Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hydro

2 Việc đưa ra các toán tử này giúp cho Dirac xây dựng hàm sóng của dao động tử điểu hòa thông qua sự tác dụng của toán tử sinh hủy lên trạng thái chân không được định nghĩa bởi phương tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HO CHÍ MINH

LỜI CÁM ƠN

se

Lam luận văn tốt nghiệp là một trong những hình thức nghiên cứu khoa

học phổ biến nhất hiện nay trong các trường đại học Vì vậy được Ban Chủ

Nhiệm Khoa tạo điều kiện để tiếp cận với các phương pháp nghiên cứu khoahọc thật sự là một cơ hội lớn Em xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ Nhiệm

Khoa Vật Lý Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM.

Bên cạnh đó nếu không có Quý Thầy, Cô đã truyền đạt kiến thức trong suốt khóa học thì chắc chắn em cũng không thể hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh Cho phép em gửi lời cảm ơn đến tất cả Thầy, Cô nhà trường đã

truyền đạt kiến thức cho em

Em xin cảm ơn thầy Nguyễn Khắc Nhạp, thầy Đặng Chính Nghĩa đã cung

cấp cho em một số tài liệu về toán học và cơ lượng tử cần thiết

Đặc biệt em xin cảm ơn thầy Lê Văn Hoàng đã tận tình cung cấp kiến

thức và hướng dẫn suốt quá trình thực hiện để tài này.

Em xin cảm ơn thầy phản biện Nguyễn Khắc Nhạp đã tận tinh góp ý giúp

em hoàn chỉnh luận văn này.

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến hội đổng khoa học đã xét duyệt luận

văn.

Xin chúc sức khỏe quý thầy cô nhà trường

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Ngọc Ty

Il Lời giải bằng phương pháp toán tử l§

II Cơsở vật lý cho lời giải Dirac -22222-2ccs2zzz22ce2 23

CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TU

TRONG MIỄN NĂNG LƯỢNG LIÊN TỤC

QUA BÀI TOÁN THẾ NĂNG DANG U= ~502x? bu «-Š 28

1 TIẾN giải AME Ge iiss is c042 66000 2c206cibdxae 29

Il — Lời giải đại số bằng theo phương pháp toán tử 30

Phụ Lục 5: Hàm sóng trong miễn liên tục «5552 52

CHƯƠNG III: NGUYÊN TU HYDRO

TRONG MIỄN NĂNG LƯỢNG GIÁN DOAN 56

A Một số điểm cơ bản của lời giải giải tích S555 58

I Hàm riêng và trị riêng của toán tử Í„ -‹‹.‹.c<<se 61

II Hàm riêng và trị riêng của toán tử Ÿ2, 62

II Hàm sóng và năng lượng của nguyên tử hydro 63

Trang!

B Biểu diễn đại số của hàm sóng nguyên tử hydro

Ne 68

I Mối liên hệ giữa dao động tử diéu hòa

và nguyên tử hydro trong miền năng lượng gián đoạn 68

II Lời giải đại sỐ ccc+s=5SCCCEEEELEEEveeEEEEEEEEA112ecrrrErrrve 71

: Các phụ luc chương HI

Phụ Luc I: Chuyén từ toa độ vuông góc sang tọa độ cầu 77

Phụ Lục 2: Chứng minh các công thức toán tử -«< 81

Phụ Luc 3: Đa thức Legendre Hàm riêng của toán tử Í? 83

Phụ Lục 4: Chứng minh tính giao hoán của H và Ô

dạng của Ô theo biến số Ø s-ccccccee 86

Phụ Lục 5: Phép biến đổi Kuataanheimo - Stiefel.

Ma trận Pauli và các tính chất o. .« <- 89

Phụ Luc 6: Mối liên hệ giữa phương trình của dao động tử điều hòa

và phương trình của nguyên tử hydro - 92 Phụ Lục 7: Dạng không thứ nguyên của

phương trình nguyên tử hydro -«<c< <5 95

Phụ Luc 8: Biểu diễn toán tử H,Q theo các toán tử sinh hủy 97

Pi Teo! Bá0p0§B06f6ẬWfusauanuasguuauraagddgogauunnaw 99

Phụ Lục 10: Biểu diễn các toán tử L theo các toán tử sinh hủy 101 Phụ Lục 11: Biểu diễn hàm |/m) qua các toán tử sinh hủy 109

CHƯƠNG IV: NGUYEN TU HYDRO

TRONG MIEN NĂNG LƯỢNG LIÊN TỤC 114

(0:00:70: (0), -0000 ng vàn 115

B Biểu diễn đại số của hàm sóng trong miễn liên tục 117

I Mối quan hệ giữa bài toán nguyên tử hydro

và dao động tử điều hòa trong miền năng lượng liên tục 117

II Nghiêm 66106 ngoai tronogtenodinteinnetrarcsgsssgeiniagfesit 118

Paul A.M Dirac: Người mở đầu cho phương pháp toán tử 119 Kết Luận Và Hướng Phát Triển 2 SE gcvrre se 120

Tie Diên TRRNHKHỦỔcscccrtcto co rgpnctitccGtrogtrtii300051907 0900 eos SCI 121

Trang2

Luận Văn Tốt Nghiệ

MỞ ĐẦU

Khi xét bài toán đao động tử điều hòa, Dirac đã đưa ra khái niệm toán tử sinh

và toán tử hủy a, â” Hai toán tử này là sự tổ hợp của các toán tử toa độ và

xung lượng X,p, như sau:

a = ae me Oo? (la)

a+ `

a = ¬ạ are? (1b)

Từ hệ thức giao hoán giữa toán tử toa độ và xung lượng X.p, chúng ta dé

dàng chứng minh biểu thức giao hoán tử

-_ at

(a, a7] = 1 (2)

Việc đưa ra các toán tử này giúp cho Dirac xây dựng hàm sóng của dao động

tử điểu hòa thông qua sự tác dụng của toán tử sinh hủy lên trạng thái chân

không được định nghĩa bởi phương trình

ajo) =0 @)

và nghiệm của bài toán dao động tử diéu hòa được biểu diễn dưới dang sau:

lat

jn) “n6 )P|0) (4)

Lời giải Dirac khi clin có thể đưa vé dạng tường minh theo tọa độ x Tuy

nhiên, trong quá trình tính toán không cần biết rõ dạng tường minh mà chi

cần sử dụng tính toán đại số thông qua giao hoán tử (2) và phương trình (3)

Nghiệm được xây dựng như thế gọi là nghiệm đại số

Trong bài toán dao động tử điều hòa, các toán tử sinh hủy do Dirac đưa ra

biểu thị một sự sinh ra hay mất đi một lượng tử nào đó tương ứng với sự làm

tăng lên hay giảm đi một mức trạng thái của hệ Cụ thể :

ajn) = nịn-l)

â*|n) = (n+l)|n + 1).

Ví dụ cụ thể: khi lượng tử hóa dao động mạng, ta thu được phương trình dao

Trang 3

Luận Văn Tốt Nghiệ

động diéu hòa và khi đó toán tử 4, a” có tác dụng sinh ra hay hủy đi một

phonon, còn toán tử trung hòa ä”â là toán tử liên kết với số phonon trong hệ

äˆã|n) = n|n).

Trong đó trị riêng n là số phonon của hệ.

Hon nữa, trong lý thuyết trường, người ta chuyển từ phép biểu diễn toa độcho các hàm sóng W{§,,š, É,,,U) sang biểu diễn các số lấp đẩy

W(n,,n„ n„„tvới n;,n;, ny là số hạt có trong các trạng thái lượng tử

1, 2, N Khi đó sẽ thấy rõ các toán tử a và ả” khi tác dụng lên ham sóng

mô tả trạng thái sẽ làm cho số hạt ở một trạng thái nào đó tăng lên hay giảm

bớt một đơn vị.

ä,W(n,ns n,„ ) = vn,(n,,n›, n, —1, )

ä`W(n,,n; n,„ ) = Ja, +! ¥(n,n,, ,.0;+1, )

Chú ý là các toán tử sinh hủy lúc này là hình thức biểu diễn khác của các

toán tử sinh hủy do Dirac đưa ra

Ngày nay, với sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật đã cho ra đời ngày càng

nhiều thiết bị đo đạc chính xác ở cấp độ cao Do đó việc phát triển các

phương pháp tính tương ứng với thực nghiệm là một đòi hỏi cấp bách và có ý nghĩa quan trọng Hơn nữa, trong vật lý càng xuất hiện nhiều vấn để mới như

điện tử chuyển động trong từ trường có cường độ bất kỳ, quá trình ion hoá

phân tử với nhiều photon khi giải quyết sẽ đối mặt với số lượng các phéptính toán phức tạp và để sộ Vì vậy, việc sử dụng máy tính computer làm một

công cụ tính toán rất phù hợp và có thể giải quyết nhiều vấn để khó khăn vẻ

kỷ thuật tính Khi này phương pháp đại số đã thể hiện rõ ưu điểm của mình vì

các kết quả của phương pháp này đưa ra chỉ bao gồm các phép tính đại số

thông thường và đặc biệt là có thể tự động hoá được Người sử dụng có thể

tính toán và tìm lời giải với bất kỳ một ngôn ngữ lập trình trên các biểu

tượng nào như Matlab, Maple, Mathematica Đây là một trong những thuận

lợi to lớn cho các nhà vật lý.

Chính lời giải Dirac đã gợi ý cho việc hình thành một phương pháp đại số

thuần tốy cho các bài toán nguyên tử, Một trong những trường phái nghiên

cứu và phát triển phương pháp này là nhóm làm việc của LI Komarov tại

Berlarus Mục đích chính làm việc của nhóm là vận dụng phương pháp đại số vào việc tính toán cụ thể cho các bài toán vật lý nguyên tử Sự thành công và

Trang 4

Luận Văn Tốt Nghiệp

tính tiện ích của phương pháp này thể hiện qua một loạt các công trình

nghiên cứu {6 - 10]

Tuy nhiên, một vấn để nảy sinh có ý nghĩa cơ bản là: tại sao có thể dp dụng các toán tử sinh hủy Dirac để biểu diễn nghiệm của các bài toán vật lý

nguyên tử? Câu trả lời vừa rồi nằm gọn trong phép biến đổi

Kuataanheimo-Stiefel(KS.) Phép KS chuyển đổi từ không gian hai chiéu phức sang không

gian ba chiéu thực

Phép biến đổi này được viết như sau:

‘i = Boab

ý = argt, (0s¢s 2a)

Trong đó o,(A = 1, 2, 3) là các ma trận Pauli.

Qua phép biến đổi này, chúng ta sẽ xây dựng được mối liên hệ giữa bài toán

đao động tử với các bài toán tương tác trong trường Coulomb Đặc biệt,

nghiệm của bài toán nguyên tử hydro có thể được chọn từ nghiệm của bài toán dao động tử điểu hòa Diéu này đồng nghĩa với việc chúng ta có thể biểu diễn hàm sóng của nguyên tử hydro đưới dạng đại số thông qua các toán

tử sinh hủy Dirac.

Mục tiêu của luận văn này là:

- Tim hiểu phương pháp toán tử thông qua việc giải các bài toán cụ

thể là dao động tử điểu hòa, nguyên tử hydro Hoàn thiện các kỉ

năng tính toán dựa trên các toán tử sinh, huỷ.

- Xây dựng cơ sở và phát triển thêm phương pháp này cho các bài

toán có nghiệm trong miền năng lượng phân bố liên tục

Trong khuôn khổ của một luận văn tốt nghiệp đại học, khi giải các bài toán

cụ thể, tác giả cũng trình bày thêm những nét cơ bản của phương pháp giải tích cho các bài toán đó Mục đích chủ yếu của các lời giải giải tích là để

giúp người đọc dé dang kiểm chứng cho phương pháp toán tử

Giải theo phương pháp giải tích nghĩa là dm toán tử Hamilton (toán tử liên

kết với năng lượng) và áp dụng phương trình SchrÖdinger dừng để tìm lời giải Còn giải theo phương pháp toán tử cũng cần tìm toán tử Hamilton, biểu bién toán tử này qua tổ hợp các toán tử sinh-huỷ Dirac từ đó suy ra hàm sóng

thông qua hàm sóng ở trạng thái cơ bản (trạng thái vacum) Trong quá trình

giải theo phương pháp toán tử năng lượng có thể được tìm ra bằng các phần

tử ma trận hoặc theo cách thức khác nhưng đơn giản hơn.

Trang 5

Luận Văn Tốt Nghiệ

Theo tinh thần đó, trong luận văn này, tác giả giải quyết một số vấn dé cụ thể sau đây:

- Bài toán đao động tử điều hòa: Đây là bài toán quen thuộc nhưng quan trọng trong vật lý học Bài toán dao động tử điều hòa là một trong số rất ít

các bài toán có nghiệm chính xác trong cơ học lượng tử Trong luận văn này

bài toán dao động tử điểu hòa được đưa ra như một áp dụng cụ thể của

phương pháp toán tử trong mién năng lương gián đoạn Đây cũng chính là

một công cụ rất quan trọng để giải hai bài toán tiếp theo vì chúng liên quan

với nhau một cách chặt chẽ.

Tuy nhiên khi giải bài toán này theo phương pháp toán tử, Dirac đã đưa

ra một nghiệm vừa bảo đảm tính toán học vừa thỏa mãn tính vật lý.

Nhưng trong quá trình giải lại không thấy Dirac biện luận cho tính vật lý khi

nào Phải chăng các toán tử do Dirac đưa ra đã bao hàm tính vật lý trong nó?Hay tính vật lý của lời giải còn ẩn chứa nhưng tác giả lại chưa nhận ra nên

trong quá trình giải đã bỏ qua Vì vậy trong chương này tác giả cũng sẽ đi tìm

cơ sở để biện luận cho lời giải của Dirac.

- Bài toán hạt chuyển động trong trường thế có dạng U= -guà còn gọi

Bài toán có thế 'ngược Bài toán này trước đây chưa được quan tâm đúng

mức của nó vì chưa có những áp dụng cho những mô hình vật lý cụ thể Tuy

nhiên tác giả giải bài toán này với mục đích chứng minh phương phip toán

tử vẫn si đụng được trong cả miễn năng lương liên tục Đồng thời cũng là cơ

sở để xây đựng lời giải cho bài toán nguyên tử hydro có năng lượng trong

vùng phân bố liên tục Bởi vì khi giải bài toán hydro theo phương pháp toán

tử, phải sử dụng mối liên hệ giữa nguyên tử hydro va dao động tử diéu hòa.

Mối liên hệ giữa hai bài toán này trước đây đã được nghiên cứu nhưng chỉ

dừng lại trong miễn năng lượng gián đoạn Khi mối quan hệ này mở rộng ra

ta sẽ thấy nghiệm bài toán hydro trong miễn năng lượng liên tục có thể được

chọn từ nghiệm của bài toán thế ngược này.

Trong quá trình giải theo phương pháp toán tử phải sử dụng một số kiến thức về toán học chưa được để cập trong chương trình toán học cho sinh viên

như phương pháp tiếp nối giải tích Phương pháp này cho phép ta chuyển một

dao động điều hòa có tin số w sang một đao động diéu hòa khác có tin số

w’ (Trong bài này ta chuyển dao động có tin số w sang dao động có tin số iw) Để tránh gây khó hiểu cho người đọc, khi sit dụng các công cụ mới này

tác giả cố gắng trình bày chí tiết và các phép chuyển đổi cụ thể sẽ được trình

bày trong các phụ lục theo sau.

Trang 6

Luận Văn Tốt Nghié

Bài toán nguyên tử Hydro : Bài toán nguyên tử hydro là bài toán cơ bản trong cơ học lượng tử.

Đây cũng chính là một bài toán có thể giải chính xác bằng phương pháp

giải tích Vì vậy bài toán nguyên tử hydro là một “mẫu” cho các công trình

khác kiểm tra tính đúng đấn của mình khi muốn áp dụng các phương pháp

khác Hơn nữa nghiệm của bài toán hydro là một bộ nghiệm cơ sở, nghiệm

của nhiều bài toán khác có thể biểu diễn qua nghiệm này vì vậy bài toán này

được đánh giá có tim quan trọng rất lớn Nghiệm của bài toán này trong luận

văn được xây dựng trong cả hai miễn năng lượng: gián đoạn và liên tục Bài toán này cũng chính là vận đụng phương pháp toán tử trong một bài toán vật

lý cụ thể có thể kiểm tra bằng thực nghiệm Vì vậy, kết quả của bài toán khi giải bằng phương pháp toán tử có vai trò quan trọng: vừa khẳng định tính

đúng din của phương pháp vừa là cơ sở cho các tinh sau này về các đặc tính

của nguyên tử.

Tuy nhiên khi giải bài toán hydro bằng phương pháp toán tử, xuất

hiện một vấn để khó khăn là: thế năng của hydro có dạng-1/r Do đó khi vận

dụng phương pháp toán tử các toán tử sẽ xuất hiện dưới mẫu số Để khắc phục khó khăn này phải nhờ vào phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel (KS)

để thấy được mối quan hệ giữa bài toán nguyên tử hydro và bài toán dao

động tử điều hòa Vì vậy trong chương này, đầu tiên phải nghiên cứu mối liên

hệ giữa bài toán nguyên tử hydro và bài toán đao động tử điểu hòa.

Mối liên hệ giữa dao động từ điều hòa và nguyên tử Hydro: Nghiên

cứu mối liên hệ này là một bước trung gian để xây dựng hàm sóng của nguyên tử hydro Tuy nhiên trong quá trình xây dựng mới thấy rõ tầm quan

trọng của sự liên hệ này Mối liên hệ này đã được nghiên cứu từ lâu nhưng

cũng chỉ dừng lại trong miễn năng lượng gián đoạn Khi nghiên cứu mới thấy

được, trong vùng năng lượng gián đoạn nghiệm của bài toán hydro có thể

được chọn từ nghiệm của bài toán đao động tử diéu hòa Trong khi đó khi

năng lượng thuộc miễn năng lượng liên tục nghiệm của bài toán có thể được

chọn từ nghiệm của bài toán thế " ngược” đã được giải trong chương hai

Khi đã xây dựng được mối liên hệ giữa hai bài toán nói trên, nghiệm của

bài toán nguyên tử hydro sẽ được chọn từ nghiệm của dao động tử điều hòa.

Vì vậy, giải theo phương pháp toán tử cho nguyên tử hydro chính là xây dựng

hàm sóng của nguyên tử hydro qua biểu diễn bởi các toán tử sinh hủy Dirac.

Khi đó nghiệm của bài toán nguyên tử hydro có thể biểu diễn qua các toán tử

sinh hủy như sau:

Trang 7

Luận Văn Tốt Nghiệ

! +\n—l

Ha} PPEIITTPEEIIMEG Pm|9) tê

Trong đó Dy», là thành phan phụ thuộc vào hai số lượng tử I,m của hydro.

Tương tự, khi xây dung hàm sóng cho nguyên tử hydro trong miễn năng lượng

liên tục, phép biểu diễn cũng hoàn toàn giống như (5) Chỉ duy nhất một

diéu là khi đó số lượng tử n không phải là số nguyên mà phụ thuộc vào năng

lượng E Khi đó đựa vào mối liên hệ được mở rộng cho miễn năng lượng liên

tục, ta xây dựng được:

iZ

-1-f

|Eim)= Cg(M*)°F _ pm)

Như vậy hai bài toán dao động tử điều hòa và bài toán thế ngược được đưa ra

như một công cụ cần thiết cho việc giải bài toán sau cùng là bài toán nguyên

tử hydro.

Hai bài toán quen thuộc là dao động tử điều hòa và nguyên tử hydro đã

được đa số các sách cơ học lượng tử giải khá chỉ tiết theo phương pháp giải tích Do đó tác giả chỉ xin trình bày lai một cách vấn tất và hệ thống lại cho

dễ hiểu Một vài chỗ các sách còn hạn chế lướt qua dễ gây nhầm lẫn hoặc khó hiểu cho người đọc tác giả cố gắng trình bày chỉ tiết Các vấn để này sẽ

được nêu ra đầu chương cho người đọc dễ theo dõi

Trong luận văn đa số các chương đều có một số kiến thức về toán học được vận dụng nhưng có thể chưa được giảng đạy trong chương trình ở nhà

trường Đa số các kiến thức toán học là các hàm đặc biệt (hàm siêu bội suy

biến, hàm Hermiue, hàm Laguerre, hàm Gamma ), các phép biến đổi về

các toán tử bạn đọc có thé làm theo hướng dẫn hoặc có thể chấp nhận khi

đọc để thấy hướng tư duy logic của vấn để, Vì vậy để cho người đọc dễ theo

đõi nhưng không gặp khó khăn về các công cụ toán học này, tắc giả xin trình

bày các kiến thức toán học này trong các phần phụ lục theo sau mỗi chương.

Hơn nữa, để tiết kiệm công sức và bảo đảm tính chính xác trong các phép

toán có trong luận văn, đôi khi tác giả cũng sử dụng ngôn ngữ tin học để vận

dụng giải quyết các vấn để về toán học Ngôn ngữ tin hoc đó là ngôn ngữ lập

Trang 8

Luận Văn Tốt Nghiệ

trình Mathematica 5.0, Day là phần mềm ứng dụng rất tiện ích và đang được

ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khoa học nói chung và vật lý học nói riêng

Phương pháp toán tử vẫn là để tài ‘md’, hướng phát triển để tài còn nhiều Tuy nhiên trong khuôn khổ luận van tác giả chỉ xin trình bày các bài toán như

trên đã nêu như một lời giới thiệu đến người đọc vé một phương pháp khác, một công cụ khác để giải các bài toán trong cơ học lượng tử Hi vọng trong

tương lai đội ngũ nghiên cứu vé phương pháp này sẽ mạnh mẽ hơn để có thể

thực hiện nhiều để tài qui mô hơn nữa.

Trang 9

Dao Động Tử Điều Hòa

Chương I

BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TU DIEU HOA

Bài toán dao động tử điều hòa là bài toán quan trọng và thường gặp trong vật lý Các dao động nhỏ của nguyên tử trong phân tử là thí dụ vé dao động của

một vi hạt quanh vị trí cân bằng Chuyển động nhiệt của tính thể cũng có thểbiểu diễn dưới dang tập hợp của các dao động diéu hòa tuyến tính Đó là một ví

dụ rất quan trọng trong lý thuyết vật rắn Khi lượng tử hóa trường điện từ, ta

cũng có thể biểu điễn trường đưới dạng tập hợp của các dao động tử độc lập

Bài toán dao động tử diéu hòa đã được để cập trong đa số các sách cơ học

lượng tử cũng như trong tất cả các giáo trình cho sinh viên chuyên ngành vật lý.

Có thể nói đây là bài toán hàm riêng -ưj riêng cơ bản mà bất cứ sinh viên nào

học qua cơ lượng tử cũng đã một lin giải qua Tuy nhiên, theo nhận xét trong tất

cả các giáo trình hiện tại vẫn còn vài chỗ gây khó hiểu cho người đọc:

- Một là: Khí giải phương trình tìm ra đa thức Hermitte, đa số các sách đều

giải bằng cách đặt chuỗi trong đó chỉ số chạy từ giá trị 0 đến + œ Sau đó

hệ thức truy toán cho phép xác định các hệ số với các chỉ số chạy cáchnhau hai đơn vị (a; và a¿.;) Cuối cùng các sách hoặc giáo trình đưa ra hai

da thức với số mũ chấn hoặc lẽ gọi là đa thức Hermeitte Lý luận về vấn

để này các sách déu không để cập, tuy các chỉ số cách nhau hai đơn vị

nhưng chuỗi số vẫn có thể chạy với số chỉ biến đổi một cách đều và cách

nhau | đơn vị.

- Hai là: Khi giải bằng phương phấp toán tử, Dirac đã đưa ra hai toán tử

sinh và hủy Sau đó giải ra nghiệm của phương trình vừa phù hợp với điều

kiện toán học vừa thoả mãn tính chất vật lý Nhưng trong quá trtinh giải

lại không thấy tác giả biện luận tính chất vật lý cho lời giải Phải chăng

tính chất vật lý đã thể hiện trong các toán tử?

Trong chương này chúng ta chỉ xét đao động tử điểu hòa một chiéu, việc

mở rộng bài toán sang dao động tử hai hay ba chiểu không gian được thực hiện

bằng phương pháp phân ly biến số.

Trang10

Dao Động Tử Điều Hòa

Gọi U(x) là thế nang của một hạt có giá trị cực tiểu tại x = 0, Khi đó ta khai triển

U(x) theo kiểu Taylor quanh điểm x = 0

U(x) = Ÿ ERG) x" = U(0) + ba x+ OU x? + n-on! Ox ox x«0 a)

Nếu chi xét các dao động nhỏ quanh vị tri clin bằng thì ta chỉ lấy đến gắn đúng

bậc hai.

Vì U(x) đạt giá trị cực tiểu tại x = 0 nên XI =0

OX |x

Chon gốc thé năng tai x = 0 thì U(0) = 0.

Như vậy, ta có thể viết lại: U(x) = ok? = 3ụ W gŠx?

Vì (x) chỉ phụ thuộc vào một biến số x nên ta thay đạo hàm riêng phần Ñ

bằng dao hàm toàn phin = :

Dao Động Tử Điều Hòa

Dé việc giải phương trình (1.1) được đơn giản ta đổi sang biển số mới khỏng thứ

Với £= & là năng lượng của đao động tử trong không gian không thứ nguyễn.

Để giải chính xác phương trình (13), trước hết ta tìm nghiệm tiệm cận, tức là nghiệm khi £ tiến ra vô cực Khi đó &? >>2e , vì vậy trong phương trình (L3) số

hạng 2£ có thể được bỏ qua Ta được phương trình khi £—»œ:

Vì WE) = e 2” ->»œ khi £0 nên không thoả mãn tinh chất hữu hạn vật lý.

Như vậy nghiệm tiệm cận khi £—»o có thể chấp nhận được là W6) = ot

Bây giờ ta đi tìm nghiệm của phương trình (1.3)(nghiém đúng với mọi £).

bảo cho W(£) có dạng ¢ 2” khi Ẹ—ø.

Tính đạo ham bậc hai của W(£) rồi thay vào phương trình (1.3).

_ Điều này dim

Trang!2

Dao Động Tử Điều Hòa

Ta thu được

H”()- 2EH(E) + (2£- DHE) = 0 (L5)

Dé giải phương trình (1.5) ta đối sang biến số mới bằng cách đặt y =£°.Ta thu

được phương trình theo biến y như sau:

yHW) + G ~ y) Hy) * G- ~) Hữ) = 0 (1.6)

Dat a= ; -4

Phương trình có nghiệm lả: H(y) = AF(a, > y) + By! R(a + 2, 5, y)

Trong đó ky hiệu F; (a, c, y) là hàm siêu bội suy biến theo biến y.

(Xem phụ luc | hàm siêu bội suy biến)

Ta viết lại các hàm nảy theo biến số & :

l 13

H(é) = AR,(a, sứ) + B£R(a+z, š.€?)

Như vậy nghiệm nay gồm hai phần chin và lẻ đối với biến &,

Cả hai hàm này đều dẫn tới cô cực nhanh như hàm cỗ” Do đó hàm này chưa thoả

mãn điều kiện ban đầu bài toán đặt ra Để thoả mãn điểu kiện H(€) tiến vé vô cực

2

chậm hơn e?” thì phải ngất chuỗi ở một số hạng nào đó Có hai khả năng có thé

xảy ra;

Tea WSL; 6001 Bing về coi điện 490 EM Ob a “a”

phải là một sô nguyên âm hoặc bang không

Đạo Động Tử Điều Hòa

® Trường hợp 2: Chuỗi chẵn bằng không vả chuỗi lẻ bị chặn Khi đó hệ số a+1/2 phải bằng một số nguyên âm hoặc bằng không

Các đa thức có được trong các hàm sóng chin va lẻ gọi là các da thức Hermite,

được định nghĩa như sau:

Hing số C„ được xác định dựa vào điều kiện chuẩn hóa Sau khi chuẩn hóa ta thu

được: Cạ = se"2"nlxuvx

(Xem (1), (2], (3), [12], [13))

Tóm lại: Hàm sóng mô tả các trạng thái đừng của đao động tử điểu hòa một chiều

l h

Wn(x) = bom, Ủ ho HC) VOIX, = ~

Dao Động Tử Điều Hòa

Từ hai công thức (1.7a) vả (1.7b) ta có công thức tính năng lượng của dao đông tử

điều hòa:

E = o,ạ(n +) n = 0,),2,3,

Từ đây ta thấy rằng năng lượng của dao động tử điều hòa chi có thé nhận những giá

trị gián đoạn và các mức năng lượng được sắp xếp cách nhau những khoảng bằng

nhau ha, Mức năng lượng ứng với giá trị n = 0 được gọi là mức năng lượng

“khong” Ea Sự tồn tại của mức “năng lượng không "" phủ hợp với hệ thức bắt định

Heisenberg Điều nay đã được chứng minh trong [11].

Il Lời giải bằng phương pháp toán tử

Trong những trường hợp tổng quát và _ thuận tiện cho các bài toán sau này ta

có thể thêm seas “2i A(é) như sau:

fe= -4 Ty +3 we?

Trong đó œ lả một tham số không có thứ nguyên (phân biệt œ với @ là tần số góc

của dao động tử điều hòa theo ly thuyết cé điện).

Khi giải ra kết quả ta cho w = 1 là nghiệm của bài toán dao động tử điều hòa,

Để tìm ane trong wine hợp này ta đưa vào hai toán tử mới:

Dễ nghiệm thấy rằng â và â” không phải là toán tử tự liên hợp Hermite.,

chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán (a F a*| = ].

TranglS

Dao Động Tử Điều Hòa

Thực vậy: cả , a7] = aa" - 478

n d d d d

[á.â*] Es: tạ] om Se-ed =

Suy ra: [â ả”]=l (L8)

Để biểu diễn toán tử Ế qua toán tử â và a* ta tính hai biến tác theo â và

Vì hằng số a là tùy ý, nên ta chọn a sao cho A có dang đơn giản nhất Ta chọn

a= Khi đó ta có toán tử Hamilton như sau:

(â*?+â?)

Ho = 5( aa + aa)

Sử dụng hệ thức giao hoán (1.8) ta viết được:

Trangl6

Dao Động Tử Điều Hòa

) (L9a)

i o(8â+ 5) (L9b)

Khi này ta có thể viết lạiphương trình hàm riêng trong trường hợp này:

¢Ta chứng minh khi tác động lên hàm ¥ của dao động tử diéu hòa, toán tử ả

biến hàm *n => VY):

Tác động toán tử A (lấy từ (1.9a)) lên hàm ẩn

Ñ(âW,) = œ(ã'-2)8Wạ = œâ(â*ả +2 -DY,l

2

= a(H-o)¥, = a s- @}ạ

= (e€-)a¥,

Kết quả trên chứng tỏ hàm âŸ, là hàm riêng VY, của dao động tử diéu hòa ứng

với trị riêng là(£- ©) Đánh số các trạng thái của đao động tử điểu hòa theo chiểu

tăng của năng lượng và giả thiết giữa hai mức năng lượng n và m không có mức

Như vậy khi â tác động lên hàm W, như thé giảm năng lượng của dao động tử

điểu hòa đi một lượng A W gu) â được goi là toán tử huỷ

« Tương tự ta chứng minh khi tác động lên hàm của dao động tử điều hòa,

toán tử â” biến ham, > Ÿ„ :

Tác động toán tử Ñ (lấy từ (1.9b)) lên hàm â*„:

Trang?

Dao Động Tử Điều Hòa

Haty,) = œ(8*â+ Ì)â*#, = @a*( ai" -5 +1)%_

= a*(H+o)¥, = (Ec+o)â*Wạ

Kết quả chứng tỏ ham a", cũng là hàm riêng ¥_, của dao động tử diéu hòa

ứng với trị riêng (E+ se) Tương tự ta có thể dit: m` = n+]

Suy ra;

ar, = Ca ng (11)

Ey = En U)

Hay Ey, = E, +h WoW

Như vậy khi â” tác động lên hàm ¥,, như thể làm tăng năng lượng của dao

động tử lên một lượng fw Vì vậy ã” được gọi là toán tử sinh.

« Năng lượng của dao động tử diéu hòa

Vì tính trực giao của các hàm sóng nên các phẩn tử H„„ đều bằng không khi

m #n.

Ta tính các phẩn tử chéo của H:

Hạn “ o( tara +a}

= o(a|š" (â#ạ)) tao (#a|Wa)

* (a, |âWa) tạo

= o | BY 4£++ø an 2 Như vậy: tạ = Hạn = @ | [ital +50 (1.12)

Từ công thức (1.12) ta thấy năng lượng của hạt khi có tham số u không thể nhỏ

hơn hang Trạng thái ứng với mức năng lượng shoo là trạng thái thấp nhất,

Trang18

Dao Động Tử Điều Hòa

các trạng thái ứng với năng lượng thấp hơn không tổn tại Gọi trạng thái thấp

nhất là trạng thái “không” Khi đó: a¥, = 0

Thay n=0 vào công thức (1.12) suy rat, = z0 tức là E, = Thay.

Vi khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau bằng fh W pW nên

tạ = (n+ =o (1.13)

E, = (n+ 4 )ho„@

Cho @ = 1 ta có năng lượng của đao động tử điểu hòa:

Eạ = (a + hoy a=

0,1,2,-Như vậy, năng lượng của dao động tử điểu hòa không thể nhỏ hom ha.

Dựa vào hai biểu thức (1.10) và (1.11) ta có thể biểu diễn hàm sóng của dao

động tử điểu hòa theo các toán tử sinh, hủy và trạng thái có năng lượng thấp

nhất (trạng thái chân không hay trạng thái vacum) Vì vậy để biểu diễn tường

minh hàm sóng theo các yếu tố này, ta tìm các hệ số trong các biểu thức (I.10)

Giả thiết hàm \W„, đã được chuẩn hóa về don vị ta thu được: |C,| = Vn.

Do thừa số pha tuỳ ý nên ta cho C, = Vn.

Dao Động Tử Điều Hòa

Tương tự ta tính C„.; bằng cách tính €, với toán tử A lấy từ (1.9a)

* Biểu diễn hàm sóng của dao động tử diéu hdaY,, qua toán tử â“

Từ biểu thức âạ = 0 ta thay dang tường minh của toán tử â vào ta thu được

hàm sóng *#, (khi này ta có œ = 1)

Với i = \ees+

Trang20

Dao Động Tử Điều Hòa

Dao Đông Tử Điều Hòa

Năng lượng ở trạng thái nà y là:

EE = (i> i \hiy n = 0,1,2,3

Như vậy bài toán giải theo hai phương phương pháp đều cho ra kết quả nănglượng Tuy nhiên công thức vé ham sóng theo phương pháp toán tử đưa ra sẽ

thuận tiện hơn rất nhiều: khí cẩn tính bất cứ trạng thái nào chỉ cẩn lấy toán tử

sinh tác dụng lên hàm chân không một số bằng số thứ tự của trạng thái đó Điều

này rất thuận tiện trong tình hình khoa học hiện nay nếu ta biết sử dụng công cụ

máy tính để lập trình, khi đó trong tích tắc máy tính có thể “tác dung” một số lần

như ý muốn với mức độ chính xác rất cao

Để tổng kết phần này ta nêu ra một số công thức sau:

Tác động toán tử a(a*)" lên hàm sóng |0) ta có:

â(â*)"|0) = valâ|n) = Jnva!|n-1)

Trang22

Dao Động Tử Điều Hòa

I Cơ sé vật lý cho lời giải Dirac

Khi giải bài toán dao đông tử điều hòa bằng phương pháp toán tử, đa số

tài liệu bây giờ đều ít để cập đến tính vật lý trong quá trình giải nhưng kết quả cho ra lại phù hợp với cả hai yếu tố: toán học và ý nghĩa vật lý Phải chăng ý

nghĩa vật lý của lới giải bao hàm trong các toán tử mà Dirac đã đưa ra?

Thật ra, trong các toán tử Dirac đưa ra chưa bao hàm một ý nghĩa vật lý nào.

Một trong những cơ sở vật lý của lời giải là xuất phát từ định nghĩa “trang thái

không "(vacum) Khi giải bài toán này Dirac đưa ra hai toán tử â và 4* và định

nghĩa "trạng thái không” như sau: ả|0) = 0

và cho ra đang tường minh của trạng thái không như đã trình bày:

Tuy nhiên với cách định nghĩa này 'fọ đã không thoả mãn điều kiện vật lý để ra

là: khi E+ thì 'q¿->œ Như vậy cách định nghĩa “trạng thái không” của

Dirac đưa ra là phù hợp với yêu cầu bài toán

© Cơ sở vật lý thứ hai của lời giải bài toán là: toán tử a* có thể tác động lên hàm

sóng của “trạng thái không” y lần với 7 là một số thực bất kỳ không?

Trong quá trình giải bài toán và cho ra kết quả, các toán tử chỉ có thể tác động

lên các hàm một số nguyên đương lần Nếu ta tìm cách định nghĩa cho các toán

tử này có thể tác động lên các hàm một số thực lần thì liệu theo cách định nghĩa

mới này nghiệm có thỏa mãn cdc điều kiện bài toán đặt ra?

Từ định nghĩa hàm Gamma ta có thể viết:

Trang23

Dao Động Tử Điều Hòa

Trongđó (â*)Ÿ đã được định nghĩa là toán tử a* tác dụng lên một ham nào

đó k lần với k nguyên Như vậy vế phải là một hình thức định nghĩa hợp lý

Từ công thức định nghĩa ta có thể chứng minh tính chất sau cho ' â* ' giống như

Trang24

Dao Động Tử Điều Hòa

ãâ*)'|0)= TOAD > + ft MAD 19)2mi Sok! ra

Ap dụng tính chất sau â(â')"|0) = n(â)"-H0Q)

Như vậy với cách định nghĩa này ta thấy trong trường hợp y là một số thực bất kỳ

vẫn có các tính chất giống như chỉ số trạng thái 'n".

Trang25

Dao Động Tử Điều Hòa

Tương tư cho trạng thái thứ ‘n’ được biểu điển qua toán tử ' â' ', vì có sự tương

tự giữa phép tỉnh giai thừa và hàm Gamma nên ta định nghĩa trạng thái thứ y như

Vì toán tử Hamilton của dao động tử điểu hòa chỉ bao gồm toán tử trung hoà

â*ã hoặc ââ” nên để chứng minh hàm sóng dưới dạng vừa định nghĩa lànghiệm của phương trình SchrÕdinger, ta tác động toán tử 'â*â hoặc äâ” lênhàm sóng đó Nếu sau khi tác dụng kết quả hàm với giá trị y có kết quả giống

như với giá trị “n” nguyên thì ta có thể kết luận hàm này là nghiệm của phương

trình Schrédinger Ta chọn toán tử Hamilton chứa toán tử a°a tác dụng lên hàm sóng mô tả trạng thái y

Như vậy hàm sóng |y) cũng là nghiệm của phương trình Schrdinger cho dao

động tử diéu hòa một chiều

â*â|y) â*â(â* )T |0)

Tuy nhiên, cách định nghĩa hàm |y) như trên với y biến thiên liên tục sẽ tươngứng với các nghiệm chứa hàm siêu bội suy biến đã trình bày trong phẩn nghiệm

giải tích Hay nói cách khác hàm |y) chỉ thoả mãn mặt toán học toán học chứ

chưa thỏa mãn tính vật lý Nhưng theo phương pháp giải tích ta thấy năng lượngcủa dao động tử biến đổi một cách gián đoạn hay các hàm sóng chỉ nhận các chỉ

Trang26

Dao Động Tử Điều Hòa

số một cách gián đoạn (các chỉ số nguyên) Do đó để |y) thỏa mãn tính vật lýcủa bài toán, chỉ số y chỉ có thể nhận những giá trị nguyên Khi đó lời giải này

hoán toán trùng với lời giải của Dirac.

Từ đây xuất hiện một câu hỏi: phải chang với cách định nghĩa hàm |{y) trong bài

toán dao động tử điểu hòa có thể bỏ qua do có năng lượng giấn đoạn, còn với

các bài toán có sự phân bố nang lượng liên tục thì nghiệm biểu diễn đưới dang

này có thoả mãn tính vật lý? Các toán tử sinh hủy Dirac có thể biểu diễn

nghiệm của bài toán có năng lượng phân bố liên tục? Câu trả lời sẽ được trình bày trong nội dung củ chướng tiếp theo: xây dựng phương pháp toán tử cho hàm

sóng trong miền năng lượng liên tục qua bài toán thế năng dang U = - an

Trang27

Bài Toán Thế Ngược

Chương H

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO HÀM SÓNG TRONG

MIEN NĂNG LƯỢNG LIÊN TỤC QUA

BÀI TOÁN THẾ NĂNG DẠNG

= ~502x2

Một vi dụ khác vé chuyển động một chiéu là bái toán thế năng có dạng

U« fox? Thế năng dang này cũng có đổ thị giống với thé năng của dao

động tử điều hoà nhưng lại có bể lõm hướng về phía U < 0 Vì vậy trong luận

văn này, đôi khi tác giả cũng gọi là bài toán thế ngược Đây cũng là một ví

dụ về hạt chuyển động trong miễn năng lượng liên tục Dựa vào đổ thị của U

ta sẽ dễ dàng nhận ra kết luận vừa rồi

Trong chương một chúng ta đã sử dụng phương pháp toán tử để tìm lời giải

cho bài toán dao động tử diéu hòa, năng lượng của hạt nằm trong vùng gián

đoạn Trong bài toán này chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đó để tìm lời giải cho bài toán vé hạt có năng lượng nim trong vùng liên tục Với chú ý ring, cuối chương một ta đã thấy các toán tử Dirac cũng có thể biểu diễn nghiệm

của phương trình SchÖdinger trong trường hợp hạt có năng lượng liên tục Vì

vậy ta vẫn có thể ấp dụng các toán tử này để biểu diễn hàm sóng trong

trường hợp này Tuy nhiên vì toán tử Hamilton lúc này đã khác do phẩn thế

năng mang dấu âm nên khi chuyển sang toán tử sinh hủy không phải chỉ gồm các toán tử trung hoà nên không thể biểu diễn trực tiếp nghiệm như bài toán

dao động tử Vì vậy ta phải sử dụng một công cụ khác về toán học là phươngpháp tiếp nối giải tích cho phép chuyển các toán tử sinh hủy của một dao

động tử diéu hòa có tin số œ sang một dao động tử có tin số œ*(trong bài

toán này @’ =i œ ) Việc chứng minh các công thức của lý thuyết giải tích này

nằm trong lý thuyết nhóm Do đó tác giả xin phép không để cập đến việc

chứng minh Các kết quả sử dụng đã có trong đa số các giáo trình về lý

thuyết nhóm.

Trang28

Bài Toán Thế Ngược

Khi giải bài toán này, tác giả xin được dùng biến số x là biến số không có

thứ nguyên như biến số & trong bài toán trước

L Lời giải giải tích

Phương trình SchÖdinger viết trong trường hợp biến số không thứ nguyên là:

Xét nghiệm phương trình (II.1) đưới đạng W(x) = e 2 H(x)

Thế đạo hàm bậc nhất và dao hàm bậc hai vào phương trình (II.!) ta được:

Hf(x) — 2i@x H(x) +( 2E — iw) H(x) = 0 (L2)

Để giải phương trình (11.2) ta đổi sang biến số mới: y = iw.x’

Phương trình được viết lại theo biến số y như sau:

` Ni.

yH"(y) + (5-9) FO) (3 +7 )H0) 0 (1.3)

Dita = i+, nghiệm của phương trình (11.3) có dạng:

HY) = C,R(&2,y) + Cạy?R(a+2.3 V)

Trong đó F,( a, c, y) là hàm siêu bối suy biến theo biến số y.

(Xem phụ lục 2 hàm siêu bội suy biến)

Chuyển sang biến x ta có:

lệ mm

3° 5° mx)

Vậy nghiệm của phương trình (1.1) có thể được biểu diễn đưới dang:

H(x) = C,FE(a, ; imx*) + C,Viox’ E(a+

b Sg “3

373" )

1 2iE

Trang29

Bài Toán Thế Ngược

Từ phương trình ta thấy xác xuất tìm hạt tại những khoảng cách lớn vẫn khác

không Vì vậy hạt có thể chuyển động từ tâm của trường thế ra xa vO cực hoặc từ xa vô cực hướng vào tâm của trường Các chuyển động này là phi

tuần hoàn và có năng lượng liền tục

Vì mục đích của luận văn này là giới thiệu phương pháp toán tử nên việc giải

theo phương pháp này chỉ là một biện pháp để kiểm chứng lại Do đó bài toán chỉ cần đưa ra dạng nghiêm tống quát, các hằng số có thể sẽ được đối

chiếu sau khi sử dụng phương pháp toán tử.

IL Lời giải đại số theo phương pháp toán tử

Toán tử Hamilton trong trường hợp này được viết:

ta thấy toán tử Hamilton trong bài toán mới giống như toán tử Hamilton của

đao động tử với tham số lúc nay là iw

Sử dụng định nghĩa các toán tử sinh hủy :

ge feast ty) ge (Sgt

i= fart, {fe aan?

Ta viết được toán tử hamilton

Đây chính là toán tử Hamilton của dao động tử diéi hoà với tham số iw Tuy

nhiên bài toán có nghiệm trong miễn năng lượng liên tục Do đó nghiệm bài

toán được viết dưới dang sau:

ly) = Ton ( iw)) |0(ø)).

Trong đó y là số thực.

2 p2)

H= (a7 +4*?)

Trang30

Bài Toán Thế Ngược

Mục đích của chúng ta bây giờ là tìm cách chuyển toán tử sinh hủy, hàm trạng thái chân không có tham số im sang các toán tử và hàm chân không có

Chuyển Ñ( e', ø ) vé dạng “bình thưởng “(normal) ta thu được:

R = exp{ rin 218 (w) -a*())}

in exp{1,4*7()}exp{n,(2a*a + 1)}exp{ -mjâ”} (16)

với tỳ & @3 = o tế 1 | 2veo"

, 2(œ + œ') v 2 w+o

(Xem phụ lục 4 vé dang normal của Ê ) với (œ'œ) như thế ta hoàn toàn có thể kiểm tra lại tính đúng đấn của các

phép biến đổi trên (Xem phụ lục 4 về cách chứng minh công thức II.4).

Từ biểu thức tính năng lượng của một dao động tử điểu hòa ta có thể viết

Bài Toán Thế Ngược

\¥,(w')) = Tan fon" oo)

Wg = a ni Mae pts (= E int +1? —a*(@))} exp (ý2tâ * (co)}|0(w))

(Xem phy lục 5 về hàm sóng trong miễn liên tục)

Như vậy phương pháp toán tử đã giải được bài toán hạt chuyển động trong miễn năng lượng phân bố liên tục Do đó chúng ta đã có thể mở rộng phạm vi

áp dụng của phương pháp này cho các bài toán khác có sự phân bố năng

lượng một cách liên tục khác Trong chương sau chúng ta sẽ gặp một bài toán

cụ thể có thể áp dụng phương pháp này là nghiên cứu bài toán nguyên tử hydro trong miễn năng lượng liên tục.

Trang32

Phụ Luc Chương LI

PHU LỤC 1

HÀM SIÊU BỘI SUY BIẾN

Hàm siêu bội suy biến được định nghĩa bởi chuỗi sau:

_ ax a(a+1) x?

AGB 1? Bes

Chuỗi này hội tụ với tất cả các giá trị hữu hạn của biến số x Tham số a tùy ý,tham số c giả thiết là khác không và khác các số nguyên âm (c# 0, -1, -2, )

1 Nếu a là một số nguyên âm hoặc bằng không thì hàm F,(a c, x) thu về một

đa thức luỹ thừa của biến số x

Nếu a = c thì hàm F(a,c,x) rút về hàm mũ thông thường: Fj(a, c, x) =e"

2 Hàm siêu bội suy biến tiến về vô cực nhanh như hàm e mũ:

Chứng minh: viết lại hàm siêu bội suy biến dưới dạng:

h(a,c,X) = l+a,x + aax? + + ae + a,x" +o

a(a + l) (a+k~1) 1b trong đó

Như vậy rõ ràng hàm siêu bội suy biến tiến về vô cực nhanh như hàm mũ

3 Hàm siêu bội suy biến là một trong những nghiệm của phương trình vi

phân:

Trang 33

Phụ Lục Chương III

xy’ + (c —x)y’— ay = O(1)

Chứng minh: Ta tim nghiệm của phương trình (1) đưới dang chuỗi luỹ thừa

Phương trình (3) có hai nghiệm: s; =Ô.s¿= 1-c

® Trường hợp s; = 0 thì nghiệm y có dang:

œ

yy =1+ 3 anx" (4)

n=l

thay y ở (4) vào phương trình (1) ta được:

n(c+n -l )an= (a+ n-l)an-|

Từ đây ta có công thức truy toán:

a+ n-l

„_â+ n1 5

an nc+n-1)" i ©)

Trong đó n = 1,2,3, và ao = 1.Công thức (5) cho phép biểu dién tất cả các số

hạng của chuỗi (4) qua một số hạng

Khi đó chuỗi (4) viết thành:

Đặt (6) vào (1) ta được phương trình vi phân cho hàm U(x):

x U"(x) + (f -x)Uf(x) - a’U(x) = 0 (7)

Trong đó a` =a + 1 — c,c` = 2-c Phương trình (7) có dạng giống như phương

trình (1) do đó nghiệm của (7) là:

Trang 34

Phụ Lục Chương II

U(x) = F¡(a + 1 — c, 2 - c, x) Suy ra nghiệm thứ hai của phương trình (1) là:

2 Nếu x = n là một số nguyên dương thì: F(n+l) = n!

3 _ Công thức phẩn bù của Gamma:

Trong đó =f 1+— rong ¢ @ Fife}

= placa Seed tea! _y

Phụ Lục Chương II

Ref

Bán kính của đường công rất nhỏ, r — 0

Để tính tích phân trên ta tách ra làm ba đoạn như hình, sau đó trên hai đoạn

thẳng ta đổi biến số như sau:

Trên đoạn thứ nhất ta đặt £ = t, còn trên đoạn thứ hai theo cách đặt này thì

argument tăng một lượng là on

Thay vào tích phân ta có:

F(z) = (e?8-1) fet tat + [e Š g?-lác

Cy

Tích phân trên đường cong C, tiến đến không khi r — 0

Như vậy F(z) = (e?Z-I)[e'ttÌqt = (e”“Z-IŒ)