Luận án tiến sĩ Toán học: Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với một số bài toán biên phi tuyến

Tổng quanPHAN MỞ ĐẦU Trong luận án nay chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến như : phương pháp Galerkin, phương pháp compact yếu và toán tử đơn điệu, phương

BỘ GIAO DUC VA BAO TAO TRUGNG BAI HOC SU PHAM TP.HO CHÍ MINH

TRAN MINH THUYET

LUAN AN TIEN Si TOAN HOC

TP.HO CHi MINH 2001

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HÓ CHÍ MINH

TRAN MINH THUYET

LUẬN AN TIEN SĨ TOÁN HOC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Ma số : 1.01.01

Người hướng dẫn khoa học:

1 TS TRAN VAN TÂN

Dai hoc Su Pham Tp.Hồ Chí Minh

2 TS NGUYÊN THÀNH LONG

Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh

TP.HỎ CHÍ MINH 2001

MỤC LỤC

0801/9527 41ốố 1

CHUONG 1: KHAO SAT BAI TOAN HYPERBOLIC PHI TUYEN CO SO HANG PHI

TUYẾN CHUA VUl2(Q) 55-5: 2E E21 3121215212171 11212111211111111111 21.111 1E xe II

LoL c i0 naaÁ1 11

1.2 Các ký hiệu và giả thiẾt 5-55: St 2x 21 21 2121217112121211121111121 1 xe 12

1.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ¿2-2 ¿©E9SEE£EE#EE+EEEEEEEEEEEEEEErErrkerrrei 14

I NOW rOng DAL tOAN 0 SS 26

CHUONG 2: KHAO SAT MOT PHUONG TRINH SONG A TUYEN TINH LIEN KET

VỚI MỘT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHAN PHI TUYẾN CHUA GIA TRI BIÊN 32

3.3 Định lý tồn tại và duy nhất ¿+ S2 +E9ESE2E9EE2EEEE121112171212111111 1111111 xe 63

CHƯƠNG 4: DANG DIEU TIỆM CAN CUA NGHIỆM CUA BÀI TOÁN BIEN PHI

TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG - 2-5 2 c2+cccccxzzcce2 71

4.1 Giới thiỆU ¿1-5652 212E2E22123121221211212112117111211111121112111111.1121 11c 71

4.2 Dinh lý tồn tại và duy nhất nghiệm 2 + 2+ E+EEE+E+EEE£E£EEZEEEEEErEererkrreree 78

4.3 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi h — (+ 1 13331113 EESEsekrseeeere 82

PHAN KẾT LUẬN :- 2552252921231 21E21231212121121112111111111111111111 112111111 85 CÔNG TRINH CUA TÁC GIA CÓ LIEN QUAN ĐỀN DE TÀI LUẬN ÁN 87

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là chương trình nghiên cứu của riêng tôi Các sô liệu, kêt quả nêu trong

luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bat kỳ một chương trình nào khác.

Tác giả luận án

Trần Minh Thuyết

Tổng quan

PHAN MỞ ĐẦU

Trong luận án nay chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến như : phương pháp Galerkin, phương pháp compact yếu và toán tử đơn điệu, phương pháp tuyến tính hóa liên hệ với các định lý điểm bat động, phương pháp tiệm cận nhằm khảo sát

một số bài toán biên có liên quan đến các van dé trong Cơ học Chang hạn như các phương

trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán

mô tả dao động của một màng với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự

va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên một nền cứng; Các phương trình elliptic mô tả sự uốn của một thanh đàn hồi phi tuyến được nhúng trong một chat lỏng

Bản luận án ngoài chương mở dau ra sẽ được chia thành 4 chương Trong chương 1 - 2 chúng tôi sử dụng phương pháp Galerkin và các công cụ hỗ trợ dé khảo sát các bài toán liên quan đến phương trình sóng và cũng với các công cụ trên ở các chương 3-4 dành cho việc khảo sát bài toán biên phi tuyến có số hạng kỳ di.

m Trong chương 1, chúng tôi khảo sát bài toán

Uy +yA?u—B(|Vu lỮ)Au +f(u,u,) = F(x,t),x€0,0<t<T, (0.1)

Ov

u(x,0) = ug (x), u,(x,0) =u, (x), x EQ, (0.4)

trong đó Q CR" là một tập mở bi chan có biên T = Ø9 đủ tron, v là pháp tuyến đơn vị hướng

ra ngoài biên 00, y > 0 là hằng số cho trước, B,f,F,uo,u; là các hàm cho trước Các giả thiết

đặt ra cho các hàm nay sẽ

ở đây u là độ võng, ø là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dai của sợi dây ở trang

thái ban đầu, E là môđun Young và Pp là lực căng lúc ban dau.

Khi f= 0, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình (0.1) đã được nghiên cứu bởi nhiều

tác giả ; Xem : Aassila [4, 5, 6], Ebihara, Medeiros va Miranda [15], Pohozaev [36], Yamada [38] và các tài liệu tham khảo ở đó.

Bài toán (0.1),(0.2), (0.4) với y = 0, số hang f= f{u,u) (tuyén tinh hay phi tuyén) cũng được

nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều dạng cụ thé khác nhau Chang hạn như: K.

Nishihara [31], [32], [33] với f= f(u) = y u¡, y > 0 là hằng số cho trước; Medeiros [28] đã

nghiên cứu

Tổng quan

bài toán (0.1), (0.2), (0.4) với f = f(u) =uỖ, ẹ là một tập mở bị chận của RỲ Hosoya &

Yamada đã xét trong [16] với f = flu) = 5|u|Ộu, và trong [17] voi f= f(u,u,) =đô|u|#Ộu +

Âư, trong đó 5 > 0, ụ>0 2 > 0 là các hang số cho trước

Trong [14], Dmitriyeva đã xét bài toán 2 chiều (n = 2), (0.1), (0.2), (0-4) và

vị =cos(v,Ox;),Q = (0,7) x (0,2), y= ẤB(s) =s, f(u,u,)= eu,, (0.9)

c>0 là hằng số Trong trường hợp nay, bài toán (0.1),(0.2), (0.3) ,(0.4) mô tả dao động phi

tuyên của một bản hình vuông có tải trọng tĩnh

-Trong [36], Pohozaev đã xét phương trình hyperbolic á tuyên tắnh sau day:

uy tA Á?u ỞB(JVul?) Au + c|u,"u,

trong đó 2 > 0, s>0,0< Ủ< 1 là các hing số cho trước

Bang sự tông quát hóa của [14], [26], chúng tôi đã xét trong {1} phương trình sau:

F(x,t), (0.12)

Tổng quan

Uy + Vu -B(Vu|”) Au+ f(u.u,) = F(.t) (0.13)

Trong chương nay chúng tôi sử dụng phương pháp Galerkin và phương pháp compact

yếu kết hợp với phương pháp toán tử don điệu dé nghiên cứu sự tồn tại va duy nhất nghiệm

của bai toán (0.1) - (0.4) đối với điều kiện (0.6), (0.7) Sau đó một số đạng cụ thé cho số hang

phi tuyến ffu,u)cũng được xem xét Kết quả nay đã tong quát hóa tương đối kết quả tương tự

trong [14], (26].{36] và được công bôTtrong (1).

Phần cuỗi của chương nây, chúng tôi khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu sau

( Un ++yá2u + A(u)+f(u,u,)=F(x,),x ce@Q,0<t<T, (0.14)

| u=0 wen =m, (0.15)

& — 0 trên T =ôO, (0.16)

ev

u(x,0) = Ug (x),u,(x,0)=u)(x),x EQ, (0.17)

Ta chú ý rằng bài toán (0.1) - (0.4) là trường hợp riêng của bai toán trong (0.14) - (0.19) khi

vẫn với phương pháp chứng minh tương tự cùng với sự điều chỉnh thích hợp trong bước

đánh giá tiên nghiệm, chúng tôi thu được kết qua về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài

toán (0.14) - (0.19) đối với các điều

kiện (0.6), (0.7) Kết quả nay đã tong quát hóa tương đối kết quả tương tự trong {1},

[14], [26], [36].

m Trong chương 2 chúng tôi xét bài toán sau: Tim một cặp các ham (u,P) thỏa

Tổng quan

Un ~Uyx +Ÿ(u,u,)=0, xEQ =(0,1), 0<t<T, (0.20)

u, (0,t) = P(t), (0.21) u(l,t) =0, (0.22)

u(x,0)=upy(x), u,(x,0)=u,(x), (0.23)

trong đỏ Ho,u,, f là các ham cho trước thỏa một số điều kiện nảo đỏ sẽ được chí ra sau đó, ân ham u(x,t)

và giá trị biên chưa biết P(t) thỏa phương trình tích phân phi tuyến sau đây:

P(t) = g(t) + H( u(0, t)) - fice ~s)u(0,s)ds, (0.24)

0

trong đó g, H, k là các hàm cho trước.

Trong [3], Áng và Alain Phạm đã thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bải

toán (0.20) - (0.23) với uạ,u¡.P là các ham cho trước va

f(u,u,)= |u,|Ÿ sign(u,) (0 < œ <1) (0.25)

Tông quát hóa kết quả trong [3] Long va Alain Pham [12] [13] [I8], [19] đã xét bai toán(0.20), (0.22), (0.23) liên kết với điều kiện biên không thuần nhất tại x= 0 có dạng sau đây

u, (0, t)=g(t) + H(u(0, t)) - fice —s)u(0,s)ds (0.26)

0

ma số hạng phi tuyến f(u,u,)chứa trường hợp (0.25) như là một trường hợp riêng.

Chang han bài toán (0.20), (0.22), (0.23) và (0.26) đã được nghiên

Tổng quan

cứu ứng với các trường hợp k = 0, H(s) = hs, với h > 0 [18]; k = 0 [12] [13]: H(s) = hs, với h > 0

{L7].

Trong trưởng hợp H(s) = hs, với h>9, bài toán (0.20) - (0.24) được thành lập từ bài toán (0.20)

- (0.23) ở đó an hàm u(x.L)yà giá trị biên chưa biết P(t) thỏa bai toán Cauchy cho phương trình vi phan

thường như sau

P(t) +@?P(Ð = hu, (0,t),0<t<T, (0.27)

P(0) = Py, P'(0) = Py, (0.28)

trong đó @ > 0,h = 0,Po,Ps là các hãng số cho trước ( [1], [19] ).

Trong [1], N.T.An and N.D.Triểu đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bai toán (0.20)-(0.23),

(0.27) và (0.28) với uy = u = Po= Ú và với f(u.u,} tuyển tinh, nghĩa là, f(u.u,) = Ku + Au, trong

đó K,À là các hãng số đương cho trước Trong trường hợp sau nay, bài toán (0.20) -(0.23), 0 27) và

(028) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vat rắn và một thanh đàn hoi nhớt tuyến tỉnh tựa

trên một nên cứng.

Trong trường hợp f(u,u,) = |w¿|“sign(u,),0 < œ < 1 bài toán (0.20) - (0.23), (0.27) và (0.28) mô

tả

sự va chạm giữa một vật rắn và một thanh đản hỏi nhót tuyến tinh với rang buộc đản hoi phi tuyén abe

mặt, các rang buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt.

Từ (0.27), (0.28) ta biểu diễn P(t) theo P.„P,,,h,ua(0,Ð và sau khi tích phân từng phan, ta được

‡

P(t)= g(t)+ hu(0,t)— Í kít — s)u(0,s)đs, (0.29)

0

trong đó

Trong [8], Bergounioux, Long, Alain đã nghiên cứu bài toán (0.20), (0.21),

(0.23), (0.24), với giả thiết

u, (0) + K,u(l,t)+4,u,d,t)=0, (0 22’)

f(u,u,)= Ku+^u,, (0.33)

trong đó KÀ Kid là các hằng số không âm cho trước Bài toán (0.20), (0.21), (0.23),

(0 24) (0.22.(0.33) mô, tả sự va chạm của một vật răn và một thanh đàn hoi nhớt

tuyến tính tựa trên một nên dan hỏi nhớt với ràng buộc đàn hỏi tuyến tính ở bê mặt, các

ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt.

Chương nay được chia thành hai phan.

Trong phan 1, chúng tôi chứng minh định lý tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán

(0.20) - (0.24) Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin kết hợp với các đánh giá

tiên nghiệm, các kỳ thuật ve tính compact và sự hội tụ yếu Khó khăn chính gặp phải

trong bài toán nay là điều kiện biên tại x = 0 Ta chú ý rằng phương pháp tuyến tính

hóa đã sử dụng trong các bài báo [11],[20],[35] không dùng được trong [3], [8], [10],

(12], [13] [18]

Tổng quan

Trong phan 2, chúng tôi chứng minh nghiệm (u.P) của bài toán ôn định đối với

các hàm g, H và k Các kết quả thu được ở đây đã tông quát hóa tương đối các kết quả

trong [1], [3], [8], [12], [13] [18], [19], [27] và được công bé trong {4}.

m Trong chương 3, chúng tôi xét bài toán biên phi tuyến sau :

trong đó y >0, p = 2 là các hang số cho trước, £,F,h là các hàm số cho trước và M :

(0.1]xR — R thỏa điều kiện Caratheodory và đơn điệu tăng theo biến thứ hai.

Trong trường hợp y = 0, bài toán (0.34),(0.36) và

u(0) = 0, (0.37)

liên hệ với bài toán uốn một thanh đàn hồi phi tuyến có khối lượng riêng yạ được

nhúng trong một chất lỏng khối lượng riêng y; mà Tucsnak [37] đã thiết lập trong

trường hợp Ñx.u) - Fix) = [—Â + (Vo — Y1)g() — G'(1)]sinu trong đó Âlà một hang

số dương, g(x), G(x) là các hàm cho trước có ý nghĩa cơ học nào đó, u(x) là góc giữa tiếp tuyến với thanh ở trạng thái bị uốn tại điểm của thanh có hoành độ cong x vả trục

thăng đứng Oy Trong trường hợp g(x) là hằng số,M(x,u) = M(u')chi phụ thuộc vào

u', đơn điệu tăng và đủ trơn, Tucsnak [37] đã nghiên cứu sự phân nhánh của các

Tổng quan

Phương trình tích phan tương đương với (0.34), (0.36),(0.37) phụ thuậc vao tham số 2 s

Trong [22], Long và Lang đã nghiên cứu bài toán (0.34), (0.36), (0.37)

với y=0, u.M(x,u?) >C¡|u]?, p>1, trong đó C¡ >0 là hằng sé.

Trong [29] các tác giả Nghĩa và Long đã nghiên cứu bài toán (0.34),

(0.35) với p=2, M(x,u”)= x” u”, y>0 và điều kiện biên tại x = 1 như sau

u) + h¡u()=h¿, (0.38)trong do’ hị > 0, h; là các hang số cho trước

Trong [23] [24] Long Ortiz, Alain đã nghiên cứu phương trình vi phân Bessel phi tuyển sau

(x u(x) + uŸ ~u=0, x>0 (0.39)

x

Trong [23] các tác giả đã chứng minh phương trình vi phân Bessel phí tuyển (0.39) liên kết với điều

kiện biên u(0) = 1, u(+% ) = 0 có vô số nghiệm Ngoài ra bằng kỹ thuật điểm bat động các tác giả

trong [24] đã chứng minh rằng phương trình (0.39) liên kết với điều kiện Cauchy: u(0) = 1 u'(@) = Up

có duy nhất nghiệm u € €3(]0,œ[) n C10, of) sao cho nghiệm u va các đạo ham cấp một và cắp hai của nó tiễn về zérd khi x= +00,

Trong phan nay chúng tôi dùng phương pháp Galerkin va compact trong các không gian him

Sobolev có trọng thích hợp dé chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu.Kết quá thu được ở đây

đã tổng quát hóa tương đỗi các kết quả trong [22],[23],[24],[29].[37] và được công bỏ trong {2}, {5}.

{6}.

m Trong chương 4, chúng tôi xét bài toán biến phi tuyến (0.34).(0.35) va

Téng quan

M(1,u’(1)) + hu(1) = g, (0.40)

M(x,u(x)) = x] u'(x)|P u'(x), (0.41)

trong đó các hăng số y>0.p>2,h> 0,g và các hàm số f, F được cho trước.

O chương nay, bài toán biên phi tuyên ở chương III được xét với các hàm M(x.u)

và h(u) đặc biệt Bài toán (0.34), (0.35), (0.40), (0.41) tương ứng với p = 2 đã được

nghiên cứu bởi Nghĩa, Long [29] Trong phân nay, tương tự như trong chương III, chúng tôi thiết lập các kết quả về sự tôn tại và duy nhât nghiệm trong các không gian

hảm Sobolev có trọng Tuy nhiên, các giả thiết trên bài toán lần nay năm ngoài lớp các giả thiết đã được đưa vào chương trước và trong bài báo ƒ2} Điều nay cho phép chúng

ta néi rộng lớp các bài toán được xét thuộc dạng (0.34)-(0.36) Chúng tôi cũng nghiên

cứu dang điệu tiệm cận cua nghiệm uạ, phụ thuộc vào h khi h — O, Chúng tôi đã

chứng tỏ răng hàm số h h —> lua(Ù| liên tục và không tăng trên (0,+z) Kết quả thu được

ở đây đã tông quát hóa tương đối các kết quả trong {2}, [22], [23] [24], [29] và được

công bố trong {3}.

Chương 1: Khảo sát bài toán hyperbolic phi tuyến

CHUONG 1: KHẢO SÁT BÀI TOÁN HYPERBOLIC PHI TUYẾN CÓ

SO HẠNG PHI TUYẾN CHUA ||Vul|;z¿a›

1.1 Giới thiệu

Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và điều kiện đầu như sau

u„ +yâ°u — B(JVu |Ÿ)Au +f(u,u)=F(x,Ð) , xeQ,0<t<T, (11)

u =0 trên F=ôO, (1.2)

O_o trên T =ôO, (13)

ov

u(x,0) = ug(x),u,(x,0) = u,(x),x EQ, (1.4)

trong đó 2 R” là một tập mở bị chan có biên F = ØØ đủ trơn, V là pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài biên ÊÔ.; T,y lả các hằng số dương cho trước; B,f,F,uạ,uy là các ham cho trước Các giả

thiết đặt ra cho các hảm nay sẽ

được chỉ ra sau Trong phương trình (1.1), số hang phi tuyến B(|]Vull*) phụ thuộc vào

a 2

Jvu|” => lỗ dx (1.5)

i=l i

va thỏa điều kiện

B là ham liên tục xác định trên R = {0,+2);

X

3^¿ >0, Dạ >0: ÍB(s)ds >-Dạ, VÀ> 2a (1.7)

0

Trong chương nay chúng tôi sử dụng phương pháp Galerkin va phương pháp compact yếu kết hợp

với một toán tử đơn điệu đẻ nghiên cứu sự ton

Chương 1: Khảo sát bài toán hyperbolic phi tuyến

tại va duy nhất nghiệm của bai toán (1 1) - (1.4) với các giả thiết (1 6) (1 ?) Sau đó xét

một số dạng cụ thể của số hang phi tuyển fu.u) Kết quả Chương nay tông quát hóa

tương đối kết quả trong [14] [26] [36] và được công bố trong {1}

Phan cuỗi của chương đẻ cập đến việc mo rộng bai toản mà bài toán (1.1) - (1.4) là một

trường hợp riêng ứng với p = 2.

1.2 Các ký hiệu và giả thiết

Chúng ta sử dụng các ký hiệu sau :

LP = L(O),H* = H*X(Q), HỆ = H(Q), Q; =Ox(0,T).

Ta ký hiệu < > dé chỉ tích vô hướng trong L* hay cặp tích dồi ngẫu giữa một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phan tử của không gian hàm Ký hiệu Il II để chỉ chuẩn trong Lt va ký hiệu II.llx để chỉ chuẩn trong một không gian Banach X Ta gọi X' là không gian đổi ngẫu của X.

Ta ký hiệu bởi L°(O,T;X), 1 <p < ~, là không gian Banach các hàm u : (07T) > X đo được,

Chương 1: Khảo sát bài toán hyperbolic phi tuyến

(H)B:R, =[0.œ ) —» R thỏa các điều kiện sau:

(i) B liên lục, ; (ii) tôn tại hai hang số đương Ag va Do sao cho

a

JB(s)ds 2 -Dy, với mọi AZ Ag,

0

(H,) f: R? — R thỏa các điều kiện sau:

(i) f liên te, | (ii) f không giảm đối với biến thứ hai, nghĩa là,

(f(u,v)—f(u,Ÿ))(v-Ÿ)>0 với mọi u,v,VeR,

(iii) tồn tai hai hằng số đương 2) và D; sao cho

À

ff(s,0)ds2-D, với mọi AER, >2,

°o

[f(u,v)|<€(+|u|*|v|Ÿ +[ul* +|v|Ÿ), với mọi u,v eR,

trong đó C là hằng số dương và các hang số còn lại thỏa các điều kiện sau đây phụ

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyển tính

|f(u,w)—f(v,w) |< kuj[Au— Av| với mọi (u,w),(v,w) eM,

(He) với mỗi r > 0 ton tại hằng số D, > 0 sao cho:

i B(s,)- B(s;)| < D,|s —s;¿| với mọi s,s¿ e{0,r}.

Ta cũng dùng các ký hiệu u(t), u(t)=u{Q, uạít)= u"(t) dé lan lượt chi u(x,t), (x, 0,2 Tứ, t)

1.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Không làm mắt tinh tong quát ta có thể gia sử rằng y = 1.

Định lý 1.1

Gia sử có các giả thiết (H,)-(H4) Khi đó bài toán (1.1)—{1.4) có ø nhất một

nghiệm u sao cho

Hơn nữa, nếu có các giả thiết (Hs ) (Hg ) thì nghiệm u duy nhất.

Chú thích 1.1

Bai bao [26] đã khảo sat bài toán (1.1) - (1.4) trong trưởng hợp flu, u) = lưy|Ê"tự,, 0 < B <1] và hàm

B xác định liên tục không âm trên [0,+ 90) Ta cũng chú ý rằng điều kiện (H: ,(ii)) không đỏi hỏi hàm

B không ẩm trên (0,+}) Như vậy kết qua thu được trong [26] là một trường hợp riêng của định ly

1.1.

Một số tác giá khác như Nishihara trong [31] - [33], Medeiros trong [28], Hosoya & Yamada

trong [17] đã xét B là hàm thuộc lớp C'(R,) và B > B, > 0 với lớp ham f kém tổng quát hon.

Chương 2: Khảo sát phương trình song 4 tuyễn tinh

Chú thích 1.2.

Cha ý rằng định lý 1.1 vẫn còn đúng nếu thay thé giá thiết (Hạ, ii) bởi:

(H4) Tôn Lại các hang SỐ đương Ap, Dp var, Ð <r < | sao cho

au

ƒB(s)ds > -Dg (1+ 2") với mọi À>^¿,

0

Chứng minh định lý 1.1.

Chứng minh bao gồm nhiêu bước

Bước 1 xap xi Galerkin

Gia sử {w;} là một cơ sở đếm được của HỆ

Chương 2: Khảo sát phương trình song 4 tuyễn tính

Từ giả thiết của định lý, hệ (1 10), (1.11) có nghiệm u„(t trên khoảng 0 < t < Tm với Tm €

(0,T) nào đó Các đánh gia tiên nghiệm sau đây cho phép lấy Ty, = T với mọi m

Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm

Nhân mỗi phương trình trong (1.10) với 2cj, jft) sau đó lay tông thco j, ta được

Vom (>|?

< (jun +||Au„(@Ÿ +e J B(s)ds

0

+2(f(u„(,ua (9), ưa (t)) = 2¢ F(t), uy, (t))- (1.14)

Lay tích phân (1.14) theo biên thời gian từ 0 đến t, ta có

Sir dung giả thiết vẻ tính đơn điệu (H,,(ii)) của f đối với biến thứ hai, ta có

2{( f(umG), um(S)), umạ()) ds> 2{(f(„@).0), um(s))ds

0 0

=2 Íf(um(x,Ð)dx =2 [Ÿ(uam(x))dx (1.17)

2 Q

Trong đó

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyển tính

À Àf()~ [f(s.0)ds 2-Cy =- f |f(s,0} ds-D, véimoiXeR (1.18)

Với giả thiết (H;.(4i)) đặt f(z) = i f(s, 0)ds, ta có toán tử Nemytsky ƒ: Hệ > L? biển mọi

tập bị chan của Hq thành tập bị chân của LẢ

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyễn tinh

Suy ra

F(a) |< Call, +e litt} (1.23)

* Trường hợp n<4, ta có H2(Q) G L9(Q) với mọi q21

Suy ra : H2(Q) G L'(Q) và H2(Q) G L**'(Q)

Từ day kết hợp với (1.23) ta có ƒ: Hệ > L1 biến mọi tập bị chân trong HỆ thành tập bị

chan trong LÌ

Bỏ dé 1.1 được chứng minh hoàn tất

Từ (1.12), (1.13), sử dụng gia thiết (Hạ, (i) vả bé dé 1.1, ta thu được

Sm(0) + 2 Íf(uem(x))dx<C; với mọi m (1.24)

2

Do đó, từ (1.21), (1.24) ta thu được

X„a(Ð =[u>~(Đ| +] Au, (|?

va My la mot hang s6 chi phụ thuộc vao T.

Do bé đề Gronwall, ta thu được từ (1.25) rằng

X„a()<Mre'! <MyeŸ với mọi te[0,T„ ].

Vậy ta có thé lay Tm = T với moi m vả do đó

{u„} bị chận trong L”(0,T;HẠ),

{u„~} bị chận trong I”(0,T;L?).

Sir dung (1 28) (1 29) và (H‹ (40) ta đưrớc

B(|Vu,, || )Vu,, bịchậntrong L”(0,T;(2)").

Bước 3 Qua giới han.

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyễn tính

Un >u trong L*(0,T;H3) yếu*, (1.34)

ul, > u' trong L*(0,T:L7) yéu*, (1.35) f(u,.Um,)—>xX trong L°(0,T;L?) yếu* (1.36)

Dùng bô dé về tinh compact cua Lions (xem [27], định ly 5.1, trang 58), ta có

thé suy từ (1.34), (1.35) răng ton tại một dãy con, van ký hiệu là fun} sao cho:

u,, > u_ trong L?(0,T;H},) mạnh và a.e.(x,L) trong Q+ (1.37)

Do định lý Riesz-Fischer, từ (1.37) ta có thé lấy ra một day con, vẫn ký hiệu là {uy},

sao cho

[Vum()||—>||Vu(Œ)|| a.e t trong (0,T) (1.38)

Vì B liên tục, ta có

B(|Vu„(Đ|Ÿ)->B(Vu(O|Ÿ) a.e t trong (0,T) (1.39)

B(JVu„(Ð|Ÿ)Vu„ > B(J Vu(©|Ê)Vu a.e (x,t) trong Qy — (140)

Kết hợp (1.33) và (1.40) với bồ đề 1.3 trong [27] (trang 12 ), ta có

B(||Vu„(t)|)Yu„ > B(| Vu(t)|Ï)Vu trong L7(0,T;(L2)") yếu*.

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyển tinh

Vậy u(0) = ue

Mặt khác, các hàm số tro Cum(t),wj) và t>uf(t),w;) thuộc vào

C°({0,T]) Do đó (u(0)— u”(0),w¡) > 0, khi m ~> © Vậy

Gia sử u là nghiệm yếu của bai toán sau:

u„+Afu+,=0, xe(@2, te(0,T},

u(x,0) = ug(x) , u,(x,0) = u(x),x e (2, (1.45)

Hơn nữa, nêu up =u, =0 thì (1.46) xảy ra dang thức

Chứng minh của bô đề 1.2 có thé tìm trong [26]

Bây giờ ta trở lại việc chứng minh sự ton tại nghiệm yếu của bài toán (1 1)-(1.4)

Ta suy từ (1.10), (1.11) rằng

ƒđ(¿„(), Uly (S)), t(s))ds

0

Qua giới hạn khi m —- , bằng cách sử dụng (1.12), (L13), (1.35) -(1.36), (1.38) và

bô dé 1.2 với ý; = —B(|Vul’ )Au + y — F ta thu được

Vay do (1.55) ta có: y = l(u,u) a.e.trong Qr.

Sự tôn tại nghiệm của bai toán (1.1) - (1.4) đã được chứng minh

Bước 4 Tính duy nhất nghiệm.

Gia sử u vả v là hai nghiệm yeu của bai toán (1.1) - (1.4) Khi đó w =u - v thỏa man

bài toán sau:

w"+ Mw — B(Vu]?)Aw —[B(JVu |2) - B(JVv|Ï)]Av

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyển tính

Định lý 1.2.

Giả st ƒ(u.u,)=~ +Ì]u|*““u +] „| “+ |#|#| „|? “s,,

trong đó a, B.2 là các hằng số cho trước thỏa điều kiện sau:

Chú ý rằng f(u,u,) thỏa các giả thiết của định lý 1.1.

Sau đây ta xét số hạng phi tuyến f(u,u,) có dang f (u, u ;)=g(u) + |ưy|#~u „ trong đó B làhằng số dương Ta thiết lập các giả thiết về hàm số ø như sau:

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyễn tính

(iii) |g(u)|<C(1+|u|“), C là hằng số > 0, œ là hằng số tùy thuộc

(HE J)Với mỗi tập con bị chan M của HZ, tồn tại một hằng sé ky; > 0 sao cho

[s(u) - g(v)||< kụ [|Au — Av] với mọi u,v eM

Khi đó ta có:

Định lý 1.3

Giả sử (H;) — (Hy), (H’s) đúng, khi đó bai toán (1.1) — (1-4) với ƒ(u, uy) = g(0) +

|u,|#* tự, có ít nhất một nghiệm u thỏa mãn

1.4 Nới rộng bài toán ;

Trong phan nay, chúng tôi tong quát hoa bai toán (1.1) — (1.4) băng cách khảo sat bài

toán giá trị biện và điều kiện đầu sau:

Ur +A”u+A(u)+ f(u,u,)=F(x,t),x<@, O<t<T, (1.61)

Vẫn với phương pháp chứng minh tương tự cùng với sự điều chỉnh trong bước

đánh giá tiên nghiệm, chúng tôi thu được kết quả vẻ sự tồn tại và duy nhất nghiệm của

bài toán (1.61) - (1.66) đối với các điều kiện (1.6), (1.7) Kết quả nay tong quát hóa

tương đôi các kết quả tương ứng trong {1}, [14], [26] [36].

Ngoài các không gian hàm đã sử dụng, chúng ta xét thêm các không gian hàm sau đây và ký hiệu gọn lại như sau:

Wi? = W*?(Q), Wo? = Wj°(Q),

Ta thanh lap thém gia thiét vé p nhu sau

(H’)) p> | neu n= 1,2; I< pe néun > 3

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyễn tính

Định lý 1.4.

Gia sử (H'l,,.H;)-(CH,) là dting Khi đó bài toán (1.61) - (1.66) có it nhất

mot nghiêm u sao cho

trong đó cz„(t) thỏa hệ phương trình vi phan phi tuyến

(un(),wW;) + (Aum(Ð), Sw 5) + b(um (t), W ¡)

+Œ(ua(Đ,ua(),Wwj) =Œ@Œ),w,),L< jm, (1.69)

", lôu|”” âu av

với b(u,v) = B(|Vu | ,) 3 (2 a ax,

Um (0) = Uom> Ui, (0) = Uen (1.70)

trong dé

Upm ->uạ mạnh trong HỆ, (1.71) uy„ >uy mạnh trong L? (1.72)

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyển tính

Từ giả thiết của định lý, hệ (1,69),(1.70) có nghiệm u„(‡) trên khoảng (0, T).

Nhân mỗi phương trình trong (1.69) với 2c'„(1), sau đó lay tông theo j, ta được

—|u>~()|” +—||Au„(t == B(s)ds

+2(f(um(9,um(), um()) =2(F().um(0) (1.73)

Lay tích phân (1.73) theo biến thời gian từ 0 đến t, ta có

Sm() + 2{t f(u,,(S), Uj, (S)), u„ạ(S)}ds= S„(0)+ ai F(s), ut, (s))ds,

trong đó Mr la một hãng số chỉ phụ thuộc vào T.

Từ đánh giá (1.81), ta suy ra tồn tại một dãy con của {u„}.vẫn ký hiệu là {u,,}.

sao cho

t„ ->u trong L”(0,T;H2) yếu*, (1.82)

ui, >u’ trong L”(0,T;L?) yếu*, (1.83)

ui, => trong L*(0,T;LTM 23) vếu*, (1.84)

f(u„.,u„)—>x trong L”(0,T;L?) yếu* (1.85)

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyễn tinh

Chú ý rằng từ giả thiết (H4) ta suy ra Hộ G W!? G [min2PÌ với các

phép nhúng compact, từ đó ta sử dụng bổ đề về tính compact của J.L.Lions (xem [27], định lý 5.1, trang 58) Do đó, ta có thể suy từ (1.82), (1.84) rằng

tồn tại một dãy con của {u,,}, vẫn ký hiệu là {u,,}, sao cho

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyễn tính

TÍNH LIEN KET VỚI MỘT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHAN PHI

TUYẾN CHUA GIA TRI BIEN

2.1 Giới thiệu

Chúng tôi xét trong chương nay, bài toán sau đây: Tìm một cap ham (u,P) thoa mãn:

uy —U,, +f(u,u,)=0, xeO =(01), O<t<T, (2.1)

u, (0, t) = P(t), (2.2)

u(1,t)= 0, (2.3)

u(x,0)=ug(x) , u,(x,0)=u;¡(x), (2.4)

trong đó ua,u;.f là các ham cho trước thỏa mãn một số điều kiện ndo đó; ân ham u(x,t) và giá

trị biên chưa biết P(t) thỏa mãn phương trình tích phân phi tuyến sau day:

P(t) = g(Ð + H(u(0,t))— [k(t — s)u(0,s)ds, (2.5)

U)

trong đó g,H,k la các ham cho trước.

Bằng cách khử bớt một an ham P(t) trong bai toán (2.1) - (2.5) ta thu được bai toán biên

(2.1),(2.3),(2.4) và với điều kiện biên tại x = 0 như sau:

u, (0, t)=g(t) + H(u(0,t)) - fice ~s)u(0,s)ds (2.6)

0

Bài toán nêu trên có nhiều ý nghĩa về mặt cơ học như đã được dé cập đến trong chương mở

đầu.

Chương nay được chia thành hai phan, Trong phan 1, chúng tôi chứng minh định lý

tồn tại duy nhất nghiệm yêu cho bài toán (2.1) - (2.5) Việc chứng minh dựa vào phương

pháp Galerkin, kết hợp với các đánh giá tiên

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyển tính

nghiệm, các kỹ thuật về tính compact va sự hội tu yếu Khó khăn chính gặp phải trong bài

nay là điều kiện biên tai x = 0 Chúng ta chú ý rằng phương pháp tuyến tính hóa đã sử dụng

trong các bài báo [11], [20], [35] không ding được trong [3], [8], [10], [12], [13], [18], [19).

Trong phan 2 chúng tôi chứng minh tính on định của (u,P) đôi với các hàm g, H và k Các ket

qua thu được ở day đã tông quát hóa tương đôi các kết quả trong [1] [3] [8] [12], [13] [18].

[19], [27] và được công bỗ trong {4}.

Chứng minh bô dé 2.1 không phức tap va ta bỏ qua

Ta thành lập các giả thiết sau:

(Ai) uy €HÌ,u; el’;

(A;) g¢H'(0,T),VT>0;

(A,) keH!(0,T),VT>0 và k(0)=0.

Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyễn tính

(A;) Hàm số H € Cc ® vả tồn tai môt hằng số hạ > 0

H(x) = ƒH(s)ds >-hạ , VxeR;

0

Ham số fi: RẺ Rliên tục, {(0,0) = Ova có các điều kiện sau:

(ŒR) (f(u,v)-f(u,¥))(v-V)20 , Vu,v,VeR;

Tần tại hai hằng số a.{) 6 (0,1) và hai hàm số Bị, Bz : R, > R, liên tục sao cho:

(;) |f(,v)-f(u,Y)|< B,(|u|)|v-|*, Vu,v,ÿ eR;

Gia sử (A,) - (Ay ) và (F; ) - (F; ) đúng Khi đó, với mỗi T > 0, bài toán tôn tại

nghiệm (u,P)sao cho

ucL°(0,T;V) ;ử, € L°(0,T; L?) „#,(0,t)€12(0,T), (2.10)

PeH!(0,T) (2.11)

Hơn nữa, nếu B = 1 và các hàm H, B; thỏa mãn thêm điều kiện,

(A;) HeC?(R),H'(s)>-1, VseR,

(F,) B;(v|)e1?(Or ),Vve1?(Or),VT >0,

Khi đó, bai toán (2.1) — (2.5) có nghiệm (u, P) đuy nhất

Chương 2: Khảo sát phương trình song 4 tuyễn tinh

Chú thích 2.1

-Ket qua này mạnh hon ket qua thu được trong [18] That vậy, trong ứng với

cùng bài toán (2.1) — (2.5) với k(t) =0 và H(s) = hs, h > 0, trong [18]u còn gia thiết thêm:

Trong đó Cay{t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân phi tuyển sau đây

(uf, (9,wj)+a(u„(Đ,Wj)+Pm(Owj(0) +(f(u„(Ô,0„(Đ),w;) =0,

Vj,l<j<m, (2.15)

P„(t)=g(t) + H(u,, (0, t)) = [kq ~s)u,,(0,s)ds, (2.16)

0

Cô định T > 0, từ các gia thiết của định lý 2.1, hệ (2.15) - (2.17) có nghiệm (u „;

(t), P,, (0) trên một khoảng [0, T,, ], với 0 < Tạ < T nào đó Nhờ vào các đánh giá sau

đây ta có thé lay T„, = T với mọi m.

Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm.

Thay (2.16) vào (2.15), và nhân phương trình thứ j của hệ (2.15) với 2c „¡(© và

lây tông theo J, ta có:

S(t) + 2-5 (FG (0,8))] + 28()4 (0,1) ~ 2u, (0,1) [k(t = 3)u,,(0,5)ds

0

+2(f(um(,.um()),ua()) = 0, (2.18)

Trong do

Sa = Jui, (dl)? +a, colle (2.19)

Tích phan từng phan (2.18) theo biến thời gian từ 0 đến t, ta có

Sim (t) =~2Ñ(u„(0,t)) + 2(u¿„(0)) + S„ (0) + 2g(0)uạ„„ (0)