BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN TẬP CHƯƠNG II.doc

BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN TẬP CHƯƠNG II Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C và D là các tiếp điểm khác H). a) Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi. c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH. OI không đổi. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng: a) Tam giác EBF là tam giác cân. b) Tam giác HAF là tam giác cân. c) HA là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và tiếp tuyến tại A ∈ (O; R), trên tiếp tuyến này lấy đoạn AI = R 3 a) Tính độ dài OI theo R và số đo các góc của ∆ OAI. b) Kéo dài đường cao AH của ∆ OAI cắt đường tròn (O) tại B. Chứng minh rằng: 1/ IA = IB. 2/ IB là tiếp tuyến của đường tròn (O) và ∆ AIB đều. c) Đường thẳng BO cắt AI tại K, tính độ dài các cạnh của tam giác BIK theo R. Bài 4: Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC và các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC và CA lần lượt là M, N và S. a) Chứng minh: AB + AC – BC = 2AM. b) Cho AB = 4cm, BC = 7cm và CA = 5cm. Tính các đoạn thẳng AM, BM, CS. Bài 5: Cho đường tròn tâm (O;R), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O; R) ( với M, N là các tiếp điểm). a) Nếu cho: R = 3cm và AO = 5cm, hãy tính chu vi tứ giác AMON. 1 b) Từ O kẻ đường thẳng d vuông góc với OM. Đường thẳng d cắt AN tại S. Chứng minh: SO = SA. Bài 6: Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M; N ∈ (O)). a) Từ O kẻ đường vuông góc với ON cắt AM tại B. Chứng minh rằng OB = AB. b) Từ B kẻ tiếp tuyến với (O), tiếp tuyến này tiếp xúc với đường tròn tại E và cắt AN tại C. Chứng minh: BC = MB + NC. c) Chứng minh ON // ME. Bài 7: Cho đường tròn tâm (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM. a) Chứng minh rằng NE ⊥ AB. b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA). Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N. a) Tính số đo góc MON. b) Chứng minh rằng MN = AM + BN. c) Chứng minh rằng AM.BN = R 2 ( R là bán kính của nửa đường tròn). Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. a) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB. b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABCD có chu vi nhỏ nhất. c) Tìm vị trí của D, C để hình thang ABCD có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm. Bài 10: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo 2 thứ tự ở C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng: a) MN ⊥ AB. b) MN = NH. Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng; b) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC. Bài 12: Gọi chu vi ∆ ABC là 2p, và r là bán kính đường tròn nội tiếp trong tam giác; S là diện tích ∆ ABC. Chứng minh rằng: S = p.r Bài 13: Cho đường tròn tâm I nội tiếp trong tam giác vuông ABC (vuông tại A), tiếp xúc với cạnh BC tại E. Chứng minh: S ABC = EB.EC Bài 14: Cho tam giác ABC thoả mãn: 1 S (a + b-c)(a - b +c) 4 = thì tam giác ABC vuông tại A. Bài 15: Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác. Gọi h a , h b , h c là độ dài các đường cao ứng với các cạnh a, b,c và d a , d b, d c là các khoảng cách từ O đến các cạnh a, b, c. a) Chứng minh rằng: a b c a b c d d d + + = 1 h h h b) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: a b c 1 1 1 1 + + = h h h r Bài 16: Cho đường tròn tâm O bán kính R cố định, M là một điểm cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OM = d > R. Từ M kẻ cát tuyến MAB với (O). a) Chứng minh rằng: MA. MB = d 2 – R 2 . b) Xác định vị trí của cát tuyến MAB để MA + MB nhỏ nhất và lớn nhất. 3 Bài 17: Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H, E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O); (K) và (O); (I và (K). b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh đẳng thức: AE. AB = AF.AC. d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất. Bài 18: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. b) ME.MO = MF.MO’. c) OO’ là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính BC. d) BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’. Bài 19: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại C và D ( khác A). a) Chứng minh rằng: AC = AD. b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB. Bài 20: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, D ∈ (O) và E ∈ (O’). Gọi M là giao điểm của BD và CE. a) Tính số đo góc DAE. b) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Bài 21: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau. Từ một điểm M tuỳ ý trên xy kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O) trong đó P, Q là các tiếp điểm. Qua O kẻ OH ⊥ xy, dây cung PQ cắt OH ở I, cắt OM ở K. Chứng minh: a) OI. OH = OK.OM = R 2 b) PQ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên xy. 4 Bài 22: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, trong đó O’ nằm trên đường tròn (O). Kẻ đường kính O’OC của đường tròn (O). a) Chứng minh CA, CB là các tiếp tuyến của (O’). b) Đường thẳng vuông góc với AO’ tại O’ cắt CB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O’B ở K. Chứng minh rằng ba điểm O, I, K thẳng hàng. Bài 23: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM. a) Chứng minh NE ⊥ AB. b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của (O). c) Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA). Bài 24: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB. a) Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau? b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao ? c) Gọi K là giao điểm của DB với đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng. d) Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’). Bài 25: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) tại A. Dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng: a) AB ⊥ KB b) Bốn điểm A, C, E, D nằm trên cùng một đường tròn. Bài 26: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi r, r 1, r 2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH, và ACH. Chứng minh rằng: a) AB + AC – BC = 2r b) AH = r + r 1 + r 2 c) 2 2 2 r = r + r 1 2 5 Bài 27: Cho đường tròn (O; R), hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau, và một điểm M di động trên cung nhỏ AB. Qua M kẻ một đường thẳng song song với AB, cắt OA, OB tại A’, B’. Chứng minh tổng MA’ 2 + MB’ 2 không đổi. Bài 28: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), có trực tâm H. Đường cao BE cắt (O) tại M . Hạ MI ⊥ AB và MK ⊥ BC. a) Chứng minh: AH.KM = HE.BM b) Chứng minh: 2 2 MI CE + =1 MB CM      ÷  ÷     Bài 29: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi TT’ là một tiếp tuyến chung ngoài (O), (O’). a) TT’ = 2 RR' . b) Gọi (I; r) là đường tròn tiếp xúc với (O), (O’) và đoạn TT’. Chứng minh 1 1 1 = + r R R' 6 . BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN TẬP CHƯƠNG II Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB không đổi. c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH. OI không đổi. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông. tam giác vuông ABC (vuông tại A), tiếp xúc với cạnh BC tại E. Chứng minh: S ABC = EB.EC Bài 14: Cho tam giác ABC thoả mãn: 1 S (a + b-c)(a - b +c) 4 = thì tam giác ABC vuông tại A. Bài 15: Cho