Chuyên đề dirichle và bài toán chia hết

Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle và bài toán chia hết CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN LÝ ĐIRICLÊ VÀ BÀI TOÁN CHIA HẾT. A. Đặt vấn đề: Sau khi học xong kiến thức về phép chia, phép chia hết và phép chia có dư. Các học sinh sẽ được học chuyên đề về phép chia hết, chứng minh biểu thức chia hết cho 1 số hay chuyên đề áp dụng tính chia hết để giải phương trình nghiệm nguyên. Sau khi học về Nguyên lý Dirichle, học sinh sẽ được học nâng cao thông qua chuyên đề về áp dụng nguyên lý Dirichle vào các bài toán chia hết. Mục đích của chuyên đề: Giúp học sinh đào sâu hơn, nắm chắc nguyên lý Dirichle và cách vận dụng cũng như củng cố kiến thức về tính chia hết. B. Kiến thức cơ bản. Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = b.q + r (0< r Tồn tại 2 số thuộc cùng 1 nhóm, khi đó hai số này chia 12 sẽ có số dư là 1+ 11 hoặc 5+7. Hay tổng hai số đó chia hết cho 12. ⇒ đpcm. Bài 6: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kì luôn chọn ra được hai số có tổng chia hết cho 2. Hướng dẫn: Có 2 lồng là chẵn - lẻ. Và có ba thỏ là ba số. Bài 7: Cho bảy số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng ta luôn chọn được 4 số có tổng chia hết cho 4. Hướng dẫn: Gọi 7 số đó là a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 . Theo bài tập trên ta chọn được 2 số có tổng chia hết cho 2 Chẳng hạn a 1 + a 2 = 2k 1 .Còn 5 số lại chọn được hai số chia hết cho hai, chẳng hạn a 3 + a 4 = 2k 2 . Còn ba số , lại chọn được 2 số, chẳng hạn chia hết cho 2, chẳng hạn a5+ a6 = 2k3. Xét ba số k1, k2,k3 ta lịa chọn được 2 số chia hết cho 2 chẳng hạn k1+k2=2m như vậy: 2k1+2k2 = 4m. Hay a1+a2+a3+a4=4m chia hết cho 4 Bài 8: Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được ba số có tổng chia hết cho 3 Hướng dẫn: Bất kỳ số tự nhiên nào cũng chỉ có một trong ba dạng 3k, 3k+1, 3k+2 ( k∈N) Trường hợp 1: Có ít nhất 3 số cùng một dạng ⇒ Tổng của 3 số này chia hết cho 3. ChuTieuThichHocToan ToanCap2.com 4 Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle và bài toán chia hết Trường hợp 2: Có 2 số thuộc một dạng nào đó suy ra mỗi dạng có ít nhất là một số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng có ít nhất là một số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng chia hết cho 3. Bài 9: Cho năm số tự nhiên lẻ bất kỳ. Chứng minh rằng luôn chọn được 4 số có tổng chia hết cho 4. Hướng dẫn: Một số lẻ chia hết cho 4 thì số dư chỉ là 1 hoặc 3. Tức là số lẻ chỉ có một trong 2 dạng 4k+1 hoặc 4k+3. Nếu có ít nhất bốn số thuộc cùng 1 dạng tổng của 4 số đó chia hết cho 4. Nếu không như vậy thì mỗi dạng có ít nhất 2 số, ta chọn 2 số ở dạng này và 2 số ở dạng kia thì tổng của 4 số này chia hết cho 4. Bài 10: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của 1 con súc sắc. Chứng minh rằng khi ta gieo súc sắc xuống bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được 1 hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5. Hướng dẫn: Gọi các số trên 5 mặt là a1, a2, a3, a4, a5. Xét 5 tổng: S1= a1. S2= a1+a2 S3=a1+a2+a3. S4=a1+a2+a3+a4. S4=a1+a2+a3+a4+a5. - Nêu có 1 trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài toán đã giải song. - Nếu không có tổng nào chia hết cho 5 thì tồn tại hai tổng có cùng số dư khi chia cho 5⇒ hiệu hai tổng này chia hết cho 5. Gọi 2 tổng là Sivà Sj (1≤i < J≤5) ChuTieuThichHocToan ToanCap2.com 5 Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle và bài toán chia hết thì Sj -Si chia hết 5 hay (a1+a2+.....+aJ) - (a1+a2+...+aJ) = ai+1+ai+2+...+aJ chia hết cho 5 Bài 11. Có tồn tại hay không số có dạng 20072007....200700...0 chia hết cho 2005. Hướng dẫn:     ...2007   Xét dãy số 2007, 20072007, 200720072007,..., 20072007 2006 so 2007 trong phép chia cho 2005..... có it nhất hiệu hai số chia hết cho 2005 . Hiệu hai số này ( số lớn trừ số nhỏ ) có dạng 20072007...200700...0. Bai 12: Chứng minh tồn tại một số tự nhiên x < 17 sao cho 25x -1  17 Hướng dẫn : Xét dãy số gồm 17 số hạng sau : 25 ; 252 ; 253 ;........; 2517 Chia số hạng của dãy (1) cho 17 Vì (25,17) =1 nên (25n ,1) = 1 ∀ n ∈ N và n ≥ 1 . Xét trong phép chia cho 17 ....dãy số trên có ít nhất hai số chia cho 17 có cùng số dư . Gọi 2 số đó là 25m và 25n với m , n ∈ N và 1 ≤ m ... có số dư chia cho 5⇒ hiệu hai tổng chia hết cho Gọi tổng Sivà Sj (1≤i < J≤5) ChuTieuThichHocToan ToanCap2.com Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle toán chia hết Sj -Si chia hết hay (a1+a2+...Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle toán chia hết nguyên lí điriclê có số chia cho có số dư.Hiệu số chia hết cho Đưa cho học sinh nhận xét n + số tự nhiên , chọn hai số mà hiệu chúng chia. .. ToanCap2.com Các chuyên đề môn Toán – Nguyên lý Ddirichle toán chia hết Bài 3: Cho dãy số : 10 ; 102 ; 103 ; ;1020 Chứng minh tồn số chia cho 19 dư Hướng dẫn: Dãy số có 20 số, xét phép chia cho 19