TRONG MIEN NĂNG LƯỢNG GIÁN DOAN
A. MỘT SỐ ĐIỂM CƠ BẢN CỦA LỜI GIẢI GIẢI TÍCH
Bài toán nguyên tử hydro giải theo phương pháp giải tích đã được trình
khá kỹ và day đủ trong đa số các sách cơ học lượng tử đang lưu hành trên thị trường và được sử dụng làm giáo trình trong nhiều trường dai học cho sinh
viên chuyên ngành vật lý. Vì vậy, trong phn giải theo phương pháp giải tích
này tác giả chỉ xin trình bày lại một cách ngắn gọn, xúc tích nhất có thể hiểu được. Các phép tính toán cụ thể khá phức tạp, việc giải các phương trình vi phân.. được trình bày vào các phần phụ lục theo sau chương này.
Việc giải theo phương pháp giải tích tức là phải tim được toán tử
Hamilton (toán tử liên kết năng lượng) và sử dụng phương trình SchrOdinger để tìm hàm sóng và năng lượng. Tuy nhiên toán tử Hamilton trong trường hợp này phức tạp nên chưa thể giải trực tiếp cho ra kết quả như
các bài toán trước. Vì vậy phải tìm thêm các toán tử khác giao hoán với toán
tử Hamilton để việc tìm hàm riêng của toán tử Hamilton thành việc tìm hàm riêng chung. Vì vậy việc tìm hàm riêng chung được tiến hành từng bước đơn giản và dé dàng hơn. Các toán tử giao hoàn với toán tử Hamilton trong
chương này là toán tử bình phương momen xung lượng [và toán tử hình chiếu của vectơ momen xung lượng lên trục Oz L,.
Do tính đối xứng xuyên tâm của trường thế và để tiện lợi cho việc giải toán,
ta chuyển bài toán sang hệ toa độ cầu với các biến số r, 0, ợ.
x = rsinÐsine y = rsinÐcosợ
z = rcosé.
Vì vậy các bước di cụ thể trong phần này là:
- Chuyển cỏc toỏn tử ẹ,2 và L, sang toa độ cầu.
- Tim hàm riêng của L,.
- Tim hàm riêng của È.
- Tim hàm riờng của ẹ và năng lượng của nguyờn tử hydro.
Trang 58
Nguyên Tử Hydro : Phương Pháp Giải Tích
Toán tử Hamilton của electron trong trường hợp này là:
H = Lae + Ur2
2m
Chuyển toán tử Í sang toa độ cầu bằng cách thay toán tử A trong toa độ cầu
La có:
12,,8 Me Uc Asx x2 1 @
H = (| 0— —
amr or ® am? sind 6 a0 * sin?O Bg? }+ U(r) (IL-1)
(Xem phụ lục 1: chuyển sang toa độ cầu)
Với toán tử Hamilton có dạng như (III.1), khi thay vào phương trình
SchrOdinger để tìm nghiệm sẽ rất khó vì phương trình chứa ba biến số. Ta sẽ
lợi dụng một nguyên lý trong cơ lượng tử: nếu hai toán tử giao hoán với nhau
thì chúng có chung hàm riêng. Ta tìm các toán tử giao hoán với H. Ta biết đại
lượng momen xung lượng và hình chiếu của nó lên một trục được bảo toàn
nên nó phải giao hoán với toán tử AH. Ta tim toán từ bình phương momen xung lượng L? và toán tử hình chiếu của vectơ momen xung lượng lên trục Oz
L
Theo cơ học cổ điển, hạt có xung lương P có vectơ momen xung lượng L:
Ù = rxp
Theo nguyên lý tương đương ta có toán tử momen xung lượng :
L = Fp
Suy ra các toán tử hình chiếu lên các trục:
ˆ "- a 2= - = =(h —~z—
L, = ŸÐ,~-?Ð, OS a
e + -~ˆ ô fa)
L - ô =~i #Ê—=~Y—„" ?é, - Äụ, =-iM a)
L, = %,- 9, =-iM Ey )
Toán tử bình phương momen động lượng được định nghĩa:
Pe + Ð+Ð
Chuyển các toán tử qua toa độ cau ta có:
Trang 59
Nguyên Tử Hydro : Phương Pháp Giải Tích
f + insine = R cogĐcosg 22) (IIL2a) L. = -ih( sa - coage sino —2-) (HL2b)X a0 ag
t= =e. (IL2e)
9g
È = -h[ TT (sino Sy + L in® 29 sin’ 0 dg" TS Ey (111.3)
(xem phụ luc 1: chuyển sang tọa độ cầu) So sánh (II1.1) và (111.3) ta viết được:
: ae -. Ũa A 6A 3 4
H =o ra a 2) sar * UO (H4)
Dựa vào biểu thức toán tử này, ta thấy hai toán tử Ít val’ giao hoán với nhau vì È' giao hoán với hàm vô hướng U(r) và chính nó, và chỉ phụ thuộc vào hai biến số góc nên giao hoán với thành phẩn phụ thuộc vào r của A.
Vậy hai toán tử iva 2 có chung hàm riêng.
Bây ee toán tử ? giao hoán với một trong ba thành
phần L,,
Trước ei ta tơ minh được các các hệ thức toán tử sau:
[i..ty] = iat,
Lb„ f,] = inc, (i., i, | = inl,
cele 022166 và một trong ba thành
phần L,,
fit] = [L„Ê] = [t,t] 0
(Xem phụ lục 2: sự giao hoán của * với ba thành phần )
Vậy toán tử Í? có chung hàm riêng với các thành phẩn L,, Ly, L,.
Vì toán tử L, có dạng đơn giản nhất nên ta chon ham riêng của L, là hàm riêng chung của L, và È?.
Trang 60
Nguyên Tử Hydro : Phương Pháp Giải Tích
Từ hai diéu chứng minh trên ta thấy ba toán tử Ít,Í2, L, có chung hàm riêng.
Do đó để tim hàm riêng của H phụ thuộc theo ba biến số không gian, ta lần lượt tìm hàm riêng của L, phụ thuộc theo biến œ. sau đó tìm hàm riêng của È
phụ thuộc theo hai biến 6 , @ và cuối cùng thay vào phương trình SchrOdinger tim hàm sóng của electron phụ thuộc theo ba biéb số r, 9, .
I. Hàm riêng và trị riêng của toán tử L, Phương trình hàm riêng -trj riêng claL,:
Leu = Lu
-— =de Liuou
Vì ham U chỉ phụ thuộc vào biến số @ nên ta thay đạo hàm riêng phan thành
đạo hàm toàn phần:
-ih de = Liudu
u(ứ) = CA "” 4L
Hệ số C được xác định từ điểu kiện chuẩn hố ÍIuefà = Í
T Ca ,a được =1
Khi o thay đổi một lượng 2ủ thỡ hạt lại về vị trớ cũ. Do đú, để u(@) xỏc định
đơn giá thì
iL, ứ iL, (ứ + 2x )
e" = of
Fi ae = |i
2nL, = m2
h
L„ = mh m =0,+1,+2....
Vậy hàm riêng của toàn tử L, là Ì imp
= HL.5
Và trị riêng là L,=mh véim=0, +1, +2, +3, ...
Trang 61
Nguyên Tử Hydro : Phương Pháp Giải Tích
IL. Hàm riêng và trị riêng của toán tử L?
Để tìm trị riêng của LC ta đưa vào hai toán tử mới sau đây:
L,= L, + ily t= 1, - ily
Ta có thé chứng minh các hệ thức toán tử sau đây: