QUA TOAN TU SINH HUY
L. Mối liên hệ giữa bài toán đao động tử diéu hòa
và nguyên tử hydro trong miền năng lượng gián đoạn
Mối liên hệ giữa hai bài toán nguyên tử hydro và dao động tử diéu hoà
đã được tìm ra từ lâu. Mối liên hệ này chủ yếu là sự liên hệ qua lại giữa hai
phương trình Schrédinger được viết cho nguyên tử hydro và dao động tử điều hòa trong không gian hai chiều phức ( tương đương 4 chiéu thực). Mối liên hệ này được thiết lập chủ yếu dựa vào phép biến đổi Kuataanheimo-Stiefel(KS.)
từ phương trỡnh Schrệdinger của dao động tử sang phương trỡnh của nguyờn tử
hydro. Trong quá trình chuyển từ phương trình dao đông tử sang phương trình
của hydro, trong bài toán xuất hiện các số hạng mới, các công trình nghiên cứu khác cho thấy lời giải cho phương trình Schrédinger của dao động tử
không chỉ dẫn tới kết quả của bài toán hydro mà còn có thể suy ra kết quả của
Trang 68
Nguyên Tử Hydro: Phương Pháp Toán Tử
nhiều bài toán khác như nguyên tử hydro trong từ trường và điện trường,
nguyên tử hydro trong trường Aharonov-Bohm...
Tuy nhiên trong phin này, tác giả chỉ vận dụng phép biến đổi KS để thấy sự tương quan giữa hai phương trình của dao động tử điều hòa và nguyên tử hydro. Trong phần này xuất hiện nhiều phép tính tuy không phức tạp nhưng khá dài và người đọc vẫn có thể thực hiện được. Do đó, để đơn giản cấu trúc của luận văn, tác giả sẽ trình bày các kết quả các phép tính nay trong phụ lục theo sau, các phép tính cẩn thiết cho mach tư duy sẽ được trình bày trực tiếp
trong chương.
Phương trình SchrOdinger cho đao động tử điều hòa trong không gian hai chiéu phức với các biến số tọa độ£, ( s=1,2) có thể được viết như sau:
A VE) = Z¥(E) (111.10)
Trong đó toán tử Hamilton có thể viết như sau:
1 ỉ 1 2„ „e
on st F II.II
H=-
Trong đó các chi số lập lại được lấy tổng theo các chỉ số đó, đấu '*' chỉ phép
lấy liên hợp phức .
Toán tử Hamilton H giao hoán với toán tử Ô có dạng như sau:
5 3 „sỡ
= §é—- 11.12
(xem phu luc 4)
Như vậy hàm riêng của toán tử H phải thỏa mãn phương trình sau;
Ô WE) = 2q HE) (11.13)
Phép nhân vô hướng hai hàm sóng trong không gian phức € được định nghĩa như sau:
(o(|v()~ ẽ đế f dey ẽ ag, ẽ des ứ WEE)
Trongđó gy = Regs, os = Ime,
Bây giờ ta viết lại phương trình (III.10) bằng cách chuyển vế va chia hai vế
cho é,£;
Ta được ủW()=-2œ°#(Ê) (HI.14)l
Trang 69
Nguyên Tử Hydro; Phương Pháp Toán Tử
Trong đú ủ=-—————--~ (HI.15)
26,6, 86,08, Syd,
Như vậy đại lượng - gui có thể được xem là trị riêng của toán tử A.
Theo cỏch định nghĩa tớch vụ hướng hai hàm súng như trờn thỡ toỏn tử ẽ
không phải là toán tử Hermitte. Ta định nghĩa lại tích vô hướng hai hàm sóng
như sau:
(e(2)|w(@))= "fags [4ỏ{ ẽ 4g; Tas ứ (@w@,4?— G116)
Bây giờ ta sử dụng phép biến đổi Kuataanheimo-Stiefel(KS.) để thấy mối liên
hệ giữa hai phương trình của dao động tử và nguyên tử hydro.
Phép biến đổi này được viết như sau:
g = args, (0<@<2*) (IH.17)
X= É(0)gẼ,
Trong đó o,(A = 1, 2, 3) là các ma trận Pauly và biến số ¢ được đưa vào cho tương ứng với không gian hai chiểu phức.
Sau khi áp dụng phép biến đổi KS. ở (HI.17) toán tử H có thể được viết lại
như sau:
n. luỡ 8,8... 6. te 2
i a BẾP a ae =
với A, “TS A, “31 A,=0
( xem phụ lục 6)
Khi đó phép nhân vô hướng (111.16) được viết lại như sau:
1 2 .
(ely) == [ de ldro t.9w(#9
Toán tử Ô có thể được viết lại qua phép biến đổi này như sau:
vn”ˆ é
(xem phụ lục 4)
Trang 70
Nguyên Tử Hydro: Phương Pháp Toán Tử
Nghiệm của phương trình (IHI.14) là những nghiệm toán học, muốn các nghiệm này thoả mãn tính vật lý phải độc lập với biến số mới ¢ đưa vào. Tức
là:
OV =0 (111.19)
Từ điểu kiện (111.19) và (111.18) suy ra hàm sóng #(7) phải thỏa mãn phương
BE ae! ca
I-53 tuân xitt) 2® W(r)
Đây chính là phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro và các nguyên tử đồng dang viết trong không gian không có thứ nguyên x, với năng lượng
c= -50 <0 (xem phụ lục 7)
Như vậy có thể đi đến kết luận hàm sóng của nguyên tử hydro trong miền năng lượng gián đoạn có thể được chon từ hàm sóng của đao động tử điều hòa trong không gian hai chiều phức thỏa mãn điều kiện (HI.19).
II. Lời giải đại số
Theo kết luận của mục trước, ta có thể chọn nghiệm của bài toán nguyên tử hydro trong miễn năng lượng gián đoạn từnghiệm của dao động tử diéu hòa
thoả min điểu kiện OF =0. Như vậy ta đi tim nghiệm của dao động tử điều
hòa trong không gian hai chiéu phức, sau đó lựa chọn nghiệm thỏa mãn diéu
kiện vừa nêu.
Toán tử Hmilton của dao động tử diéu hòa trong không gian hai chiéu phức: