Hần bài tập nhóm 21 4 1 1 tính các tích phân dưới Đâ

Dịnh nghĩa và cách tính 2 loại tích phân suy rộng nếu hội tụ 2.. Phần bài tập của nhóm 21... Dùng tổng tích phân Reimamn trung tâm để tính diện tích hình vẽ Thể tích miền D quay quanh

a oe

DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHi MINH

TRUONG DAI HOC BACH KHOA KHOA KHOA HOC UNG DUNG

BAO CAO BAI TAP LON

GIẢI TÍCH 1

Nhóm: G T1 - HK231 - L08 - 21 Giảng viên hướng dẫn: 'Th§ Nguyễn Thị Xuân Anh

Nhóm sinh viên thực hiện:

Danh sách thành viên

STT | Ho Tén MSSV | Phân công công việc

1 | Trần Dại Dương | 2310608 | Chương 2

2 Nguyễn Huỳnh Hưng | 2311337 | Kiểm tra tổng hợp word

3 | Huynh Tan Khai | 2314051 | Soan LaTeX

4 | Nguyén Thi Yén | Nhi | 2312505 | Soan LaTeX

5 | Pham Minh Tuấn | 2313759 | Chương 1

6 Duong Kim Oanh | 2312558 | Powerpoint

Nội dung đề tài

1 Dịnh nghĩa và cách tính 2 loại tích phân suy rộng ( nếu hội tụ )

2 Bài tập ứng dụng

3 Phần bài tập của nhóm 21

Nhận xét của giảng viên hướng dẫn

Mục lục

11 Tính các tích phân dưới đây cv 4

1.2 Dịnh Lý cơ bản của giải tích l ee 8 1.3 Dinh ly co ban cha giải tích 2 cv ra ga va 11

14 Tổng Ñeimann ng gà và và va 14 1.5 Tính các tích phân suy rộng dưới đây co 16

16 Ứng dụng của tích phân ee 18

17 Phuong trinh viphaén 0 0 21 1.7.1 Tìm nghiệm tổng quát hoặc nghiệm riêng của các phương trình vi phân §au: cu gu gà kg kg Tà va 21

1.7.2 Dùng phương pháp khứ để giải các hệ phương trình sau: j1

2.2 Tài liệu tham khảo c c c c c ng c c Q vn gà v Q v v va 33

PHAN BAI TAP NHOM 21

dv = = €2?! dạ; eG 5°

1 2l1z — _— _—— 212 — _—— xa2l# 21z

= | ve dz = j#e mo ft e "dr = iz — a1Ê +¢C

2 mm

U=2 ( an = dz Dặt > 1

= | —~du= | —— = 5 | Gt cos? u 1 — sim” 2 l1 —sin1

—In|1— sinz| + In|1 + sin zÌ)

l1 +sin1

COS tí 21 tan u

1, — V212 ~ 212cos2 — 21? cos?u cos u

: ) d(sin w)

167960u!>+184756u7¢ — 167960u7?+ 12597074 — 77520u7° +38760u7> — 15504039 + 484507? —

——9/1—eœÍ 1—20 5 +190! = Y 1140! = } gas 7 Y" 15504! = )

(1 — ez)8 (1 — er)" q — œ*»)Š a — e719 q — e770

387608? Wy 7 17520-— 77529 TT + 125970 +1959702— ag EP ET 05 +) +e

1 | —dr

7 la *

du — du Dat u=e? +21 ef®=uw-—2l1 > edr=du => dr=—=

1.2 Định Lý cơ bản của giải tích 1

Su dung Dinh ly Newton-Leibniz:

Hp) = TỦ d —_— d | sinh(t) TT sinh(z2) — 2z sinh(z?)

P(x) = dnt) a | at dt ax? (2z) ax?

3 Tiép theo, thay x bang 1 — b dé tinh f’(1 —b):

fi(l—b) = 2(1 —b)sinh((1—6)?) _ 2sinh((1 — b)?)

-Dạo hàm 2 về của phương trình:

( | fede) = (2? arctan(212))! — ( [ = feet)

1.3 Định lý cơ bản của giải tích 2

2 ` Cho 2 ham f(x), g(x) lién tuc trén đoạn |b + 3° a] có đồ thị trong hình dưới đây Các

3 2 ` giới hạn bởi ƒ(z) hoặc g(z) với các đường thắng Ởz, x = b+ gọi 6 miền dương mang

giá trị dương, miền âm mang giá trị âm

- h'(x) =0 hoac khong tồn tại thì hàm đạt cực trị, ta so sánh các giá trị cực trị với nhau

và 2 gid tri bién dé tim GTLN - GTNN

h/(z) =Ũ© # — dị,# — dạ,# — da

- Từ định nghĩa tích phân ở câu 2, ta có:

12

1.4 Tổng Reimann

Cho miền D giới hạn bởi đường cong # —= f(x), Truc Or, Oy và đường thang x = a

trong hình vẽ dưới đây Chia đoạn [0, ø| thành 14 phần bằng nhan, độ dài các đoạn thắng đứng trong hình theo thứ tự từ trái qua phải là:

0.3846a; 0.4154a; 0.4312a; 0.4328a; 0.4218a; 0.40014; 0.37014;

0.3346a; 0.2965a; 0.2588a; 0.2246a; 0.1967a; 0.1779a; 0.1704a; 0.1761ø

A

y = f(x)

Trong các yêu cầu tính toán dưới đây đều bỏ qua đơn vị tính

1 Dùng tổng tích phân Reimamn trung tâm để tính diện tích hình vẽ

Thể tích miền D quay quanh trục Óz là:

V,= [Po dz, 4p dung tong tich phan Reimann phai ta cé:

0

V, = Aan ((o.a1540) + (0.4312a)? + (0.4328a)? + (0.4218)? + (0.40014)? + (0.3701)?

+(0.3346a)?+ (0.29654)? + (0.2588a)? + (0.2246a)? + (0.19674)? + (0.1779a)? + (0.1704a)? + (0.1761a)?

a Thay Ax = We 21 ta được

14

V, & 971, 38267

3 Ding tong tich phan Reimann trái để tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay

miền D quanh truc Oy

Giai:

Thé tich mién D quay quanh truc Oy IA:

Y= Penefo dx, 4p dung téng tich phan Reimann trai ta cé:

1.5 Tính các tích phân suy rộng dưới đây

Do dai đường cong (C):

Diện tích miền tròn xoay tạo ra khi quay C quanh true Oz:

e1 Đặt B là tích phân về phải, ta có:

dx

Ss / ““=I |z| + Ở

x Vậy từ A và B ta có 2 tích phân 2 về

3.0 + V22 + y?)dx — xdy =0,y(1) = 0

y= arctany —1+ Ce ®rcianz

24

Vậy nghiệm của phương trình là:

y= arcsin(z) —l+e- arcsin(x)

25

8 y” — ay! + (a? + 4)y — 5e" cos (2z)

Giai

- Thay a=21 vào phương trình trên,ta được:

y” — 42y' + 445y = 5e?!* cos (27) (*)

-Phương trình đặc trưng:

k? — 42k + 445 = 0

-Giải phương trình ta được:

k= 21 +22 = tụ, = Cie?! cos (2z) + Cye?!” sin (22)

-Dat f(x)=5e?!* cos (27) va dua f(x) vé dang c°#(-(œ) cos (8z) + D„(z) sin (8z))

= f(x) = e7!*(5 cos (2x) + Osin (2r)) > a= 21,8 =2

Goi: yr = e°#25(Q,(2)cos (82) + Q2) sản (82)

-Mì œ+ Ø — È nên suy ra s=— l

= y, — €?!#z(A cos (2z) + Bsin (2z))

y, =e, (2142 cos(2z)+21 Bz sin(2x)+cos(2x)—2Arsin(2r)+B sin(2x)+2Bx cos(20))

yl = 21.e7!* (2142 cos(2z:)+21Bz sin(2z)-+A cos(2z)—2Az sin(2z)+B sin(2z)+28+ ) +e?! (214 cosa(2z)—42 Az sin(2z)+21Bsin(2+)+42Bz cos(2+)T— 2A sin(2z) — 2.A sin(2z) — 4Az cos(2#) + 4B cos(2x) — 4z sin(2z)

Thay 7, ˆ, ?„ vào phương trình (*) và đồng nhất thức ta được

28

9 3 + bay’ + 6a?y = ze~*“*, (0) = (0) =1

+ Giải phương trình, ta được:

k— —42 hoặc k — —62 —> tụ — tu — Cte~??* + ae~03*

- Goi: y = x8 - e® - Q(n)

+ Vì œ = —21 không phải nghiệm của phương trình đặc trưng —> s =0

Nên:

yy = e-2!*(Ax + B) (**)

y' = —21e-7!*(Ax + B) + Ae~?!®

yl = 441e-7!*(Ax + B) — 21Ae~7!* — 21 Ae~?!*

+ Thế z7, , ; vào phương trình (*), ta được:

441e?!* (Ar + B) — 21Ae~?!* — 21Ae~?!” + 105 ( — 91e ?“(Az + B) + Ae”?") +

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

+ Thế y, yf, ; vào phương trình (*), ta được:

2A+42(2Az+~+ B) + 411(Az2+ Bx+ Ơ) = z?+2z

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

1.7.2 Dùng phương pháp khử để giải các hệ phương trình sau:

- Thay #⁄() vào phương trình (*), ta được:

y" (t) = 2y! — 4y + 4e! + 3y/ — e!

- Nghiệm thuần nhất phương trình (**) là:

Yin = Cye* + Ce!

- Nghiệm riêng có dạng:

yy, = ate

= 1 = ae! + ate!

=> y! = ae’ + ae! + ate! = 2ae" + tac

- Thay , #, 2 vào (*), ta được:

2ae! + ate" — B(œe" + ake") + 4(ate!) = 3e!

- Dồng nhất hệ số, ta có:

2a—9a—=ä3>a—_—]

=> Yiq = Cre™ + Coe! — te!

= Yq = 4Cre! + Coe! — te’ — e!

Từ phương trình 2x’ (f)thay yg, Nig vao ta dude:

Liq = yf — 3ụ + €'

Lig = AC e* + Coet — te! — et — 3(Cye** + Coe! — tet) + e!

Lig = Cre" — 2Cye! + 2tet

ải

2 an = 2r —Ty — e*

y (t) = 5x2 — 10y + 5e*

Giai

- Dạo hàm 2 về phương trình #/(£) ta được:

y” = 5a’ — 10y’ + 15e** (*)

- Nghiệm thuần nhất (cũng là nghiệm tổng quát) của phương trình vi phân (**) là:

Yn = Yiq = Cie + Che"

= Yq = —3Cie ”! — BŒse ”“ Từ phương trình z/Œ) thay g, ¿ vào ta được:

e Sau khi làm bài tập lớn, mọi người làm quen với nhau nhiều hơn

e Có thêm kinh nghiệm khi làm việc nhóm

e Biết phân chia công việc hợp lý và hoàn thành công việc đúng hạn

e Diết thêm nhiều hơn về kiến thức LaTeX, Word, Powerpoint,

e Biết giúp đỡ các bạn khác trong quá trình làm bài tập lớn cũng như trong học tâp

bộ môn Giải tích 1 cũng như các môn khác

2.2 Tài liệu tham khảo

1 Giáo trình Giải tích 1, Nguyễn Dình Huy, NXB Dại học Quốc Gia TP.HCM

2 Calculus Early Transcendentals, Howard Anton, 10th eddition

3 Geoffrey C Berresford, Andrew Mansfield Rockett - Applied Calculus, Fifth Edition -Cengage Learning (2008)

4 James Stewart-Calculus-Brooks-Cole (2012)

33