SKKNMột số phương pháp giải bài toán về phép chia hết của đa thức

A/ ĐẶT VẤN ĐỀ Trong thời đại ngày nay cùng với công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước, cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật phát triển như vũ bão đòi hỏi con người phải phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy toán học. Vì vậy ngoài việc trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản phổ thông thì việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi môn Toán đang trở thành nhu cầu bức thiết của phong trào giáo dục ở địa phương. Đặc biệt với học sinh trung học cơ sở việc trang bị những kiến thức cơ bản, có đào sâu và rèn luyện năng lực tư duy toán học cho học sinh sẽ tạo ra nền tảng tin cậy để các em tiếp tục học tiếp môn Toán ở bậc trung học phổ thông hoặc tiếp tục tự học về sau. Trong chương trình đại số cuối lớp 7 và lớp 8 những kiến thức về đa thức chiếm một phần không nhỏ và có nhiều dạng toán như chứng minh tính chia hết, tìm dư, tìm nghiệm của đa thức . Nếu như chỉ có kiến thức sách giáo khoa thì những bài toán đó học sinh khó có thể làm được. Do đó từ kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, giáo viên phải khai thác, nâng cao và phát triển thì học sinh mới có thể áp dụng vào giải toán được. Do vậy với kinh nghiệm của bản thân, tôi viết chuyên đề: “Một số phương pháp giải bài toán về phép chia hết của đa thức ” để từ đó các em có thể làm được các bài toán xác định hệ số của đa thức, chứng minh sự tồn tại của đa thức, xác định dạng của đa thức…. 1 B/GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I - Lý thuyết cơ bản về phép chia hết 1.Định nghĩa: Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng: f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + … + a1x + a0 Trong đó các hệ số an, an - 1,…, a0 là những số nguyên (hoặc hữu tỷ…) và an  0, ký hiệu của bậc đa thức là deg f(x) = n. 2.Định lý về phép chia: Với hai đa thức tuỳ ý f(x) và g(x) 0 luôn t ồn tại duy nhất cặp đa thức q(x) và r(x) sao cho: f(x) = g(x).q(x) + r(x) Trong đó r(x) = 0 hoặc deg r(x) < deg g(x), (r(x) gọi là đa thức dư trong phép chia f(x) cho g(x) ) Đặc biệt nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu: f(x) g(x) hay  g(x)/f(x) ( g(x) là ước của f(x) ) Vậy f(x) g(x) t  ồn tại một q (x) sao cho f(x) = q(x) . g(x) 3.Tính chất: a) f(x) h(x) v à g(x) h(x) thì f(x)  ± g(x) h(x) b) f(x) g(x) v à g(x) h(x) thì f(x) h(x)   c) f(x) g(x) v à g(x) f(x) thì f(x) = q . g(x) (q R)  II- Một số dạng toán về phép chia hết của đa thức và các bài toán áp dụng 1/ Dạng toán 1 : Tìm điều kiện để phép chia hết. Phương pháp 1: Cho đa thức dư r(x) 0  Bài 1: Xác định a, b để f(x) = x3 + ax + b x2 - x - 2 Hướng dẫn: Ta có f(x) g(x) r(x) 0. V   ậy ta chia trực tiếp f(x) cho đa thức x2 - x - 2 sau đó cho đa thức dư  đa thức 0 a,b. Lời giải: 2 Lấy f(x) chia cho x2 - x - 2 ta được r(x) = (a + 3) x + (b +2) Vậy f(x) x2 - x - 2 (a +3) x + (b + 2) = 0 v  ới  x.   Từ phương pháp làm của bài 1, tôi đưa ra bài toán khó hơn. Bài 2. Chứng minh rằng: xn - an xm - am n m   Bài toán này các em rất lúng túng mặc dù các em đã hiểu rằng phải chứng minh điều kiền cần và đủ. Hướng dẫn: áp dụng hằng đẳng thức: xn - yn = (x - y) (xn - 1 + xn - 2 y + … + xyn - 2 + yn - 1 ) Lời giải: Chứng minh điều kiện đủ ( ) Giả sử n m n = m.k (k Z),    đặt xm = c, am = d Ta có xn - an = xmk - amk = ck - dk = (c - d) (c (k - 1) + c ( k - 2 ) . d + … + cd(k - 2) + d k - 1 ) = (xm - am )(xm (k-1) + xm(k-2)am + …+ xmam(k-2) + am(k - 1)) xn - an xm - am (   đpcm) Chứng minh điều kiện cần ( ) Giả sử xn - an xm - am v à n = mk + r (0 r < m ) Thì xn - an = xmk + r - amk + r = xr (xmk - amk) + amk (xr - ar) Vì xmk - amk xm - am nên amk (xr - ar) xm - am  Vì 0 r < m amk (xr - ar) = 0 v  ới x xr = ar v ới x r = 0  Vậy n m (  đpcm) Bài tập tương tự: 3 1-Tìm a, b để f(x) = x2 + ax + b (x + 1)2 2- Tìm a, b, c để x4 + ax2 + bx + c (x - 2)3 3- Chứng minh rằng xn - 1 xm - 1 n m   Phương pháp 2 : Sử dụng phép đồng nhất f(x) = anxn + an - 1xn - 1+ … + a1x1 + a0 g(x) = bnxn + bn - 1xn - 1 + … + b1x + b0 f(x) g(x) an = bn , an - 1;   …; a1 = b1; a0 = b0 Bài 1: Xác định các số a, b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2 Hướng dẫn: đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc hai nên thương là một đa thức bậc nhất, hạng tử cao nhất là: x3 : x2 = x. Vậy đa thức thương có dạng x + c. Lời giải: Gọi thương số của phép chia là x + c, ta có: x3 + ax + b = (x2 + x + 2)(x +c) x3 + ax + b = x3 + (c+1)x2 + (c +2)x + 2c   Vậy với a =1 , b = -2 , c = -1thì đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2 Bài 2: Tìm đa thức bậc hai f(x) thoả mãn: f(x + 1) - f(x) = 2x Nhận xét:Với bài toàn này hầu hết học sinh lúng túng. Tôi hướng dẫn các em muốn tìm đa thức bậc hai ta phải viết dạng chính tắc sau đó phải tìm các hệ số a, b, c. + Viết dạng chính tắc của đa thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a 0) + Khi đó f(x + 1) là gì ? Học sinh sẽ hiểu được f(x + 1) là giá trị của đa thức tại x + 1 hay chỗ nào có x ta thay bằng x +1 4 + Từ đó: f(x+ 1) = a(x+ 1)2+ b(x + 1) + c = a(x2 + 2x + 1) + b(x + 1) +c = ax2 + (2a + b)x + a +b +c Vì f(x +1) - f(x) = 2x ax2 + (2a + b)x + a + b + c - ax2 - bx - c = 2x 2ax + a + b = 2x  Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x2 - x + c (c tuỳ ý) Từ đây các em dễ dàng làm được các bài toán tương tự. Bài tập tương tự: 1-Xác định a, b, c để x4 + ax2 + bx + c (x - 3)3 2- Xác định a, b để đa thức ax3 + 12x2 + bx + 1 là luỹ thừa bậc ba của một đa thức khác. 3- Xác định đa thức bậc ba f(x) thoả mãn: f(x) - f(x - 1) = x2 Phương pháp 3: Dùng định lý Bezout (Bơdu) Định lý: Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a Hướng dẫn HS chứng minh: Do đa thức chia x - a có bậc nhất nên số dư trong phép chia f(x) cho (x - a) là hằng số r. Ta có: f(x) = (x - a).q(x) + r Đẳng thức đúng với x nên x = a ta có: f(a) = 0.q(a) + r hay f(a) = r (đpcm) Từ định lý ta suy ra f(x) (x - a) f(a) = 0  Bài 1: 5 Xác định a để đa thức f(x) = x3 + 2x + a chia hết cho đa thức x - 2. HD: f(x) = x3 + 2x + a chia hết cho đa thức x - 2 khi nào ? TL: Khi f(2) = 0. Giải. Ta có: f(x) = x3 + 2x + a chia hết cho đa thức x - 2 f(2) = 0. 23 + 2.2 + a = 0 8 + 4 + a = 0 a = -12.   Bài 2: Xác định các hệ số a và b để đa thức f(x) = x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x - 2. HD: - Bài toán này sử dụng 2 phương pháp trên có làm được không ? - Có cách làm nào khác không ? - Có thể sử dụng định lí Bơdu để làm bài toán này được không ? Giải. Ta có : x2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) f(x) x2 + x - 2 hay f(x) (x - 1)(x +2)     Bài 2: Tìm hệ số a, b để đa thức f(x) = x4 + ax2 + bx + 1 chia hết cho x2 - 4 x + 3. Giải. Ta có: x2 - 4 x + 3 = (x - 1)(x - 3) f(x) x2 - 4 x + 3 hay f(x) (x - 1)(x - 3)     * Yêu cầu các em trình bày theo 2 phương pháp trên rồi so sánh . Bài 3: Xác định m để x2 - y2 - z2 + myz chia hết cho x + y + z. Nhận xét: Học sinh rất lúng túng vì nếu sử dụng cách chia trực tiếp thì thật khó khăn, vậy muốn sử dụng định lý Bơdu ta làm thế nào? Hướng dẫn : x + y + z = x - (- y - z). Vậy a tương ứng với biểu thức nào ? 6 Tôi hướng dẫn tiếp từ đó f(x) = x2 - y2 - z2 + myz (x - (y - z))  f(-y - z) = 0 y,z  Lời giải: Đặt f(x) = x2- y2- z2 + myz Ta có: f(x) x - (-y - z) f(-y - z) = 0. y,z   (-y - z)2 - y2- z2 + myz = 0 y,z  y2+ 2yz + z2 - y2- z2 + myz = 0. y,z  yz(2 +m) = 0 y,z  2 + m = 0 m = -2 Bài tập tương tự: 1-Tìm các số hữu tỷ a, b sao cho: a. 2x3- x2 + ax + b chia hết cho x2 - 1 b. 3x3 + ax2+ bx + 9 chia hết cho x2- 9 2-Xác định m để x3 + y3+ z3- mxyz chia hết cho x + y + z 3-Chứng minh rằng(x - 3)2n + (x - 2)n – 1 chia hết cho x2- 5x + 6 2/ Dạng toán 2: Chứng minh phép chia hết Phương pháp 1: Dùng hằng đẳng thức . xn - yn = (x - y)(xn - 1 + xn - 2y +… + xyn-2 + yn-1) xn + yn = (x + y)(xn - 1 - xn - 2y + … - xyn-2 + yn-1) với n lẻ Bài 1: Với m, n, p là những số tự nhiên. Chứng minh rằng: x3m+ x3n + 1+ x3p + 2 chia hết cho x2 + x + 1. 7 Muốn vận dụng các hằng đẳng thức vào bài toán này ta làm thế nào? Hướng dẫn học sinh thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức xm - 1,… Lời giải: Ta có: x3m + x3n + 1+ x3p + 2 = x3m - 1 + x(x3n- 1) + x2(x3p - 1) + x2 + x + 1 Ta có: x3m - 1 = (x3)m - 1 x3 - 1 x2 + x + 1  Tương tự x3n - 1 ; x3p - 1 đều chia hết cho x2 + x + 1 Và x2 + x + 1 x2 + x + 1 x3m + x3n + 1+ x3p + 2 x2 + x + 1 (    đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng x9999 + x8888 + … + x1111 + 1 x9 + x8 +  … + x + 1 Tương tự như phương pháp của bài 1 các em làm được ngay. Ta có: x9999 + x8888 + … + x1111 + 1 = x9(x9990 - 1) + x8(x8880 - 1) + … + x(x1110 - 1)+ (x9 + x8 + … + x + 1)  (x9 + x8 + … + x + 1) Tổng quát: Vì x iii0 1 = (x10) iii - 1 (x10 - 1) x9 + x8 +   … + x + 1 (Với i = 1,2,…, 9) Với loại bài toán này học sinh luôn phải có kỹ năng thêm bớt để sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức. Muốn vậy học sinh phải tự làm thêm các bài tập sau: Bài tập tương tự: 1- Chứng minh rằng: x2002 + x2000 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 2- Chứng minh rằng: x2004 + x2005 + x2006 chia hết cho x2 + x + 1 3- Với giá trị nào của n thì đa thức x2n + xn + 1 chia hết cho x2 + x + 1 . Phương pháp 2: Dùng tính chất sau : 8 Với f(x) là đa thức với hệ số nguyên, ký hiệu f(x) Z(x) ; a, b l à các số nguyên ta luôn có: f(a) - f(b) a - b Chứng minh: Giả sử f(x) = an xn + an - 1 xn - 1+ … + a1x + a0 ai Z (y = 0; 1;2; 3;  …; n) Khi đó: f(a) - f(b) = an(an - bn) + an - 1(an - 1- bn - 1) + … + a1(a - b) a - b (đpcm) Bài 1: Chứng minh rằng không có đa thức f(x) nào có hệ số nguyên thoả mãn f(3) = 8 và f(10) = 11 Lời giải: Vậy giả sử đa thức đó là f(x) khi đó: f(10) - f(3) 10 - 3 = 7. Vế trái 11- 8 = 3 7 (vô lý) Vậy không có đa thức nào với hệ số nguyên nào có thể có giá trị: f(3) = 8 và f(10) = 11. Bài 2: Tồn tại hay không một đa thức với hệ số nguyên thoả mãn: f(33) = 1997 và f(8) = 1969. ( HS tự làm ) Bài 3: Cho fư1(x) và f2(x) là hai đa thức với hệ số nguyên thoả mãn điều kiện: f(x) = fư1(x3) + xf2(x3) chia hết cho x2 + x + 1. Chứng minh rằng: f1(x) và f2(x) cùng chia hết cho x - 1 Hướng dẫn: các em vẫn phải biến đổi để xuất hiện hằng đẳng thức. Vậy ta phải thêm bớt như thế nào để xuất hiện hằng đẳng thức? Lời giải: 9 Ta biến đổi fư1(x3) + xf2(x3) = f1(x3) - f1(1) + x f2(x3) - f2(1) + f1(1) -   xf2(1) Ta có: f1(x3) - f1(1) x3 - 1 x2 + x + 1  f2(x3) - f2(1) x3 - 1 x2 + x + 1  Nên từ giả thiết suy ra: f1(1) - xf2(1) x2 + x + 1 f1(1) - xf2(1) = 0   f1(1) = f2(1) = 0 Theo định lý Bơdu suy ra f1(x) x - 1 v à f2(x) x - 1 ( đpcm) Bài tập tương tự: 1-Tồn tại hay không tồn tại một đa thức với hệ số nguyên thoả mãn: f(1) = 5 và f(6) = 7. 2- f(x) là đa thức với hệ số nguyên f(0) và f(1) là hai số lẻ, chứng minh rằng f(x) không có nghiệm nguyên. 3- Cho hai đa thức f1(x), f2(x) với hệ số nguyên thoả mãn điều kiện f1(x3) + xf2(x3) x2 + x + 1 Chứng minh rằng: ƯCLN (f1(1998) ; f2(1998)) 1999  C- KẾT LUẬN I- Kết quả Sau khi dạy xong chuyên đề “ Một số phương pháp giải bài toán về phép chia hết của đa thức” cho học sinh, các em không những biết cách giải những bài toán liên quan đến chia hết đa thức mà các em còn giải được bài toán ở nhiều khía cạnh như xác định đa thức, tìm đa thức dư trong phép chia đa thức …. Thông qua đó các em có cách nhìn linh hoạt một bài toán giúp các em phát triển tư duy tốt hơn, nhiều em thể hiện rõ sự yêu thích môn toán sau khi học xong. Kết quả khảo sát cho thấy như sau: 10 [...]... nghiệm của bản thân tôi về giảng dạy chuyên đề: “Một số phương pháp giải bài toán về phép chia hết của đa thức ” Chuyên đề này là chuyên đề khó và rộng nên mỗi phương pháp tôi mới chỉ đưa vào một số bài tập cơ bản để rèn kỹ năng cho học sinh Tác dụng của kinh nghiệm này rất bổ ích cho việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi Nó trau dồi tư duy cho học sinh, rèn luyện nếp suy nghĩ tìm tòi lời giải theo nhiều phương. ..Trước khi luyện Sau khi luyện Phát hiện được dạng toán 45% 89% Kỹ năng vận dụng linh hoạt Trình bày bài 30% 80% 20% 70% II- Bài học kinh nghiệm Sau khi dạy xong phần này tôi rút ra và tích luỹ một số kinh nghiệm sau: a-Trong quá trình giảng dạy môn toán việc hệ thống kiến thức và bài tập theo từng vấn đề để giúp học sinh dễ tiếp thu là rất cần thiết b-Muốn dạy một... là rất cần thiết b-Muốn dạy một vấn đề gì đó để đạt hiệu quả cao thì đòi hỏi bản thân mỗi giáo viên hiểu đúng bản chất của vấn đề đó từ đó mới phát triển, tổng quát… và có thể thay đổi đề bài theo các hướng khác nhau mà vẫn đúng bản chất của nó c-Phải thật chú ý đến khâu trình bày của học sinh, nhiều khi các em hiểu vấn đề nhưng khi trình bày lại bị lúng túng III- Phạm vi áp dụng Kinh nghiệm này tôi... cho việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi Nó trau dồi tư duy cho học sinh, rèn luyện nếp suy nghĩ tìm tòi lời giải theo nhiều phương pháp và vận dụng cho nhiều loại toán khác nhau 11 Xong với chủ quan của bản thân chắc chắn còn nhiều hạn chế và thiếu sót, rất mong được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp và các em học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn ! 12 . Một số phương pháp giải bài toán về phép chia hết của đa thức cho học sinh, các em không những biết cách giải những bài toán liên quan đến chia hết đa thức mà các em còn giải được bài toán. g(x) (q R)  II- Một số dạng toán về phép chia hết của đa thức và các bài toán áp dụng 1/ Dạng toán 1 : Tìm điều kiện để phép chia hết. Phương pháp 1: Cho đa thức dư r(x) 0  Bài 1: Xác định a,. hệ số của đa thức, chứng minh sự tồn tại của đa thức, xác định dạng của đa thức . 1 B/GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I - Lý thuyết cơ bản về phép chia hết 1.Định nghĩa: Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức