABH ã ã ã ã ã ã BHO , nhng BAO . Do ú BHO , ta suy PCM. = BAO = OAC = OAC Cỏch ã + BAI ã ã + BAO ã ã = 900 hayIBA + OAI = 900 Tam giỏc ABI vuụng nờn IBA B A C ã ã ã ã + + = 900 hayOAI = nờn OAI Suy OAI bng (hoc) OCH Suy PCM Cỏch ãAHC = 900 + B ( H 2a) hoc ãAHC = 900 B 2 ãAOC = 900 + B ( vỡ O l tõm ng trũn ni tip ) Do ú ãAHC bng ( hoc ) ãAOC Suy PCM. Cỏnh ãAON = A + B ( gúc ngoi nh O ca tam giỏc AOB ) ã Nờn AOH = A + B . Do ú ãAOH + C = 1800 ( H 2a) hoc ãAOH = ãACH = A + C ( H 2b) Suy PCM. 3. Bi toỏn 3: Cho hỡnh v a/ CMR: T giỏc EMFC ni tip b/ T hỡnh v ú hóy t mt toỏn cú ỏp dng kt qu cõu a A D E M B F C a/ Gi ý: Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA ã DME = 1800 A ã DMF = 1800 B ã Tớnh EMF = 3600 3600 + A + B ã EMF + C = A + B + C = 1800 DPCM b/ Cú th ta cú nhng toỏn khỏc ú cú dng kt qu ca cõu a, chng hn. Cho im D, E v F theo th t trờn cnh AB, AC, BC ca tam giỏc ABC cho trc. Gi M l giao im th hai ca hai ng trũn ngoi tip tam giỏc ADE v BDF. Chng minh rng M nm trờn ng trũn ngoi tip tam giỏc EFC. 4. Bi toỏn 4: Cho t giỏc ABCD, gi O l giao im hai ng chộo v I l giao im hai cnh bờn AD v BC. Chng minh rng: a) T giỏc ABCD ni tip v ch OA.OC = OB.OD b) T giỏc ABCD ni tip v ch IA. ID = IB. IC Gi ý: Vic chng minh bi toỏn ny khụng cú gỡ khú khn, chỳng ta ch vic chng minh cỏc tam ng dng v suy kt qu. Nhng qua bi toỏn trờn cho ta mt ý tng chng minh t giỏc ni tip : ú l chng minh mt ng thc v cnh. Hóy dựng ý tng ú gii cỏc bi toỏn sau: Bi toỏn 5: Cho n trũn (O), A l mt im nm ngoi ng trũn. Mt cỏt tuyn qua A ct (O) ti B v C. V tip tuyn QP vi (O) (P l tip im), gi H l hỡnh chiu ca P trờn OA. Chng minh im O, H, B, C cựng thuc mt ng trũn. Gi ý: Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA Chỳng ta thy BC v OH ct ti A, ú chng minh t giỏc OHBC ni tip ta ngh n vic chng minh AH.AO = AB.AC. Tht vy ta cú: (h thc lng tam giỏc vuụng APO) (tam giỏc APB v ACP ng dng). T ú ta cú , theo bi ta cú iu cn chng minh. Bi toỏn 6: Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC). ng trũn tõm O tip xỳc vi AB ti B v tip xỳc vi AC ti C. Gi H l giao im ca OA v BC. V dõy cung DE ca (O) i qua H. Chng minh rng t giỏc ADOE ni tip. Gi ý: Tam giỏc OCA vuụng ti C, CH l ng cao nờn ta cú: Dõy cung BC v DE ca (O) ct ti H nờn ta cú T ú ta cú , chng minh tng t bi ta cú t giỏc ADOE ni tip. Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA III/ BI TP VN DNG. Bi 1: Cho t giỏc ABCD ni ti ng trũn ng kớnh AD. Hai ng chộo AC v BD ct ti E. V EF vuụng gúc vi AD. Chng minh: a/ T giỏc EBEF, t giỏc DCEF ni tip. ã b/ CA l phõn giỏc ca BCF c/ Gi M l trung im ca DE. Chng minh t giỏc BCMF ni tip. Bi 2: T giỏc ABCD ni tip ng trũn ng kớnh AD. Hai ng chộo AC, BD ct ti E. Hỡnh chiu vuụng gúc ca E trờn AD l F. ng thng CF ct ng trũn ti im th hai l M. Giao im ca BD v CF l N. Chng minh: a/ CEFD l t giỏc ni tip b/ Tia FA l phõn giỏc ca gúc BFM c/ BE.DN = EN.BD. Bi 3: Cho tam giỏc ABC vuụng A v mt im D nm gia A v B. ng trũn ng kớnh BD ct BC ti E. Cỏc ng thng CD, AE ln lt ct ng trũn ti cỏc im th hai F, G. Chng minh: a/ Tam giỏc ABC ng dng vi tam giỏc EBD b/ T giỏc ADEC v AFBC ni tip c mt ng trũn c/ AC song song vi FG d/ Cỏc ng thng AC, DE, BF ng quy. Bi 4: Cho tam giỏc ABC cú A = 900 ; AB > AC, v mt im M nm trờn on AC ( M khụng trựng vi A v C ). Gi N v D ln lt l giao im th hai ca BC v MB vi ng trũn ng kớnh MC; gi S l giao im th hai gia AD vi ng trũn ng kớnh MC; T l giao im ca MN v AB. Chng minh: a/ Bn im A, M, N, B cựng thuc mt ng trũn b/ CM l phõn giỏc ca gúc BCS. TA TC = c/ TD TB Bi 5: Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA Cho ng trũn (O) v im A nm ngoi ng trũn. Qua A dng hai tip tuyn AM v AN vi ng trũn ( M, N l cỏc tip im ) v mt cact tuyn bt k ct ng trũn ti P, Q. Gi L l trung im ca PQ. a/ Chng minh im: O, L, M, A, N cựng thuc mt ng trũn b/ Chng minh LA l phõn giỏc ca gúc MLN c/ Gi I l giao im ca MN v LA. Chng minh: MA = AI. AL d/ Gi K l giao im ca ML vi (O). Chng minh rng: KN // AQ e/ Chng minh tam giỏc KLN cõn. Bi 6: Cho ng trũn (O;R) tip xỳc vi ng thng d ti A. Trờn d ly im H khụng trựng vi im A v AH < R. Qua H k ng thng vuụng gúc vi d, ng thng ny ct ng trũn ti hai im E v B ( E nm gia B v H ) a/ Chng minh: gúc ABE bng gúc EAH v tam giỏc AHB ng dng vi tam giỏc EAH. b/ Ly im C trờn d cho H lỏ trung im ca on AC, ng thng CE ct AB ti K. Chng minh: AHEK l t giỏc ni tip c/ Xỏc nh v trớ ca im H AB = R Bi 7: T im P nm ngoi ng trũn (O), k hai tip tuyn PM v PN vi ng trũn (O) ( M, N l tip im ). ng thng i qua im P ct ng trũn (O) ti hai im E v F. ng thng qua O song song vi MP ct PN ti Q. Gi H l trung im ca on EF. Chng minh: a/ T giỏc PMON ni tip ng trũn b/ Cỏc im P, N, O, H cựng nm trờn mt ng trũn c/ Tam giỏc PQO cõn d/ MP = PE. PF ã ã N. = PH e/ PHM Bi 8: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn (O). Cỏc ng cao AD, BE, CF ct ti H v ct ng trũn (O) ln lt ti M, N, P. Chng minh rng: a/ Cỏc t giỏc AEHF, BFHD ni tip. b/ Bn im B, C, E, F cựng nm trờn mt ng trũn. c/ AE. AC = AH. AD v AD. BC = BE. AC Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA d/ H v M i xng qua BC e/ Xỏc nh tõm ng trũn ni tip tam giỏc DEF. Bi 9: Cho tam giỏc ABC khụng cõn, ng cao AH, ni tip ng trũn tõm O. Gi E, F th t l hỡnh chiu ca B, C lờn ng kớnh AD ca ng trũn (O) v M, N th t l trung im ca BC, AB. Chng minh: a/ Bn im A, B, H, E cựng nm trờn mt ng trũn tõm N v HE // CD. b/ M l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc HEF. Bi 10: Cho ng trũn (O) v im A bờn ngoi ng trũn. V cỏc tip tuyn AB, AC v cỏt tuyn ADE vi ng trũn ( B v C l cỏc tip im ). Gi H l trung im ca DE. a/ CMR: A, B, H, O, C cựng thuc mt ng trũn. Xỏc nh tõm ca ng trũn ny. ã b/ Chng minh: HA l tia phõn giỏc BHC . c/ Gi I l giao im ca BC v DE. Chng minh: AB = AI.AH d/ BH ct (O) ti K. Chng minh: AE // CK. Bi 11: T mt im S ngoi ng trũn (O) v hai tip tuyn SA, SB v cỏt tuyn SCD ca ng trũn ú. a/ Gi E l trung im ca dõy CD. Chng minh im S, A, E, O, B cựng thuc mt ng trũn. b/ Nu SA = AO thỡ SAOB l hỡnh gỡ? Ti sao?. AB.CD c/ CMR: AC.BD = BC.DA = Bi 12: Trờn ng thng d ly im A, B, C theo th t ú. Trờn na mt phng b d k hai tia Ax, By cựng vuụng gúc vi d. Trờn tia Ax ly I. Tia vuụng gúc vi CI ti C ct By ti K. ng trũn ng kớnh IC ct IK ti P. a/ Chng minh t giỏc CBPK ni tip c ng trũn b/ Chng minh: AI. BK = AC. CB 10 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA V P > S > * Bi toỏn 6: Tỡm iu kin phng trỡnh cú hai nghim õm ( x1 x2 < ): V S < P > * Bi toỏn 7: Tỡm iu kin phng trỡnh cú hai nghim trỏi du ( x1 < < x2 ): P S > P = * Bi toỏn 9: Tỡm iu kin phng trỡnh cú nghim: x1 < x2 = 0: V> S < P = * Bi toỏn 10: Tỡm iu kin phng trỡnh cú nghim: x1 = x2 = V= S = */ Chỳ ý: Ta lu ý n iu kin a # phng trỡnh cú hai nghim So sỏnh nghim ca phng trỡnh bc hai vi mt s * S nm gia hai nghm: x1 < < x2 a. f ( ) < * S nm phớa trỏi ca hai nghim: < x1 < x2 V> a. f ( ) > S > * S nm phớa phi ca hai nghim: x1 < x2 < 38 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA * So sỏnh nghim vi s ; . V> a. f ( ) > S < < x1 < < x2 x < < x < f ( ). f ( ) < III/ MT S V D MINH HA: 1.Bi toỏn 1: Cho phng trỡnh: x2 2mx + m2 = (1) a/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit b/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim phõn bit cựng du c/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim tha món: -2 < x < Gii a/ Phng trỡnh (1) cú: V' = (- m) m2 + = m m2 + > phng trỡnh (1) luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m b/ phng trỡnh (1) cú hai nghim cựng du: V' > 0(cõu a) m >1 P > m2 > m < P>0 Vy vi m > hoc m < - thỡ phng trỡnh (1) cú nghim phõn bit cựng du c/ phng trỡnh cú nghim tha món: -2 < x < V> a. f (2) > S > < x1 < x < x1 < x2 < x < x < V> a. f (4) > S < (I) ( II ) Gii (I) ta c: m > - 39 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA Gii (II) ta c: m < Vy vi - < m < thỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim tha -2 < x < 2.Bi toỏn 2: Cho phng trỡnh: x2 (a2 + )x +a2 + = (*) CMR: phng trỡnh luụn cú hai nghim dng phõn bit HD V> 0(1) pt cú hai nghim dng phõn bit: S > 0(2) P > 0(3) Ta cú: V= ( a + 3) 4.(a + 2) Vy (1) luụn ỳng vi mi a Ta cú: = a + 2a + = (a + 1) > 0a S = x1 + x2 = a2 + a Vy (2) luụn ỳng vi mi a Ta cú: P = x1.x2 = a2 + a Vy (3) luụn ỳng vi mi a KL: Phng trỡnh (*) luụn cú hai nghim phõn bit dng vi mi a 3.BI TP VN DNG 2 1. Cho phng trỡnh : x ( 2m + 1) x + m + m = . a) Chng minh : phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m . b) Chng minh cú mt h thc liờn h gia nghim s khụng ph thuc m . 2. Tỡm nhng giỏ tr nguyờn ca k bit thc ca phng trỡnh sau l s chớnh phng : kx + ( 2k 1) x + k = 0; ( k ) . 3. Tỡm a phng trỡnh x ( a + 1) x + 2a + = cú nghim phõn bit cho biu din nghim ú lờn trc s nú chn trc s thnh on bng nhau. 4. Tỡm k phng trỡnh sau õy cú nghim phõn bit : ( x ) .( x + kx + k 3) = 40 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA 5. Chng minh rng phng trỡnh bc hai : ax + bx + c = khụng th cú nghim hu t nu a, b, c u l s l. 6. Tỡm a, b hai phng trỡnh sau tng ng : x + ( 3a + 2b ) x = v x + ( 2a + 3b ) x + 2b = 7. Gi s b, c l cỏc nghim ca phng trỡnh : x ax = 2a ( a 0) Chng minh : b + c + . 8. Chng minh rng nu cỏc h s a, b, c phng trỡnh sau luụn cú nghim : a ( x b) ( x c) + b ( x c ) ( x a ) + c ( x a ) ( x b) = 9. Chng minh rng nu cỏc h s a, b, c ca phng trỡnh : ax + bx + c = ( a ) tha iu kin : 2b2 9ac = thỡ phng trỡnh s cú nghim ny gp ụi nghim kia. 10.Chng minh rng nu m + n > p, m n < p vi m, n, p l cỏc s dng thỡ 2 2 2 phng trỡnh sau õy vụ nghim : m x + ( m + n p ) x + n = . 11.Chng minh rng : x0 = a + a + b3 a + b3 a l nghim ca phng trỡnh : x + 3bx 2a = . 12.Tỡm giỏ tr ca tham s a bt phng trỡnh sau õy cú ỳng mt nghim chung : a ( x ) + x, a ( x 1) x . 13.Cho phng trỡnh x + 2bx + c = 0, x + 2cx + b = . Chng minh rng nu b + c thỡ ớt nht cú mt phng trỡnh trờn phi cú nghim. 14.Cho phng trỡnh ax + bx + c = ( a ) cú nghim l x1 , x2 . a) Tớnh theo a, b, c cỏc biu thc sau : P = ( x1 x2 ) ( x2 3x1 ) , Q = x1 x2 + x2 3x1 x1 x2 b) Cho a = m; b = ( 2m + 1) ; c = 3m + . Tỡm h thc liờn h gia x1 , x2 khụng ph thuc vo m . 15.Chng minh rng nu phng trỡnh ax + bx + c = cú nghim dng thỡ phng trỡnh cx + bx + a = cng cú nghim dng. 16.Vi giỏ tr no ca m thỡ hai phng trỡnh sau cú ớt nht mt nghim chung : Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA 41 x ( m + ) x + m + = 0, x ( m + ) x + m + = . 2 17.Cho hai phng trỡnh : x ( a + 3b ) x = ( 1) , x ( 2a + b ) x 3a ( 2) Tỡm a, b phng trỡnh (1), (2) cú cựng hp nghim. 2 18.Tỡm m phng trỡnh x ( 2m + 1) x + m = cú nghim x1 , x2 cho x12 + x22 = . 2 19.Cho hm s y = x ( 2m + 1) x + m , tỡm m th hm s ct trc honh ti im cú honh x1 , x2 tha : x1 < 0; x2 > 0; x2 > x1 . 20.Tỡm cỏc giỏ tr ca a cho phng trỡnh x ax + 2a + = 0, ax ( 2a + 1) x = cú nghim chung. 21.Cho phng trỡnh : ( m 1) x 2mx + m + = ( m l tham s) Tỡm m phng trỡnh trờn cú nghim phõn bit x1 , x2 . Khi ú tỡm h thc liờn h gia nghim khụng ph thuc vo m . Tỡm m phng trỡnh trờn cú x1 x2 + +6=0. tha h thc : x2 x1 IV/ PHNG TRèNH QUY V PHNG TRèNH BC HAI Phng phỏp 1: - Trng hp phng trỡnh cú n s mu, ta thu tt c v mt v, v cũn li bng - t iu kin cỏc mu khỏc 0. Do ú suy iu kin ca n phng trỡnh - Gii phng trỡnh bng cỏch quy ng mu thc. So vi iu kin trc tr li Phng phỏp 2: Trng hp n x cú bc cao - Bin i phng trỡnh thnh phng trỡnh tớch hoc - Hoc dng cỏch t n ph Cỏc vớ d: Gii cỏc phng trỡnh: 42 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA x +1 a/ 2= x x2 c / x + x 80 = y+2 y+2 b/ ữ ữ+ = 0(2) y y d / x + x3 + 3x x = HD y+2 = x vi y 1, x (*) y Do ú (2) x2 - 5x + = Phng trỡnh cú hai nghim l: x1 = 3; x2 = 2( tha (*)) c/ t x3 = t phng trỡnh ó cho tng ng vi: t2 2y 80 = d/ Phng trỡnh ó cho tng ng vi: (x + 1)2(x2 + 2)(x 1) = b/ t V/ BI TP VN DNG Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau: 1) x 2x + = ( ( ) 4) x + x + = 3) 0,7x 2,3x = 5) x 2 2) 2x + 7x + = ) x = 6) x ( 2m + 1) x + 2m = 7) x ( m + n ) x + mn = 8) 9) x + x + + = 10) 4x + x + = 5x ) 11) ( 12) ( ) ( 5x + ) = x + Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh sau: 1) x 7x + 12 = 3) 4x 5x = 5) 2x + 5x = 1 7) x x + = ( 2m 3) x ( ( x 2) 2mx + = ) ( x + 3) = ( x ) 2) x 18x + 81 = 4) x x + = 6) 2x + 5x = Bài 3: Giải cỏc phng trỡnh sau: a/ ( x 1) = b/ c/ ( x 1) ( x + ) = d/ x + 4x + = 16x 8x + e/ x 4x + 8x = f/ ( x + x ) + ( x + x ) 12 = ( 2x 3) 16 = 43 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA g/ ( x x + 1) ( x x + ) 12 = h/ x 12 x 14 x 18 x 16 = 13 11 1 19 k*/ x + ữ = x ữ+ x x Bài 11: Giải cỏc phng trỡnh: x + 2x a/ + =2 2x x + 1 c/ =0 2x 2x x + 2x e/ + =2 2x x + y + = / 2 y 6y + 2y y 3y 2x + x g/ =0 2x 2x + 1 + + =0 x x +1 x n*/ x x =2 x x k/ s/ 14 4x + = x2 + x x + 3 x Bài 5. Giải phơng trình sau: a) x 10 x + 26 x 10 x + = c) x + x x x + = e) x x x + x + = Bài 6. Giải phơng trình sau: a) x + x + x +4=0 x x + x 21 c) x2 + 4x = x x + 10 e) ( x + 3) + ( x + 5) = u/ x + x + 2x + = b/ 1 = x ( x + ) ( x + 1) 12 x 1) d/ 2x + + ( =6 x x +1 1 f/ + = x x x 32 1 + = ơ/ x 2x x ( x 1) ( x ) x + h/ + = x +x5 x +x4 1 = x + x3 x 2 x +1 x x +1 x u*/ + =0 ữ + ữ+ x x +1 x x +1 m*/ x + t/ x +1 x + =3 x x +1 b) d) x + x 14 x x + = f) x + x + 10 x + 15 x + = =5 x + x d) x + = x ữ x x b) x + x Phơng pháp vẽ hình phụ giải toán hình học Chủ đề: Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA 44 I/ MC TIấU CA CH Qua ch ny giỳp hc sinh: - Bit cỏch v thờm cỏc yu t ph gii cỏc bi toỏn hỡnh hc - Bit c mt s k nng gii mt s dng toỏn hỡnh hc - Rốn k nng tỡm li gii v trỡnh by li gii cỏc bi toỏn hỡnh hc - Rốn t suy lun lụgic cho hc sinh, to cho hc sinh thờm yờu thớch hc mụn hỡnh hc. II/ MT PHNG PHP V NG PH Trong quỏ trỡnh hc toỏn bc THCS, cú l hp dn nht v khú khn nht l vic vt qua cỏc bi toỏn hỡnh hc, m gii chỳng cn phi v thờm cỏc ng ph. Sau õy xin nờu mt phng phỏp thng dựng tỡm cỏc ng ph cn thit gii toỏn hỡnh hc : Xột cỏc v trớ c bit ca cỏc yu t hỡnh hc cú bi toỏn cn gii. Bi toỏn : Cho gúc xOy. Trờn Ox ly hai im A, B v trờn Oy ly hai im C, D cho AB = CD. Gi M v N l trung im ca AC v BD. Chng minh ng thng MN song song vi phõn giỏc gúc xOy. Suy lun : V trớ c bit nht ca CD l CD i xng vi AB qua Oz, phõn giỏc gúc xOy. Gi C1 v D1 l cỏc im i xng ca A v B qua Oz ; E v F l cỏc giao im ca AC1 v BD1 vi Oz. Khi ú E v F l trung im ca AC1 v BD1, v ú v trớ ca MN s l EF. Vỡ vy ta ch cn chng minh MN // EF l (xem hỡnh 1). Tht vy, AB = CD (gt), AB = C1D1 (tớnh cht i xng) nờn CD = C1D1. 45 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA Mt khỏc: ME v NF l ng trung bỡnh ca cỏc V ACC1 v BDD1 nờn NF // DD1, NF = 1/2DD1 , ME // CC1 , ME = 1/2 CC1 suy ME // NF v NE = 1/2 NF suy t giỏc MEFN l hỡnh bỡnh hnh suy MN // EF suy pcm. Bi toỏn cú nhiu bin dng rt thỳ v, sau õy l mt vi bin dng ca nú, sau ú hóy xut nhng bin dng tng t. Bi toỏn : Cho tam giỏc ABC. Trờn AB v CD cú hai im D v E chuyn ng cho BD = CE. ng thng qua cỏc trung im ca BC v DE ct AB v AC ti I v J. Chng minh AIJ cõn. Bi toỏn : Cho tam giỏc ABC, AB AC. AD v AE l phõn giỏc v trung tuyn ca tam giỏc ABC. ng trũn ngoi tip tam giỏc ADE ct AB v AC ti M v N. Gi F l trung im ca MN. Chng minh AD // EF. Trong vic gii cỏc bi toỏn cha cỏc im di ng, vic xột cỏc v trớ c bit cng t hu ớch, c bit l cỏc bi toỏn tỡm hp im. Bi toỏn : Cho na ng trũn ng kớnh AB c nh v mt im C chuyn ng trờn na ng trũn ú. Dng hỡnh vuụng BCDE. Tỡm hp C, D v tõm hỡnh vuụng. Ta xột trng hp hỡnh vuụng BCDE nm ngoi na ng trũn ó cho (trng hp hỡnh vuụng BCDE nm ng trũn ó cho c xột tng t, ngh t lm ly xem nh bi tp). Suy lun : Xột trng hp C trựng vi B. Khi ú hỡnh vuụng BCDE s thu li mt im B v cỏc im I, D, E u trựng vi B, ú I l tõm hỡnh vuụng BCDE. Vy B l mt im thuc cỏc hp cn tỡm. Xột trng hp C trựng vi A. Dng hỡnh vuụng BAD1E1 ú D trựng vi D1, E trựng vi E1 v I trựng vi I1 (trung im ca cung AB ). Trc ht, ta tỡm hp E. Vỡ B v E thuc hp cn tỡm nờn ta ngh n vic th chng minh gúc BEE1 khụng i. iu ny khụng khú vỡ gúc ACB = 90o (gúc ni tip chn na ng trũn) v BEE1 = BCA (c. g. c) suy gúc BEE1 = gúc BCA = 90o suy E nm trờn na ng trũn ng kớnh BE1 (1/2 ng trũn ny v 1/2 ng trũn ó cho nm hai na mt phng khỏc vi b l ng thng BE1). 46 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA Vỡ gúc DEB = gúc E1EB = 90o nờn D nm trờn EE1 (xem hỡnh 2) Suy gúc ADE1 = 90o = gúc ABE1 suy D nm trờn ng trũn ng kớnh AE 1, nhng ABE1D1 l hỡnh vuụng nờn ng trũn ng kớnh AE cng l ng trũn ng kớnh BD1. Chỳ ý rng B v D1 l cỏc v trớ gii hn ca hp cn tỡm, ta suy hp D l na ng trũn ng kớnh BD1 (na ng trũn ny v im A v hai na mt phng khỏc vi b l ng thng BD1). Cui cựng, tỡm hp I, ta cn chỳ ý II l ng trung bỡnh ca B D1 nờn II1 // DD1 suy gúc BII1 = 90 suy hp I l na ng trũn ng kớnh BI (ng trũn ny v A v hai na mt phng khỏc vi b l BD1). Bi toỏn 5: ( K ng vuụng gúc nhm to hai tam giỏc vuụng bng ) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ng phõn giỏc BD, bit DB = 7, DC = 15. Tớnh di AD? Gii A x D y H y x 15 K x B E C K DE BC. Ta cú VABD =VEBD ( cnh huyn gúc nhn ). Nờn DA = DE, BA = BE, suy BD l ng trung trc ca AE. Gi H l giao im ca AE v BD. Ly 47 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA K i xng vi D qua H. T giỏc AKED l hỡnh thoi. t EK = ED = AD = x, DH = HK = y. Tam giỏc EBD vuụng nờn: ED = DB.DH, suy x2 = 7y (1). Do EK // AC nờn EK BK x 2y = = (2) .T (1) v (2) suy 30x2 + 49x 735 =0. Nghim CD BD 15 dng ca phng trỡnh l x= 4,2 Vy AD = 4,2. III/ BI TP VN DNG Bi 1: Nu M khụng nm trờn ng trũn (O; R), mt ng thng thay i qua M v ct (O) ti A v B. Khi ú tớch MA. MB khụng i v bng Gi ý: Chng minh bi toỏn ch cn v ng thng qua M v O ct (O) ti C, D. Bi toỏn cho ta mt ý tng gii cỏc bi toỏn v h ng trũn i qua mt im c nh. Ta cựng xột cỏc bi toỏn sau: ( T bi n bi ). Bi : Cho ng trũn (O) v mt im A khỏc O nm ng trũn. Mt ng thng thay i qua A nhng khụng i qua O ct (O) ti M v N. Chng minh rng ng trũn ngoi tip tam giỏc OMN luụn i qua mt im c nh khỏc O. Gi ý: Gi P l giao im ca ng trũn ngoi tip tam giỏc OMN v tia i ca tia AO. Ta cú khụng i vỡ A v (O) c nh. Hn na P thuc tia i ca tia AO c nh nờn P l im c nh. Bi 3: Cho ng trũn (O), AB l mt dõy cung c nh v E l trung im ca AB. Mt ng thng thay i qua A ct ng trũn tõm O bỏn kớnh OE ti P v Q. Chng minh rng tớch AP. AQ khụng i v ng trũn ngoi tip tam giỏc BPQ luụn i qua mt im c nh. Gi ý: 48 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA Vỡ E l trung im ca AB nờn OE vuụng gúc vi AB, suy AB l tip tuyn ca (O; OE). Ta chng minh c khụng i. Gi I l giao im ca ng trũn ngoi tip tam giỏc BPQ v AB. Khi ú ta cú: khụng i. Suy I l im c nh. Bi 4: T im A nm ngoi ng trũn (O) v cỏc tuyn ABC (B, C thuc (O)). Chng minh rng cỏt tuyn thay i thỡ tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc OBC luụn thuc mt ng thng c nh. Gi ý: Gi E l giao im ca ng trũn ngoi tip tam giỏc OBC v AO. Tng t nh hai bi trờn ta chng minh c E l im c nh. T ú suy tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc OBC luụn thuc ng trung trc ca OE. Bi 5: Cho ng trũn (O) v dõy cung AB c nh. M l im di chuyn trờn cung ln AB, H l hỡnh chiu ca M trờn AB. Tỡm v trớ ca M MH t giỏ tr ln nht. Gii bi toỏn trng hp M thuc cung nh AB. Gi ý 49 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA V OI vuụng gúc vi AB (I thuc AB). Ta cú . Du = xy v ch M, O, I thng hng hay M l trung im cung AB. Vy MA + MB t giỏ tr ln nht M l trung im cung AB. Tng t i vi trng hp M l trung im cung nh AB. Bi 6: Cho ng trũn (O) v dõy cung AB c nh. M l mt im thay i trờn cung nh AB. Tỡm v trớ ca M tng MA + MB t giỏ tr ln nht. Gi ý Trờn tia i ca tia MA ly im C cho MB = MC. Khi ú ta cú MA + MB = AC. Ta cú Suy C thuc cung cha gúc dng trờn on AB. T ú AC ln nht AC l ng kớnh. Khi ú M l trung im cung AB. Vy MA + MB ln nht M l trung im cung AB. Bi 7: Cho tam giỏc ABC cú gúc nhn ni tip ng trũn tõm O( AB < BC). V ng trũn tõm I qua im A v C ct cỏc on AB, BC ln lt ti M, N. V ng trũn tõm J i qua im B, N, M ct ng trũn (O) ti im H. Chng minh rng a) OB vuụng gúc vi MN b) IOBJ l hỡnh bỡnh hnh c) BH vuụng gúc vi IH Gi ý 50 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA a) V tip tuyn Bx ca (O). Chng minh Bx // MN. b) V tip tuyn By ca (J), chng minh By // AC. Suy Ta cú OI l ng trung trc ca AC, suy V IJ l ng trung trc ca MN, suy T ú ta cú: BJ// IO (cựng vuụng gúc AC) v OB // IJ (cựng vuụng gúc MN) Suy t giỏc BJIO l hỡnh bỡnh hnh. c) Gi G l giao im ca BI v OJ, suy G l trung im ca BI. Ta cú OJ l ng trung trc ca BH (B, H l giao im ca (O) v (I)), m G thuc OJ nờn GB = GH. Trong tam giỏc BHI cú HG l trung tuyn v BHI vuụng ti H. nờn Bi 8: Cho hai ng trũn (O) v (O) ct ti A v B. Qua A v hai cỏt tuyn CAD v EAF ( C v E nm trờn ng trũn (O), D v F nm trờn ng trũn (O)) cho ã ã AF . CAB =B Chng minh rng: CD = EF. Gi ý: E D A H K F O' C O B AB l tia phõn giỏc ca Cã AF , ta v BH CD, BK EF . Ta va cú BH = BK li va cú cỏc tam giỏc vuụng. T ú cú li gii bi toỏn Bi 9: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn tõm (O) v trc tõm H. Ly M thuc cung nh BC. Gi R, S ln lt l hỡnh chiu ca M trờn cỏc ng thng AB, AC. Chng minh rng RS i qua trung im ca MH. Gi ý: 51 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA E A S H N C B R M Chn cỏc im ph cn v thờm l N, E ln lt l cỏc im i xng ca M qua AB, AC. Chng minh c N, H, E thng hng M RS l ng trung bỡnh ca tam giỏc MNE, vy RS i qua trung im ca MH. Bi 10: Cho tam giỏc ABC. M l im di ng trờn cnh AC, N l im di ng trờn tia i ca tia BA cho BN = CM. Chng minh rng ng trũn ngoi tip tam giỏc AMN i qua mt im c nh khỏc A. Gi ý: A M M' B C N' N D Sau v xong hỡnh ta tip tc ly M trờn cnh AC v ly N trờn tia i ca tia BA cho BN = CM. V ng trũn ngoi tip tam giỏc AMN. D l giao im ca hai ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc AMN, AMN. D l im c nh, m ta ang cn n. T hỡnh v nhn rng DB = DC, giỳp ta cú ã ã T giỏc ABCD ni tip giỳp ta nhn rng c VBDN =VCDM DBN = DCM ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC. D l trung im cung BC l yu t ph giỳp ta cú li gii bi toỏn. Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA 52 53 Trần Thị Trang lớp 9C THCS Thị Trấn KA [...]... 24 TrÇn ThÞ Trang líp 9C THCS ThÞ TrÊn KA - Nghiệm của hệ là những số ngun Bài tốn 2 : Tìm m để hệ : có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0 Giải Nhân hai vế của (2) với -3, ta có: (2) ⇔ -3x - 3my = -9 (3) Cộng từng vế của (1) và (3) dẫn đến : - 2y - 3my = m - 9 ⇔ (2 + 3m)y = 9 - m (4) −2 thì (4) trở thành 0 = 29/ 3 vơ nghiệm 3 −2 9 m + Nếu 2 + 3m ≠ 0 ; m ≠ thì : (4) ⇔ y = 2 + 3m 3 9 m m2 + 6 ⇔x= Thế vào... / 4x − 9 y = 6  LOẠI 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: DẠNG 1: 29 TrÇn ThÞ Trang líp 9C THCS ThÞ TrÊn KA 1 1  x − y =1  a/ 3 + 4 = 5 x y  6 5 x+ y =3  b/  9 − 10 = 1 x y  1 1 1 x + y = 4  c/ 10 − 1 = 1 x y  1 1  x + y = 24  d /  2= 3  x y  1  1 +  x − 2 y −1 = 2  e/  2 − 3 =1  x − 2 y −1  1 8 −  x y + 12 = 1  g/  1+ 5  x y + 12  9  4 +... thỏa mãn (*) 32 TrÇn ThÞ Trang líp 9C THCS ThÞ TrÊn KA Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:  x + y + xy = 7 1/  2 2  x + y + xy = 13  xy = x + y + 17 2/ 2 2  x + y 65  x + y + xy = − 1 3/  2 2  x y + y x = −6  x 2 + y 2 − x − y = 102 4/  xy + x + y = 69  xy ( x + 2)( y + 2) = 9 5/  2 2  x + y + 2( x + y ) = 6  x 2 + y 2 + 2 x( y − 3) + 2 y ( x − 3) + 9 = 0 6/ 2( x + y ) − xy + 6 = 0... số nghiệm a' b' c' 3 Hệ phương trình tương đương: TrÇn ThÞ Trang líp 9C THCS ThÞ TrÊn KA 22 Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm 4 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, phương pháp thế, phương pháp dùng định thức: a/ Quy tắc thế ( Sgk Tốn 9- T2-Tr 13) b/ Quy tắc cơng đại số ( Sgk Tốn 9- T2-Tr 16) c/ Phương pháp dùng định thức: Từ hệ phương trình (I) ta... 2 x 2 + 3 y 2 = 36 k / 2 2 3 x + 7 y = 37 4 5  +  x − 3 y +1  f /  5 + 1 = 29  x − 3 y + 1 20  1  1 +  x −1 y − 2 = 2  i/  2 − 3 =1  y − 2 x −1   7 x 2 + 13 y = − 39 j/ 2  5 x − 11 y = 33 3 x 2 + y 2 = 5 l/ 2 2  x − 3y = 1 */ DẠNG 2: y  2x +  x +1 y +1 = 2  a/  x + 3 y = −1  x +1 y +1  7 5 9  − =  x − y + 2 x + y −1 2  c/ 3 2  + =4  x − y + 2 x + y −1  6  3 −  2... II/ CÁC BÀI TẬP */ DẠNG THỨ NHẤT: Lập phương trình khi biết hai nghiệm Bài 1: 14 TrÇn ThÞ Trang líp 9C THCS ThÞ TrÊn KA 1 3 a/ x1 = 4 ; x2 = - 2 b/ 1 c/ x1 = 1 3 ; x2 = - 0 ,9 d/ x1 = e/ x1 = 3+ 2 g/ x1 = 3 + 2 1 3+ 2 2 ; x2ÅŽ ; x2 = 3− 2 2 1 1 i/ x1 = 2 + 3 ; x2 = 2 − 3 l/ x1 = 3 - 5 ; x2 = 3 + n/ x1 = -1 ,9; x2 = 5,1 5 x1 1 1 = -2 4 ; x2 = 3 3 1− 2 ; x2 = 6 f/ x1 = 5 +2 5 h/ x1 = 4 – 3 1+ 2 ; x2 = 5−2... x + y + 2( x + y ) = 6  x 2 + y 2 + 2 x( y − 3) + 2 y ( x − 3) + 9 = 0 6/ 2( x + y ) − xy + 6 = 0  x 2 + y 2 + xy = 1 7/ 3 3 x + y = x + y x 3 + y 3 = 9 8/  2 2 x + y = 5 x 2 + y 2 = 52  9/  1 1 5 + =  x y 12  1  x+ = −1  x+y  9/  x  = −2  x+y  LOẠI 7: Hệ đối xứng loại 2: - Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì phương... hai nghiệm của pt: x2 – 7 + q = 0 bằng 11 Tìm q và hai nghiệm của phương trình d/ Tìm giá trị của m để pt: x2 + 2(m + 2)x + 2m2 + 7 = 0 có nghiệm x1 = 5 khi đó hãy tìm nghiệm còn lại? Bài 9: 20 TrÇn ThÞ Trang líp 9C THCS ThÞ TrÊn KA Cho phương trình: x4 + 2mx2 + 4 = 0 (1) Tìm giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn: 4 4 4 x14 + x2 + x3 + x4 = 32 Hướng dẫn Đặt x2... thỏa mãn: y ∉ [ −4;0] Theo định lý Vi-ét: y1 + y2 = -2 nên (2) chỉ thỏa mãn khi y1 < -4 < 0 < y2 ⇔ CHđ §Ị : a f (4) < 0  a f (0) < 0 HƯ PH¦¥NG TR×NH HAI ÈN 21 TrÇn ThÞ Trang líp 9C THCS ThÞ TrÊn KA i - Mơc tiªu CỦA CHỦ ĐỀ: - Häc sinh cã kÜ n¨ng gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn b»ng c¸c ph¬ng ph¸p: thÕ, céng ®¹i sè - Gi¶i c¸c hƯ ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tut ®èi hc gi¶i vµ biƯn ln hƯ ph¬ng tr×nh... của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất Bài tập 19: Cho điểm A bên ngồi đường tròn (O; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H là trung điểm của DE a/ Chứng minh năm điểm: A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn TrÇn ThÞ Trang líp 9C THCS ThÞ TrÊn KA 12 · b/ Chứng minh AH là tia phân giác của BHC c/ DE cắt BC tại I Chứng minh: . · · · · · 0 0 90 90 IBA BAI hayIBA BAO OAI+ = + + = Suy ra · · · 0 ˆ ˆ ˆ 90 ên OAI 2 2 2 B A C OAI hayOAI n+ + = = bằng (hoặc) · OCH Suy ra ĐPCM • Cách 4 · 0 ˆ 90 ( 2 ) 2 B AHC H a= + hoặc · 0 ˆ 90 2 B AHC. ĐPCM. 3. Bài toán 3: Cho hình vẽ a/ CMR: Tứ giác EMFC nội tiếp b/ Từ hình vẽ đó hãy đặt ra một đề toán có áp dụng kết quả ở câu a M F B D C A E a/ Gợi ý: TrÇn ThÞ Trang líp 9C THCS ThÞ TrÊn. Lời giải ( tóm tắt ) a/ ∠ MDC 0 90 = ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC ). Mà ∠ BAC 0 90 = (GT) Từ A và D nằm cùng phía BC nhìn đoạn BC dưới góc 0 90 nên A và D nằm trên đường