ÔN TẬP GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 1/ Định nghĩa : sin , cos =OH, OK α α = sin tan ,cos 0 cos α α α α = ≠ , cos cot ,sin 0 sin α α α α = ≠ 2/Tính chất : • cos ( α +k2 π ) = cos α , sin ( α + k2 π ) = sin α . • tan ( α +k π )= tan α , cot ( α + k π )= cot α .( k là số nguyên) • -1 ≤ cos α ≤ 1 , - 1 ≤ sin α ≤ 1 . 3/ Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt α 0 6 π 4 π 3 π 2 π sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 2 1 0 tan α 0 3 1 1 3 KXĐ cot α KXĐ 3 1 3 1 0 4/ Dấu các giá trị lượng giác I II III IV cosα + - - + sinα + + - - tanα + - + - cotα + - + - 5/ Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản • cos 2 α + sin 2 α = 1 • α α 2 2 tan1 cos 1 += 1 cos sin III III IV • α α 2 2 cot1 sin 1 += • tan .cot 1 α α = 6/ Cung liên kết Cung đối : sin(- α ) = sin α cos (- α ) = cos α tan ( - α ) = -tan α cot( - α ) = - cot α Cung bù : sin( π - α ) = sin α cos ( π - α ) = -cos α tan ( π - α ) = - tan α cot ( π - α ) = - cot α Cung hơn kém π : sin ( π + α ) = -sin α cos ( π + α ) = - cos α tan ( π + α ) = tan α cot ( π + α ) = cot α Cung phụ : sin ( 2 π - α ) = cos α cos( 2 π - α ) = sin α tan( 2 π - α )= cot α cot ( 2 π - α ) = tan α CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Công thức cộng • cos(a+b)= cosa.cosb - sina.sinb. • cos(a-b)= cosa.cosb + sina.sinb. • sin(a+b) =sina.cosb + sinb.cosa. • sin(a-b) = sina.cosb – sinb.cosa. • ( ) tan tan 1 tan .tan a tanb a b a b + + = − • ( ) btan.atan1 btanatan batan + − =− Công thức nhân • cos2a =cos 2 a-sin 2 a = 2cos 2 a-1 =1-2sin 2 a • sin2a = 2sina.cosa. • atan1 atan2 a2tan 2 − = Hệ quả ( hạ bậc ) • 2 a2cos1 acos 2 + = • 2 a2cos1 asin 2 − = Công thức biến đổi tích thành tổng • cosa.cosb= 2 1 [ cos(a-b) + cos(a+b)] • sina.sinb= 2 1 [cos(a-b)- cos(a+b)] • sina.cosb= 2 1 [sin(a-b)+sin(a+b)] • cosa.sinb= 2 1 [sin(a-b)-sin(a+b)] Công thức biến đổi tổng thành tích • cos cos 2cos cos 2 2 u v u v u v + − + = • cos cos 2sin sin 2 2 u v u v u v + − − = − • sin sin 2sin cos 2 2 u v u v u v + − + = • sin sin 2cos sin 2 2 u v u v u v + − − = Chương1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1. CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.Hàm số y=sinx +TXĐ là: R +Với mọi x∈R ta có: 1 sin 1,x− ≤ ≤ +TGT là T = [ -1; 1 ] 1.Hàm số y=cosx +TXĐ của hai hàm số này là: R +Với mọi x∈R ta có: 1 cos 1,x− ≤ ≤ + TGT là T = [ -1; 1 ] 2 +Hàm y = sinx là hàm số lẻ nên đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ + tuần hoàn với chu kì 2T π = . + Hàm y = cosx là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. + tuần hoàn với chu kì 2T π = 2.Hàm số y = tanx +, Hàm số y = tanx có TXĐ là ∈+= ZkkRD , 2 \ π π TGT là: T=R + Hàm số y = tanx là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì T π = 2.Hàm số y = cotx +Hàm số y = cotx có TXĐ là: { } ZkkRD ∈= ,\ π TGT là: T=R +, Hàm số y = cotx là số lẻ và tuần hoàn với chu kì T π = Chú ý Zkk Zkk ∈+≠⇔≠∗ ∈≠⇔≠∗ , 2 0cos ,0sin π π αα παα Zkk kk ∈≠⇔≠∗ ∈+≠⇔≠∗ ,21cos ,2 2 1sin παα π π αα DẠNG 1. TÌM TẬP XÁC ĐịNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Biểu thức )x(P 1 có nghĩa khi P(x) ≠ 0 Biểu thức )x(P có nghĩa khi P(x) ≥ 0 Biểu thức )x(P 1 có nghĩa khi P(x) >0 Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số a) y = tan2x, b) y = cot3x c) −= 5 2tan π xy d) −= 43 cot π x y Bài 2(SGK/17). Tìm tập xác định của các hàm số a) 1 cos sin x y x + = b) 1 cos 1 cos x y x + = − c) tan 3 y x π = − ÷ d) cot 6 y x π = + ÷ Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số xya cos2) −= x x yb sin1 cos ) − = c) 3 cot 3 4 y x π = − ÷ d) 1 sin 1 cos x y x + = − DẠNG 2. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC •Với mọi x∈R ta có: 1 sin 1,x− ≤ ≤ 1 cos 1,x− ≤ ≤ • 0a ≥ Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số a)y=sin3x+2 b)y=cos2x+1 c)y=3-2sinx(SGK/18) d)y=4-2cos5x 3 Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số a)y=3sin 2 x-2 b)y= 4- 2cos 2 5x c)y=3 - | sin2x| d)y= 5- | cos3x| Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số a) 1sin3 += xy , b) xy sin23 −= c) 2 cos 1y x= + (SGK/18) d) 1sin4 2 −= xy , e) 1cossin −+= xxy DẠNG 3. XÉT TÍNH CHẴN , LẺ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y= f(x) với tập xác định D. • Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D, ta có –x cũng thuộc D và f(-x) =f(x). • Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D, ta có –x cũng thuộc D và f(-x) = - f(x). Chú ý .Có những hàm số khơng chẵn, khơng lẻ. Bài 1.Xét tính chẵn ,lẻ của các hàm số sau a) y= sin 3 x b) y = cos 3 x c) y= cos 4 x Bài 2.Xét tính chẵn ,lẻ của các hàm số sau a) y = sin 2 2x+1 b) y= cos 2 x- sin 2 x c) y= tan2x BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.Phương trình sinx = a (1) + 1a > : PT(1) vơ nghiệm + 1a ≤ : thì đặt a = sin α sinx = sin α 2 ( ) 2 x k k x k α π π α π = + ⇔ ∈ = − + Z +Các trường hợp đặc biệt: sinx=1 x= 2 , 2 sinx= -1 x= - 2 , 2 sinx=0 x= , k k k k k k π π π π π + ⇔ + ∈ + ⇔ + ∈ + ⇔ ∈ Z Z Z 2,Phương trình cosx = a (2) + 1a > : PT(2) vơ nghiệm + 1a ≤ : thì đặt a = cos α cosx = cos α 2 ( ) 2 x k k x k α π α π = + ⇔ ∈ = − + Z +Các trường hợp đặc biệt: osx=1 x= 2 , osx= -1 x= 2 , osx=0 x= , 2 c k k c k k c k k π π π π π + ⇔ ∈ + ⇔ + ∈ + ⇔ ∈ Z Z Z 3.Phương trình tanx = a (3) Đặt a = tan α : tan tan ,x x k k α α π = ⇔ = + ∈Z 4.Phương trình cotx = a (4) Đặt a = cot α : cot cot ,x x k k α α π = ⇔ = + ∈ Z Chú ý. 1)Nếu a là giá trò không có góc đặc biệt thì arcsin 2 sin arcsin 2 x a k x a x a k π π π = + = ⇔ = − + 4 2) Nếu a không phải là giá trò của góc bặc biệt thì arccos 2 cos arccos 2 x a k x a x sa k π π = + = ⇔ = − + Bài 1.(SGK/28)Giải các phương trình sau : a) ( ) 1 sin 2 3 x + = b) sin3x=1 c) 2 sin 0 3 3 x π − = ÷ d) ( ) 0 3 sin 2 20 2 x + = − Bài 2.(SGK/28)Giải các phương trình sau : a) ( ) 2 cos 1 3 x − = b)cos3x=cos12 0 c) 3 1 cos 2 4 2 x π − = − ÷ d) 2 1 cos 2 4 x = Bài 3.(SGK/28)Giải phương trình : 2cos2 0 1 sin2x x = − Bài 4.(SGK/28)Giải các phương trình sau : a) ( ) 0 3 tan 15 3 x − = b) ( ) cot 3 1 3x − = − c)cos2xtanx=0 d) sin3x.cotx=0 Bài 5.(SGK/28)Giải các phương trình : a/ sin3x-cos5x=0 b) tan3x.tanx=1 Bài 6.Giải các phương trình sau : 0 42 cos 3 d)sin 01cos2xc)cosx 01-cos2xb)sinx 0sin2sin2) 22 = −− −=++ =+=+ ππ x x xxa BÀI 3.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng phương trình: aSin 2 x + bSinx + c = 0 (a ≠ 0) *Cách giải: - Đặt t = sinx, điều kiện ≤t 1 - Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t. - Giải phương trình lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm. Dạng phương trình: aCos 2 x + bCosx + c = 0, (a ≠ 0) *Cách giải: - Đặt t = Cosx, điều kiện ≤t 1 - Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t. - Giải phương trình lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm Dạng phương trình: atan 2 x + btanx + c = 0, (a ≠ 0) *Cách giải: - Đặt t = tanx - Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t. - Giải phương trinh lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm. * Chú ý điều kiện tồn tại: Đối với hàm số tanx: cosx 0≠ ⇔ x π π k+≠ 2 , k ∈ Z Dạng phương trình: aCot 2 x + bCotx + c = 0, (a ≠ 0) *Cách giải: - Đặt t = Cotx - Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t. - Giải phương trinh lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm. * Chú ý điều kiện tồn tại: Đối với hàm số cotx: sinx 0 ≠ ⇔ x π k ≠ , k ∈ Z 5 Bài 1.(SGK/36)Giải các phương trình a) 2cos 2 x-3cosx+1=0 b) 2sin2x+ 2 sin4x= Bài 2.(SGK/37)Giải các phương trình a) 2 sin 2cos 2 0 2 2 x x − + = b) 8cos 2 x+2sinx-7=0 b)2tan 2 x+3tanx+1=0 c)tanx-2cotx+1=0 Bài 3.Giải các phương trình a)4sin 2 x -2 ( ) 06sin23 =−− x (CĐKTĐN/2004). b)cos2x -5cosx +4=0(CĐCN4/2003) DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS *Dạng: asinx + bcosx = c (*) *Cách giải: B1: Xác định a = ?, b = ?, c = ?. Tính 22 ba + . B2: Chia cả hai vế của phương trình (*) cho 22 ba + ta được: 222222 cossin ba c x ba b x ba a + = + + + (**) B3: Đặt: = + = + α α cos sin 22 22 ba b ba a (I). Chú ý: Nếu có α ( đặc biệt) thoả mãn hệ (I) thì chọn α thích hợp nếu không ta giữ nguyên α . Khi đó (**) có dạng: ( ) 2222 coscoscossinsin ba c x ba c xx + =−⇔ + =+ ααα (***) B4: Giải PT(***) (Là PT lượng giác cơ bản) tìm nghiệm. Chú ý: Nếu 222 cba <+ thì PT(8) vô nghiệm. Bài 1.(SGK/37)Giải các phương trình a) cos 3sin 2 0x x− − = b)3sin3x-4cos3x=5 c) 2sin 2cos 2 0x x+ − = d)5cos2x+12sin2x-13=0 Bài 2.Giải các phương trình a)2sinx +2cosx = 6 b) 23cos33sin =+ xx c) 024sin34cos =−− xx e) 3sin3cos =+ xx Bài 3.Giải các phương trình a) xxx sin22cos2sin =+ b)sin3x - 3 cos3x =2sin2x (CĐ KA,B,D /08) 6 DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG a.sin 2 x+b.sinxcosx +c.cos 2 x =d Cách 1.Xét phương trình khi x = 2 π +kπ, k∈Z. Nếu phương trình nghiệm đúng thì đây là nghiệm của phương trình. Khi x ≠ 2 π +kπ , chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được : a.tg 2 x + btgx +c = d(1+tg 2 x) Cách 2. Sử dụng cơng thức hạ bậc: 2 2cos1 cos, 2 2cos1 sin 22 x x x x + = − = .Ta sẽ được phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x. Bài 1.(SGK/37)Giải các phương trình a)2sin 2 x+sinxcosx-3cos 2 x=0 b)3sin 2 x-4sinxcosx+5cos 2 x=2 c) 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x+ − = d) 2 2 2cos 3 3sin 2 4sin 4x x x− − = − Bài 2.Giải các phương trình a) 4cos22sin33sin4 22 =−+ xxx b) 4cos 2 x -2sin 2 x -4sinxcosx +1=0 c) sin 2 x-3sinxcosx+cos2x +1=0 d) 2sin 2 x -5sinxcosx -8cos 2 x = -2 BÀI TẬP ƠN Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số a) −= 3 2 3 tan π x y b) −= 42 cot π x y c) −= xy 2 6 tan π d) −= xy 3 4 cot π Bài 2 :Tìm tập xác đònh hàm số sau : 2 2 cot ) cot(2 ) ) tan(3 ) ) 4 3 cos 1 sin 2 1 ) ) tan ) sin cos 1 3 1 x a y x b y x c y x x x d y e y f y x x π π = − = + = − + = = = + − Bài 3 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau : a)y=3- 2sin 2 x b)y= 4- 3cos 2 2x c)y=3 | sinx| - 1 d)y= 4-2 | cosx| a) xy sin3 −= , b) xy 2 sin4 −= c) 3sin2 ++= xy d) 21cos5 −+= xy Bài 4.Giải các phương trình sau: a) 4sin 2 x – 4cosx – 1 = 0 , b)2cos2x+cosx-1=0 c)sin 2 x-2cos 2 x+cos2x=0, d) 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0 e) ( ) 2 tan 1 3 tan 3 0x x+ − − = f) ( ) 2 4sin 2 3 1 sin 3 0x x− + + = Bài 5.Giải các phương trình sau: 7 a) tan 2 x + cot 2 x = 2 b) cot 2 2x – 4cot2x + 3 = 0 c) 2 2 5 4sin 8cos 4 2 x x− − = − d) ( ) 2 1 3 3 tan 3 3 0 cos x x − + − + = e) 2 1 cos x + 3cot 2 x = 5 f) 9 – 13cosx + 2 4 1 tan x+ = 0 Bài 6.Giải các phương trình sau: a) cos 3sin 2x x+ = b) 6 sin cos 2 x x+ = c ) 3 cos3 sin3 2x x+ = d) sin cos 2sin5x x x+ = e) 2 2sin 3sin2 3x x+ = f) ( ) sin8 cos6 3 sin6 cos8x x x x− = + Bài 7.Giải các phương trình sau: a) 3sinx – 2cosx = 2 b) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0 c) cosx + 4sinx = –1 d) 2sinx – 5cosx = 5 Bài 8.Giải các phương trình sau: a) 2 2 4sin 3 3sin .cos 2cos 4x x x x+ − = b) 2 2 1 sin sin2 2cos 2 x x x+ − = c) 2 2 3sin 8sin .cos 4cos 0x x x x+ + = ĐỀ THI Baøi 1.Giaûi caùc phöông trình : a)sin2xsinx +cos5xcos2x= 2 8cos1 x+ (CÑKTtpHCM/07) b) 1cos44cos32 4 sin2 22 −=+ − xxx π ( CÑGTVT3/07) c) +=+ 4 sin2 sin 1 cos 1 π x xx (CÑCNTPtpHCM/07) d)cosxcos2xsin3x= x2sin 4 1 (CÑTCHQ/07) Baøi 2.Giaûi caùc phöông trình : a)sin 4 x+cos 4 x = x2sin 2 1 (ÑHSGK D,M /07) b)1+sinx+cosx+tgx= 0 (ÑHSGK B /07) c) − = π − xsin xsin1 2 2 xtan3 2 (ÑHSGK A /07) d)2sin 3 x +4cos 3 x =3sinx (CÑKTCT/07) e)cos4x -2sin 2 x+2=0 (CÑXD2/05) f)cos2x +cos 4 x -2=0 (CÑTCKTIV/05) Baøi 3.Giaûi caùc phöông trình : a) 3 cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0(ĐHKD/09) b)h)sinx+cosxsin2x+ 3 cos3x=2(cos4x+sin 3 x) ( ĐHKB/09) 8 c) ( ) ( )( ) 3 xsin1xsin21 xcosxsin21 = −+ − (ĐHKA/09) d) 2sinx (1+cos2x) +sin2x = 1+2cosx ( ĐHK D /08) e) sin 3 x - 3 cos 3 x = sinx.cos 2 x - 3 sin 2 x.cosx (ĐHK B /08) f) −= − + x x x 4 7 sin4 2 3 sin 1 sin 1 π π ( ĐHK A /08) g) 2.sin 2 2x+sin7x-1=sinx ( ÑHK B / 07) h) (1+sin 2 x )cosx +(1+cos 2 x)sinx =1 +sin2x (ÑHK A /07) k) cos3x +cos2x -cosx-1=0 (ÑHK D /06) l) ( ) 0 sin22 cossinsincos2 66 = − −+ x xxxx (ÑHK A /06) Bài 4.Giải phương trình a) cos4x + 12sin 2 x -1 =0(CĐK D /2011) b) sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x− + − − = (ĐH K D /2010) c) sin2x 2cos x sin x 1 0 tan x 3 + − − = + (ĐHK D /2011) d)(sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0(ĐHK B /2010) e) sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x+ = + + (ĐHK B /2011) f) (1 sin x cos 2x)sin x 1 4 cos x 1 tan x 2 π + + + ÷ = + (ĐH K A /2010) g) 2 1 sin 2 cos 2 2 sin sin 2 . 1 cot x x x x x + + = + (ĐH K A /2011) h) 1cos22cos2sin3 −=+ xxx (ĐHK A 2012) Bài 5.Giải phương trình a) xxxxxx cossin3cossincos3sin 2233 −=− (ĐHK B /2008) b) 1+sin 2 x)cosx+(1+cos 2 x)sinx=1+sin2x (ĐHK A / / 2008) c) 2cos3 2 cos 2 sin 2 =+ + x xx (ĐHCĐK D /2007) d) 2sin 2 2x +sin7x-1=sinx (ĐHCĐK B /2007) e) (1+sin 2 x)cosx+(1+cos 2 x)sinx=1+sin2x (ĐHCĐK A /2007) f) cos3x+cos2x-cosx-1=0(ĐHK D /2006) g) 4 2 tantan1sincot = ++ x xxx (ĐHCĐK B 2006) h) ( ) 0 sin22 cossinsincos2 66 = − −+ x xxxx (ĐHCĐK A 2006) Bài 6.Giải phương trình a) 0 2 3 4 3sin 4 cossincos 44 =− − −++ ππ xxxx (ĐHCĐK D 2005) b) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 (ĐHCĐ K B 2006) c) cos 2 3xcos2x-cos 2 x=0 (ĐHCĐK A 2006) 9 d) 2sinx(1+cos2x)+sin2x =1+2cosx (ĐHK D /2008) e) sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x+ = + + (ĐHCĐK B 2011) Bài 7.Giải phương trình a) xxxxx 2cos2cossin3cos3sin =+−+ (ĐHCĐK D 2012) b) ( ) 1sin3coscossin3cos2 +−=+ xxxxx (ĐHCĐK B 2012) c) 3 sin2x+cos2x=2cosx-1 (ĐHCĐK A 2012) d) sin 3 cos 2 sin 0 + − = x x x ( ĐHCĐ KD/2013) e) 2 sin 5 2cos 1x x + = ( ĐHCĐ KB/2013) f) 1 tan x 2 2 sin x 4 π + = + ÷ ( ĐHCĐ KA,A 1 /2013) 10 . nguyên) • -1 ≤ cos α ≤ 1 , - 1 ≤ sin α ≤ 1 . 3/ Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt α 0 6 π 4 π 3 π 2 π sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 2 1 0 tan α 0 3 1 1 3 KXĐ cot α KXĐ 3 1 3 1 0 4/. phương trình a) cos4x + 12 sin 2 x -1 =0(CĐK D /2 011 ) b) sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x− + − − = (ĐH K D /2 010 ) c) sin2x 2cos x sin x 1 0 tan x 3 + − − = + (ĐHK D /2 011 ) d)(sin 2x + cos 2x) cosx. − − = Chương1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1. CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Hàm số y=sinx +TXĐ là: R +Với mọi x∈R ta có: 1 sin 1, x− ≤ ≤ +TGT là T = [ -1; 1 ] 1. Hàm số y=cosx +TXĐ