1. el” tan(y) `... dr = 2z d
Giải
-Phương trình có dạng tách biến, vì vậy ta phải đổi 2 về về dang f(x)dr = fly)dy e elt?, TT Tu = dy
ert tan(y) - Tich phan 2 về ta được:
foe Se-/| dy
e2z tan(y) - Dặt A là tích phân về trái:
san] ằ 2 2TH .
Ax fete 2 dra foe 5 dese fe dee fe. (z— 1) dx
-Dat t= x? — 27 => dt = (22 —-2)dr > s” (œ — 1)dz,: dt
dt 1 1 .
“Xs:<. = ——= c1†?)~2z + Ở
- Dặt B là tích phân về phải:
1 cos(y)
B= dy = d
3 = Peay fates
- Dat u = sin(y}) > du = cos(y) dy
= B= [ du 1 Hịn +C=In|sin(y)|+C tứ
Vậy từ A và B ta có 2 tích phân 2 về
1 ‘
nae ete’ 2 4 C —In|sin(y)|+C 5" et#=U” = In |sin(w)| + Ở 1
Vây nghiệm tổng quát của phương trình là
1 ‘
ma...
21
2. —e>+ a4 1
Giải -
-Phương trình có dạng đẳng cấp, vì vậy ta cần đặt u — 1
©=tuz *
ey=uvrt+u
= phương trình có dạng:
; du du dx.
wetu=e*tu+ls—r=e"4+1> = —
dz ev +1 L
Tích phần 2 về ta được:
/ du dx
= = | —
c#+] x
Đặt A là tích phân về trái, ta có wan | du
e#+ 1
- Datt =e” Su=|Int Ss du = — dt t dt 1 1
=4= [zp+p= | =reD*
® A=Inlf| — In |£ + 1| + £ =in|
t C THIÊN
e1
Đặt B là tích phân về phải, ta có:
Ss / ““=I |z| + Ở dx x
Vậy từ A và B ta có 2 tích phân 2 về
C=ln|z|+C=©l — In |z
ng n|z| + nl! In |z| + Œ
2# 21 2, 1
ô| € j= ete 4 Sn Os â _ ope —Œ
eu +] eu +] et +] et +1
=e"=———_—]
. 1—Œz
Ss u = MT Ty; =m(—E— —1)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
= #zÌn(——— — 1 + tIn(i—a, 1)
22
3.0 + V22 + y?)dx — xdy =0,y(1) = 0
Giai
Ta có 1
(y+ MPF Pde — ady = 0 (y+ Vos P)de = mây @ (y+ V32 +) = TẾ v
1 x 2
Ss(ytVJ/rty)=a2y ey - yo very (1)
Dat u— 2 = 1 — Uứ â t = tw + (2) x
Từ (1) và (2), ta có:
7+ (ua) ave —
wetu-—u= +———_ u'r = hv + we = VIE
a, Viawe @ du
—r= Us — = ——
dx x Vl+w
= In(|z|) + Π= In(|V1 + 2 + 1|)
= In(|z]) +C = inf ft + (Ủy +4)
= In + P+ L —Œ+ln(lz|)
% #
YoY C
> 1 +) +5 — —| = re ze" (3) Theo đề bài, ta có: (1) = 0(4) Thế (4) vào (3), ta được:
lj1+072+1|—e7slec=0
Vậy nghiệm của phương trình là:
—z© 1+(2?+”=+z Ụ
‡ q
1+ (2)? +2 =40
23
4. (1+ #2) + y = arctan s Giai:
Chia 2 về cho z2 + 1, ta được:
; y _ arctan ¢
U 2+1 ựP +1
° 1 dz
Dat T — ed m2+T — earctan £
1 arctan
Ta aco: y Ố: — — 7 (/ ——d+ 1, Pat + C )
1 fs arctan 7
sy -— —__. arctan x | dr +c Ụ carctan # (|< “72417 + 1 )
SY== Ú: arctan® . arctan x đ(aretan #) + c)
eare an 2
1 arctan 2
2Y>=saaw arctan x.d(e )+C
eare an 2
®U= nang (ctr#2"*. (aretan z — 1) +C)
= y =arctans —-1+ —__— C
eare an 2
Vậy nghiệm của phương trình là:
y= arctany —1+ Ce ®rcianz
24
5.V1— #2 + = arcsin(z), (0) = 0 Giải
Chia cả 2 về cho v1 — zŸ ta được:
eyt 1 1 - arcsin(:)
v1—z2 ue v1—+z2
Dặt 7 — oven” — c&rosin(z)
oyr — - (J eatesin(2) , 1 -aresin(x) dx + c)
earesin(x) V1 — x2
& y =e sesin@) (f eesin®) . aresin(x) d( aresin(x)) + C) Dat v — arcsin(z)
eSy=e” (ƒ co du + Ở) eSy=e” (f vd(e’) +C) eSy=e” (ve” — ferdv+C) Sy=e”- (ve? e+ COC) Sy=v-14+C-e”
Ta thé lai v = arcsin(x) vao phương trình ta được
= y =aresin(r) —1+C-e > #sn®) Ta có y(0) = 0
= 9(0) = aresin(0) — 1 + Ở: e~ ares(0) — (
€0=-14+C-&sC=1 Vậy nghiệm của phương trình là:
y= arcsin(z) —l+e- arcsin(x)
25
6. 3d + (1+ 32)sin(z)dz = 0, (5) —1
Giải
Ta c6: 3dy + (1 + 3y*)ysin(x)dr = 0 S oe + G + 3?) sin(z)dz = 0
—dy
„2
= -3đ£f+ |f+ 5 )sin(x) dr =0
& —3tdt + (8 + 3) sin(x)dr = 0 Dặt z = ? + 3 => dz = 3t?dt
©® —dz + zsin()d+ — 0 Dặt £— — = đt = 1
y
In|z| = — cos(z) + Ở
© In|f + 3| = — cos(z) + Œ
© In
pte = —cos(#) 1 + Ở Ta c6: 4 (5) ae T =1
=> |
" 13 2
=>C=l1n(4|
Vậy nghiệm của phương trình là:
+3]=—en (Z) +0
= In về +4 = —cos(x) 1 + In |4|
26
ry
+2 —#vw 7. +
ụ 1 Giải
- Phương trình có thể viết về dưới dạng:
/ ry —
mm wie
- Chia cả 2 về của ptvp cho vã ta được phương trình :
Ụ LE Lo
ự 1-22" =z)
1 /
: 27 yf
Dat 2(0) = + 2(n) = 2 22) = 4)
ye y2
-Thay (2) vào phương trình (1) ta được phương trình:
2z z+iTm?=# z—=#z©z'+————.z—=-~ ? #1)? 5 (3) -Gọi oi p(z) 0(#) = ————— 31— z2) %
=lX(x)= ƒ p()dz = 2(1 — 22) —.. ơ In|1 — 2x?| 4 -eKứ) —ứ-‡mlz=— L—
=zằ)‡
- Nhân cả 2 về của ptvp (3) cho eX#)ta được:
x 2(1 — x?)
=(z(x)eK@) = sent
-Nguyên hàm cả 2 về của phương trình trên ta được:
z(z)eFứ) — / 5 de
+, x 1
[jeew [Gaza >t
==2(x)= KG) — i — —3(1 —#)+ŒC(I—z7)+
(1 22)4
Vậy nghiệm của phương trình trên là:
ụ=z?= (-zu-z2+ea=z3))
27
8. y” — ay! + (a? + 4)y — 5e" cos (2z) Giai
- Thay a=21 vào phương trình trên,ta được:
y” — 42y' + 445y = 5e?!* cos (27) (*) -Phương trình đặc trưng:
k? — 42k + 445 = 0 -Giải phương trình ta được:
k= 21 +22 = tụ, = Cie?! cos (2z) + Cye?!” sin (22)
-Dat f(x)=5e?!* cos (27) va dua f(x) vé dang c°#(-(œ) cos (8z) + D„(z) sin (8z))
= f(x) = e7!*(5 cos (2x) + Osin (2r)) > a= 21,8 =2
Goi: yr = e°#25(Q,(2)cos (82) + Q2) sản (82)
-Mỡ œ+ ỉ — ẩ nờn suy ra s=— l
= y, — €?!#z(A cos (2z) + Bsin (2z))
y, =e, (2142 cos(2z)+21 Bz sin(2x)+cos(2x)—2Arsin(2r)+B sin(2x)+2Bx cos(20))
.— —
yl = 21.e7!*. (2142 cos(2z:)+21Bz sin(2z)-+A cos(2z)—2Az sin(2z)+B sin(2z)+28+ ) +e?! (214 cosa(2z)—42 Az sin(2z)+21Bsin(2+)+42Bz cos(2+)T— 2A sin(2z) — 2.A sin(2z) — 4Az cos(2#) + 4B cos(2x) — 4z sin(2z)
Thay 7, ˆ, ?„ vào phương trình (*) và đồng nhất thức ta được
4B=5 B=:
=> 4
—4A1=0 1A =0
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
tha — in + Ur
Yig = Cye?"* cos(2x) + Cye?!* sin(2xr) + €?!* - 1# sin(2) 5
28
9. 3 + bay’ + 6a?y = ze~*“*, (0) = (0) =1 Giải
- Thay ứ = 21 vào phương trỡnh trờn, ta được:
" + 105 + 2646 = re~?!* (x) - Phương trình đặc trưng:
k? + 105k + 2646 = 0 + Giải phương trình, ta được:
k— —42 hoặc k — —62 —> tụ — tu — Cte~??* + ae~03*
- Goi: y = x8 - e® - Q(n)
+ Vì œ = —21 không phải nghiệm của phương trình đặc trưng —> s =0 Nên:
yy = e-2!*(Ax + B) (**) y'. = —21e-7!*(Ax + B) + Ae~?!®
yl = 441e-7!*(Ax + B) — 21Ae~7!* — 21 Ae~?!*
+ Thế z7, , ; vào phương trình (*), ta được:
441e?!* (Ar + B) — 21Ae~?!* — 21Ae~?!” + 105 ( — 91e ?“(Az + B) + Ae”?") + 2646 (e-?!*(Ar + B)) = re?!*
(882Az + 882B + 63A)e~?! = „e-?
+ Dồng nhất thức 2 về, ta được:
( 1
882A — 1 => A= 535 882 1
882 + 63A — 0 Ba--
12348 + Thé A, B vao (**), ta được:
— a=2lz(_— „x„_— 1
ý... — ay3qQ)
Y = Yin + Yr
1 1
y= Cre + Coe 880 + cm — 15348)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
1 1
— C p42 C. 2—63 2—21# + — 1
— e7 + Các ĐT +e 25 = rang) )
1 1
/ — -42 2—42œ — 2—63 — 2] 2—2lz ——x+— 1 _ ằ— 21x
=1 Cle 63C ze € (se 1348) 380° (2)
+ Ta lại có y(0) = y'(0) = 1, thế y(0), y'(0) vào (1) và (2), ta được hệ phương trình:
12349
( _
Lan we - ta am
490, — 630, = 175 Cy = —2.0476
1764
Vậy nghiệm riêng của phương trình vi phân là:
1
y= 3.0477e~122 — 2.047667 8 + . — mạn)
29
10. + 2ứ/ + da? = z2 + 2z, (0) = 2,/(0) = —1 Giải
- Thay ứ = 21 vào phương trỡnh trờn, ta được:
+ 42 + 441 = x? + 2x (*) - Phuong trinh dac trung:
k? + 42k + 411 =0
+ Giải phương trình, ta được nghiệm kép:
k= —-21
= Yn = Cie?! + Chae2!
- Goi: y, = #8 - e®" - Q(n)
+ Vì œ = 0 không phải nghiệm của phương trình đặc trung => s = 0 Nên:
= Ar? + Br+C (**)
yi, = 2Ar+ B
Uy =2A
+ Thế y, yf, ; vào phương trình (*), ta được:
2A+42(2Az+~+ B) + 411(Az2+ Bx+ Ơ) = z?+2z 441Az? + (411B ~844)z +2A + 42B + 111 = z? ~ 2z
+ Dồng nhất thức 2 về, ta được:
(441A —1 l mm 441B+84A—2 =4{B—-
926) 2A+42B+441C =0 s 6
64827 + Thế A, B, € vào (**), ta được: