Sở giáo dục và đào tạo hải dơng @ Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn Sáng kiến kinh nghiệm Một số phơng pháp giải bài toán chia hết của đa thức Môn : toán Năm học : 2006- 2007 Phòng giáo dục cẩm giàng Phần ghi số phách Trờng THCS KIM Giang của Phòng GD & ĐT Sáng kiến kinh nghiệm Một số phơng pháp giải bài toán Về phép chia hết của đa thức 1 Môn : toán Họ và tên tác giả : nguyễn mạnh tuấn Đánh giá của nhà trờng ( TT) Kim Giang, ngày tháng năm 2007 ( Ký tên, đóng dấu) Phần ghi số phách của Phòng GD & ĐT Sáng kiến kinh nghiệm Một số phơng pháp giải bài toán Về phép chia hết của đa thức Môn : toán đánh giá của phòng giáo dục 2 Phòng giáo dục ( Ký tên, đóng dấu) Họ, tên tác giả : Đơn vị công tác : . A/ đặt vấn đề Trong thời đại ngày nay cùng với công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nớc, cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật phát triển nh vũ bão đòi hỏi con ngời phải phát triển t duy, đặc biệt là t duy toán học. Vì vậy ngoài việc trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản phổ thông thì việc bồi dỡng học sinh khá, giỏi môn Toán đang trở thành nhu cầu bức thiết của phong trào giáo dục ở địa phơng. Đặc biệt với học sinh trung học cơ sở việc trang bị những kiến thức cơ bản, có đào sâu và rèn luyện năng lực t duy toán học cho học sinh sẽ tạo ra nền tảng tin cậy để các em tiếp tục học tiếp môn Toán ở bậc trung học phổ thông hoặc tiếp tục tự học về sau. Trong chơng trình đại số cuối lớp 7 và lớp 8 những kiến thức về đa thức chiếm một phần không nhỏ và có nhiều dạng toán nh chứng minh tính chia hết, tìm d, tìm nghiệm của đa thức . Nếu nh chỉ có kiến thức sách giáo khoa thì những bài toán đó học sinh khó có thể làm đợc. Do đó từ kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, giáo viên phải khai thác, nâng cao và phát triển thì học sinh mới có thể áp dụng vào giải toán đợc. Do vậy với kinh nghiệm của bản thân, tôi viết chuyên đề: Một số phơng pháp giải bài toán về phép chia hết của đa thức để từ đó các em có thể làm đợc các bài toán xác định hệ số của đa thức, chứng minh sự tồn tại của đa thức, xác định dạng của đa thức. 3 B/giải quyết vấn đề I - Lý thuyết cơ bản về phép chia hết 1.Định nghĩa: Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng: f(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + + a 1 x + a 0 Trong đó các hệ số a n , a n - 1 ,, a 0 là những số nguyên (hoặc hữu tỷ) và a n 0, ký hiệu của bậc đa thức là deg f(x) = n. 2.Định lý về phép chia: Với hai đa thức tuỳ ý f(x) và g(x) 0 luôn tồn tại duy nhất cặp đa thức q(x) và r(x) sao cho: f(x) = g(x).q(x) + r(x) Trong đó r(x) = 0 hoặc deg r(x) < deg g(x), (r(x) gọi là đa thức d trong phép chia f(x) cho g(x) ) Đặc biệt nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu: f(x) g(x) hay g(x)/f(x) ( g(x) là ớc của f(x) ) Vậy f(x) g(x) tồn tại một q (x) sao cho f(x) = q(x) . g(x) 3 3.Tính chất: 4 a) f(x) h(x) và g(x) h(x) thì f(x) g(x) h(x) b) f(x) g(x) và g(x) h(x) thì f(x) h(x) 5 c) f(x) g(x) và g(x) f(x) thì f(x) = q . g(x) (q R) 6 II- Một số dạng toán về phép chia hết của đa thức và các bài toán áp dụng 1/ Dạng toán 1 : Tìm điều kiện để phép chia hết. Ph ơng pháp 1 : Cho đa thức d r(x) 0 Bài 1: Xác định a, b để f(x) = x 3 + ax + b x 2 - x - 2 Hớng dẫn: Ta có f(x) g(x) r(x) 0. Vậy ta chia trực tiếp f(x) cho đa thức x 2 - x - 2 sau đó cho đa thức d đa thức 0 a,b. Lời giải: Lấy f(x) chia cho x 2 - x - 2 ta đợc r(x) = (a + 3) x + (b +2) Vậy f(x) x 2 - x - 2 (a +3) x + (b + 2) = 0 với x. =+ =+ 02 03 b a = = 2 3 b a Từ phơng pháp làm của bài 1, tôi đa ra bài toán khó hơn. Bài 2. Chứng minh rằng: x n - a n x m - a m n m Bài toán này các em rất lúng túng mặc dù các em đã hiểu rằng phải chứng minh điều kiền cần và đủ. Hớng dẫn: áp dụng hằng đẳng thức: x n - y n = (x - y) (x n - 1 + x n - 2 y + + xy n - 2 + y n - 1 ) Lời giải: Chứng minh điều kiện đủ () Giả sử n m n = m.k (k Z), đặt x m = c, a m = d Ta có x n - a n = x mk - a mk = c k - d k = (c - d) (c (k - 1) + c ( k - 2 ) . d + + cd (k - 2) + d k - 1 ) = (x m - a m )(x m (k-1) + x m(k-2) a m + + x m a m(k-2) + a m(k - 1) ) 4 x n - a n x m - a m (đpcm) Chứng minh điều kiện cần () Giả sử x n - a n x m - a m và n = mk + r (0 r < m ) Thì x n - a n = x mk + r - a mk + r = x r (x mk - a mk ) + a mk (x r - a r ) Vì x mk - a mk x m - a m nên a mk (x r - a r ) x m - a m Vì 0 r < m a mk (x r - a r ) = 0 với x x r = a r với x r = 0 Vậy n m (đpcm) Bài tập t ơng tự: 1-Tìm a, b để f(x) = x 2 + ax + b (x + 1) 2 2- Tìm a, b, c để x 4 + ax 2 + bx + c (x - 2) 3 3- Chứng minh rằng x n - 1 x m - 1 n m Ph ơng pháp 2 : Sử dụng phép đồng nhất f(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + + a 1 x 1 + a 0 g(x) = b n x n + b n - 1 x n - 1 + + b 1 x + b 0 f(x) g(x) a n = b n , a n - 1 ; ; a 1 = b 1 ; a 0 = b 0 Bài 1: Xác định các số a, b để đa thức x 3 + ax + b chia hết cho đa thức x 2 + x + 2 Hớng dẫn: đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc hai nên thơng là một đa thức bậc nhất, hạng tử cao nhất là: x 3 : x 2 = x. Vậy đa thức thơng có dạng x + c. Lời giải: Gọi thơng số của phép chia là x + c, ta có: x 3 + ax + b = (x 2 + x + 2)(x +c) x 3 + ax + b = x 3 + (c+1)x 2 + (c +2)x + 2c = =+ =+ bc ac c 2 2 01 = = = 2 1 1 b a c Vậy với a =1 , b = -2 , c = -1thì đa thức x 3 + ax + b chia hết cho đa thức x 2 + x + 2 Bài 2: Tìm đa thức bậc hai f(x) thoả mãn: f(x + 1) - f(x) = 2x Nhận xét:Với bài toàn này hầu hết học sinh lúng túng. Tôi hớng dẫn các em muốn tìm đa thức bậc hai ta phải viết dạng chính tắc sau đó phải tìm các hệ số a, b, c. + Viết dạng chính tắc của đa thức bậc hai: f(x) = ax 2 + bx + c (a 0) + Khi đó f(x + 1) là gì ? Học sinh sẽ hiểu đợc f(x + 1) là giá trị của đa thức tại x + 1 hay chỗ nào có x ta thay bằng x +1 + Từ đó: f(x+ 1) = a(x+ 1) 2 + b(x + 1) + c = a(x 2 + 2x + 1) + b(x + 1) +c = ax 2 + (2a + b)x + a +b +c 5 Vì f(x +1) - f(x) = 2x ax 2 + (2a + b)x + a + b + c - ax 2 - bx - c = 2x 2ax + a + b = 2x = = =+ = 1 1 0 22 b a ba a Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x 2 - x + c (c tuỳ ý) Từ đây các em dễ dàng làm đợc các bài toán tơng tự. Bài tập t ơng tự: 1-Xác định a, b, c để x 4 + ax 2 + bx + c (x - 3) 3 7 2- Xác định a, b để đa thức ax 3 + 12x 2 + bx + 1 là luỹ thừa bậc ba của một đa thức khác. 8 3- Xác định đa thức bậc ba f(x) thoả mãn: f(x) - f(x - 1) = x 2 Ph ơng pháp 3: Dùng định lý Bezout (Bơdu) Định lý: D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a Hớng dẫn HS chứng minh: Do đa thức chia x - a có bậc nhất nên số d trong phép chia f(x) cho (x - a) là hằng số r. Ta có: f(x) = (x - a).q(x) + r Đẳng thức đúng với x nên x = a ta có: f(a) = 0.q(a) + r hay f(a) = r (đpcm) Từ định lý ta suy ra f(x) (x - a) f(a) = 0 Bài 1: Xác định a để đa thức f(x) = x 3 + 2x + a chia hết cho đa thức x - 2. HD: f(x) = x 3 + 2x + a chia hết cho đa thức x - 2 khi nào ? TL: Khi f(2) = 0. Giải. Ta có: f(x) = x 3 + 2x + a chia hết cho đa thức x - 2 f(2) = 0. 2 3 + 2.2 + a = 0 8 + 4 + a = 0 a = -12. Bài 2: Xác định các hệ số a và b để đa thức f(x) = x 3 + ax + b chia hết cho đa thức x 2 + x - 2. HD: - Bài toán này sử dụng 2 phơng pháp trên có làm đợc không ? - Có cách làm nào khác không ? - Có thể sử dụng định lí Bơdu để làm bài toán này đợc không ? Giải. Ta có : x 2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) f(x) x 2 + x - 2 hay f(x) (x - 1)(x +2) = = 0)2( 0)1( f f =+ =++ 08 01 ba ba = = 2 3 b a Bài 2: Tìm hệ số a, b để đa thức f(x) = x 4 + ax 2 + bx + 1 chia hết cho x 2 - 4 x + 3. Giải. Ta có: x 2 - 4 x + 3 = (x - 1)(x - 3) f(x) x 2 - 4 x + 3 6 hay f(x) (x - 1)(x - 3) = = 0)3( 0)1( f f =+++ =+++ 013981 011 ba ba = = 3 32 3 38 b a * Yêu cầu các em trình bày theo 2 phơng pháp trên rồi so sánh . Bài 3: Xác định m để x 2 - y 2 - z 2 + myz chia hết cho x + y + z. Nhận xét: Học sinh rất lúng túng vì nếu sử dụng cách chia trực tiếp thì thật khó khăn, vậy muốn sử dụng định lý Bơdu ta làm thế nào? Hớng dẫn : x + y + z = x - (- y - z). Vậy a tơng ứng với biểu thức nào ? Tôi hớng dẫn tiếp từ đó f(x) = x 2 - y 2 - z 2 + myz (x - (y - z)) f(-y - z) = 0 y,z Lời giải: Đặt f(x) = x 2 - y 2 - z 2 + myz Ta có: f(x) x - (-y - z) f(-y - z) = 0. y,z (-y - z) 2 - y 2 - z 2 + myz = 0 y,z y 2 + 2yz + z 2 - y 2 - z 2 + myz = 0. y,z yz(2 +m) = 0 y,z 2 + m = 0 m = -2 Bài tập t ơng tự: 1-Tìm các số hữu tỷ a, b sao cho: 9 a. 2x 3 - x 2 + ax + b chia hết cho x 2 - 1 10 b. 3x 3 + ax 2 + bx + 9 chia hết cho x 2 - 9 2-Xác định m để x 3 + y 3 + z 3 - mxyz chia hết cho x + y + z 3-Chứng minh rằng(x - 3) 2n + (x - 2) n 1 chia hết cho x 2 - 5x + 6 2/ Dạng toán 2: Chứng minh phép chia hết Ph ơng pháp 1: Dùng hằng đẳng thức . x n - y n = (x - y)(x n - 1 + x n - 2 y + + xy n-2 + y n-1 ) x n + y n = (x + y)(x n - 1 - x n - 2 y + - xy n-2 + y n-1 ) với n lẻ Bài 1: Với m, n, p là những số tự nhiên. Chứng minh rằng: x 3m + x 3n + 1 + x 3p + 2 chia hết cho x 2 + x + 1. Muốn vận dụng các hằng đẳng thức vào bài toán này ta làm thế nào? Hớng dẫn học sinh thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức x m - 1, Lời giải: Ta có: x 3m + x 3n + 1 + x 3p + 2 = x 3m - 1 + x(x 3n - 1) + x 2 (x 3p - 1) + x 2 + x + 1 Ta có: x 3m - 1 = (x 3 ) m - 1 x 3 - 1 x 2 + x + 1 Tơng tự x 3n - 1 ; x 3p - 1 đều chia hết cho x 2 + x + 1 Và x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 x 3m + x 3n + 1 + x 3p + 2 x 2 + x + 1 (đpcm) 7 Bài 2: Chứng minh rằng x 9999 + x 8888 + + x 1111 + 1 x 9 + x 8 + + x + 1 Tơng tự nh phơng pháp của bài 1 các em làm đợc ngay. Ta có: x 9999 + x 8888 + + x 1111 + 1 = x 9 (x 9990 - 1) + x 8 (x 8880 - 1) + + x(x 1110 - 1)+ (x 9 + x 8 + + x + 1) (x 9 + x 8 + + x + 1) Tổng quát: Vì x iii0 1 = (x 10 ) iii - 1 (x 10 - 1) x 9 + x 8 + + x + 1 (Với i = 1,2,, 9) Với loại bài toán này học sinh luôn phải có kỹ năng thêm bớt để sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức. Muốn vậy học sinh phải tự làm thêm các bài tập sau: Bài tập t ơng tự: 1- Chứng minh rằng: x 2002 + x 2000 + 1 chia hết cho x 2 + x + 1 2- Chứng minh rằng: x 2004 + x 2005 + x 2006 chia hết cho x 2 + x + 1 3- Với giá trị nào của n thì đa thức x 2n + x n + 1 chia hết cho x 2 + x + 1 . Ph ơng pháp 2: Dùng tính chất sau : Với f(x) là đa thức với hệ số nguyên, ký hiệu f(x) Z(x) ; a, b là các số nguyên ta luôn có: f(a) - f(b) a - b Chứng minh: Giả sử f(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + + a 1 x + a 0 a i Z (y = 0; 1;2; 3; ; n) Khi đó: f(a) - f(b) = a n (a n - b n ) + a n - 1 (a n - 1 - b n - 1 ) + + a 1 (a - b) a - b (đpcm) Bài 1: Chứng minh rằng không có đa thức f(x) nào có hệ số nguyên thoả mãn f(3) = 8 và f(10) = 11 Lời giải: Vậy giả sử đa thức đó là f(x) khi đó: f(10) - f(3) 10 - 3 = 7. Vế trái 11- 8 = 3 7 (vô lý) Vậy không có đa thức nào với hệ số nguyên nào có thể có giá trị: f(3) = 8 và f(10) = 11. Bài 2: Tồn tại hay không một đa thức với hệ số nguyên thoả mãn: f(33) = 1997 và f(8) = 1969. ( HS tự làm ) Bài 3: Cho f 1 (x) và f 2 (x) là hai đa thức với hệ số nguyên thoả mãn điều kiện: f(x) = f 1 (x 3 ) + xf 2 (x 3 ) chia hết cho x 2 + x + 1. Chứng minh rằng: f 1 (x) và f 2 (x) cùng chia hết cho x - 1 Hớng dẫn: các em vẫn phải biến đổi để xuất hiện hằng đẳng thức. Vậy ta phải thêm bớt nh thế nào để xuất hiện hằng đẳng thức? Lời giải: Ta biến đổi f 1 (x 3 ) + xf 2 (x 3 ) = f 1 (x 3 ) - f 1 (1) + x[f 2 (x 3 ) - f 2 (1)] + f 1 (1) - xf 2 (1) 8 Ta có: f 1 (x 3 ) - f 1 (1) x 3 - 1 x 2 + x + 1 f 2 (x 3 ) - f 2 (1) x 3 - 1 x 2 + x + 1 Nên từ giả thiết suy ra: f 1 (1) - xf 2 (1) x 2 + x + 1 f 1 (1) - xf 2 (1) = 0 f 1 (1) = f 2 (1) = 0 Theo định lý Bơdu suy ra f 1 (x) x - 1 và f 2 (x) x - 1 (đpcm) Bài tập t ơng tự: 1-Tồn tại hay không tồn tại một đa thức với hệ số nguyên thoả mãn: f(1) = 5 và f(6) = 7. 2- f(x) là đa thức với hệ số nguyên f(0) và f(1) là hai số lẻ, chứng minh rằng f(x) không có nghiệm nguyên. 3- Cho hai đa thức f 1 (x), f 2 (x) với hệ số nguyên thoả mãn điều kiện f 1 (x 3 ) + xf 2 (x 3 ) x 2 + x + 1 Chứng minh rằng: ƯCLN (f 1 (1998) ; f 2 (1998)) 1999 C- Kết luận I- Kết quả Sau khi dạy xong chuyên đề Một số phơng pháp giải bài toán về phép chia hết của đa thức cho học sinh, các em không những biết cách giải những bài toán liên quan đến chia hết đa thức mà các em còn giải đợc bài toán ở nhiều khía cạnh nh xác định đa thức, tìm đa thức d trong phép chia đa thức . Thông qua đó các em có cách nhìn linh hoạt một bài toán giúp các em phát triển t duy tốt hơn, nhiều em thể hiện rõ sự yêu thích môn toán sau khi học xong. Kết quả khảo sát cho thấy nh sau: Trớc khi luyện Sau khi luyện Phát hiện đợc dạng toán 45% 89% Kỹ năng vận dụng linh hoạt 30% 80% Trình bày bài 20% 70% II- Bài học kinh nghiệm Sau khi dạy xong phần này tôi rút ra và tích luỹ một số kinh nghiệm sau: a-Trong quá trình giảng dạy môn toán việc hệ thống kiến thức và bài tập theo từng vấn đề để giúp học sinh dễ tiếp thu là rất cần thiết. b-Muốn dạy một vấn đề gì đó để đạt hiệu quả cao thì đòi hỏi bản thân mỗi giáo viên hiểu đúng bản chất của vấn đề đó từ đó mới phát triển, tổng quát và có thể thay đổi đề bài theo các hớng khác nhau mà vẫn đúng bản chất của nó. c-Phải thật chú ý đến khâu trình bày của học sinh, nhiều khi các em hiểu vấn đề nhng khi trình bày lại bị lúng túng. III- Phạm vi áp dụng Kinh nghiệm này tôi áp dụng với đối tợng học sinh khá giỏi lớp 8, đặc biệt kinh nghiệm này có tác dụng rất cao trong việc dạy bồi dỡng Đội tuyển học sinh giỏi. IV. Kết luận chung Trên đây là kinh nghiệm của bản thân tôi về giảng dạy chuyên đề: Một số phơng pháp giải bài toán về phép chia hết của đa thức . Chuyên đề này là 9 chuyên đề khó và rộng nên mỗi phơng pháp tôi mới chỉ đa vào một số bài tập cơ bản để rèn kỹ năng cho học sinh. Tác dụng của kinh nghiệm này rất bổ ích cho việc bồi dỡng học sinh khá giỏi. Nó trau dồi t duy cho học sinh, rèn luyện nếp suy nghĩ tìm tòi lời giải theo nhiều phơng pháp và vận dụng cho nhiều loại toán khác nhau. Xong với chủ quan của bản thân chắc chắn còn nhiều hạn chế và thiếu sót, rất mong đợc sự góp ý của các bạn đồng nghiệp và các em học sinh. Tôi xin chân thành cảm ơn ! 10 . ax + b chia hết cho x 2 - 1 10 b. 3x 3 + ax 2 + bx + 9 chia hết cho x 2 - 9 2-Xác định m để x 3 + y 3 + z 3 - mxyz chia hết cho x + y + z 3-Chứng minh rằng(x - 3) 2n + (x - 2) n 1 chia hết. (Bơdu) Định lý: D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a Hớng dẫn HS chứng minh: Do đa thức chia x - a có bậc nhất nên số d trong phép chia f(x) cho (x -. thức f(x) = x 3 + 2x + a chia hết cho đa thức x - 2. HD: f(x) = x 3 + 2x + a chia hết cho đa thức x - 2 khi nào ? TL: Khi f(2) = 0. Giải. Ta có: f(x) = x 3 + 2x + a chia hết cho đa thức x -