BD HSG: Bài toán chia hết

Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n S SS Số ốố ố h hh họ ọọ ọc cc c Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 10/11/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 13/11/11 Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 11 1111 11 một số dạng toán về số học Buổi 1 một số phơng pháp giải bài toán chia hết A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh đợc ôn tập và hệ thống hóa một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán chia hết Kĩ năng - Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài toán chia hết Thái độ - Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, đúng đắn B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chứcTổ chức Tổ chức- - sĩ số sĩ sốsĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ - HS1: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b 0. Khi nào ta nói a chia hết cho b ? - HS2: Nêu các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9 ? III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới I I I I Lí thuyết chung Lí thuyết chungLí thuyết chung Lí thuyết chung 1. Định nghĩa: Trong tập N: a) Phép chia hết: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b 0. Nếu có số tự nhiên k sao cho a = b.k thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = k. b) Phép chia có d: Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b 0, ta luôn tìm đợc hai số tự nhiên q và r duy nhất sao cho: a b.q r = + trong đó 0 r b < < Trong tập Z: Cho 2 số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm đợc hai số nguyên q và r duy nhất sao cho: a = bq + r Với 0 r | b| Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thơng, r là số d. Khi a chia cho b có thể xẩy ra | b| số d: r {0; 1; 2; ; | b|} Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Đặ c bi ệ t: r = 0 th ì a = bq, khi đó ta n ó i a chia h ế t cho b hay b là ớc của a . Ký hiệu: ab hay b\ a V ậ y: a b Có số nguyên q sao cho a = bq 2. Kí hiệu: Nếu a chia hết cho b đợc kí hiệu là : a b và nếu a không chia hết cho b đợc kí hiệu là a b 3. Các dấu hiệu chia hết: a) Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2 Chú ý: Nếu a chẵn thì a = 2k ; còn a lẻ thì a = 2k + 1 (k )Z b) Dấu hiệu chia hết cho 5 Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5 c) Dấu hiệu chia hết cho 9 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9 d) Dấu hiệu chia hết cho 3 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3 Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại. e) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó hợp thành số chia hết cho 4 (hoặc 25). f) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125): Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó hợp thành số chia hết cho 8 (hoặc 125). g) Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11. 4. Tính chất của quan hệ chia hết: + 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0. + a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0. + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b. + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c. + Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho (b.c). + Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c thì a chia hết cho BCNN(a ; b) + Nếu a.b chia hết cho c và (b, c) = 1 thì a chia hết cho c. + Nếu a và b đều chia hết cho m thì a.b cũng chia hết cho m Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n S SS Số ốố ố h hh họ ọọ ọc cc c , . a m b m a b m + Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên. . ( ) a m k a m k N + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a b) chia hết cho m. , ; ( ) a m b m a b m a b m a b + + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a b) không chia hết cho m. ( ) , ; a m b m a b m a b m a b + + Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n). + Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì BCNN(a, b) chia hết cho BCNN (m, n) + Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m thì n a chia hết cho m với n là số tự nhiên. + Nếu a n chia hết cho m trong đó m là số nguyên tố thì a chia hết cho m + Nếu a chia hết cho b thì n a chia hết cho n b với n là số tự nhiên. ( ) n n a b a b n N + Nếu a chẵn thì a = 2k ; còn a lẻ thì a = 2k + 1 (k )Z *) Nõng cao: 1 2 , . . a m b m k a k b m + , , + + a m b m a b c m c m , , + + a m b m a b c m c m ( ) a m,a n,a p và m,n,p 1 a (mnp ) = ( ) 1;, = = d b d a dba [ ] ( ) a.b a,b . a,b = trong đó: [ ] a,b là BCNN (a,b) và (a,b) là ƯCLN (a,b) 5. Một số kết quả cần ghi nhớ - Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3 - Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4 - Tổng của k số nguyên liên tiếp chia hết cho k khi và chỉ khi k lẻ - Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n. - Tích của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n !. 6. Đồng d thức a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dơng. Nếu hai số nguyên a và b có cùng số d khi chia cho m thì ta nói a đồng d với b theo modun m. Ký hiệu: a b (modun m) Vậy: a b (modun m) a - b m Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu b. C á c t í nh ch ấ t 1. Với a a a (modun m) 2. Nếu a b (modun m) b a (modun m) 3. Nếu a b (modun m), b c (modun m) a c (modun m) 4. Nếu a b (modun m) và c d (modun m) a+c b+d (modun m) 5. Nếu a b (modun m) và c d (modun m) ac bd (modun m) 6. Nếu a b (modun m), d ƯC (a, b) và (d, m) = 1 d b d a (modun m) 7. Nếu a b (modun m), d > 0 và d ƯC (a, b, m) d b d a (modun d m ) II II II II các phơng pháp và bài tập vận dụng các phơng pháp và bài tập vận dụngcác phơng pháp và bài tập vận dụng các phơng pháp và bài tập vận dụng Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết. Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta biểu diễn số a dới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b). Ví dụ 1: Chứng minh rằng (3n) 1000 chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n. Giải: Ta có (3n) 1000 = 3 1000 . n 1000 = 3 4 .3 996 .n 1000 = 81.3 996 .n 1000 . Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3 996 .n 1000 chia hết cho 81. (3n) 1000 chia hết cho 81. Vớ d 2: Chng minh rng : 16 5 + 2 15 chia ht cho 33 Gii : Ta cú : 16 5 + 2 15 = (2 4 ) 5 + 2 15 = 2 20 + 2 15 = 2 15 (2 5 + 1) = 2 15 . 33 Vỡ 33 chia ht cho 33 2 15 . 33 chia ht cho 33 Vy 16 5 + 2 15 chia ht cho 33. Phơng pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết 1. Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu: Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta biểu diễn số a dới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b. Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng của các số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b. Các cách trên còn đúng với một hiệu Ví dụ 1: Khi chia một số cho 255 ta đợc số d là 170. Hỏi số đó có chia hết cho 85 không? Vì sao ? Giải: Gọi số đó là a (a là số tự nhiên). Vì a chia cho 255 có số d là 170 nên a = 255.k + 170 (k là số tự nhiên). Ta có: 255 chia hết cho 85 nên 255.k chia hết cho 85. 170 chia hết cho 85. (255.k + 170) chia hết cho 85 (tính chất chia hết của một tổng). Do vậy a chia hết cho 85. Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n S SS Số ốố ố h hh họ ọọ ọc cc c V í d ụ 2 : Ch ứ ng minh r ằ ng t ổ ng c ủ a ba s ố t ự nhi ê n li ê n ti ế p lu ô n chia h ế t cho 3. Giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2. Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hết cho 3 (tính chất chia hết của một tổng). Ví dụ 3: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ? Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3. Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là: a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6). Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên (4a + 6) không chia hết cho 4. Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4. Kết luận: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp cha chắc đã chia hết cho n. 2. Dùng tính chất chia hết của một tích: Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau: Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1. Sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n. Biểu diễn a = a 1 .a 2 ; b = b 1 .b 2 => Rồi chứng minh a 1 chia hết cho b 1 ; a 2 chia hết cho b 2 . Ví dụ 1: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8. Giải: Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2. Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1). Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho 2. Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2) 4n.(n + 1) chia hết cho 8. 2n.(2n + 2) chia hết cho 8. Phơng pháp 3: Dùng định lí về phép chia có d Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p. Ví dụ 8: Chứng minh rằng: a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3. b) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4. Giải: a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2). Một số tự nhiên n khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số d 0; 1; 2. - Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3. - Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k là số tự nhiên). n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) chia hết cho 3. n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3. - Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên). n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hết cho 3. Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu n.(n +1).(n +2) chia h ế t cho 3 . Tóm lại: n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên. b) Chứng minh tơng tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên. Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát => Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n. IV. Hớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhà - Xem lại các phơng pháp và các bài tập đã chữa - Giải tiếp các bài tập sau: Bài 1: Tìm tất cả các số x, y để có số yx534 chia hết cho 36. Giải: Vì (4, 9) = 1 nên yx534 chia hết cho 36 yx534 chia hết cho 9 và yx534 chia hết cho 4. Ta có: yx534 chia hết cho 4 5y chia hết cho 4 y { } 6;2 . yx534 chia hết cho 9 (3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9. (3 + 9 + x + y) chia hết cho 9 (3 + x + y) chia hết cho 9 Vì x, y N và 0 x; y 9 nên x + y { } 15;6 Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 (loại, vì lớn hơn 9 ). Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9. Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956. Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211. Giải: Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là: abbaabba 0;0;0;0 . Tổng của các số đó là: abbaabba 0000 +++ = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a = 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211. D/Bổ sung ******************************* Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n S SS Số ốố ố h hh họ ọọ ọc cc c Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 11/11/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 18/11/11 Chủ đ Chủ đChủ đ Chủ đề ề ề ề 11 1111 11 một số dạng toán về số học Buổi 2 bài toán chia hết ớc và bội A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh đợc ôn tập và hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về ớc và bội của một số tự nhiên. - Học sinh hiểu và giải đợc các bài toán tìm hai số nguyên dơng khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN, BCNN Kĩ năng - Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài toán chia hết - Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập - Tăng cờng khả năng t duy, sáng tạo, logic Thái độ - Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, đúng đắn B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chứcTổ chức Tổ chức - - sĩ số sĩ sốsĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ - HS1: Giải bài tập 1 đã cho ở buổi học trớc - HS2: Giả i bài tập 2 đã cho ở buổi học trớc III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới A - ớc và bội I I I I Lí thuyết Lí thuyết Lí thuyết Lí thuyết 1) nh ngha: a b a l bi ca b b l c ca a 2) Cỏch tỡm c v bi : +) Mun tỡm bi ca mt s ta nhõn s ú ln lt vi 0; 1; 2; 3; Bi ca b cú dng tng quỏt l b.k vi k N +) Mun tỡm c ca mt s a ta ln lt chia s a cho 1; 2; 3; . ; a xột xem a chia ht cho nhng s no, khi ú cỏc s y l c ca a 3) Cỏch vit: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu + Tp hp cỏc c ca a l: (a)= { } * | x N a x + Tp hp cỏc bi ca b l: B(b)= { } | x N x b Ho c B(b) = { } . b n n N hoc B (b)= { } 0; ;2 ;3 ; b b b 4) Nõng cao: Xỏc nh s lng cỏc c ca mt s m ( m > 1) ta phõn tớch s m ra tha s nguyờn t Nu m = . . x y z a b c thớ m cú ( x+1).(y+1).(z+1) c I II II II I Luyện tập Luyện tập Luyện tập Luyện tập Bài 1: Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2). Giải: Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4. Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2). Do đó (5n + 14) chia hết cho (n + 2) 4 chia hết cho (n + 2) (n + 2) là ớc của 4 (n + 2) { } 4;2;1 n { } 2;0 . Vậy với n {0; 2} thì (5n + 14) chia hết cho (n + 2). Bài 2: Tìm số tự nhiên n để 3 15 + + n n là số tự nhiên . Giải: Để 3 15 + + n n là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3). [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3). 12 chia hết cho (n + 3) . (n + 3) Ư(12) (n + 3) {1; 2; 3; 4; 6; 12}. n {0; 1; 3; 9}. Vậy với n {0; 1; 3; 9} thì 3 15 + + n n là số tự nhiên. Bài 3: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để đợc số chia hết cho 5; 7; 9. Giải: Giả sử ba số viết thêm là abc . Ta có: abcabc 5799;7;5579 chia hết cho 5.7.9 = 315 vì (5, 7, 9) = 1 Mặt khác: abc579 = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc ) chia hết cho 315. Mà 315.1838 chia hết cho 315 (30 + abc ) chia hết cho 315 30 + abc B(315). Do 100 abc 999 130 30 + abc 1029 30 + abc {315; 630; 945}. { } 915;600;285abc . Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 600; 915. Bi 4:Tỡm s t nhiờn n, : a) n + 4 n + 1 ; b) n 2 + n n 2 + 1 Hng dn gii: Tr−êng THCS Hång H−ng Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng Tr−êng THCS Hång H−ng N¨m häc 2011 - 2012 G GG Gi ii i¸ ¸¸ ¸o oo o ¸ ¸¸ ¸n nn n B BB Bå åå åi ii i d dd d− −− −ì ìì ìn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hÇ ÇÇ Çn nn n S SS Sè èè è h hh hä ää äc cc c a) n + 4  n + 1 ⇒ ( n + 1) + 3  (n + 1) ⇒ 3  (n + 1) Vì n ∈ N , nên n + 1 ≥ 1,do đó: + Nếu n + 1 = 1 thì n = 0 + Nếu n + 1 = 3 thì n = 2 Vậy { } n 0;2 ∈ b) n 2 + n  n 2 + 1 ⇒ n 2 + 1 + n - 1  n 2 +1 ⇒ n - 1  n 2 + 1 ⇒ (n - 1)(n + 1)  n 2 +1 ⇒ n 2 - 1  n 2 + 1 ⇒ n 2 + 1 - 2  n 2 + 1 ⇒ 2  n 2 +1 Vì n 2 + 1 ≥ 1, do đó: + Nếu n 2 + 1 = 1 thì n 2 = 0 ⇒ n = 0 + Nếu n 2 + 1 = 2 thì n 2 = 1 ⇒ n = 1 Vậy { } n 0;1 ∈ Bài 5:Chứng tỏ rằng: a) (5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + … + 5 29 + 5 30 )  6 b) (5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + … + 5 8 )  30 c) ( 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 403 + 5 404 )  31 d) (a + a 2 + a 3 + a 4 + … + a 29 + a 30 )  (a + 1) (với a ∈ N) e) (3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + … + 3 2n-1 + 3 2n )  4 Hướng dẫn: a) 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + … + 5 29 + 5 30 = (5 + 5 2 ) + (5 3 + 5 4 ) + … + (5 29 + 5 30 ) = [5(1+5)+5 3 (1+5)+…+5 29 (1+5)]  6 b) 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + … + 5 8 = (5 + 5 2 )+5 2 (5+5 2 )+5 4 (5+5 2 )+5 6 (5+5 2 ) = 30 + 5 2 .30 + 5 4 .30 + 5 6 .30 =30(1 + 5 2 + 5 4 + 5 6 )  30 c) 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 403 + 5 404 = (1+5+5 2 )+(5 3 +5 4 +5 5 ) +… + (5 402 + 5 403 + 5 404 ) = 31 + 5 3 (1+5+5 2 ) + …+ 5 402 (1 + 5 + 5 2 ) = 31 + 5 3 .31 + …. + 5 402 .31 = 31(1 + 5 3 + … + 5 402 )  31 d) a + a 2 + a 3 + a 4 + … + a 29 + a 30 = [a(a+1) + a 3 (1+a) + … + a 29 (1+ a) ]  (a +1) e) 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + … + 3 2n-1 + 3 2n = 3(1+3) + 3 3 (1+3) + … + 3 2n-1 (1 + 3)  4 Bài 6: Chứng minh rằng nếu số abcd 99  thì 99 ab cd+  và ngược lại Hướng dẫn: 100 99 99 ( ) abcd ab cd ab ab cd ab ab cd = + = + + = + + Suy ra: + Nếu abcd 99  thì 99 ab cd+  + Ngược lại, nếu 99 ab cd+  thì abcd 99  Bài 7 : Cho bi ểu thức A = 1494.1495.1496 Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Khụng thc hin phộp tớnh, hóy gii thớch vỡ sao ? a) A 180 ; b) A 495 Hng dn: a) Cú 1494 9 ;1495 5 ; 1496 4 => A 9.5.4 hay A 180 b) Cú 1494 9 ;1495 5 ; 1496 11 => A 9.5.11 hay A 495 Bi 8: Tỡm n N sao cho (27 - 5n) n Hng dn: Vỡ 5n < 27 =>n < 6 (1) Cú 5n n nờn (27 - 5n) n khi 27 n Ta li cú 27 chia ht cho cỏc s 1, 3, 9, 27 (2) T (1) v (2) => n { } 1;3 B - ƯCLN và BCNN I I I I Lí thuyết Lí thuyết Lí thuyết Lí thuyết Trong chng trỡnh s hc lp 6, sau khi hc cỏc khỏi nim c chung ln nht (CLN) v bi chung nh nht (BCNN), chúng ta s gp dng toỏn tỡm hai s nguyờn dng khi bit mt s yu t trong ú cú cỏc d kin v CLN v BCNN. Phng phỏp chung gii : 1/ Da vo nh ngha CLN biu din hai s phi tỡm, liờn h vi cỏc yu t ó cho tỡm hai s. 2/ Trong mt s trng hp, cú th s dng mi quan h c bit gia CLN, BCNN v tớch ca hai s nguyờn dng a, b. ú l : ab = (a, b).[a, b] Trong ú (a, b) l CLN v [a, b] l BCNN ca a v b. *) Chng minh: Theo nh ngha CLN, gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n Z + ; (m, n) = 1 (*) T (*) => ab = mnd 2 ; [a, b] = mnd Vy (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd 2 = ab => ab = (a, b).[a, b] (**) (pcm) I II II II I Bài tập vận dụng Bài tập vận dụngBài tập vận dụng Bài tập vận dụng Bi toỏn 1 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit [a, b] = 240 v (a, b) = 16. Li gii : Do vai trũ ca a, b l nh nhau, khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a b. Do (a, b) = 16 nờn a = 16m ; b = 16n (m n) vi m, n thuc Z + ; (m, n) = 1. Theo nh ngha BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 => m = 1 , n = 15 hoc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoc a = 48, b = 80. Chỳ ý : Ta cú th ỏp dng cụng thc (**) gii bi toỏn ny : ab = (a, b).[a, b] => mn.16 2 = 240.16 suy ra mn = 15. T ú tỡm c a, b ? Bi toỏn 2 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 216 v (a, b) = 6. Li gii : Lp lun nh bi 1, do vai trũ ca a, b l nh nhau, khụng mt tớnh [...]... nguyờn t ) thỡ N = (ax by cz )2 = a2x b2y c2z , suy ra: + S chớnh phng chia h t cho 2 thỡ ph i chia h t cho 4 + S chớnh phng chia h t cho 3 thỡ ph i chia h t cho 9 + S chớnh phng chia h t cho 5 thỡ ph i chia h t cho 25 + S chớnh phng chia h t cho 8 thỡ ph i chia h t cho 16 + T ng quỏt: S chớnh phng N chia h t cho p2 k +1 thỡ N ph i chia h t cho 2 k +2 (p l s nguyờn t , k N ) p - S l ng cỏc c c a m... a2mb2nc2p = (am bn cp)2 nờn N l s chớnh phng - S chớnh phng chia cho 3 ch cú th d 0 ho c 1 Th t v y: 2 2 (3k ) = 9k chia h t cho 3 2 2 (3k + 1) = 9k + 6k + 1 chia cho 3 d 1 2 2 (3k + 2) = 9k + 12k + 4 chia cho 3 d 1 - S chớnh phng chia cho 4 ch cú th d 0 ho c 1 - S chớnh phng chia cho 5 ch cú th d 0 ho c 1 ho c 4 - S chớnh phng l chia cho 4 ho c chia cho 8 u d 1 - Gi a hai s chớnh phng liờn ti p khụng... + 1 ) chia h t cho 12 Do ú: mn - m - n + 1 = 16k2 ( k 1)( k + 1) chia h t cho 16.12 = 192 Ch ng minh ( k 1) k ( k + 1) chia h t cho 3 - Tr ng h p 1: N u k chia h t cho 3 thỡ ( k 1 ) k ( k + 1) luụn chia h t cho 3 - Tr ng h p 2: N u k khụng chia h t cho 3, thỡ k chia cho 3 cú th d 1 ho c 2 Do ú k cú d ng k = 3a + 1 ho c k = 3a + 2 v i a Z N u k = 3a + 1 thỡ k - 1 3 => ( k 1 ) k ( k + 1) chia h... kĩ năng áp dụng kiến thức giải bài tập - Nâng cao khả năng t duy, sáng tạo Thái độ - Học sinh chủ động , tích cực giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Số học Trờng THCS Hồng Hng - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I Tổ chức - sĩ số II Kiểm tra bài cũ - HS1: Giải bài tập 1 đã cho ở buổi học trớc - HS2: Giải bài tập 2 đã cho ở buổi học trớc III Bài mới Bi 1: Ch ng minh s : n... k + 1) chia h t cho 3 N u k = 3a + 2 thỡ k + 1 3 => ( k 1) k ( k + 1) chia h t cho 3 ( k 1 ) kk ( k + 1) chia h t cho 4 - Ta cú: ( k 1) k chia h t cho 2 (tớch c a hai s nguyờn liờn ti p) - L i cú: k( k + 1) chia h t cho 2 (tớch c a hai s nguyờn liờn ti p) - T ú suy ra ( k 1) kk ( k + 1) chia h t cho 4 ( Vì nếu a b và c d ac bd) ******************************* Ngày soạn : 18/11/11 Ngày dạy : 25/11/11... duy, thao tỏc chớnh xỏc, tớnh c n th n trong lm toỏn v lu th a B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I Tổ chức II Kiểm tra bài cũ - HS1: Giải bài tập 1a đã cho ở buổi học trớc - HS2: Giải bài tập 1d đã cho ở buổi học trớc III Bài mới *) Bi 1: Ch ng minh r ng 8102 2102 chia h t cho 10 H ng d n: S d ng tớnh ch t, m t s cú t n cựng b ng 6 khi nõng lờn ly th a no (khỏc 0) cng cú t n... t ng cỏc ch s c a s 2004 l 6 nờn 2004 chia h t cho 3 m khụng chia h t 9 nờn s cú t ng cỏc ch s l 2004 cng chia h t cho 3 m khụng chia h t cho 9, do ú s ny khụng ph i l s chớnh phng Bi 4: Ch ng minh m t s cú t ng cỏc ch s l 2006 khụng ph i l s chớnh phng L i gi i : Vỡ s chớnh phng khi chia cho 3 ch cú s d l 0 ho c 1 m thụi Do t ng cỏc ch s c a s ú l 2006 nờn s ú chia cho 3 d 2 Ch ng t s ó cho khụng ph... 2a + 1 (a nguyờn) 2 2 2 Khi ú (3) 3(2a + 1) 2m = 2007 m = 6a(a + 1) 1004 + 2 (4 ) Vỡ a(a + 1) chia h t cho 2 nờn 6a(a + 1) chia h t cho 4; 1004 chias h t cho 4 Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 Nờn t (4) suy ra m2 chia cho 4 d 2 i u ny vụ lớ vỡ m2 chia cho 4 d 1 ho c chia h t cho 4 v i m i m N V y khụng t n t i cỏc s nguyờn dng n sao cho x = 2n + 2011 v y = 3n +... chia h t cho 5 nhng khụng chia h t cho 25 nờn khụng l s chớnh phng f) F chia h t cho 3 nhng khụng chia h t cho 9 nờn khụng l s chớnh phng Bi 4: Cỏc s sau cú l s chớnh phng hay khụng ? a) A = 2004000 b) B = 20012001 H ng d n: a) A ch a m t s l ch s 0 t n cựng nờn A khụng l s chớnh phng 2 b) B = 20012001 = 20011000 2001 ) ( S 2001 khụng l s chớnh phng vỡ chia h t cho 3 m khụng chia h t cho 9 V y B khụng... 5230176600 chia h t cho 3 nhng chia cho 9 d 3 2 nờn khụng l s chớnh phng Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Số học Trờng THCS Hồng Hng *) Cỏch khỏc: A = 3 + 32 (1 + 3 + 32 + + 318 ) = 3 + 9(1 + 3 + 32 + + 318 ) nờn chia h t cho 3 nhng chia cho 9 d 3 nờn khụng l s chớnh phng b) B t n cựng b ng 3 nờn khụng l s chớnh phng c) C khụng l s chớnh phng vỡ t n cựng b ng 8 d) D khụng l s chớnh phng vỡ t n cựng b ng 7 e) E chia . a chia hết cho c. + Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho (b.c). + Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c thì a chia hết cho BCNN(a ; b) + Nếu a.b chia. Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì BCNN(a, b) chia hết cho BCNN (m, n) + Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m. + Nếu a chia hết. + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a b) không chia hết cho m. ( ) , ; a m b m a b m a b m a b + + Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho